专题05 椭圆（知识清单+考点聚集+达标检测）-2026年高二数学寒假强化训练（人教A版选择性必修第一册）

专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 专题05椭圆 考点预览 考点01椭圆的标准方程及其应用 考点05解答题 椭圆 考点02椭圆定义与焦三角问题 考点04椭圆性质的应用及最值问题 考点03椭圆的离心率问题 一、 知识清单 1.椭圆的定义：平面内与两个定点乃，的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨 迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{MM-,=2a(0<2a<RD}. 2. 椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2y2 :+6护=1(a>b>0) y2,x2 a2+62=1(a>b>0) 般方程 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A#B) 图形 焦点坐标 E(-c,0),E(c,0) (0,-c),F(0,c) A(-a,0),A(a,0), A(0,-a),A,(0,a), 顶点坐标 B(0,-b),B2(0,b) B(-b,0),B2(b,0) 长轴 长轴AA,=2a,a是长半轴的长 短轴 短轴B,B,=2b,b是短半轴的长 1/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 焦距 焦距FF=2c,c是半焦距长 范围 xsa,ysb ≤b,i=l,2n 1,b2 F引 离心率 0<e<)·(P是椭圆上的点) PR+PR e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 3。直线？女+m与精图+茶1a>b>0的位资关系，别新方法 [y=k+, 联立x221 消y得关于x的一元二次方程. (a 当△>0时，方程有两解，直线与椭圆相交： 当△=0时，方程有一解，直线与椭圆相切： 当△<0时，方程无解，直线与椭圆相离， 4.焦点三角形：△FPF,叫做焦点三角形，其周长为2a+2c,若∠FPF,=日，则其面积 sPam6且椭圆离心e的取值用为？李e 5.中点弦公式：直线与椭圆交于A,B两点，P(x,y)为AB中点，k直线AB的斜率 若椭圆为兰+长=1a>>0),则k=-公三； a'yo 若椭圆为x =1a>b>0),则k=-云。 b2 yo 6.共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆女十少 京+后-1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程均可设为r +kt6+k1派>-b的： 凡是与椭圆”+x 1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程均可设为一二 x2 +k+=1k>-b的） 二、考点聚焦 目目 考点01 椭圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1.(24-25高二上广西百色普通高中·期末)（多选）己知椭圆4x2+3y2=12,则下列正确的是() 2/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 A.焦点在x轴B.焦点在y轴 C.焦距是2万 D.焦距是2 2.(25-26高二上厂西示范性高中期中)已知椭圆m+y=1焦点在y轴且离心率为号，则m的值为 2 () A.3 1 B.3 5 C. D.5 9 3.425高=上湖北云学部分重点离中)（多选）已知曲线方程”十-1表示椭圆，则下列说 4-L5+L 法正确的是() A.m的取值集合为{m-5<m<4 B.当m=2时，焦点坐标为0，±√5) C.当m=-1时，记椭圆所包围的区域面积为s,则S<8√5 1 D.当-5<<一时，随着m越大，椭圆就越接近于圆 【变式训练】 1.(25-26高二上广西百色期末)椭圆 +y =1的短轴长为() 10036 A.6 B.10 C.12 D.20 2.己知椭圆c:x +6 =1的右焦点为F(2,0),则C的长轴长为() A.√0 B.210 C.√2 D.22 3.(25-26高二上广西河池期末)已知椭圆二+ 一=1的一个焦点坐标为(0,5)，则的值为（) 10 A.2W2 B.4 C.√35 D.35 3/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 4.(25-26高二上·广西钦州第一中学.期中)已知方程 一=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数 10-m4+2 m的取值范围是() A.（-2,2) B.(-2,10) C.(2,10) D.(-2,2)U(2,10) 5.2425商三上画南宁第三十六中学期中尼知点C的镇迹方程为+y-1P4,),则P℃的中点 M的轨迹方程为() A.x2+4y2=1B.(x-2)2+4y2=1C.x2+4(y-1)2=1D.x2+4y-4)2=1 6.(2425高二上广西“贵百河一武鸣高中”·期中)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征 六号运载火箭，成功将天平三号A(01)B(01)B(02)卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任 务获得圆满成功该卫星主要用于地面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环 境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号A(01)卫星 运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离 地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号A(01)卫星运 近地点， 行的轨迹方程可为() 远地点 A. y2 B父+CD 98 916 352+121 【巩固练习】 1.45商三上示范性有中期肿描国苦号=1的先部为() A.1 B.2 C.3 D.4 4/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 2.5.26高=上河北邯郸魏县六校)（多选）关于椭圆c:+片-1，下列选项正确的是（) 812 A.椭圆C的长轴长为2√3 B.椭圆c的一个顶点为(2V2,0) C.椭圆c的焦距为4√5 D.椭圆c的离心率为 3 3.5-26高二上黑龙江哈尔滨师范大学附属中学)已知曲线c:二十 -=1,设p:2<m<6,q:曲 7-26- 线C是焦点在坐标轴上的椭圆，则卫是9的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4425商=上广西合浦县期刊已知韩四C若+芳-a>6>0)的长轴长为8且离心率为5，则 4 C的标准方程为() A. 16*y2s1 B. 1 D.y =1 6449 644 目目 考点02 椭圆定义与焦三角问题 【经典例题】 L亿5-26高三上重庆松树桥中学校月考已知椭圆C。+发=1α>b>0)的左右焦点分别是月，乃，福 圆上任意一点到乃，F,的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为() 3=1D.x2 A.x2+1B.+y2=1C.≠2 +=1 43 32 2.5-26高二上广西软州期末)已知椭圆B:+女-1，点(-反，0)，若直线x+w-5=0(aeR) 86 与椭圆E交于A,B两点，则△ABF的周长为() A.8V3 B.12 C.8√2 D.8 3.(2425高二上广西百色平果铝城中学期末)记知点R,R为椭圆C:￥+上-1左右焦点，点P为椭圆C 43 上的动点，则P卧PF引的取值范围为（) A.[3,4] B.[2,3] c.[1,4] D.,7] 5/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 【变式训练】 1,122高三下酒南名校联盟)设P为椭圆℃号+1上一点，R,乃分别是C的左，右焦点，岩 P-P=1,则P=() B. c.2 7 D. 2 包。2526高三上广西玉林八校期中已知R,飞分别是椭圆。+。1的焦点，过点的直线交椭圆于 A,B两点，则△ABF的周长是() A.16 B.8 C.12 D.6 3,若点P在椭圆{+)1上，只，乃分别是椭圆的两焦点，且∠RP3=45,则RP%面积是〔) A.4-√2 B.2√2-2 C.2N2+2 D.4+2 4.(25-26高二上：广西百色期)（多选）已知椭圆C:工+。=1的两个焦点为8，R,P为C上不与 98 ,共线的点，则下列说法正确的是() A.椭圆的焦距为1B.椭圆的离心率为C.PRE的周长为8D.P网PR的最大值为9 【巩固练习】 1.己知椭圆+ =1上一点M与两焦点，耳，所夹的角∠M=60°，则△M2的面积为() 169 A.16V5 B.16√5 C.3W3 D.9√3 3 2.(24-25高二上四川达州万源中学月考)已知椭圆+”=1中，点P是椭圆上一点，F,乃是椭圆的焦 43 点，且∠PE=60,则△P耳E的面积为 6/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 3.2526高上西面第中学期中）（多速）已知椭圆c:+发1a>6>0)的左、右熊点分 别为耳，，点P在C上，且P的最大值为3，最小值为1，则() A.椭圆C的离心率为时 B.△FP耳的周长为4 C.点P可能在以，F,为直径的圆上 D.若∠PE=60°，则△F,P耳的面积为√5 4.2425商二上广西南守期)（多选）椭圆C云云-1a>b>0的左，有焦点分别为以，马，过 F的直线1与椭圆交于A,B两点，其中A是椭圆的上顶点，△AF,是面积为√5的正三角形，则下列说 法正确的是() A.△5的周长为8B.椭圆C的离心率为C.B%的长为号D.△BR飞的面积为3 2 5.2526高=上广西百色期末)（多选）已知椭圆c:士+上=1的两个焦点为只，R,P为c上不与 98 ,共线的点，则下列说法正确的是() A,椭圆的焦距为1B.椭圆的离心率为 ,C.△PF的周长为8D.PPF的最大值为9 目目 考点03 椭圆的离心率问题 【经典例题】 1.2526高上鞋林期利已知焦点在x轴上的稀圆c号+后=10>0)的短销长为25则共离心率为 () A. B. 5 C.3 3 3 3 D.3 2.已知稀圆C若若=a6:0的法行能直分别为爪，及，过右能点尽的值线与c安于LB两点，且 BF=2F,A,Br⊥AB,则椭圆C的离心率为（) A. 5 B.5 D. 2 3 4 5 【变式训练】 1.2425商二上广西州：明末诺药圆C等+茶-1a>b>0)的知轴长是焦距的2信，则c的离心幸 为() A. B.5 C. √瓦 2 D.5 5 7/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 包亿425高三上广西百色平果铝城中学期末已知椭圆。+片=1（α>6>0）的左、右石焦点分别为。 F,,若椭圆上一点P满足P至⊥FE2,且P=2P,引，则椭圆的离心率为() A.月 B. 2 C.3 3 n 包256高上西软州第一中学期中已知椭圆。+1(Q>06>0)的左、右焦点分别为 点P在该椭圆上，且P耳⊥P,P=2P引，则该椭圆的离心率为() A. B. C. 3 3 D 4.2526高二上广西示范性高中期中)设椭圆8：+片=1(a>b>0的左、右焦点分别为尽、马， a2+b2 A是椭圆上的一点，ALR,原点O到直线AR的距离为D,侧则椭圆B的离心率等于一 5@乐26南上南字期利尼知椭国g等+茶-ab0)的右焦点为F,焦距为2.直线 1:2x-√5y+2c=0与椭圆E在第一象限交于点P,且PF⊥x轴，则椭圆的离心率是() A.v5 B.2V5 5 C.3 D.25 5 5 6.2021高三上甘所静宁县第一中学期利已知椭圆若+是-1a>b>0的两个焦点为3(0、 F,(c,O),M是椭圆上一点，且满足FM⊥F,M,则椭圆的离心率e的取值范围为 8/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 x2y2 7.(24-25高二上·贵州遵义第四中学期末)已知离心率为e的椭圆C: +=1(a≥么>0)和离心率为， 的双曲线C,： 2G1(a,>06,>0)有公共的焦点，R,R分别为左、有焦点，P是C与9在第一象限 x y 的公共点若点P满足OP叶K,则3心+2G的最小值为 【巩固练习】 知椭圆C:x+y=1(m>0且m≠9)的焦点为乃，乃，P为C上的一点，若aPFE的周长为1 椭圆c的离心率为」 皂。2526高上广西崇左期末已知椭圆C怎+=1(Q>b>0)的左焦点为P,右顶点为4，点B在 椭圆C上，且BF⊥x轴，直线AB与y轴交于点P.若AB=7PB,则椭圆C的离心率为() B月 c.& D.g ,@45务二下上将箱东新议上持南汇中学彻闲如图。只、弓是椭国G:等+茶=1与双佳线C: y=1的公共焦点，小、B分别是C、G在第二、四象限的公共点，若四边形ABR为矩形，则C的 x2 离心率是 4.425高三上广西南宁第三中学已知椭圆℃。+发1的左、石焦点分别为，马，过点只的鱼 线与椭圆c交于A,B两点，若48，且∠ARB=90°，则椭圆的离心率为() A.② c.5 D.② 2 B.3 3 5 3 3425商上广西桂林期设0为坐标原点，F为肠C千芳=a>b>0)的左盘点，A是该 椭圆上的点，且△OFA是正三角形，则C的离心率为() A.V3+1 B.V5-1 c.5+1 D.3-1 2 2 9/21 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 6.(24-25高二上·广西玉林期末)如图，在圆x2+y2=r2(r>0)上任取一点P,过点P作x轴的垂线段 PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（) A.3 B. 2 C. D. 7.(2425高二上·广西梧州·期末)已知椭圆C: x2y2 d"b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为R(-c,0)、 R(6,O),若椭圆C上存在一点卫，使得△PF,P的内切圆的半径为氵， 则椭圆C的离心率的取值范围是 () 3 1 5 D 8伦425高西百色高中期末知器心率为S,的圆C名冷Q>0>0和洛心率 8的双曲线G元匠1a,>0,么>0)有公共的焦点，其中R为左焦点，P是G与C,在第一象限的公共 点.线段P的垂直平分线经过坐标原点，则2e2+e的最小值为 目目 考点04 椭圆性质的应用及最值问题 【经典例题】 1.(25-26高二上·广西贵港联考期中)已知椭圆C的两焦点为，E，P,Q为椭圆C上的动点，△PF 的周长为10，则2的最大值为 2.2526高二上广西柳州第一中学期中)已知B为椭圆+”=1的右焦点，M为椭圆上的动点，设点 43 则A+M的最小值为() A.2 B.√2 C.0 D.√6 10/21专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 专题05椭圆 考点预览 考点01椭圆的标准方程及其应用 考点05解答题 椭圆 考点02椭圆定义与焦三角问题 考点04椭圆性质的应用及最值问题 考点03椭圆的离心率问题 一、 知识清单 1.椭圆的定义：平面内与两个定点乃，的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨 迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{MM-,=2a(0<2a<RD}. 2. 椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2y2 :+6护=1(a>b>0) y2,x2 a2+62=1(a>b>0) 般方程 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A#B) 图形 焦点坐标 E(-c,0),E(c,0) (0,-c),F(0,c) A(-a,0),A(a,0), A(0,-a),A,(0,a), 顶点坐标 B(0,-b),B2(0,b) B(-b,0),B2(b,0) 长轴 长轴AA,=2a,a是长半轴的长 短轴 短轴B,B,=2b,b是短半轴的长 1/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 焦距 焦距FF=2c,c是半焦距长 范围 xsa,ysb ≤b,i=l,2n 1,b2 F引 离心率 0<e<)·(P是椭圆上的点) PR+PR e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 3。直线？女+m与精图+茶1a>b>0的位资关系，别新方法 [y=k+, 联立x221 消y得关于x的一元二次方程. (a 当△>0时，方程有两解，直线与椭圆相交： 当△=0时，方程有一解，直线与椭圆相切： 当△<0时，方程无解，直线与椭圆相离， 4.焦点三角形：△FPF,叫做焦点三角形，其周长为2a+2c,若∠FPF,=日，则其面积 sPam6且椭圆离心e的取值用为？李e 5.中点弦公式：直线与椭圆交于A,B两点，P(x,y)为AB中点，k直线AB的斜率 若椭圆为兰+长=1a>>0),则k=-公三； a'yo 若椭圆为x =1a>b>0),则k=-云。 b2 yo 6.共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆女十少 京+后-1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程均可设为r +kt6+k1派>-b的： 凡是与椭圆少+x 1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程均可设为一二 x2 +k+=1k>-b的） 二、考点聚焦 目目 考点01 椭圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1.(24-25高二上广西百色普通高中·期末)（多选）己知椭圆4x2+3y2=12,则下列正确的是() 2/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 A.焦点在x轴B.焦点在y轴 C.焦距是2万 D.焦距是2 【答案】BD 【详解】方程4x2+3y=12可化为+少=1，表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确：由方程可得 3 4 a=2,b=√3，c=Va2-b2=1,故焦距2c=2,C错误，D正确.故选：BD. 2.2526高二上西示范性高中·期中)已知稀圆+-1焦点在少箱且离心率为号，则m的值为 () A.3 B. c. D5 9 3 【答案】D 【详解】椭圆x+y=1变形为1+y=1,因为焦点在y轴，所以42=1，b=1 ，所以离心率 b2 3.425高二上：湖北云学部分重点高中)（多选）已知曲线方程x+ 一=1表示椭圆，则下列说 4-L5+ 法正确的是() A.m的取值集合为-5<m<4 B.当m=2时，焦点坐标为(0，±V5) C.当m=-1时，记椭圆所包围的区域面积为s,则S<8√5 D.当-5<<一2时，随着m越大，椭圆就越接近于圆 【答案】BCD 【详解】A选项，因为 42 =1，则 4-L5+m 5+>0且4-m≠5+m,所以m的取值范围是 4->0 (5-》,兹A选碳错误：B选现，当m-2时，院图方程为片二-1，则稀调我示你点在 27 y轴上的椭圆，且c=√7-2=√5，所以焦点坐标为(0，±√⑤)；C选项，当m=-1时，椭圆方程为 父+少=1，则椭圆表示焦点在x轴上的椭圆，且2a=25,2功=4，则椭圆所包围的区域面积为S,且 54 Sc2ax2功=85，则C选项正确：D透项。5<m<时，曲线方程，1表示焦点在x轴 4-L5+ 上的椭圆，则d=4-m,62=5+m,e2=C:1-2=2-9， a2-4-m 4-m 二：则当-5<<-，时，离心率表家 3/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 单调递减的函数，则随着m越大，椭圆的离心率越接近O,椭圆越圆，故D选项正确故选：BCD 【变式训练】 1.2526高二上广西百色期末椭圆x+”-1的短轴长为（) 10036 A.6 B.10 C.12 D.20 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知b2=36,∴.b=6,则短轴长为2b=12.故选：C. 2.已知椭圆C:二+。-1的有焦点为20，则c的长轴长为() m 6 A.V10 B.2W10 C.√2 D.22 【答案】B 【详解】因为椭圆C的右焦点为F(2,0),所以c=2,且焦点在x轴上，所以m2-6=4,解得 =±√10，所以椭圆C的长轴长为2√10.故选：B. 3.2526高二上广西河池期末已知椭圆二+上=1的一个焦点坐标为(0,5)，则m的值为(） 10 A.2W2 B.4 C.V35 D.35 【答案】D 【详解】由于椭圆+上=1的一个焦点坐标为(0,5)，得焦点在y轴上，故a=mb=10.c2=5=25, 10m 根据ad2=b2+c2,得m=10+25=35.故选：D 4.(25-26高二上广西软州第一中学期中)已知方程， y=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数 10-1m4+2m m的取值范围是() A.（-2,2) B.(-2,10) C.(2,10) D.(-2,2)(2,10) 【答案】A [10-m>0 【详解】因为方程， ,y=1表示焦点在x轴上的椭圆，所以4+2>0 ,解得-2<<2， 10-4+2m 10-m>4+2m 即实数m的取值范围是(-2,2).故选：A 5.24-25高二上广西南宁第三十六中学期中已知点C的轨迹方程为+y=1,P4,0),则PC的中点 M的轨迹方程为() A.x2+4y2=1B.(x-2)2+4y2=1C.x2+4y-1)2=1D.x2+4(y-4)2=1 4/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 【答案】B x+4 =x 2 ,即 x=2x-4 【详解】设点M坐标为(x,y),点C坐标为(x。,y),由中点坐标公式得 o=y =2y 2y代入x x=2x-4 将 +-1,得点M的轨迹方程为：2：0+2r=1,即K-2列+42-1. 4 故选：B 6.(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征 六号运载火箭，成功将天平三号A(01)、B(01)、B(02)卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任 务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环 境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号A(01)卫星 运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离 地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号A(01)卫星运 近地点， 行的轨迹方程可为() 远地点 A. 98 916 1c.2 、352+352=1D352+1221 【答案】A 【详解】设长轴长为2a,焦距为2c,由题可知1.35+1.3+3.35=2a,即a=3万千米，因为天平三号A(01) 卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米，则a-c=1.35+0.65=2, 可得c=1万千米，因此b=d-c=3-P=8,所以椭圆的方程为+父=1故选：A 98 【巩固练习】 1.2425商三上了西示范性商中期中稀园兮+号1的焦距为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】由题意得c=√5-4=1，则其焦距为2.故选：B. 5/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 2.25.26高=上河北邯郸魏县六校)（多选）关于椭圆c:+片-1，下列选项正确的是（) 812 A.椭圆C的长轴长为2√3 B.椭圆C的一个项点为(2W2,0) C.椭圆c的焦距为4√5 D.椭圆C的离心率为 3 【答案】BD 【详解】由椭圆的方程可得d=12,b2=8,所以a=2√5，b=2√2，所以椭圆c的长轴长为2a=4√5，故 A错误：短轴端点为任2√2,0)，则一个顶点为(2√2,0)，故B正确：因为c=√a2-b=2,所以椭圆C的 陆距为4，散C错误离心率为后忌5，放D正瑞教选：B即 3.(25-26高二上：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学)已知曲线C: y=1,设p:2<<6,g:曲 m-26-m 线C是焦点在坐标轴上的椭圆，则P是9的() A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B -2≠6-m 【详解】因为二。。产。1是焦点在华标箱上的椭副。所以 -2>0,解得：2<m<6且m≠4， 6->0 所以“p:2<<6”是“曲线C是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B. 4425高二上广西合浦县期)已知简圆C等+芳1a>6>0)的长特长为8，且离心率为 ,则 4 C的标准方程为() C. 16151 D.+y2 6441 【答案】A 【详解】由思意易得2a=8,则a=4,因为椭圆c的离心率为正，所以c=5,则5=16-15=1， 4 故c的标准方程为兰+y=1,故运：A 16 目目 考点02 椭圆定义与焦三角问题 【经典例题】 1.25:26高上重庆松树桥中学校月考)尼知椭圆C:+片-1a>b>0)的左右焦点分别是R,月，椭 圆上任意一点到F,F,的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为() 6/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 A.=1 B. 3 3+=1C.+y2 +=1D.+=1 32 【答案】C 【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a,已知该和为4，故2a=4,得a=2, 椭圆焦距为2c,己知焦距为2，故2c=2,得c=1,由椭圆中2=b2+c2,可得b2=3,所以椭圆的标准 方程为xy2 4+31.故选：C 2526西嵌州期末已知椭圆z8+片三1，点-V2,0,若直线x+w-2=01E 与椭圆E交于A,B两点，则△ABF的周长为() A.85 B.12 C.8√2 D.8 【答案】C 【详解】因为辅國E的方程为专+若1，所以a=尽=25c=d-公=8-6=2，所以c=万，所以其 左、右焦点的坐标分别为(V2,0),(V2,0),即F(V2,0)为左焦点由直线的方程x+2y-√2=0(2∈R)可 知，该直线过定点（√2,0），即过右焦点，记为点R,如图。 所以△ABF的周长为AB+AF+BF可=AE+BR+AF+BF列=(AF+AF)+(BF+BF),由椭圆的定义可知 A+AF=2a,B+|BF=2a,所以△ABF的周长为2a+2a=4a=4×2√2=8√2.故选：C 3.4-25高二上广西百色平果铝城中学期末已知点R,R为椭圆C:女+上=1左右焦点，点P为椭圆C 43 上的动点，则PPF的取值范围为(） A.[3,4] B.[2,3] C.[1,4 D.L,] 【答案】A 【详解1椭圆c:+二-1的焦点R(-1,0),R0,0),设P2cos8,V3sm0),0≤8<2， 4 3 Pf-pgf-[2ewa++5moj[2cos0-l+(5moj-(cos0-2y°×(cos0+2y'-(cos9-4 所以PP=Vcos26-4)=4-cos26,由于0≤cos20<1,3≤4-cos28≤4，所以PPE的取值 范围为[3,4]故选：A 7/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 【变式训练】 1.212高三下河南名枚暖盟设P为韩圆©号+号1止一点，界，及分别是C的左，右焦点.若 P引-P=1,则P=() B. 5 c.2 7 9 D. 【答案】C 【详解】椭圆c:。+号-1的长半轴长为3，由椭圆的定义可知P+P-2a=6,由P+P网=6 PR-PR =1 93 可得1-子放选：c 2.2526高二上广西玉林八校期中)已知R,R,分别是椭圆+二=1的焦点，过点的直线交椭圆于 169 AB两点，则△ABF的周长是() A.16 B.8 C.12 D.6 【答案】A 【详解】因为椭圆方程为+二=1，所以a=4,由椭圆的定义得A+A=2a=8B+B=2a=8, 169 所以AB+A+BF,=16,所以△4BE的周长是16故选：A 3.若点P在椭圆+=1上，R,R分别是椭圆的两焦点，且∠RPg=45,则△PR面积是() 42 A.4-√2 B.2W2-2 C.2√2+2 D.4+√2 【答案】B 【详解因为椭圆方程为对+艺-1，a=2b=2,:c=后-厅-互-万根据精圆的定义，对 于椭圆上的任意一点P有：P+P引=2a=4,R=2c=22.因为∠RPE=45,在△RPR中使用 余弦定理有RE'=PR'+P'-2 PRPF,cos.∠RPE,∴E'=P+PE2-2PFPP-2 PFPF cos∠RPE.即 816-2p92月92.p四=8-45.8Pa45e-9-2w5-2 故选：B 4.2526高=上广西百色期末)（多选）已知椭圆C:亡+二=1的两个焦点为8，乃，P为C上不与 98 8/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 耳，共线的点，则下列说法正确的是() A.椭圆的焦距为1B.椭圆的离心率为；C。△PRR的周长为8D.PHPg的最大值为9 【答案】BCD 【详解】由椭圆方程可知=9，b2=8,∴c2=1,则a=3,b=2√2，c=1,对于A,焦距2c=2,故 A错误：对于B,离心率e-合号故B正确：对于C,P+P=2a-6,KR2x=2,则P5及 的长为闲网-612-8，数eE:对于网P网2-图-g,当组 仅当P=PF=3时，等号成立，故D正确故选：BCD. 【巩固练习】 1.己知椭圆+y 16+9 =1上一点M与两焦点耳，所夹的角∠EM四=60°，则△FM,的面积为(） A.16V3 B.16√5 C.3√5 D.95 3 【答案】C 【详解】方法一：由椭圆方程知：长轴长2a=8,焦距2c=2×√16-9=2√7；设M=m,M=n, 由椭圆的定义知：m+n=2a=8,在△FM俨中，由余弦定理得： 4c2=2+n2-2 mcos.∠FME=(m+n)-3m=64-3mn=28,解得：mn=12, =msimM,=x12x3 2 2 2 方法二：根据椭圆焦点三角形面积二级结论=心m号得：Ss=9知30°=35，故选：C 2.425高二上四川达州万源中学月考)已知椭圆+’-1中，点P是椭圆上一点，R,R是椭圆的焦 43 点，且∠P至=60，则△P耳耳的面积为 【答案】 【详解】由题意a=2,c=√4-3=1，引=2c=2,P+PE=2a=4,△PRE中， FF'=P+PF-2PEPE引cos∠RPE,所以4=(P+PED2-2PEP-2PEPE,cos60°， P5P四=4，所以Ss号sin.∠P吹=分x4×m60=5故答案为：5. 3.2526高上广西南宁第三中学期中)多选)已知椭圆c:+尤>b>0)的左、右焦点分 别为，，点P在C上，且P的最大值为3，最小值为1，则() 9/40 专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 A.椭圆C的离心率为片 B.△F,PF的周长为4 C.点P可能在以，为直径的圆上 D.若∠RPR=60°，则△F,P耳的面积为√3 【答案】AD 【详解】对于A,由题意a+c=3,a-c=1,故a=2,c=1,所似椭圆C离心率为e=名=放A正 确：对于B,△PB,B的周长为2a+2e=6,故B错误；对于C,cos∠FPE,= IPAI'+IPRI-IREL_ 2PRPR 15)-21P-I--(PR1- 2PR PE 2 PRI+lPEI 1,当 2 PRPE 2 且仅当P=P时，等号成立，因为y=cos8在(O,π)上递减，所以此时∠FP耳最大，此时a=2, c=1,所以∠F,PF的最大值为60°，若点P在以耳，E,为直径的圆上，则∠耳PF=90°，不成立，故C 错误：对于D,由余弦定理F=PF+PF'-2P卧PF cos∠FP=(（P+PF)-2PPE引 1+cos∠RP),即4'=4a2-2PP+cos60),解得PgPR=4,故8=I25血60=5， 故D正确.故选：AD 4.D45商二上广西南宁期利（多选)稀国C云茶-1ab>0)的左，右焦点分别为兵，马，过 耳的直线1与椭圆交于A,B两点，其中A是椭圆的上顶点，△AF是面积为√5的正三角形，则下列说 法正确的是() A.△MR的周长为8B,椭圆C的离心率为9C.品的长为号D.△BK飞的面积为 【答案】AD 【详解】如图 F 由题意：△AF为面积是√3的正三角形，故 s50-反c:=5且a-2c,故c=1=5,a-2:△4B眼的月长为a-8,枚A正确1桶圆 C的离心率e-分，放B错误：设B=x,则B4x,由∠AR-背知∠BR及-由余弦 定理-矿4-m∠9时5可？所以B=4号片.故C错谈 10/40专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 专题05椭圆 考点预览 一、知识清单 1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做椭圆（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 2．椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 一般方程 图形       焦点坐标 ， ，   顶点坐标 ，， ， ，， ， 长轴 长轴，a是长半轴的长 短轴 短轴，b是短半轴的长 焦距 焦距，c是半焦距长 范围 ， ， 离心率 ．(是椭圆上的点) e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 3．直线与椭圆的位置关系，判断方法： 联立消得关于的一元二次方程． 当时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当时，方程无解，直线与椭圆相离． 4.焦点三角形：叫做焦点三角形，其周长为，若，则其面积且椭圆离心率的取值范围为. 5.中点弦公式：直线与椭圆交于两点，为中点，直线的斜率. 若椭圆为，则 ； 若椭圆为，则. 6.共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为; 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为. 二、考点聚焦 地 城 考点01 椭圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末) （多选）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 2．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)已知椭圆焦点在轴且离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·) （多选）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西百色·期末)椭圆的短轴长为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 2．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·广西河池·期末)已知椭圆的一个焦点坐标为，则m的值为（    ） A． B．4 C． D．35 4．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(25-26高二上·河北邯郸魏县六校·) （多选）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 3．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·)已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 椭圆定义与焦三角问题 【经典例题】 1．(25-26高二上·重庆松树桥中学校·月考)已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（   ） A． B．12 C． D．8 3．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(21-22高三下·河南名校联盟·)设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 3．若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西百色·期末)（多选）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【巩固练习】 1．已知椭圆上一点与两焦点所夹的角，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·四川达州万源中学·月考)已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 3．(25-26高二上·广西南宁第二中学·期中) （多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．点P可能在以，为直径的圆上 D．若，则的面积为 4．(24-25高二上·广西南宁·期末) （多选）椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 5．(25-26高二上·广西百色·期末)（多选）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 地 城 考点03 椭圆的离心率问题 【经典例题】 1．(25-26高二上·桂林·期末)已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西柳州·期末)若椭圆的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)设椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为，则椭圆的离心率等于 . 5．(25-26高二上·南宁·期末)已知椭圆的右焦点为，焦距为．直线与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．(20-21高二上·甘肃静宁县第一中学·期末)已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 7．(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为 . 【巩固练习】 1．已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 2．(25-26高二上·广西崇左·期末)已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .   4．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西桂林·期末)设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西玉林·期末)如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（  ）   A． B． C． D． 7．(24-25高二上·广西梧州·期末)已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 地 城 考点04 椭圆性质的应用及最值问题 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西贵港联考·期中)已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为 ． 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西玉林八校·期中) （多选）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率 C．直线的方程为 D．直线的方程为 2．(25-26高二·北海·期末)记椭圆C的左焦点为F，焦距为2，上、下顶点分别为点P在C上（异于点），记，，已知，则直线与椭圆C的两个交点的横坐标之和为 . 3．(25-26高一上·河南驻马店“逐梦计划”环际大联考·) （多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最小值为 【巩固练习】 1．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．(24-25高二上·广西平果·期中) （多选）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆 C．若点分别为椭圆的左､右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 D．若点分别为椭圆的左､右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为. 4．(24-25高二上·广西示范性高中·期中) （多选）已知分别为椭圆的左、右焦点，若点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上一动点，下列结论中正确的有（   ） A．的范围为 B．若为直角三角形，则的面积为 C．若点，则的最大值为 D．直线的斜率之积为 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知椭圆过点且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 2．已知椭圆经过点，离心率为，点O为坐标原点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于A，B两点，与轴交于点P，设线段AB中点为M． （i）证明：直线OM的斜率与直线的斜率之积为定值； （ii）如图，当时，过点M作垂直于的直线，交轴于点Q，求的取值范围． 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西河池·期末)已知椭圆的长轴长为，焦点为，，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，当直线垂直于椭圆长轴时，线段的长度为． (1)求椭圆的方程； (2)当直线的倾斜角为时，求以线段为直径的圆的标准方程． 2．(25-26高二上·广西桂林·)已知圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线和线段交于点，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值． 3．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 4．(25-26高二上·广西百色·期末)已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程. 5．(25-26高二上·桂林·期末)已知椭圆C的左焦点为，且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点F作斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点. （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）是否存在椭圆C上一点Q及y轴上一点，使四边形PMQN为菱形？若存在，求实数t的值，若不存在，请说明理由. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·南宁·期末)已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 2．(25-26高三上·陕西西安西北工业大学附属中学·三模)已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值；（ii）若，求的面积. 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，求反射光线所在的直线方程； (3)设点，点为该椭圆上任一点，求的最大值． 4．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，上顶点为，且，的周长为6，过右焦点的直线与交于、两点（其中在轴上方）. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)若直线、与轴分别交于、两点，判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论. 5．已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2. (1)求椭圆M的方程； (2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由. 三、达标检测 1．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 3．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．1 D．2 5．(24-25高二上·广西合浦县·期中)阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为(    ). A． B．2 C． D． 6．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·广西来宾高级中学·开学考)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 8．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 11．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中) （多选）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 11．(25-26高二上·湖南长沙南雅中学·) （多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆上存在点，使得 D．的最小值为2 12．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 . 13．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 14．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为 ． 15．已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设过点的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，当的面积最大时，求l的方程． 16．(25-26高二上·陕西山阳中学·)已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点． （i）若的面积为，求； （ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上． 试卷第1页，共3页 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题05椭圆 高二数学寒假强化训练导学案 专题05椭圆 考点预览 一、知识清单 1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做椭圆（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 2．椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 一般方程 图形       焦点坐标 ， ，   顶点坐标 ，， ， ，， ， 长轴 长轴，a是长半轴的长 短轴 短轴，b是短半轴的长 焦距 焦距，c是半焦距长 范围 ， ， 离心率 ．(是椭圆上的点) e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 3．直线与椭圆的位置关系，判断方法： 联立消得关于的一元二次方程． 当时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当时，方程无解，直线与椭圆相离． 4.焦点三角形：叫做焦点三角形，其周长为，若，则其面积且椭圆离心率的取值范围为. 5.中点弦公式：直线与椭圆交于两点，为中点，直线的斜率. 若椭圆为，则 ； 若椭圆为，则. 6.共焦点的椭圆方程： 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为; 凡是与椭圆有共同焦点的椭圆方程均可设为. 二、考点聚焦 地 城 考点01 椭圆的标准方程及其应用 【经典例题】 1．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末) （多选）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【答案】BD 【详解】方程可化为，表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确；由方程可得，，，故焦距，C错误，D正确.故选：BD. 2．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)已知椭圆焦点在轴且离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆变形为，因为焦点在轴，所以，所以离心率，解得.故选：D 3．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·) （多选）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 【答案】BCD 【详解】A选项，因为，则,且，所以的取值范围是，故A选项错误；B选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以焦点坐标为；C选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，，则椭圆所包围的区域面积为，且，则C选项正确；D选项，时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，则，，，则当，时，离心率表示单调递减的函数，则随着越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D选项正确.故选：BCD 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西百色·期末)椭圆的短轴长为（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知，∴，则短轴长为.故选：C. 2．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上，所以，解得，所以椭圆的长轴长为．故选：B. 3．(25-26高二上·广西河池·期末)已知椭圆的一个焦点坐标为，则m的值为（    ） A． B．4 C． D．35 【答案】D 【详解】由于椭圆的一个焦点坐标为，得焦点在轴上，故，根据，得.故选：D 4．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得， 即实数的取值范围是.故选：A 5．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点坐标为，点坐标为，由中点坐标公式得，即， 将代入，得点的轨迹方程为：，即. 故选：B 6．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设长轴长为2a，焦距为2c，由题可知，即万千米，因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米，则，可得万千米，因此，所以椭圆的方程为.故选：A. 【巩固练习】 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)椭圆的焦距为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意得，则其焦距为2.故选：B. 2．(25-26高二上·河北邯郸魏县六校·) （多选）关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【详解】由椭圆的方程可得，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误；短轴端点为，则一个顶点为，故B正确；因为，所以椭圆的焦距为，故C错误；离心率为，故D正确.故选：BD 3．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·)已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆，所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件．故选：B． 4．(24-25高二上·广西合浦县·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，则， 故的标准方程为，故选：A． 地 城 考点02 椭圆定义与焦三角问题 【经典例题】 1．(25-26高二上·重庆松树桥中学校·月考)已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a，已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得，由椭圆中，可得，所以椭圆的标准方程为．故选：C． 2．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知椭圆，点，若直线与椭圆交于两点，则的周长为（   ） A． B．12 C． D．8 【答案】C 【详解】因为椭圆的方程为，所以，所以，所以其左、右焦点的坐标分别为，即为左焦点.由直线的方程可知，该直线过定点，即过右焦点，记为点，如图. 所以的周长为,由椭圆的定义可知，所以的周长为.故选：C. 3．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆的焦点，设，，所以，由于，，所以的取值范围为.故选：A 【变式训练】 1．(21-22高三下·河南名校联盟·)设P为椭圆上一点，分别是C的左，右焦点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的长半轴长为3，由椭圆的定义可知，由，可得．故选：C 2．(25-26高二上·广西玉林八校·期中)已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆方程为，所以，由椭圆的定义得， 所以，所以的周长是16.故选：A 3．若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆方程为，，.根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有：，. 因为，在中使用余弦定理有..即，..故选：B 4．(25-26高二上·广西百色·期末)（多选）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【答案】BCD 【详解】由椭圆方程可知，，∴，则，，，对于A，焦距，故A错误；对于B，离心率，故B正确；对于C，，，则的周长为，故C正确；对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BCD. 【巩固练习】 1．已知椭圆上一点与两焦点所夹的角，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由椭圆方程知：长轴长，焦距；设，，由椭圆的定义知：，在中，由余弦定理得：，解得：，. 方法二：根据椭圆焦点三角形面积二级结论得：.故选：C. 2．(24-25高二上·四川达州万源中学·月考)已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【答案】 【详解】由题意，，，，中，，所以， ∴，所以.故答案为：． 3．(25-26高二上·广西南宁第二中学·期中) （多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．的周长为4 C．点P可能在以，为直径的圆上 D．若，则的面积为 【答案】AD 【详解】对于A，由题意，，故，，所以椭圆C离心率为，故A正确；对于B，的周长为，故B错误；对于C，，当且仅当时，等号成立，因为在上递减，所以此时最大，此时，，所以的最大值为60°，若点P在以，为直径的圆上，则，不成立，故C错误；对于D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确.故选：AD 4．(24-25高二上·广西南宁·期末) （多选）椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，其中是椭圆的上顶点，是面积为的正三角形，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．椭圆的离心率为 C．的长为 D．的面积为 【答案】AD 【详解】如图，由题意：为面积是的正三角形，故且，故；的周长为，故A正确；椭圆的离心率，故B错误；设，则，由知；由余弦定理，所以，故C错误；，故D正确，故选AD. 5．(25-26高二上·广西百色·期末)（多选）已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的离心率为 C． 的周长为8 D．的最大值为9 【答案】BCD 【详解】由椭圆方程可知，，∴，则，，，对于A，焦距，故A错误；对于B，离心率，故B正确；对于C，，，则的周长为，故C正确；对于D，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：BCD. 地 城 考点03 椭圆的离心率问题 【经典例题】 1．(25-26高二上·桂林·期末)已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率.故选:A 2．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，所以，由椭圆定义得，，因为，在中由勾股定理得，解得，所以，，在中由勾股定理得，从而可得.故选：A 【变式训练】 1．(24-25高二上·广西柳州·期末)若椭圆的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的焦距为，因为短轴长是焦距的倍，所以，即， 所以，所以离心率.故选：B 2．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设，∴，∵，∴，∴离心率.故选：C． 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由椭圆定义得，所以，即，，因为，所以，即，所以，所以.故选. 4．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)设椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为，则椭圆的离心率等于 . 【答案】 【详解】设椭圆的半焦距为c，即，由题意可知，即，则，所以，整理得，所以，即.故答案为：. 5．(25-26高二上·南宁·期末)已知椭圆的右焦点为，焦距为．直线与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为轴，右焦点的坐标为，所以点的横坐标为,将代入直线得：，解得，因此点的坐标为,因为点在椭圆上，代入得：，又因为，代入上式得：，整理得：， 两边除以得：，解得或，因为，所以.故选：A. 6．(20-21高二上·甘肃静宁县第一中学·期末)已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由点满足，得，即是直角三角形，原点是斜边的中点，因此，又点在椭圆上，则，即，整理得，即，而，因此，所以椭圆离心率的取值范围为.故答案为： 7．(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为点满足，是的中点，所以三角形是直角三角形，且.设，则.所以.所以.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为. 故答案为： 【巩固练习】 1．已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】若的长半轴为3，即，又，所以的周长小于12，不符题意． 所以的长半轴为，，解得，所以椭圆，所以的离心率为．故答案为： 2．(25-26高二上·广西崇左·期末)已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，从而.因，则，又由题可得，则.故选：A 3．(24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 .   【答案】/ 【详解】设，，因为在双曲线上，所以，又四边形为矩形，所以，所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则，所以离心率为．故答案为：． 4．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，由椭圆的定义得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故点在轴上.如图，在直角中，，在中，，化简得，∴椭圆的离心率.故选：C. 5．(24-25高二上·广西桂林·期末)设为坐标原点，为椭圆的左焦点，是该椭圆上的点，且是正三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆另一焦点为，不妨设在第二象限，连接，由题意，因为为等边三角形，即可得：，则，则，由椭圆定义可知：，故可得：．故选：B 6．(24-25高二上·广西玉林·期末)如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（  ）   A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，则，又点在圆（）上，所以，所以点的轨迹即为椭圆，所以，，，所以这个椭圆的离心率为.故选：A. 7．(24-25高二上·广西梧州·期末)已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以解得因为所以两边平方得：又因为整理得：因为不等式两边同时除以，得：；解得：故选：A 8．(24-25高二上·广西百色普通高中·期末)已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设为右焦点，半焦距为，，，为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，由，，则，，，所以，从而有，故，当且仅当，即时取等，所以的最小值为.故答案为：． 地 城 考点04 椭圆性质的应用及最值问题 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西贵港联考·期中)已知椭圆C的两焦点为，P，Q为椭圆C上的动点，的周长为10，则 的最大值为 ． 【答案】 【详解】椭圆C的两焦点为，P为椭圆C上的动点，的周长为10，，即，又Q为椭圆C上的动点，到焦点距离的最大值为， 的最大值为.故答案为：. 2．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【详解】由椭圆方程可知，且焦点在x轴上，则，  因为，可知点在椭圆内，又因为，即，则，当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，所以的最小值为2．故选：A． 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西玉林八校·期中) （多选）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的离心率 C．直线的方程为 D．直线的方程为 【答案】BD 【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，，如图： 则，，.椭圆的长轴长为，离心率，故A错误，B正确；设，，，，则，，作差得，为线段的中点，，，则，直线的方程为，即，故C错误，D正确.故选：BD 2．(25-26高二·北海·期末)记椭圆C的左焦点为F，焦距为2，上、下顶点分别为点P在C上（异于点），记，，已知，则直线与椭圆C的两个交点的横坐标之和为 . 【答案】 【详解】由可得：， 当在轴右侧，此时设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，则由于，可得，当在轴左侧，此时设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，则由于，可得，综上总有：，再设点，根据斜率公式可知：，代入，可得：，又因为点在椭圆上，所以，即可得，又因为焦距为2，所以，即，代入可得，所以，即，则直线方程为：，与椭圆联立可得：，解得或，所以直线与椭圆C的两个交点的横坐标之和为，故答案为：. 3．(25-26高一上·河南驻马店“逐梦计划”环际大联考·) （多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使 B．的周长为16 C．的最大面积为12 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆有交点，所以假设成立，即存在点使得，故A正确；对于B：的周长为，故B错误；对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故C正确；对于D： ，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【巩固练习】 1．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的离心率，得，， 由，，，可得，直线的斜率为，方程为，椭圆方程，即，联立直线和椭圆方程，可得，由，解得， 则，即，由，解得，.故选：C 2．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】由已知条件可知，且，蒙日圆方程为，蒙日圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，则或，又因为，所以，或，解得或，故选：B. 3．(24-25高二上·广西平果·期中) （多选）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．若，则椭圆的离心率为 B．若椭圆的离心率越趋近于0，椭圆越接近于圆 C．若点分别为椭圆的左､右焦点，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则的周长为 D．若点分别为椭圆的左､右顶点，点P为椭圆上异于点的任意一点，则直线的斜率之积为. 【答案】BCD 【详解】，且,解得离心率 ，选项A错误；根据椭圆离心率的性质“离心率越小椭圆越圆”，选项B正确；根据椭圆的定义，，所以的周长为，选项C正确；根据题意，，设点 ，其中，所以，选项D正确. 故答案为：BCD. 4．(24-25高二上·广西示范性高中·期中) （多选）已知分别为椭圆的左、右焦点，若点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上一动点，下列结论中正确的有（   ） A．的范围为 B．若为直角三角形，则的面积为 C．若点，则的最大值为 D．直线的斜率之积为 【答案】ACD 【详解】对于A，，设，，则，故，由于，故，A正确，对于B，当时，此时，故的面积为，故B错误，对于C，由于，又，所以， 所以，当且仅当三点共线时，且在之间时取等号，故C正确．对于D，由椭圆，得，设， 则，又，则，所以，故D正确；故选：ACD 地 城 考点05 解答题 【经典例题】 1．(25-26高二上·广西钦州·期末)已知椭圆过点且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，所以. 因为椭圆过点，所以， 将代入得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，所以椭圆的右焦点为， 设直线的方程为，，如图， 所以， 由消去得，所以， 所以， 解得，所以直线的方程为，即. 2．已知椭圆经过点，离心率为，点O为坐标原点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于A，B两点，与轴交于点P，设线段AB中点为M． （i）证明：直线OM的斜率与直线的斜率之积为定值； （ii）如图，当时，过点M作垂直于的直线，交轴于点Q，求的取值范围． 【详解】（1）∵椭圆经过点，离心率为 ，又 ，解得 ∴椭圆E的标准方程为 （2）（i）证明：设，， 两式作差得：，即 故，得证 （ii）当时，，点，联立， 消元得， 由韦达定理得，， ∴直线方程为 令，解得，即，， 得的取值范围是 【变式训练】 1．(25-26高二上·广西河池·期末)已知椭圆的长轴长为，焦点为，，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，当直线垂直于椭圆长轴时，线段的长度为． (1)求椭圆的方程； (2)当直线的倾斜角为时，求以线段为直径的圆的标准方程． 【详解】（1）依题意可得，故，则椭圆方程为，设， 则当直线垂直于椭圆长轴时直线的方程为，代入得， 则，，则，，则， 又线段的长度为，则，即，故椭圆的方程为. （2）由（1）知，设，， 又直线倾斜角为，故直线的方程为，代入并整理得， 易知，则，， 因此， 又， 故以线段为直径的圆的圆心为，半径， 故所求圆的标准方程为. 2．(25-26高二上·广西桂林·)已知圆，，是圆上的动点，线段的垂直平分线和线段交于点，设点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值． 【详解】（1）由题意可知圆心，半径，连接，易知， 所以，即点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴，短轴，焦距分别为，即， 则的方程为； （2）显然直线斜率存在，不妨设，， 联立直线l与椭圆方程有，整理得， 所以，则， 由弦长公式可知， 原点到l的距离，则， 令，则，当且仅当时取得等号， 所以（为坐标原点）面积的最大值为.   3．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 【详解】（1）由题意离心率，所以， 又在椭圆C上，所以， 与上式联立，解得，则椭圆的方程为. （2）由（1）得，则，所以.如图： 当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C的方程可得， 所以，所以； 当直线l不垂直x轴时，设斜率为（时，），则方程为， 联立，可得，， 则， 所以，则， 令，则，所以，则， 因为，所以， 因为在上单调递减，所以， 综上，的最大面积，此时直线l的方程为. 4．(25-26高二上·广西百色·期末)已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍. (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； (3)斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【详解】（1）由题意，可得，   解得，    所以椭圆C的方程为. （2）是定值.理由如下：由题意得点B坐标为， 设，∵P在椭圆C上，∴， ∵直线和的斜率都存在且不为0，则，，    ∴，    所以直线AP和BP的斜率之积是为. （3）如图，设直线l的方程为， 设，，由，得， ∴，则，且，，    则，    点A到直线MN的距离为， 则 ，   当且仅当，即时面积最大，且最大值为，   此时直线l的方程为. 5．(25-26高二上·桂林·期末)已知椭圆C的左焦点为，且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点F作斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点. （ⅰ）若的面积为，求直线l的方程； （ⅱ）是否存在椭圆C上一点Q及y轴上一点，使四边形PMQN为菱形？若存在，求实数t的值，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）依题意，椭圆的右焦点，设该椭圆标准方程为， ，则，， 所以椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）设直线的方程为，， 由消去得，， 则的面积 ，整理得，解得， 所以直线的方程为. （ⅱ）由（ⅰ）知， 则线段的中点，假定在椭圆C上存在点Q及点，使四边形PMQN为菱形， 则，且过点，直线方程为， 令，得，即点，则点， 由点在椭圆上，得，整理得， 由，得，即方程无解， 所以在椭圆C上不存在点Q及y轴上点，使四边形PMQN为菱形. 【巩固练习】 1．(25-26高二上·南宁·期末)已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【详解】（1）设，，， 则动点到定点，的距离之和为， 又，满足，所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设的轨迹方程为， ，，，所以，则椭圆的标准方程为. （2）令，解得，所以，，直线的斜率为， 直线的斜率为，. 因为点在椭圆上，满足，所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 2．(25-26高三上·陕西西安西北工业大学附属中学·三模)已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. (1)求的方程； (2)设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值；（ii）若，求的面积. 【详解】（1）由题可知，,因此,因此椭圆. （2）（i）设,则过点且斜率为1的直线可设为, 设,且.点都在椭圆上， 因此有,两式相减，得, 两边同除,得：,因此, 即点在定直线上，因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知, 变形可得，故为定值. （ii）由利用斜率夹角公式：设的斜率为,的斜率, 则,因在第三象限，,解得,即,故. 又因为,联立得将其代入椭圆方程,得：,解得, 因为故.联立直线与椭圆方程,得， 由韦达定理可知，,因此.. 故的面积为. 3．(25-26高二上·广西钦州第一中学·期中)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，求反射光线所在的直线方程； (3)设点，点为该椭圆上任一点，求的最大值． 【详解】（1）由，得，得，即得①， 又椭圆经过点，得②，  联立①②，解得， 故椭圆方程为. （2）由（1），则点关于轴的对称点为，由对称性可知反射光线过， 因，则反射光线所在的直线方程为：， 即 （3）设，则， 所以， 又，则当时，取得最大值， 所以的最大值为. 4．(25-26高二上·广西示范性高中·期中)已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，上顶点为，且，的周长为6，过右焦点的直线与交于、两点（其中在轴上方）. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)若直线、与轴分别交于、两点，判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论. 【详解】（1）由题意可知， 解之得， 所以椭圆：； （2）由上知，结合题意可设， 联立直线l与椭圆方程，化简得，则， 易知， 令，由对勾函数的性质知在上单调递增， 则，即，当且仅当时取得最大值； （3）易知，则，所以， 同理可得，即， 可知， 由上知，代入上式整理得， 即，所以点在以为直径的圆上. 5．已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2. (1)求椭圆M的方程； (2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为（a>b>0）的离心率为， 过椭圆右焦点的弦长的最小值为， 所以a＝2，，，所以椭圆M的方程为. （2）设直线l的方程为m(x－2)+ny＝1，，， 由椭圆的方程，得. 联立直线l的方程与椭圆方程，得， 即，， 所以， 化简得，代入直线l的方程得， 即，解得x＝－2，y＝－4，即直线l恒过定点. 三、达标检测 1．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知椭圆的方程为，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，所以，，. 故选：B. 2．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 【答案】D 【详解】因为椭圆，所以椭圆长轴长为，由椭圆定义知，所以.故选：D 3．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，设，则，又由椭圆定义可知，则离心率，故选D. 4．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，椭圆与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点P是过左焦点F1且垂直x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB//OP，则椭圆的焦距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意知，，则点，所以直线BA的斜率为，直线PO的斜率为，由，得，所以，即，又，所以，所以焦距为.故选：D 5．(24-25高二上·广西合浦县·期中)阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为(    ). A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得，则，因为，所以，则，所以椭圆C的焦距为：故选：D. 6．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆，为两个焦点，为椭圆上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以，因为，所以，而，所以，所以的面积为.故选：C. 7．(24-25高二下·广西来宾高级中学·开学考)已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( ) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 8．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，；由点在上，则有，即，所以；又，所以，，则；如图1，由焦点的内切圆可得：，，，所以；又，所以，即，故选：A． 9．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则　　 A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】如图所示:设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，∴，，设，，则在中由余弦定理得，，∴化简得，该式可变成．故选A． 10．(24-25高二上·广西柳州高级中学·期中)已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.得四边形为平行四边形.由椭圆的定义有，由余弦定理有：，即，所以，当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.所以等号不能成立,即即，所以.故选：A 11．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中) （多选）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12 C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为 【答案】AD 【详解】因为椭圆，所以，且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为，焦距为，短半轴长为，离心率．故选：AD 12．(25-26高二上·湖南长沙南雅中学·) （多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（   ） A．的最大值为2 B．椭圆的离心率为 C．椭圆上存在点，使得 D．的最小值为2 【答案】ACD 【详解】由椭圆，可得，则，对于A，点是椭圆上一点，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确；对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确；对于C，取椭圆的上顶点，且，可得，则，所以椭圆存在点，使得，所以C正确；对于D中，由椭圆，可得，且，设，其中，则，所以， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确.故选：ACD. 13．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，则， 故的标准方程为.故答案为：. 14．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 【答案】4 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点，由椭圆，得，，是的中点，是的中点，为的中位线， ，由椭圆的定义得．故答案为：4． 15．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/0.5 【详解】设，，，则直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为，令，得，即，因为，所以，即，解得．故答案为： 16．已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设过点的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，当的面积最大时，求l的方程． 【详解】（Ⅰ）由题意知，，，，， 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）当轴时不合题意，由题意设直线，，． 联立，整理得． 当，即，且，． 从而． 又点O到直线MN的距离．所以的面积． 设，则，． 因为，当且仅当，即时等号成立，且满足． 所以，当的面积最大时，直线的方程为或． 17．(25-26高二上·陕西山阳中学·)已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点． （i）若的面积为，求； （ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上． 【详解】（1）由可得，所以椭圆方程为. （2）（i）设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程可得，消去可得， 由韦达定理可得，且，即， 即，即， 化简可得，即， 化简可得，所以，所以； （ii）椭圆左顶点，右顶点， 直线的方程为，直线的方程为， 设，则，即， 由，代入可得， 又，则，， 代入可得， 化简可得，解得，所以点在定直线上. 试卷第1页，共3页 14 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $