7.2 一元一次不等式 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统梳理从定义（含一个未知数且次数为1的不等式）到解法（去分母、去括号等步骤），再到整数解、实际问题抽象及应用的完整脉络，搭建递进式学习支架。 资料通过对比一元一次方程强化定义理解培养抽象能力，规范解法步骤渗透推理意识，结合劳动实践、购物等实际情境问题发展模型意识。课中例题与变式辅助教师教学，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升应用能力。

第7章 7.2 一元一次不等式 题型1 一元一次不等式的定义 题型2 解一元一次不等式 题型3 一元一次不等式的整数解 题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型5 一元一次不等式的应用 ▉题型1 一元一次不等式的定义 【知识点的认识】 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣1＞0 B．﹣1＜2 C．3x﹣2y≤﹣1 D．y2+3＞5 2．下列式子中，一元一次不等式有（　　） ①x+2x2＞1；②2x﹣y＞0；③1＞0；④2x﹣3＞5；⑤1；⑥3x2﹣x． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．写出一个解集为x＜5的一元一次不等式： 　 ． ▉题型2 解一元一次不等式 【知识点的认识】 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 4．若关于x，y的方程组的解满足x+y＜1，则|m+4|﹣|2﹣m|的化简结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2 5．关于x，y的方程组的解，满足x﹣y＜4，则k的取值范围是（　　） A．k＞5 B．k≥5 C．k＜5 D．k≤5 6．不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．对实数m，n定义一种新运算，规定：f（m，n）＝mn+an﹣3（其中a为非零常数）；例如：f（1，2）＝1×2+a×2﹣3；已知f（2，3）＝9，给出下列结论： ①a＝2； ②若f（1，n）＞0，则n＞1； ③若f（m，m）＝2m，则； ④f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为3； 以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则下列不等式符合的是（　　） A．x+1≥2 B．3（x﹣1）≤2 C．﹣2x﹣1≤3 D． 9．不等式x+2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．若关于x，y的方程组的解满足3x+2y＞7，则m的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 11．若关于x的不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 12．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 　 ． 13．已知关于x的不等式ax＞b的解集是x＞﹣3，则不等式bx＞a的解集是 ． 14．若关于x的不等式（1﹣a）x＜3可化为，则a的取值范围是 　 ． 15．代数式的值不小于，则x的取值范围是 　 ． 16．关于x的一元一次方程的解是非负数，则k的取值范围是 　 ． 17．以下是小力同学解不等式的过程，请你完成下列任务． 解：去分母，得2（x﹣1）﹣3（2x+4）≤﹣3…第一步 去括号，得2x﹣2﹣6x﹣12≤﹣3…第二步 移项合并同类项，得﹣4x≤11…第三步 系数化为1，得第四步 任务一：小力同学从第 　 　 步开始出错； 任务二：请写出正确的解答过程，并将解集表示在数轴上． 18．已知方程组的解满足x+y≥4． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣4|+|3﹣m|． 19．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2，把y＝2代入①，得x＝2，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　 ； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣1，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　 　 ． 20．下面是小乐同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得x+4＜2（2x+1）﹣6，第一步 去括号，得x+4＜4x+1﹣6，第二步 移项，得x﹣4x＜1﹣6﹣4，第三步 合并同类项，得﹣3x＜﹣9，第四步 两边都除以﹣3，得x＞3．第五步 任务： （1）第一步的依据是 　 　 ．（填序号） ①不等式的基本性质1 ②不等式的基本性质2 ③不等式的基本性质3 （2）第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ． （3）直接写出该不等式正确的解集． 21．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组 解方程组：， 解：， 得x+y＝▇，①﹣②得x﹣y＝▲， 则，解得． 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“x+y”和“x﹣y”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组：． 任务： （1）直接写出研究报告中“▇”处空缺的内容为 　 　 ，“▲”处空缺的内容为 　 　 ． （2）应用整体思想完成练习中题目的解答． （3）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜1，请直接写出k的取值范围． ▉题型3 一元一次不等式的整数解 【知识点的认识】 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 22．定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．在满足不等式7﹣2（x+1）＞0的x取值中，x可取的最大整数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．无法确定 24．由绝对值的定义可知|a|表示数轴上数a的点到原点的距离，|a﹣1|表示数轴上数a的点到1的距离，根据以上信息可知不等式|x﹣2|+|x+3|≤10的整数解的个数为 　 　 ． 25．不等式x﹣2≤2的最大整数解是 　 　 ． 26．不等式的正整数解的个数是 　 　 ． 27．已知有理数m、n，定义一种新运算“*”，规定：m*n＝am﹣bn+5（a、b均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10，则关于x的不等式x*（3x﹣2）＜﹣5的最小整数解为 　 　 ． 28．已知不等式的最大整数解是关于x的方程3m﹣（2+x）＝6的解，求m的值． 29．对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式x＞0和不等式x＜3只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式x＞0和不等式x＜3是“双整”的． （1）判断不等式2x﹣3＜5和x﹣1≥0是否是“双整”的并说明理由； （2）若不等式2x﹣a+1＜0和x＞1是“双整”的，求a的整数值． 30．解下列不等式： （1）解不等式8﹣3（x+2）≥2（x﹣4），并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式的非正整数解． 31．解不等式2（x﹣2）≥5（x﹣1）+3，并求出满足它的最大整数解． 32．综合与探究． 对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b为常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b，F（2，﹣3）＝2a﹣3b．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程F（x，3y）＝8的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为非负整数，求m的值． （4）若关于x的不等式F（﹣3x，4）＞2n恰好有3个正整数解，求n的取值范围． ▉题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式 【知识点的认识】 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 33．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（　　） A．30+（3﹣0.5）x≤300 B．300﹣30x﹣0.5≤3 C．30+（3﹣0.5）x≥300 D．0.5+300﹣30x≥3 34．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过30km/h．用v（km/h）表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　） A．v≤30 B．v＜30 C．v＞30 D．v≥30 35．某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，设打x折销售，则下列说法正确的是（　　） A．依题意可得150x﹣100≥100×20% B．依题意可得 C．该商品最多打8折 D．该商品最多打9折 36．如图①，一个容量为500mL的杯子中装有200mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（　　） A．200+4x＜500 B．200+4x≤500 C．200+4x＞500 D．200+4x≥500 37．某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为0.8×（2x﹣100）＜900，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　　） A．买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到900元 B．买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 38．语句“x的与3的差不超过5”可以表示为（　　） A．3≤5 B．3≥5 C．5 D．3＝5 39．列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于﹣3： ． 40．a与8的差不大于0，用不等式表示为 　 ． 41．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如右表： 原 料 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/千克） 600 100 现在用这两种原料10千克配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x千克应满足的不等式　 　 ． ▉题型5 一元一次不等式的应用 【知识点的认识】 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 42．“吕梁木枣”是山西省的主栽品种、栽培历史已有1300多年，“吕梁木枣”自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一．“家家利”超市购进一批“吕梁木枣”，一箱的进价为18元，标价为21元，在端午节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 　 　 折． 43．“沙金红杏”是享誉三晋、名扬海外的珍稀果品，被称为山西三大名杏之首．现有A，B两个品种的“沙金红杏”，A品种的进价为12元/千克，B品种的进价为9元/千克，杜师傅计划采购这两个品种的“沙金红杏”共50千克，且总费用不超过540元，那么最多能采购A品种“沙金红杏”　 　 千克． 44．黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 　 　 折． 45．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 46．根据以下素材，完成任务． 背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5个A种娃娃、4个B种娃娃，共需250元；若买3个A种娃娃、3个B种娃娃，共需165元． 素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 该商店在无促销活动时，求A种娃娃和B种娃娃的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两种娃娃共18个，其中A款盲盒m个（0＜m＜18），若在线下凭会员卡购买，共需要　 　 元；若在线上淘宝店购买，共需要　 　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？ 47．文具批发商城有甲、乙两种文具．已知甲文具的批发单价比乙文具的批发单价少10元；8件甲文具的总价正好和7件乙文具的总价相等． （1）求甲、乙两文具的批发单价各是多少？ （2）学校商店计划从该批发部购进以上两种文具．若所用资金为590元，且购进甲文具不超过5件，则该店购进乙文具至少多少件？ 48．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费． （1）若小明想要购买的物品价值为250元，则他到哪个商场购物花费更少？ （2）顾客到哪家商场购物花费少？并结合你的分析给出一个合理化的购物方案． 49．学校决定购买A，B两种型号小音箱，若购买A型小音箱3台，B型小音箱6台共需480元，若购买A型小音箱2台，B型小音箱3台共需270元． （1）求A，B两种型号小音箱每台多少元？ （2）若用不超过1700元去购买A，B两种型号小音箱共32台，则最多可购买A型小音箱多少台？ 50．某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息． 信息1： 车型 座位数（人/辆） 租金（元/辆） 30座客车 30 300 45座客车 45 400 信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带． 请根据以上信息，完成以下任务． 任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人． 任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案． 51．为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 52．“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元， （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ （2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，最多可购买多少本《论语》？ 53．“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，积极开展“书香少年、书香班级”评选活动，现决定购买《把自己作为方法》和《夜晚的潜水艇》两种书共90本，已知购买1本《把自己作为方法》和1本《夜晚的潜水艇》共需117元；购买2本《把自己作为方法》和5本《夜晚的潜水艇》共需390元． （1）《把自己作为方法》和《夜晚的潜水艇》的单价分别为多少元？ （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过5200元，则该校最多可以购买《把自己作为方法》多少本？ 54．综合与实践： 【问题情境】 2024年3月4日，“定山西•向未来”城市智趣跑活动在山西太原开幕．本次活动，激扬全民运动热情．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：某商店在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：该商店开展促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【解决问题】 （1）该商店在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ 【拓展提升】 （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店成为会员购买，共需要 　 　 元；若在线上淘宝店购买，共需要 　 　 元．（均用含m的代数式表示） 【综合应用】 （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 55．植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗． （1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量． （2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 7.2 一元一次不等式 题型1 一元一次不等式的定义 题型2 解一元一次不等式 题型3 一元一次不等式的整数解 题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型5 一元一次不等式的应用 ▉题型1 一元一次不等式的定义 【知识点的认识】 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣1＞0 B．﹣1＜2 C．3x﹣2y≤﹣1 D．y2+3＞5 【答案】A 【解答】解：A、是一元一次不等式； B、不含未知数，不符合定义； C、含有两个未知数，不符合定义； D、未知数的次数是2，不符合定义； 故选：A． 2．下列式子中，一元一次不等式有（　　） ①x+2x2＞1；②2x﹣y＞0；③1＞0；④2x﹣3＞5；⑤1；⑥3x2﹣x． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：一元一次不等式有：④2x﹣3＞5；⑤1；⑥3x2﹣x． 一元一次不等式有3个． 故选：B． 3．写出一个解集为x＜5的一元一次不等式：x﹣5＜0（答案不唯一）　 ． 【答案】x﹣5＜0（答案不唯一） 【解答】解：解集为x＜5的一元一次不等式可以是x﹣5＜0． 故答案为：x﹣5＜0（答案不唯一）． ▉题型2 解一元一次不等式 【知识点的认识】 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 4．若关于x，y的方程组的解满足x+y＜1，则|m+4|﹣|2﹣m|的化简结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：解方程组得， ∵x+y＜1， ∴1， 解得m＜﹣4， 则|m+4|﹣|2﹣m| ＝﹣m﹣4﹣（2﹣m） ＝﹣m﹣4﹣2+m ＝﹣6， 故选：B． 5．关于x，y的方程组的解，满足x﹣y＜4，则k的取值范围是（　　） A．k＞5 B．k≥5 C．k＜5 D．k≤5 【答案】C 【解答】解： 由①+②得：4x﹣4y＝4k﹣4 ∴x﹣y＝k﹣1， ∵x﹣y＜4， ∴k﹣1＜4 解得：k＜5， 故选：C． 6．不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1， 故选：C． 7．对实数m，n定义一种新运算，规定：f（m，n）＝mn+an﹣3（其中a为非零常数）；例如：f（1，2）＝1×2+a×2﹣3；已知f（2，3）＝9，给出下列结论： ①a＝2； ②若f（1，n）＞0，则n＞1； ③若f（m，m）＝2m，则； ④f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为3； 以上结论正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵f（2，3）＝9， ∴2×3+3a﹣3＝9， 解得：a＝2， 故①正确； ∵f（1，n）＞0， ∴n+2n﹣3＞0， 解得：n＞1， 故②正确； ∵f（m，m）＝2m， ∴m2+2m﹣3＝2m， 解得：m＝±， 故③不正确； 由题意得：f（n，n）﹣2n＝n2+2n﹣3﹣2n＝n2﹣3， ∵n2≥0， ∴n2﹣3≥﹣3， ∴f（n，n）﹣2n有最小值，最小值为﹣3， 故④不正确； 所以，上列结论正确的个数是2个， 故选：B． 8．已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则下列不等式符合的是（　　） A．x+1≥2 B．3（x﹣1）≤2 C．﹣2x﹣1≤3 D． 【答案】C 【解答】解：A．x+1≥2的解集为x≥1，不符合题意； B．3（x﹣1）≤2的解集为x，不符合题意； C．﹣2x﹣1≤3的解集为x≥﹣2，符合题意； D．x≥4﹣x的解集为x，不符合题意； 故选：C． 9．不等式x+2＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：解不等式可得x＞2． 在数轴上表示D选项是正确的． 故选：D． 10．若关于x，y的方程组的解满足3x+2y＞7，则m的最小整数解为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：， ①+②得：3x+2y＝4m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足3x+2y＞7， ∴4m+2＞7， 解得：m， ∴m的最小整数解为2． 故选：C． 11．若关于x的不等式的解集表示在如图所示的数轴上，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】D 【解答】解：解不等式得：x≥k﹣3， 由数轴可知不等式的解集为x≥﹣1， ∴k﹣3＝﹣1， ∴k＝2， 故选：D． 12．已知关于x，y的方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 k＞4　 ． 【答案】k＞4 【解答】解：， ①+②得：3x+3y＝2k﹣1﹣4， 即：； ∵x+y＞1， ∴，解得：k＞4； 故答案为：k＞4． 13．已知关于x的不等式ax＞b的解集是x＞﹣3，则不等式bx＞a的解集是 x　 ． 【答案】x 【解答】解：∵关于x的不等式ax＞b的解集是x＞﹣3， ∴a＞0，3， ∴b＝﹣3a＜0， 故可得不等式bx＞a的解集为：x． 故答案为：x． 14．若关于x的不等式（1﹣a）x＜3可化为，则a的取值范围是a＞1　 ． 【答案】a＞1． 【解答】解：（1﹣a）x＜3可化为， ∴1﹣a＜0， 解得：a＞1， 故答案为：a＞1． 15．代数式的值不小于，则x的取值范围是x≤3　 ． 【答案】x≤3． 【解答】解：由题意得：， 解得：x≤3， 故答案为：x≤3． 16．关于x的一元一次方程的解是非负数，则k的取值范围是k≤2　 ． 【答案】k≤2． 【解答】解：由条件可知x＝2﹣k， ∵关于x的一元一次方程的解是非负数， ∴2﹣k≥0， ∴k≤2， 故答案为：k≤2． 17．以下是小力同学解不等式的过程，请你完成下列任务． 解：去分母，得2（x﹣1）﹣3（2x+4）≤﹣3…第一步 去括号，得2x﹣2﹣6x﹣12≤﹣3…第二步 移项合并同类项，得﹣4x≤11…第三步 系数化为1，得第四步 任务一：小力同学从第 　一　 步开始出错； 任务二：请写出正确的解答过程，并将解集表示在数轴上． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：任务一：小力同学从第一步开始出现错误； 故答案为：一； 任务二：正解去分母，得2（x﹣1）﹣3（2x+4）≤﹣18， 去括号，得2x﹣2﹣6x﹣12≤﹣18， 移项合并同类项，得﹣4x≤﹣4， 系数化为1，得x≥1， 18．已知方程组的解满足x+y≥4． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣4|+|3﹣m|． 【答案】（1）m≥5； （2）2m﹣7． 【解答】解：（1）， ①+②得：7x+7y＝﹣7+7m， 解得：x+y＝﹣1+m， ∵x+y≥4， ∴﹣1+m≥4， 解得：m≥5； （2）|m﹣4|+|3﹣m| ＝m﹣4+m﹣3 ＝2m﹣7． 19．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2，把y＝2代入①，得x＝2，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　　 ； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣1，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　1，2，3　 ． 【答案】（1）． 【解答】解：（1）， 由①得：x﹣y＝1③， 把③代入②得：4﹣y＝5， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入③得：x＝0， ∴方程组的解为：； （2）， 由①得，2x﹣y＝2③， 把③代入②得，x＝2， 把x＝2代入①，得，y＝2， ∴方程组的解为； （3）， ①+②得：3x+3y＝9﹣3m， x+y＝3﹣m， ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞﹣1， ∴3﹣m＞﹣1， ∴m＜4， ∴满足条件的m的所有正整数值为1，2，3． 20．下面是小乐同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得x+4＜2（2x+1）﹣6，第一步 去括号，得x+4＜4x+1﹣6，第二步 移项，得x﹣4x＜1﹣6﹣4，第三步 合并同类项，得﹣3x＜﹣9，第四步 两边都除以﹣3，得x＞3．第五步 任务： （1）第一步的依据是 　②　 ．（填序号） ①不等式的基本性质1 ②不等式的基本性质2 ③不等式的基本性质3 （2）第 　二　 步开始出现错误，错误的原因是 　去括号时，括号内第二项没有乘2　 ． （3）直接写出该不等式正确的解集． 【答案】（1）②； （2）二：去括号时，括号内第二项没有乘2； （3）． 【解答】解：（1）第一步的依据是不等式的基本性质2， 故选：②； （2）第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号内第二项没有乘2； 故答案为：二：去括号时，括号内第二项没有乘2； （3）， 去分母，得x+4＜2（2x+1）﹣6， 去括号，得x+4＜4x+2﹣6， 移项，得x﹣4x＜2﹣6﹣4， 合并同类项，得﹣3x＜﹣8， 两边都除以﹣3，得． 21．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 整体思想解二元一次方程组 解方程组：， 解：， 得x+y＝▇，①﹣②得x﹣y＝▲， 则，解得． 评价：此题解法应用了整体思想，先得出整体“x+y”和“x﹣y”的值，再求解x和y的值． 练习：解方程组：． 任务： （1）直接写出研究报告中“▇”处空缺的内容为 　5　 ，“▲”处空缺的内容为 　﹣1　 ． （2）应用整体思想完成练习中题目的解答． （3）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜1，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1）5，﹣1； （2）； （3）k＜1． 【解答】解：（1）5，﹣1，理由如下： ， 得x+y＝5，①﹣②得x﹣y＝﹣1， 故答案为：5，﹣1； （2）， 得x+y＝1， 得x﹣y＝4， 则， 两式相加得， 两式相减得， ∴原方程组的解为； （3）k＜1，理由如下： ， ①+②得． 由条件得，解得k＜1． ▉题型3 一元一次不等式的整数解 【知识点的认识】 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 22．定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：根据题意，原不等式转化为：4（4﹣x）+1≥2， 去括号，得：16﹣4x+1≥2， 移项、合并同类项，得：﹣4x≥﹣15， 系数化为1，得：x， 正整数解有3个，为1，2，3． 故选：C． 23．在满足不等式7﹣2（x+1）＞0的x取值中，x可取的最大整数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：去括号，得：7﹣2x﹣2＞0， 移项、合并，得：﹣2x＞﹣5， 系数化为1，得：x＜2.5， 则x可取的最大整数为2， 故选：C． 24．由绝对值的定义可知|a|表示数轴上数a的点到原点的距离，|a﹣1|表示数轴上数a的点到1的距离，根据以上信息可知不等式|x﹣2|+|x+3|≤10的整数解的个数为 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：∵|a﹣1|表示数轴上数a的点到1的距离， ∴|x﹣2|+|x+3|≤10表示数x的点到2 的距离和数x的点到﹣3的距离之和不大于10． 分三种情况： ①当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+（﹣x﹣3）≤10， 解得x≥﹣5.5， ∴﹣5.5≤x≤﹣3； ②当﹣3＜x≤2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5≤10； ③当x＞2时，|x﹣2|+|x+3|＝x﹣2+x+3≤10， 解得x≤4.5， ∴2＜x≤4.5． 综上，x的范围是﹣5.5≤x≤4.5， ∴x的整数解为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，共10个． 故答案为：10． 25．不等式x﹣2≤2的最大整数解是 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：移项，得：x≤2+2， 合并同类项，得：x≤4， 则不等式的最大整数解为4； 故答案为：4． 26．不等式的正整数解的个数是 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则不等式的正整数解有1、2、3、4、5共5个， 故答案为：5． 27．已知有理数m、n，定义一种新运算“*”，规定：m*n＝am﹣bn+5（a、b均不为零）．等式右边的运算是通常的四则运算，例如3*4＝3a﹣4b+5．已知2*3＝1，3*（﹣1）＝10，则关于x的不等式x*（3x﹣2）＜﹣5的最小整数解为 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵2*3＝1，3*（﹣1）＝10， ∴得到：， 解得：． ∵x*（3x﹣2）＜﹣5， ∴ax﹣b（3x﹣2）+5＝﹣5x+9＜﹣5， 解得， ∴关于x的不等式x*（3x﹣2）＜﹣5的最小整数解为3． 故答案为：3． 28．已知不等式的最大整数解是关于x的方程3m﹣（2+x）＝6的解，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：解不等式得：x＜3， 则该不等式组的最大整数解为x＝2， 将x＝2代入方程得：3m﹣4＝6， 解得m． 29．对于两个关于x的不等式，若有且仅有两个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“双整”的．例如不等式x＞0和不等式x＜3只有1和2两个整数使得这两个不等式同时成立，所以不等式x＞0和不等式x＜3是“双整”的． （1）判断不等式2x﹣3＜5和x﹣1≥0是否是“双整”的并说明理由； （2）若不等式2x﹣a+1＜0和x＞1是“双整”的，求a的整数值． 【答案】（1）不是，理由见解答； （2）a的整数值为8，9． 【解答】解：（1）不是，理由如下： 联立，解不等式组得1≤x＜4， 满足条件的整数有三个：1、2、3，所以这两个不等式不是“双整”的； （2）解不等式2x﹣a+1＜0，得x， 若2x﹣a+1＜0和x＞1是“双整”的， ∴1，则满足1的整数有两个：2和3， ∴3即7＜a≤9， 故a的整数值为8，9． 30．解下列不等式： （1）解不等式8﹣3（x+2）≥2（x﹣4），并把解集在数轴上表示出来． （2）求不等式的非正整数解． 【答案】（1）x≤2； （2）﹣1，0． 【解答】解：（1）8﹣3（x+2）≥2（x﹣4）， 去括号，得8﹣3x﹣6≥2x﹣8， 移项，得﹣3x﹣2x≥﹣8﹣8+6， 合并同类项，得﹣5x≥﹣10， 系数化1，得x≤2， 将不等式的解集在数轴上表示为： ； （2）， 去分母，得2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6， 去括号，得4x﹣2﹣15x﹣3≤6， 移项，得4x﹣15x≤6+2+3， 合并同类项，得﹣11x≤11， 系数化1，得x≥﹣1， 所以不等式的非正整数解是﹣1，0． 31．解不等式2（x﹣2）≥5（x﹣1）+3，并求出满足它的最大整数解． 【答案】x，则最大整数解是﹣1． 【解答】解：2（x﹣2）≥5（x﹣1）+3， 去括号得：2x﹣4≥5x﹣5+3， 移项合并得：﹣3x≥2， 系数化为1得：x， 则最大整数解是﹣1． 32．综合与探究． 对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b为常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b，F（2，﹣3）＝2a﹣3b．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1． （1）a＝　2　 ，b＝　1　 ． （2）已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程F（x，3y）＝8的解． （3）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为非负整数，求m的值． （4）若关于x的不等式F（﹣3x，4）＞2n恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】（1）2；1； （2）或； （3）m的值为0或1或2； （4）﹣10≤n＜﹣7． 【解答】解：（1）∵F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1， ∴a+b＝3，a﹣b＝1， 解得：； （2）由（1）知，F（x，y）＝2x+y， 则F（x，3y）＝2x+3y＝8． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）依题意， ①+②化简得． ∵x+y＞0，即， 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）依题意得﹣6x+4＞2n，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得﹣10≤n＜﹣7． ▉题型4 由实际问题抽象出一元一次不等式 【知识点的认识】 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 33．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300m2．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地xm2，则x满足的不等关系为（　　） A．30+（3﹣0.5）x≤300 B．300﹣30x﹣0.5≤3 C．30+（3﹣0.5）x≥300 D．0.5+300﹣30x≥3 【答案】C 【解答】解：依题意得：30+（3﹣0.5）x≥300． 故选：C． 34．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过30km/h．用v（km/h）表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　） A．v≤30 B．v＜30 C．v＞30 D．v≥30 【答案】A 【解答】解：根据题意得：v≤30． 故选：A． 35．某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，设打x折销售，则下列说法正确的是（　　） A．依题意可得150x﹣100≥100×20% B．依题意可得 C．该商品最多打8折 D．该商品最多打9折 【答案】C 【解答】解：设打x折销售，则售价为元， 根据题意，，A，B选项错误； 化简得：15x﹣100≥20， 解得：15x≥120⇒x≥8， 因此，最多打8折，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 36．如图①，一个容量为500mL的杯子中装有200mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②，设每颗玻璃球的体积为xcm3，根据题意可列不等式为（　　） A．200+4x＜500 B．200+4x≤500 C．200+4x＞500 D．200+4x≥500 【答案】A 【解答】解：水的体积为200cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4xcm3， 根据题意得到：200+4x＜500． 故选：A． 37．某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，小鱼妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为0.8×（2x﹣100）＜900，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　　） A．买两件等值的商品可减100元，再打两折，最后不到900元 B．买两件等值的商品可打两折，再减100元，最后不到900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【答案】C 【解答】解：∵小鱼妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为0.8×（2x﹣100）＜900， ∴由2x﹣100得出两件商品减100元，以及由0.8×（2x﹣100）得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 故选：C． 38．语句“x的与3的差不超过5”可以表示为（　　） A．3≤5 B．3≥5 C．5 D．3＝5 【答案】A 【解答】解：“x的与3的差不超过5”用不等式表示为． 故选：A． 39．列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于﹣3：　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 40．a与8的差不大于0，用不等式表示为 a﹣8≤0　 ． 【答案】a﹣8≤0 【解答】解：由题意，用不等式表示为a﹣8≤0， 故答案为：a﹣8≤0． 41．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如右表： 原 料 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/千克） 600 100 现在用这两种原料10千克配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x千克应满足的不等式　600x+100（10﹣x）≥4200　 ． 【答案】600x+100（10﹣x）≥4200 【解答】解：设所需甲种原料的质量x千克，由题意得： 600x+100（10﹣x）≥4200， 故答案为：600x+100（10﹣x）≥4200． ▉题型5 一元一次不等式的应用 【知识点的认识】 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 42．“吕梁木枣”是山西省的主栽品种、栽培历史已有1300多年，“吕梁木枣”自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一．“家家利”超市购进一批“吕梁木枣”，一箱的进价为18元，标价为21元，在端午节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 　9　 折． 【答案】9． 【解答】解：设打x折， 由题意可得：2118≥18×5%， 解得x≥9， ∴至多可以打9折， 故答案为：9． 43．“沙金红杏”是享誉三晋、名扬海外的珍稀果品，被称为山西三大名杏之首．现有A，B两个品种的“沙金红杏”，A品种的进价为12元/千克，B品种的进价为9元/千克，杜师傅计划采购这两个品种的“沙金红杏”共50千克，且总费用不超过540元，那么最多能采购A品种“沙金红杏”　30　 千克． 【答案】30． 【解答】解：设采购A品种“沙金红杏”x千克，则采购B品种“沙金红杏”（50﹣x）千克， 由题意得，12x+9（50﹣x）≤540， 解得x≤30， ∴x的最大值为30， ∴最多能采购A品种“沙金红杏”30千克， 故答案为：30． 44．黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可以打 　九　 折． 【答案】九． 【解答】解：设打x折销售， 由题意可得：2118≥18×5%， x≥9， 答：至多打九折， 故：答案为：九． 45．港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．根据规定，内地货车载重后总质量超过49吨的禁止通行，现有一辆自重6吨的货车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知2个A部件和1个B部件的总质量为2吨，4个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各为多少吨？ （2）该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港，一次最多可运输多少套这种设备？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1个A部件的质量为0.6吨，1个B部件的质量为0.8吨； （2）设该货车一次可运输m套这种设备， 根据题意得：（0.6+0.8×3）•m+6≤49， 解得：m≤14， ∵m为正整数， ∴m的最大值为14， 答：该货车一次最多可运输14套这种设备． 46．根据以下素材，完成任务． 背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5个A种娃娃、4个B种娃娃，共需250元；若买3个A种娃娃、3个B种娃娃，共需165元． 素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 该商店在无促销活动时，求A种娃娃和B种娃娃的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两种娃娃共18个，其中A款盲盒m个（0＜m＜18），若在线下凭会员卡购买，共需要　（4m+410）　 元；若在线上淘宝店购买，共需要　（4.5m+405）　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：任务1：设A种娃娃销售单价为x元，B种娃娃销售单价为y元， 根据题意列方程组得， 解得， 即A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元， 答：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元； 任务2：由题意得，若在线下凭会员卡购买，共需要30×0.8m+25×0.8（18﹣m）+50＝（4m+410）元， 若在线上淘宝店购买，共需要30×0.9m+25×0.9（18﹣m）＝（4.5m+405）元， 故答案为：（4m+410）；（4.5m+405）； 任务3：由题意得，4m+410＜4.5m+405， ∴m＞10， ∴当10＜m＜18，即购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算． 47．文具批发商城有甲、乙两种文具．已知甲文具的批发单价比乙文具的批发单价少10元；8件甲文具的总价正好和7件乙文具的总价相等． （1）求甲、乙两文具的批发单价各是多少？ （2）学校商店计划从该批发部购进以上两种文具．若所用资金为590元，且购进甲文具不超过5件，则该店购进乙文具至少多少件？ 【答案】（1）甲文具的批发单价是70元/件，乙文具的批发单价是80元/件； （2）该店购进乙文具至少3件． 【解答】解：（1）设甲文具的批发单价是x元/件，则乙文具的批发单价是（x+10）元/件， 根据题意得：8x＝7（x+10）， 解得：x＝70， ∴x+10＝70+10＝80（元）． 答：甲文具的批发单价是70元/件，乙文具的批发单价是80元/件； （2）设该店购进m件乙文具，则购进件甲文具， 根据题意得：5， 解得：m≥3， 又∵m，均为正整数， ∴m的最小值为3． 答：该店购进乙文具至少3件． 48．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费． （1）若小明想要购买的物品价值为250元，则他到哪个商场购物花费更少？ （2）顾客到哪家商场购物花费少？并结合你的分析给出一个合理化的购物方案． 【答案】（1）他到乙商场购物花费更少； （2）当0＜x≤100及x＝300时，到两家商场购物所需费用相同；当100＜x≤200时，到乙商场购物花费少；当x＞300时，到甲商场购物花费少． 【解答】解：（1）根据题意得：到甲商场购物所需费用为200+（250﹣200）×80%＝240（元）； 到乙商场购物所需费用为100+（250﹣100）×90%＝235（元）， ∵240＞235， ∴他到乙商场购物花费更少； （2）设顾客所购物品的原价为x元， 当0＜x≤100时，到甲商场购物所需费用为x元，到乙商场购物所需费用为x元， ∵x＝x， ∴当0＜x≤100时，到两家商场购物所需费用相同； 当100＜x≤200时，到甲商场购物所需费用为x元，到乙商场购物所需费用为100+（x﹣100）×90%＝（0.9x+10）元， 显然x＞0.9x+10， ∴当100＜x≤200时，到乙商场购物花费少； 当x＞200时，到甲商场购物所需费用为200+（x﹣200）×80%＝（0.8x+40）元，到乙商场购物所需费用为100+（x﹣100）×90%＝（0.9x+10）元， 若0.8x+40＞0.9x+10，则x＜300， ∴当200＜x＜300时，到乙商场购物花费少； 若0.8x+40＝0.9x+10，则x＝300， ∴当x＝300时，到两家商场购物所需费用相同； 若0.8x+40＜0.9x+10，则x＞300， ∴当x＞300时，到甲商场购物花费少． 答：当0＜x≤100及x＝300时，到两家商场购物所需费用相同；当100＜x≤200时，到乙商场购物花费少；当x＞300时，到甲商场购物花费少． 49．学校决定购买A，B两种型号小音箱，若购买A型小音箱3台，B型小音箱6台共需480元，若购买A型小音箱2台，B型小音箱3台共需270元． （1）求A，B两种型号小音箱每台多少元？ （2）若用不超过1700元去购买A，B两种型号小音箱共32台，则最多可购买A型小音箱多少台？ 【答案】（1）每台A型小音箱60元，每台B型小音箱50元； （2）最多可购买A型小音箱10台． 【解答】解：（1）设每台A型小音箱x元，每台B型小音箱y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台A型小音箱60元，每台B型小音箱50元； （2）设购买A型小音箱m台，则购买B型小音箱（32﹣m）台， 根据题意得：60m+50（32﹣m）≤1700， 解得：m≤10， ∴m的最大值为10． 答：最多可购买A型小音箱10台． 50．某校计划开展研学活动，通过调查得到以下信息． 信息1： 车型 座位数（人/辆） 租金（元/辆） 30座客车 30 300 45座客车 45 400 信息2：若每位老师带35名学生，则有20名学生无老师可带；若每位老师带46名学生，则余下一位老师无学生可带． 请根据以上信息，完成以下任务． 任务1：求出此次活动中老师与学生各有多少人． 任务2：研学活动需租用两种车型客车，每辆车上只有一名老师负责学生安全，每人都必须有座位且不超载．请设计最优租车方案． 【答案】任务1：此次活动中老师有6人，学生有230人；任务2：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少． 【解答】解：任务1：设此次活动中老师有x人， 由题意，得35x+20＝46（x﹣1）， 整理得，11x＝66， 解得x＝6． 学生人数为：35×6+20＝210+20＝230（人） 答：此次活动中老师有6人，学生有230人； 任务2：设租用m辆30座客车，则租用（6﹣m）辆45座客车，租金为w元． 根据题意，得30m+45（6﹣m）≥230+6， 整理得，15m≤34， 解得， w＝300m+400（6﹣m）＝﹣100m+2400 ∵k＝﹣100＜0 ∴w随m的增大而减小 当m＝2，6﹣m＝4时，w有最小值． 答：租用2辆30座客车，租用4辆45座客车的租金最少． 51．为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】（1）每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）人物传记至多买33本． 【解答】解：（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）设人物传记买m本，则文学名著买（m+20）本， 根据题意得：25（m+20）+20m≤2000， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为33． 答：人物传记至多买33本． 52．“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．已知购买3本《论语》和2本《孟子》共需要170元，购买5本《论语》和3本《孟子》共需要275元， （1）求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？ （2）学校为了丰富学生的课余生活，举行“书香阅读”活动，根据需要，学校决定购进《论语》和《孟子》两种书共50本．正逢书店“优惠促销”：《论语》的单价打8折，《孟子》单价优惠4元．如果此次学校买书的总费用不超过1500元，最多可购买多少本《论语》？ 【答案】（1）购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元； （2）40． 【解答】解：（1）设购买《论语》的单价是x元，则购买《孟子》的单价是y元，依题意得： ， 解得， 答：购买《论语》的单价40元，《孟子》的单价是25元； （2）设购买《论语》m本，则购买《孟子》（50﹣m）本，依题意得： 40×0.8 m+（25﹣4）（50﹣m）≤1500， 解得． 又∵m为正整数， ∴m的最大值为40， ∴最多可购买40本《论语》． 53．“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，积极开展“书香少年、书香班级”评选活动，现决定购买《把自己作为方法》和《夜晚的潜水艇》两种书共90本，已知购买1本《把自己作为方法》和1本《夜晚的潜水艇》共需117元；购买2本《把自己作为方法》和5本《夜晚的潜水艇》共需390元． （1）《把自己作为方法》和《夜晚的潜水艇》的单价分别为多少元？ （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过5200元，则该校最多可以购买《把自己作为方法》多少本？ 【答案】（1）《把自己作为方法》的单价是65元，《夜晚的潜水艇》的单价是52元； （2）该校最多可以购买《把自己作为方法》40本． 【解答】解：（1）设《把自己作为方法》的单价为x元，《夜晚的潜水艇》的单价为y元． 根据题意，得， 解得， 答：《把自己作为方法》的单价是65元，《夜晚的潜水艇》的单价是52元； （2）设该校购买《把自己作为方法》m本，则购买《夜晚的潜水艇》（90﹣m）本． 根据题意，得65 m+52（90﹣m）≤5200， 解得m≤40， ∴m的最大值为40． 答：该校最多可以购买《把自己作为方法》40本． 54．综合与实践： 【问题情境】 2024年3月4日，“定山西•向未来”城市智趣跑活动在山西太原开幕．本次活动，激扬全民运动热情．活动期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：某商店在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：该商店开展促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【解决问题】 （1）该商店在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ 【拓展提升】 （2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个（0＜m＜40），若在线下商店成为会员购买，共需要 　（1.6m+291）　 元；若在线上淘宝店购买，共需要 　（1.8m+288）　 元．（均用含m的代数式表示） 【综合应用】 （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【答案】[解决问题]该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元； [拓展提升]（1.6m+291），（1.8m+288）； [综合应用]当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 【解答】解：[解决问题]（1）设该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是x元，B款运动盲盒的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得． 答：该商店在无促销活动时，A款运动盲盒的销售单价是10元，B款运动盲盒的销售单价是8元； [拓展提升]（2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）； 在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）． 故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）； [综合应用]（3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288， 解得m＞15， 又∵0＜m＜40， ∴15＜m＜40． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 55．植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗． （1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量． （2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？ 【答案】（1）参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵； （2）至少需要购买80棵甲种树苗． 【解答】解：（1）参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵， 由题意得：， 解得：， 答：参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵； （2）设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买（270﹣m）棵乙种树苗， 由题意得：3m+4（270﹣m）≤1000， 解得：m≥80， 又∵m 是正整数， ∴m的最小值为80， 答：至少需要购买80棵甲种树苗． 学科网（北京）股份有限公司 $