4.2全等三角形 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦初中数学“全等三角形”核心知识点，系统梳理全等三角形的性质（对应边、对应角相等，对应高、中线、角平分线相等，周长与面积相等）及判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），构建从性质理解到判定应用的完整学习支架。 资料通过30道性质题与30道判定题的多样题型（选择、填空、解答），结合图形直观培养几何直观与空间观念，通过判定条件探究锻炼推理能力，运动问题设计渗透模型意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生强化练习、查漏补缺，提升知识应用能力。

第四章第二节 全等三角形 题型1 全等三角形的性质 题型2 全等三角形的判定 题型1．全等三角形的性质（共30小题） （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝7， ∵EC＝4， ∴CF＝3， 故选：B． 2．如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为（　　） A．52° B．58° C．60° D．70° 【答案】A 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴∠α＝52°． 故选：A． 3．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．50° B．44° C．34° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵CD平分∠BCA， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠D＝∠A＝30°， ∵∠CGF＝∠D+∠BCD， ∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°， ∴∠BCA＝116°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠E＝∠B＝34°， 故选：C． 4．下列判断中，不正确的是（　　） A．全等三角形的面积一定相等 B．全等三角形的周长一定相等 C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D．两个等边三角形一定全等 【答案】D 【解答】解：A、全等三角形的面积一定相等，正确，不符合题意； B、全等三角形的周长一定相等，正确，不符合题意； C、两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关，正确，不符合题意； D、两个等边三角形，其三个角分别对应相等，都是60°，但对应边不一定相等，故两个等边三角形不一定全等，原说法错误，符合题意， 故选：D． 5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC与DE相交于点M，△ABC≌△DEF，下列结论正确的是（　　） A．∠BED＝∠FCA B．AB＝DF C．EM＝EC D．BE＝CF 【答案】D 【解答】解：A、如果∠BED＝∠FCA，得到∠DEF＝∠ACB，但∠DEF和∠ACB不是对应角，∠DEF和∠ACB不一定相等，因此∠BED和∠FCA不一定相等，故A不符合题意； B、由△ABC≌△DEF推出AB＝DE，AB和DF不一定相等，故B不符合题意； C、EM和EC不是△ABC和△DEF的边，由△ABC≌△DEF得不到EM＝EC，故C不符合题意； D、由△ABC≌△DEF推出BC＝EF，得到BE＝CF，故D符合题意． 故选：D． 6．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】A 【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝70°， ∴∠EAC＝∠DAE﹣∠DAC＝70°﹣30°＝40°， 故选：A． 7．如图，△ABC≌△AEF，对于下列结论其中不正确的是（　　） A．AC＝AF B．EF＝BC C．∠AFE＝∠EFB D．∠EAB＝∠FAC 【答案】C 【解答】解：∵△AEF≌△ABC， ∴EF＝BC，AF＝AC，∠E＝∠B，∠EAF＝∠BAC，∠EFA＝∠C， 故B、A正确，不符合题意；C错误，符合题意； ∴∠EAF﹣∠BAC＝∠BAC﹣∠BAF， 即∠BAE＝∠CAF，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8．如图，△ABC≌△BAD，A，C的对应点分别是B，D，若AB＝9，BC＝8，AC＝6，则BD＝（　　） A．6 B．9 C．8 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△BAD，AC＝6， ∴BD＝AC＝6， 故选：A． 9．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝3，BD＝10，则AB等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD，BC＝DE＝3， ∵BD＝10， ∴CD＝BD﹣BC＝10﹣3＝7， ∴AB＝CD＝7， 故选：C． 10．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝3，则CD的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：△ABD≌△ACE， ∴AB＝AC＝6，AD＝AE＝3， ∴CD＝AC﹣AD＝6﹣3＝3， 即CD的长度为3， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 11．如图，△ABC≌△CED，点A在CE边上，∠CAB+∠E＝90°，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（　　） A．DE＝BC B．∠D＝90° C．∠BFD+∠B＝∠ACD D．EF＝FB 【答案】D 【解答】解：∵△ABC≌△CED， ∴BC＝DE， 故A选项不符合题意； ∵△ABC≌△CED， ∴∠CAB＝∠DCE， ∵∠CAB+∠E＝90°， ∴∠DCE+∠E＝90°， ∴∠D＝90°， 故B选项不符合题意； ∵∠CAB＝∠E+∠AFE，∠AFE＝∠BFD， ∴∠CAB＝∠BFD+∠E， ∵△ABC≌△CED， ∴∠CAB＝∠ACD，∠B＝∠E， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠BFD+∠B＝∠ACD， 故C选项不符合题意， 没有足够的条件证明EF＝FB， 故D选项符合题意， 故选：D． 12．如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若∠BAC＝33°，则∠EFC的度数为（　　） A．33° B．57° C．123° D．147° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠DAE＝∠CAB＝33°，∠D＝∠C， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠EFC＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣∠D﹣∠AED＝∠DAC＝33°， 故选：A． 13．已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是（　　） A．AC与DF是对应边 B．AC与DE是对应边 C．AC与EF是对应边 D．不能确定AC的对应边 【答案】A 【解答】解：∵∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角， ∴∠C和∠F是对应角， ∴AC与DF是对应边， 故选A． 14．在两全等三个角形中，①周长相等；②面积相等；③高相等；④中线相等，其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：全等三角形的周长相等，故①正确； 全等三角形的面积相等，故②正确； 全等三角形的对应边上的高才相等（不是对应边上的高不一定相等），故③不正确； 全等三角形的对应边上的中线才相等（不是对应边上的中线不一定相等），故④不正确； 故选：B． 15．已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是　48°　 ． 【答案】48° 【解答】解：已知图中的两个三角形全等， ∴∠1＝∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°， 所以∠1的度数为48°． 故答案为：48°． 16．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：如图所示， 在△ABC中， ∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠1＝∠A＝60°， 故答案为：60°． 17．如图，已知△ABC≌△FDE（∠A与∠F，∠C与∠E分别对应），AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：∵AD＝2，BD＝3， ∴AB＝AD+BD＝2+3＝5， ∵△ABC≌△FDE， ∴FD＝AB＝5（全等三角形对边相等）． 即FD的值为5， 故答案为：5． 18．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　180°　 ． 【答案】180°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF≌△GHI， ∴∠HGI＝∠BAC，∠FED＝∠ABC（全等三角形对角相等）， ∴∠ACB+∠HGI+∠FED＝∠ABC+∠BAC+∠ABC＝180°， 根据题意可得，∠1＝180°﹣∠ECG﹣∠ACB，∠2＝180°﹣∠EGC﹣∠HGI，∠3＝180°﹣∠FED﹣∠CEG， ∠1+∠2+∠3＝540°﹣（∠ECG+∠EGC+∠CEG）﹣（∠ACB+∠HGI+∠FED）， 又∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠1+∠2+∠3＝540°﹣180°﹣180°＝180°， 所以∠1+∠2+∠3的度数等于180°， 故答案为：180°． 19．如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　67.5°　 ． 【答案】67.5°． 【解答】解：∵△BDF≌△ADC， ∴AD＝BD，∠C＝∠BFD， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠FBD＝∠ABD＝22.5°， ∴∠BFD＝90°﹣∠FBD＝67.5°， ∴∠C＝67.5°． 故答案为：67.5°． 20．如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝78°，∠C＝22°，则∠OAD的度数是 　80°　 ． 【答案】80°． 【解答】解：∵∠O＝78°，∠C＝22°， ∴∠OBC＝180°﹣78°﹣22°＝80°， ∵△OAD≌△OBC， ∴∠OAD＝∠OBC＝80°． 故答案为：80°． 21．已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝35°，则∠F＝　110°　 ． 【答案】110°． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F， ∵∠A＝∠B＝35°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝110°， ∴∠F＝110°， 故答案为：110°． 22．如图，△ABC≌△CDA，下列结论： ①AB与AD是对应边； ②AC与CA是对应边； ③∠BAC与∠DAC是对应角； ④∠CAB与∠ACD是对应角． 其中正确的是 　②④　 （填序号）． 【答案】②④． 【解答】解：△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D． ①AB与CD是对应边．故①不符合题意； ②AC与CA是对应边．故②符合题意； ③∠BAC与∠ACD是对应角．故③不符合题意； ④∠CAB与∠ACD是对应角，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是②④， 故答案为：②④． 23．D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为　30°　 ． 【答案】30° 【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC， ∴∠A＝∠BED＝∠CED，∠ABD＝∠EBD＝∠C， ∵∠BED+∠CED＝180°， ∴∠A＝∠BED＝∠CED＝90°， 在△ABC中，∠C+2∠C+90°＝180°， ∴∠C＝30°． 故答案为：30° 24．如图，点C，A，D在同一条直线上，∠C＝∠D＝90°，△ABC≌△EAD，AC＝4，BC＝3．阴影部分的面积为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵△ABC≌△EDB， ∴BA＝AE，∠EAD＝∠ABC， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝AE＝， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝90°， ∴阴影部分的面积为×5×5＝， 故答案为：． 25．已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴2x+1＝7，3x+1＝10， ∴x＝3． 26．为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 A （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 【答案】（1）A； （2）对于选项B，证明如下：∵△ABD≌△BAC， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝90°， ∴∠BAC+∠BAD+∠C＝180°， 即∠BAC+∠ABC+∠C＝180°； 对于选项C，证明如下： ∵DE∥CB， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∵DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C， ∵∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°， 对于选项D，证明如下： ∵CD∥BA， ∴∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°， ∴∠ACD+∠ACB+∠B＝180°， 即∠A+∠B+∠ACB＝180°． 【解答】解：（1）选项A不能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项A符合题意； 选项B，C，D均能证明“三角形的内角和是180°”， 故选项B，C，D均不符合题意， 故选：A； （2）对于选项B，证明如下： ∵△ABD≌△BAC， ∴∠BAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∴∠DAC+∠C＝90°， ∴∠BAC+∠BAD+∠C＝180°， 即∠BAC+∠ABC+∠C＝180°； 对于选项C，证明如下： ∵DE∥CB， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∵DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A，∠EDF＝∠AED＝∠C， ∵∠BDF+∠ADE+∠EDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°， 对于选项D，证明如下： ∵CD∥BA， ∴∠ACD＝∠A，∠BCD+∠B＝180°， ∴∠ACD+∠ACB+∠B＝180°， 即∠A+∠B+∠ACB＝180°． 27．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　6　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 【答案】（1）6； （2）0.8或． 【解答】解：（1）∵AC＝6， ∴点P从点C出发到达点A时所用的时间为：6÷2＝3（秒）， ∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒， ∵AB＝10，BD＝8， ∴BD+AB＝18， ∴点Q运动的时间为：x＝18÷3＝6， 故答案为：6； （2）依题意得：AP＝2t﹣6，DQ＝xt， ∴PB＝AB﹣AP＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QB＝BD﹣DQ＝8﹣xt， ∵∠CAB＝∠DBA＝α， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP且AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ， 由AC＝BP，得：6＝16﹣2t， 解得：t＝5， 由AP＝BQ，得：2t﹣6＝8﹣xt， ∵t＝5， ∴2×5﹣6＝8﹣5x， 解得：x＝0.8； ②当AC＝BQ且AP＝BP时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：2t﹣6＝16﹣2t， 解得：t＝， 由AC＝BQ，得：6＝8﹣xt， ∵t＝， ∴， 解得：x＝， 综上所述：当△ACP与△BPQ全等，x的值为0.8或． 28．如图，点D和点C在线段BE上，△ABC≌△FED． （1）求证：BD＝EC； （2）判断线段AD与FC的关系并证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）AD∥FC，AD＝FC，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵△ABC≌△FED， ∴BC＝ED， ∴BC﹣DC＝DE﹣DC， ∴BD＝EC； （2）解：AD∥FC，AD＝FC，理由如下： ∵△ABC≌△FED， ∴∠B＝∠E，AB＝FE， 由（1）知BD＝EC， ∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴AD＝FC，∠ADB＝∠ECF， ∵∠ADC+∠ADB＝∠DCF+∠ECF＝180°， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴AD∥FC． 29．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上． （1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小； （2）若AD＝9，BC＝5，则AB的长为 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BE⊥AD， ∴∠EBD＝90°， ∵△ACF≌△DBE， ∴∠FCA＝∠EBD＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠F＝28°； （2）∵△ACF≌△DBE， ∴CA＝BD， ∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD， ∵AD＝9，BC＝5， ∴AB+CD＝9﹣5＝4， ∴AB＝2， 故答案为：2． 30．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A点以a厘米/秒运动，设运动的时间为t秒， （1）求CP的长； （2）若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BP＝3t，BC＝8， ∴CP＝8﹣3t； （2）①BD＝CP时，∵AB＝10，D为AB的中点， ∴5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∵△BDP≌△CPQ， ∴BP＝CQ， 即3×1＝a， 解得a＝3； ②BP＝CP时，3t＝8﹣3t， 解得t＝， ∵△BDP≌△CQP， ∴BD＝CQ， 即5＝a×， 解得a＝， 综上所述，a的值为3或． 题型2.全等三角形的判定（共30小题） （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 31．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE和CD交于F，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【解答】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； ∴∠B＝∠C，BE＝CD， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， 在△BDF和△CEF中， ， ∴△BDF≌△CEF（AAS）； ∴DF＝EF，BF＝CF， 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）； 在△ABF和△ACF中， ， ∴△ABF≌△ACF（SSS）， 综上所述，图中的全等三角形有4对． 所以选：B． 32．如图，在△ABC和△DEC中，已知CB＝CE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　） A．AC＝DC，AB＝DE B．∠ACD＝∠BCE，∠B＝∠E C．AB＝DE，∠B＝∠E D．AC＝DC，∠A＝∠D 【答案】D 【解答】解：A、已知CB＝CE，再加上条件AC＝DC，AB＝DE，可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不符合题意； B、已知CB＝CE，再加上条∠ACD＝∠BCE，∠B＝∠E可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； C、已知CB＝CE，再加上条件AB＝DE，∠B＝∠E，可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不符合题意； D、已知CB＝CE，再加上条件AC＝DC，∠A＝∠D，不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意； 故选：D． 33．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA， ∴若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项A不符合题意； 若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意； 若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意； 若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项D符合题意； 故选：D． 34．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD 【答案】D 【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意； B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意； C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意； D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意； 故选：D． 35．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 【答案】A 【解答】解：由题意可得， OC＝OD，MC＝MD， 又∵OM＝OM， ∴△OMC≌△OMD（SSS）， 故选：A． 36．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 【答案】D 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS），故选项A不符合题意； ∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AB＝AD、∠B＝∠D， ∴△ABF≌△ADG（ASA），故选项B不符合题意； ∴BF＝DG， ∴FC＝GE，故选项C不符合题意； 无法证明AG＝GC，故选项D符合题意； 故选：D． 37．如图，已知AD＝AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（　　） A．AB＝AC B．∠ADC＝∠AEB C．∠B＝∠C D．BE＝CD 【答案】D 【解答】解：A、∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS），正确，故本选项错误； B、∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA），正确，故本选项错误； C、∵在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS），正确，故本选项错误； D、根据AE＝AD，BE＝CD和∠A＝∠A不能推出△ABE和△ACD全等，错误，故本选项正确； 故选：D． 38．如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（　　） A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠C 【答案】A 【解答】解：由于AB＝DB，∠A＝∠D， A、添加条件BE＝BC，不能证明△ABE≌△DBC，故本选项符合题意； B、添加条件AE＝DC，可以利用SAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； C、添加条件∠ABD＝∠EBC，可得∠ABE＝∠DBC，可以利用ASA证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； D、添加条件∠E＝∠C，可以利用AAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； 故选：A． 39．在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意； B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意； C、如图： ∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF， ∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF， ∵∠B＝∠DFE＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝FC，∠B＝∠C， ∴△DBF≌△FCE（ASA）． 根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意； D、如图： 由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意； 故选：D． 40．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8 【答案】C 【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 41．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【答案】B 【解答】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在△AOB和△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确； C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误； D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误； 故选：B． 42．如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：如图所示： 以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共3+0+1＝4个， 故选：C． 43．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，添加以下条件仍不能判定△ACB≌△BDA的是（　　） A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠CAD＝∠ABD D．∠CBA＝∠DAB 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB＝∠BDA＝90°， ∴△ACB和△BDA是直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴A选项正确，不符合题意； ∵∠ACB＝∠BDA＝90°， ∴△ACB和△BDA是直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴B选项正确，不符合题意； 在△ACB和△BDA中， ， ∴△ACB≌△BDA（HL）， ∴D选项正确，不符合题意； ∵∠CAD＝∠ABD，不能判定△ACB≌△BDA， ∴C选项错误，符合题意， 故选：C． 44．根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，AC＝5，∠B＝60° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．∠A＝40°．∠B＝50°，AB＝2 D．∠C＝90°，AB＝3 【答案】C 【解答】解：A、∠B是AC的对角，不能作出唯一的△ABC，故A不符合题意； B、1+2＝3，不能作出三角形，故B不符合题意； C、由ASA判定能作出唯一的△ABC，故C符合题意； D、还缺少条件，不能作出唯一的△ABC，故D不符合题意； 故选：C． 45．如图，在△ABC和△DEC和中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC和≌△DEC和，不能添加的一组条件是（　　） A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠ACD＝∠BCE 【答案】C 【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝CE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意； B．AB＝DE，AC＝DC，BC＝CE，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意； C．AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意； D．∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE， ∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意； 故选：C． 46．如图，△ADC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，BD、AE交于点F，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠BFE＝60°．其中，正确结论的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】A 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB＝120°， 在△ACE，△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确； ∴∠CAM＝∠CDN， 在△ACM，△DCN中， ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM＝CN，故②正确； ∴DN＝AM， 在△AMC中．AC＞AM， ∴AC≠DN，故③错误； ∴△ACE≌△DCB， ∴∠AEC＝∠DBC， ∵∠FNE＝∠CNB ∴∠BFE＝∠BCE＝60°，故④正确． 综上所述，正确结论的个数是3个． 故选：A． 47．下列各组中的两个三角形一定全等的是（　　） A．以100度为内角，10厘米为一边长的两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．有一边相等的两个等腰直角三角形 D．以4、9为边的两个等腰三角形 【答案】D 【解答】解：A、如果一个等腰三角形的腰长与另一个等腰三角形的底边长相等是10cm，那么两个等腰三角形不全等，故A不符合题意； B、边长不相等的两个等边三角形不全等，故B不符合题意； C、如果一个等腰直角三角形的腰长与另一个等腰直角三角形的底边长相等，那么两个等腰直角三角形不全等，故C不符合题意； D、两个等腰三角形的腰长相等是9，底边长相等是4，由SSS判定两个等腰三角形全等，故D符合题意． 故选：D． 48．下列叙述错误的是（　　） A．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形 B．面积相等的两个三角形不一定全等 C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分 D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等 【答案】C 【解答】解：A、B、D中的叙述正确，故A、B、D不符合题意； C、三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，故C符合题意． 故选：C． 49．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：∵点E，F分别为AB，AC中点， ∴AE＝AB，AF＝AC， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴判定△AED≌△AFD的依据是SSS． 故选：B． 50．如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带①④去 D．带①③去 【答案】B 【解答】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以A选项不符合题意； 由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片①②不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合题意； 由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选项不符合题意； 由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不符合题意． 故选：B． 51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为　2或4　 s时，△PEC与△QFC全等． 【答案】2或4． 【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等， ∴斜边CP＝CQ， 有2种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上， CP＝6﹣t，CQ＝10﹣3t， ∴6﹣t＝10﹣3t， ∴t＝2． ②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合， ∴CP＝6﹣t＝3t﹣10， ∴t＝4． 综上所述，点P运动时间为2或4秒时，△PEC与△QFC全等， 故答案为：2或4． 52．如图．AB，CD相交于点E，DE＝CE，请你补充一个条件 　∠A＝∠B（答案不唯一）　 ，使△ADE≌△BCE． 【答案】∠A＝∠B（答案不唯一） 【解答】解：补充一个条件：∠A＝∠B， 理由：在△ADE和△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， 故答案为：∠A＝∠B（答案不唯一）． 53．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为　1或　 cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【答案】1或． 【解答】解：设点Q的运动速度是xcm/s， ∵∠CAB＝∠DBA， ∴△ACP与△BPQ全等有两种情况： 当，AC＝BQ时，t＝6﹣t， 解得：t＝3， ∴3x＝4， 解得：x＝，即点Q的运动速度是cm/s； 当AP＝BQ，AC＝BP时，t＝tx，6﹣t＝4， 解得：t＝2，x＝1，即点Q的运动速度是lcm/s； 综上所述，点Q的运动速度为1或cm/s，△ACP与△BPQ全等， 故答案为：1或． 54．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝15cm，AC＝6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0），则当以B、E、D为顶点的三角形与△ACB全等时，t＝　3或7或10　 s． 【答案】3或7或10 【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED ∵AC＝6， ∴BE＝6， ∴AE＝AB﹣BE＝15﹣6＝9， ∴点 E 的运动时间为9÷3＝3 （秒）． ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，如图所示： ∵AC＝6， ∴BE＝6， ∴AE＝AB+BE＝15+6＝21． ∴点 E 的运动时间为21÷3＝7 （秒）． ③如图所示：当E在BN上，AB＝BE时， 此时△ACB≌△BDE， ∴AE＝AB+BE＝15+15＝30， ∴点E的运动时间为30÷3＝10 （秒）； ④当E在线段AB上，AB＝BE时，△ACB≌△BDE这时E在A点未动，因此时间为0秒不符合题意． 故答案为：3或7或10． 55．下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有 　②　 ． ①AB＝3，BC＝7，CA＝11， ②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3； ③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11； ④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9． 【答案】②． 【解答】解：①AB＝3，BC＝7，CA＝11，3+7＜11，不能画出三角形； ②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3，根据“AAS”能画出唯一的△ABC； ③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC； ④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC； 综上所述，能画出唯一的△ABC的有②， 故答案为：②． 56．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 　5　 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等． 【答案】5． 【解答】解：由题意可知：PB＝tm，AP＝（20﹣t）m，BQ＝3tm， ①当△APC≌△BQP时， AP＝BQ，即：20﹣t＝3t， 解得：t＝5， 此时：AC＝BP＝5m，符合题意； ②当△APC≌△BPQ时， AP＝BP，即：20﹣t＝t， 解得：t＝10， 此时AC＝BQ＝30m， ∵MA＝6＜30， 故t＝10不符合题意． 故答案为：5． 57．如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 【答案】见解答． 【解答】证明：∵AE∥BC， ∴∠EAF＝∠B， 在△ABC和△EAF中， ， ∴△ABC≌△EAF（AAS）． 58．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． （1）用代数式表示PC的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 【答案】（1）6﹣2t； （2）△BPD与△CQP全等，理由是： 由题意得，PB＝CQ＝2， ∴PC＝6﹣2＝4， ∵∠B＝∠C， ∴AC＝AB＝8， ∵D是AB的中点， ∴， ∴BD＝PC＝4， 在△CQP和△BPD中， ∵， ∴△CQP≌△BPD（SAS）； （3）． 【解答】解：（1）由题意得：PB＝2t， 则PC＝6﹣2t； 故答案为：6﹣2t； （2）△BPD与△CQP全等，理由是： 由题意得，PB＝CQ＝2， ∴PC＝6﹣2＝4， ∵∠B＝∠C， ∴AC＝AB＝8， ∵D是AB的中点， ∴， ∴BD＝PC＝4， 在△CQP和△BPD中， ∵， ∴△CQP≌△BPD（SAS）； （3）∵点P、Q的运动速度不相等， ∴PB≠CQ， 当△BPD与△CQP全等，且∠B＝∠C， ∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4， ∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4， ∴， ∴， ∴， ∴当时，能够使△BPD与△CQP全等． 59．如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC＝AC，过D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB＝∠E，求证：△ABC≌△EAD． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵DC＝AC，DE＝DC， ∴AC＝DE， ∵DE∥CB， ∴∠ACB＝∠D， 在△ABC和△EAD中， ， ∴△ABC≌△EAD（ASA）． 60．如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【答案】（1），△ACP与△BPQ全等；PC⊥PQ，理由见解答过程． （2）3或cm/s． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cm/s，且运动的时间t＝1s， ∴AP＝3cm，BQ＝3cm， ∴AP＝BQ＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝7cm， 又∵AC＝7cm， ∴AC＝BP＝7cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△APC中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝3tcm，BQ＝xtcm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm， 又∵AC＝7cm，∠CAB＝∠DBA， ①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ， 由AP＝BQ，得：3t＝xt， 解得：x＝3， 由AC＝BP，得：7＝10﹣3t， 解得：t＝1， ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t， 解得：t＝， 由AC＝BQ，得：7＝xt， ∴， 解得：x＝， 综上所述：x的值是3或cm/s． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章第二节 全等三角形 题型1 全等三角形的性质 题型2 全等三角形的判定 题型1．全等三角形的性质（共30小题） （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1．如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 2．如图，已知两个三角形全等，则∠α的大小为（　　） A．52° B．58° C．60° D．70° 3．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是（　　） A．50° B．44° C．34° D．30° 4．下列判断中，不正确的是（　　） A．全等三角形的面积一定相等 B．全等三角形的周长一定相等 C．两个图形全等，与其所处的位置无关，只与形状、大小有关 D．两个等边三角形一定全等 5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AC与DE相交于点M，△ABC≌△DEF，下列结论正确的是（　　） A．∠BED＝∠FCA B．AB＝DF C．EM＝EC D．BE＝CF 6．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A．40° B．35° C．30° D．25° 7．如图，△ABC≌△AEF，对于下列结论其中不正确的是（　　） A．AC＝AF B．EF＝BC C．∠AFE＝∠EFB D．∠EAB＝∠FAC 8．如图，△ABC≌△BAD，A，C的对应点分别是B，D，若AB＝9，BC＝8，AC＝6，则BD＝（　　） A．6 B．9 C．8 D．无法确定 9．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝3，BD＝10，则AB等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝3，则CD的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 11．如图，△ABC≌△CED，点A在CE边上，∠CAB+∠E＝90°，ED与AB交于点F，则下列结论不正确的是（　　） A．DE＝BC B．∠D＝90° C．∠BFD+∠B＝∠ACD D．EF＝FB 12．如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若∠BAC＝33°，则∠EFC的度数为（　　） A．33° B．57° C．123° D．147° 13．已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B和∠E是对应角，则下列说法中正确的是（　　） A．AC与DF是对应边 B．AC与DE是对应边 C．AC与EF是对应边 D．不能确定AC的对应边 14．在两全等三个角形中，①周长相等；②面积相等；③高相等；④中线相等，其中正确的结论共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是　 　 ． 16．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝ 　 　 ． 17．如图，已知△ABC≌△FDE（∠A与∠F，∠C与∠E分别对应），AD＝2，BD＝3，则FD的值为 　 　 ． 18．如图，已知△ABC≌△DEF≌△GHI，并将它们摆成如图所示的形式，那么∠1+∠2+∠3的度数等于 　 　 ． 19．如图，在△ABC中，高线AD和角平分线BE相交于点F．已知△BDF≌△ADC，求∠C的度数 　 　 ． 20．如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝78°，∠C＝22°，则∠OAD的度数是 　 　 ． 21．已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝35°，则∠F＝　 　 ． 22．如图，△ABC≌△CDA，下列结论： ①AB与AD是对应边； ②AC与CA是对应边； ③∠BAC与∠DAC是对应角； ④∠CAB与∠ACD是对应角． 其中正确的是 　 　 （填序号）． 23．D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为　 　 ． 24．如图，点C，A，D在同一条直线上，∠C＝∠D＝90°，△ABC≌△EAD，AC＝4，BC＝3．阴影部分的面积为 　 　 ． 25．已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，求x的值． 26．为了证明“三角形的内角和是180°”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． （1）其中不能证明“三角形的内角和是180°”的是 　 　 （填选项）； A．如图1，过点C作EF＝AB B．如图2，作△ABD≌△BAC C．如图3，过AB上一点D作DE∥CB，DF∥AC D．如图4，过点C作CD∥BA （2）请选择可以证明“三角形的内角和为180°”的一幅图加以证明． 27．如图，AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． （1）若P、Q两点同时到达A点时，则点Q的速度x＝ 　 　 ． （2）若△ACP与△BPQ全等，求x的值． 28．如图，点D和点C在线段BE上，△ABC≌△FED． （1）求证：BD＝EC； （2）判断线段AD与FC的关系并证明． 29．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上． （1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小； （2）若AD＝9，BC＝5，则AB的长为 　 　 ． 30．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A点以a厘米/秒运动，设运动的时间为t秒， （1）求CP的长； （2）若以C、P、Q为顶点的三角形和以B、D、P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值． 题型2.全等三角形的判定（共30小题） （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 31．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE和CD交于F，则图中的全等三角形的对数是（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 32．如图，在△ABC和△DEC中，已知CB＝CE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　） A．AC＝DC，AB＝DE B．∠ACD＝∠BCE，∠B＝∠E C．AB＝DE，∠B＝∠E D．AC＝DC，∠A＝∠D 33．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　） A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD 34．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（　　） A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD 35．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 36．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 37．如图，已知AD＝AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（　　） A．AB＝AC B．∠ADC＝∠AEB C．∠B＝∠C D．BE＝CD 38．如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（　　） A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠C 39．在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 40．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30° C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8 41．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 42．如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 43．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，添加以下条件仍不能判定△ACB≌△BDA的是（　　） A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠CAD＝∠ABD D．∠CBA＝∠DAB 44．根据下列条件，能作出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝4，AC＝5，∠B＝60° B．AB＝1，BC＝2，AC＝3 C．∠A＝40°．∠B＝50°，AB＝2 D．∠C＝90°，AB＝3 45．如图，在△ABC和△DEC和中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC和≌△DEC和，不能添加的一组条件是（　　） A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠ACD＝∠BCE 46．如图，△ADC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，BD、AE交于点F，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠BFE＝60°．其中，正确结论的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 47．下列各组中的两个三角形一定全等的是（　　） A．以100度为内角，10厘米为一边长的两个等腰三角形 B．两个等边三角形 C．有一边相等的两个等腰直角三角形 D．以4、9为边的两个等腰三角形 48．下列叙述错误的是（　　） A．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形 B．面积相等的两个三角形不一定全等 C．三角形的一条角平分线把三角形的面积分成相等的两部分 D．等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等 49．如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆AB＝AC，点E，F分别为AB，AC中点，ED，FD是连接立杆和支撑杆的支架，且ED＝FD．立杆在伸缩过程中，总有∠EAD＝∠FAD，其判定依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 50．如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带①④去 D．带①③去 51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝10cm．动点P从点A出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作PE⊥MN于点E，QF⊥MN于点F，则点P的运动时间为　 　 s时，△PEC与△QFC全等． 52．如图．AB，CD相交于点E，DE＝CE，请你补充一个条件 　 　 ，使△ADE≌△BCE． 53．如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为　 　 cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 54．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝15cm，AC＝6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0），则当以B、E、D为顶点的三角形与△ACB全等时，t＝　 　 s． 55．下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有 　 　 ． ①AB＝3，BC＝7，CA＝11， ②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3； ③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11； ④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9． 56．如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 　 　 秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等． 57．如图，AE∥BC，AE＝AB，∠EFA＝∠ACB．求证：△ABC≌△EAF． 58．如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． （1）用代数式表示PC的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； （3）若点P、Q的运动速度不相等．当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 59．如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC＝AC，过D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB＝∠E，求证：△ABC≌△EAD． 60．如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $