20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第20章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，1， D．，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，掌握勾股定理逆定理的概念是解题关键．勾股定理的逆定理，即若三角形三边长、、（c为最长边）满足，则该三角形为直角三角形，只需验证每组线段中较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：选项A中，，能组成直角三角形，选项A不符合题意； 选项B中，，能组成直角三角形，选项B不符合题意； 选项C中，，能组成直角三角形，选项C不符合题意； 选项D中，，，不能组成直角三角形，选项D符合题意． 故选：D． 2．已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形三边关系和勾股定理逆定理，通过验证三条线段是否满足三角形不等式，并利用勾股定理逆定理判断三角形类型即可． 【详解】解：∵，，， ∴三条线段能围成三角形； ∵，， ∴， ∴该三角形为直角三角形， 故选：A． 3．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则第三边所对的角是直角． 【详解】解：∵， ∴为斜边，且对边是， ∴． 故选A． 4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的三边长分别为3，，， ∵， ∴选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； B、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； C、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意； D、三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 6．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解： ，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 7．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 8．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 9．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 10．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 11．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 12．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设结间距为， ∴， ∴这个三角形其中一个角是， 故选：． 13．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 直接利用勾股定理的逆定理结合直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：∵， ∴三条边长分别为3里，4里，5里，构成了直角三角形， ∴该沙田的面积为（平方里）． 故选A． 14．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【详解】解：如图： ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴二号舰航行的方向是南偏东， 故选：C． 15．如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．根据证明，设，则：，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，又是正三角形，可得，得出，再由，，可得，由此判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， ， 故正确，该选项不符合题意； 是正三角形， ， ， ， 又， 设，则：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且， 故正确，该选项不符合题意； 又 是正三角形， ， ， 故D正确，该选项不符合题意； ，， ， 故C错误，该选项符合题意； 故选：C． 二、填空题 16．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． 利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边为斜边． 故答案为：直角． 17．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】不垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形，否则不是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理，通过计算电线杆高度和水平距离的平方和与拉线长度的平方是否相等，判断电线杆与地面是否垂直． 【详解】解：∵， ， ∴不满足勾股定理的逆定理， ∴电线杆，地面水平距离，拉线，不能构成直角三角形， ∴电线杆与地面不垂直． 故答案为：不垂直． 18．如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 【答案】/7.2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式求解，通过计算三边的平方关系判断三角形是否为直角三角形，再利用三角形面积的两种不同表示方法建立等式求解的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解： ，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 20．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为 ． 故答案为：． 21．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 22．《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可得出结论，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：，，， ， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角． 23．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 【答案】96 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式． 连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， 又，， ， 是直角三角形，， 这块地的面积的面积的面积． 故答案为：96． 24．中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及勾股定理的逆定理，正确得出，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据勾股定理的逆定理得出，利用等积法求出的值即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵是两内角平分线的交点， ∴平分， ∴， ∵，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴到的距离是． 故答案为： 25．图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形．过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 故答案为：． 三、解答题 26．如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形； (2) 【分析】本题考查用勾股定理判定三角形是直角三角形，根据勾股定理列方程求线段长度； （1）求得即可解答； （2）设，则，证，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 27．如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)四边形ABCD的面积为36 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接，将四边形分割为两个直角三角形分别求解． （1）在中，用勾股定理求的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 28．如下图，，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从铺设管道到点处，再从点处分别向，两村铺设管道． (1)求证：是直角三角形． (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道更短？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)方案一所修的管道更短，理由见解析 【分析】（1）要证明是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，验证三边长度是否满足 （2）比较两种方案的管道总长度，需要先求出方案二中、、的长度，再计算总长度，与方案一的总长度进行比较． 【详解】（1）解：证明：，，，， ． 是直角三角形． （2）解：方案一：管道总长度为． 方案二：由（1）知是直角三角形， ． 又， ． ． ∴方案二铺设管道的长度． ， ∴方案一所修的管道更短． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是利用勾股定理逆定理判断直角三角形以及通过面积法求高，再结合勾股定理计算线段长度，从而比较两种方案的总长度． 29．如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理. 连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 30．在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可推出； （2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解． 【详解】（1）证明：米，米，米， 则 ， ； （2）解：由（1）得， ， （米）， （米）． 31．如图，的顶点，，所对的边分别为，，． (1)若，试说明是直角三角形； (2)在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，5或8或18或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点． （1）先根据非负数性质求解，再由勾股定理逆定理求解即可； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ，， ， ∴， ∴ 是直角三角形 （2）解：存在， ①时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点， ∵ ∴； ②时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点、， ∴；； ③时，作的垂直平分线交直线于点，设，则 ∵， ∴， ∴ 解得，即 综上：的值为5或8或18或． 32．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用无人机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火无人机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，点与直线上两点的距离分别为和，且，无人机的洒水半径为． (1)无人机的洒水半径能覆盖点吗？为什么？ (2)若无人机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续洒水20秒，请你通过计算判断着火点能否被无人机扑灭？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：能覆盖点，理由如下，如图，过点作，垂足为， ， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， 能覆盖点； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点， 则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点能被扑灭． 33．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 【答案】(1)道路的长为50米；的长为米； (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，可求解；利用勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法即可求解； （2）由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故道路的长为50米； ∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， 在中， ∴， ∴，， ∵ ∴ 故的长为米； （2）解：由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示： ． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，两点之间线段最短，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第20章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 知识点专项训练 一、单选题 1．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，1， D．，2， 2．已知三条线段长分别是8，15，17，那么这三条线段能围成一个（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．在中，若，则（   ） A． B． C． D．不能确定哪个角是直角 4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，下面的三角形是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 6．如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 8．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 9．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 11．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 12．据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（   ） A． B． C． D． 13．我国古代著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问沙田一段，有三斜，其中小斜3里，中斜4里，大斜5里，欲知为田几何？”题目大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为3里，4里，5里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里，则该沙田的面积为（　　） A． B． C． D． 14．年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 15．如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D． 二、填空题 16．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 17．一根电线杆高12m，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一根拉线．拉线工人发现所用线长为13.2m（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 18．如图，在中，，，，若于D，则CD的长 ． 19．如图，在中，，，，，则的度数为 ．    20．为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为 ． 21．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 22．《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 23．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为 ． 24．中，是两内角平分线的交点，；到的距离是 ． 25．图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为 ． 三、解答题 26．如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 27．如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 28．如下图，，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从铺设管道到点处，再从点处分别向，两村铺设管道． (1)求证：是直角三角形． (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道更短？请说明理由． 29．如图，，，，，求的度数． 30．在泰州溱潼古镇附近的湿地公园中，规划修建一条观鸟栈道．该栈道计划沿三角形区域的岸边布置．由于段穿越一处重点保护的古建筑，无法直接测量．勘测人员在上取一点，测得米，米，米，米． (1)求证：： (2)求的长． 31．如图，的顶点，，所对的边分别为，，． (1)若，试说明是直角三角形； (2)在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 32．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用无人机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火无人机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，点与直线上两点的距离分别为和，且，无人机的洒水半径为． (1)无人机的洒水半径能覆盖点吗？为什么？ (2)若无人机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续洒水20秒，请你通过计算判断着火点能否被无人机扑灭？ 33．【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $