专题09 几何综合计算与证明 2026年中考数学高分突破一轮复习专题训练安徽专用

专题9 几何综合计算与证明 目录 9．1 圆的综合（弧长、扇形面积、切线与三角形综合） 9．2 几何动态问题（折叠、旋转中的线段关系） 9．3 解直角三角形（三角函数定义、特殊角值、实际应用） 考情分析：安徽中考几何压轴核心模块，圆与三角形综合、动态几何为高频考点，解直角三角形实际应用（测高、测距）近5年必考，是拉开分差关键 9．1 圆的综合 一、解答题 1．如图，四边形为的内接四边形，且． (1)求的度数． (2)若的半径为5． ①如图2，连结，求的长． ②如图3，连结，若平分，求的最大值． (3)如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系． 【答案】(1) (2)①，②的最大值为10 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，根据60°角构造等边三角形从而将线段进行转化是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）①利用圆周角定理，求出，再利用特殊角求解即可； ②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可； （3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可． 【详解】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，，作于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理，得， ∴； ②连接，延长至点F，使得，则， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， 由①，得， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上， ∴当为所在圆直径时，的长最大， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴，即为最大值， ∴的最大值为10； （3）解：如图，延长，，交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴． 2．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，根据，得，得，根据，得，即得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图 ，连接交于， ， ， ∵是劣弧的中点， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ，， 解得，； ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形的性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论，等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式是解题的关键． 3．如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论； （2）连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：与相切， 理由如下：连接，如图所示：   ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与相切； （2）解：连接， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练的证明圆的切线是解本题的关键； （1）连接，证明，，再证明即可； （2）设的半径为， 表示，，再利用建立方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）设的半径为，，则， ∵，， ∴， ∵，， 而， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】 5．已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，    (1)求证：是的切线． (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接、，证明，则，可证是的切线； （2）由，可得，由，可得，由，，可得，则，由，可得，由勾股定理得，，进而可求的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接、，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的半径为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边对等角，平行线的判定，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 6．如图1，是的直径，点在的延长线上，，，是上半部分的一个动点，连接，．    (1)当________时，的最大面积为________； (2)如图2，延长交于点，连接，且．求证：是的切线． 【答案】(1)，4 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式得到，根据题意确定时，最大，计算即可；； （2）连接，证明四边形为平行四边形，得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据圆周角定理得到∠，根据切线的判断定理证明结论． 【详解】（1）∵， ∴，． 在中，设边上的高为， ∵， ∴当最大时，取得最大值． 当时，最大， 此时，． ∴的最大面积为4．    （2）证明：如图，连接，．    ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即， ∴是的切线． 【点睛】考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质，解题关键是抓住经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线求解． 7．如图，在中，，点D在BC上，，过点D作，垂足为E，经过A，B，D三点． (1)求证：是的直径； (2)判断与的位置关系，并加以证明； (3)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)相切，理由见解析； (3) 【分析】（1）连接，由，利用等腰三角形三线合一性质得到，利用的圆周角所对的弦为直径即可得证； （2）与圆O相切，理由为：连接，由O、D分别为中点，利用中位线定理得到与平行，利用两直线平行内错角相等得到为直角，再由为半径，即可得证； （3）由，且，得到三角形为等边三角形，设与交于点F，连接为三角形中位线，求出的长，即可确定出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∴为圆O的直径； （2）与圆O相切， 理由为：连接， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ， ∵为圆的半径， ∴与圆O相切； （3）解：， 为等边三角形， 连接， ∵为圆O的直径， ∵D为中点， ∴E为中点，即为中位线， 在中，根据勾股定理得： ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查直线与圆相切的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 8．如图，已知：C是以为直径的半圆O上一点，直线与过B点的切线相交于点D，点F是的中点，直线交直线于点G． (1)求证：是⊙O的切线； (2)已知，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理，全等三角形的判定定理与性质定理证明，再利用切线的判定定理即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理，切线长定理可求得线段的长，利用相似三角形的判定与性质可求得圆的半径与直径，再利用相似三角形的判定与性质得到的比，设，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：连接，如图， ∵， ∴， ∵是圆的切线，是⊙O的切线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是⊙O的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴（负数不合题意，舍去）． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理，切线长定理，弦切角定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线是解题的关键． 9．如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以的长为半径作，交边于点，交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接AE，根据平行四边形的性质得到，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）连接EF，作EG⊥AC，由（1）可知的性质得出后证明是等边三角形，接着求出，利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出，最后利用勾股定理求出EF的长． 【详解】（1）解：连接AE， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AE是的半径， ∴与相切； （2）连接EF，作EG⊥AC， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵EG⊥AC， ∴， ∴， ∴，   在中， ． 【点睛】本题主要考查圆的综合，切线的判定、三角形全等的判定及性质、勾股定理，重点是掌握圆的基础知识定理，并且要灵活运用． 10．如图，在平行四边形ABCD中，点A，B，D三个点都在⊙O上，CD与⊙O交于点F，连接BO并延长交边AD于点E，点E恰好是AD的中点． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若AE＝1，∠BAD＝75°； ①求BE的长； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据垂径定理的推论可确定BE⊥AD，再结合平行四边形的性质即可证明． （2）①连接AO．根据直角三角形两个锐角互余求出∠ABO，再根据等边对等角和三角形外角的性质求出∠AOE，根据30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理和等价代换思想求出OB和OE的长度，即可求出BE的长度． ②连接OD，OF，BF．根据等价代换思想求出DE的长度，进而求出△ODE的面积；根据平行四边形的性质，圆内接四边形的性质求出∠ABF，进而求出∠OBF，根据等边三角形的判定定理和性质求出∠BOF，进而求出扇形OBF的面积；根据圆周角定理求出∠BOD，进而求得DOF，再根据三角形面积公式求出△DOF的面积；根据线段的和差关系和平行四边形的性质求出BC的长度，然后根据梯形面积公式求出梯形EBCD的面积，再减去扇形OBF，△DOF，△ODE这三部分的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：∵点E是AD的中点， ∴BE⊥AD． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴BE⊥BC． ∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：①如图，连接AO． ∵BE⊥AD，∠BAD＝75°， ∴∠ABO＝15°． ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝15°． ∴∠AOE=∠BAO+∠ABO＝30°． ∵AE=1， ∴OA＝2AE＝2． ∴OB＝2，OE＝． ∴BE＝OB+OE＝2+． ②如图，连接OD，OF，BF． ∵AE=1，E是AD的中点， ∴DE=1． ∴，AD=AE+DE=2． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝75°， ∴∠ADC＝180°-∠BAD=105°，∠BOD=2∠BAD=150°． ∵四边形ABFD内接于， ∴∠ABF=180°-∠ADC=75°． ∴∠OBF=∠ABF-∠ABO=60°． ∵OF=OB=2， ∴△OBF是等边三角形． ∴∠BOF=60°． ∴∠DOF=∠BOD-∠BOF=90°，S扇形OBF． ∵OF=2， ∴OD=OF=2． ∴． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=2． ∴S梯形EBCD=． ∴S阴=S梯形EBCD-S扇形OBF． ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查垂径定理的推论，平行四边形的性质，直角三角形两个锐角互余，等边对等角，三角形外角的性质，含30°的直角三角形，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定定理和性质，扇形面积公式，圆周角定理，三角形面积公式，梯形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键． 11．如图，为的外接圆，直线与相切于点，弦，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，切线的性质，垂径定理的应用，熟练的利用垂径定理解决问题是关键． （1）证明，结合，可得，再利用垂径定理可得答案； （2）连接，由（1）知，，可得求解 设半径为，在中，根据勾股定理可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：连接，交于点 ∵直线与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，由（1）知， ∴ ∴在中得 设半径为，在中， 根据勾股定理可得， 解得． 12．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． (1)求的长； (2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论； (3)连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）由圆周角定理得出，由勾股定理可求出答案； （）延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出结论； （）连接，，证明，由全等三角形的性质得出 ，则点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上 (分左右两种情况)，求出的长，由弧长公式可得出答案． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，弧长公式以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 14．在中，，点在上方，连接，将绕点顺时针旋转90°到． (1)如图1，，点在右上方，连接，，若，，，求的长； (2)如图2，点在的左侧上方，连接交于点，为上一点，若，且为的中点，过作于点，求证：； (3)如图3，，，，将沿着直线翻折至连接，连接并延长交于点，交于点，当最长时，直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积是1 【分析】（1）构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理和含角的直角三角形的性质分别求出和，即可求解； （2）分别过点B和点F向作垂线，构造矩形和全等的三角形，再利用全等三角形的性质转化边的关系，即可求证； （3）先利用四点共圆得到点A、R、B、C在以为直径的圆上，得出四边形是正方形，再证明，求出，再证明得到，进而求解． 【详解】（1）如图①，过A点作于G， ∵将绕点D顺时针旋转到， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，过F点作于，过点B作于J， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）的面积是1 如图3，连接， ∵，， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A、R、B、C在以为直径的圆上， ∴当时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为，此时，是直径， 由，， 此时，四边形是正方形，如图4所示， ∴， 由翻折知： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过D点作，垂足为E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、旋转的性质、轴对称的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是正确做出辅助线，本题综合性较强，对学生综合分析问题的能力要求较高． 15．在等边中，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接． (1)如图1，当三点共线时，连接，若，求的长； (2)如图2，取的中点，连接，猜想线段与的关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)AF⊥DF，； (3) 【分析】（1）根据∠BDE=120°，BD=DE以及等边三角形的性质得到AD=CD=1，∠ADE=30°，求出AE=AD=1，过点E作EM⊥CA，交延长线于M，根据三角函数求出AM，ME，根据勾股定理求出CE； （2）延长DF至点K，使FK=DF，连接EK、KC，过点D作DP∥BC，交AB于点P，根据平行四边形的性质可得∠EDA=∠KCA，证明△APD是等边三角形，进而证明△ABD≌△AKD，即可证明△AKD是等边三角形，进而根据三线合一以及含30°角的直角三角形的性质，可得∠FAD=∠KAD=30°，AF⊥DF，利用锐角三角函数得到AF、DF的关系； （3）过点D作DM⊥BE于点M，过点D作DN⊥AB，连接MF，交AC于H，过点D作DN⊥AB，交BE于R，过R作RQ⊥BD于Q，先证明∠EMF=45°，结合中位线定理可得∠EBC=45°，进而可得∠NBD=45°，设AN=DF=1，分别根据勾股定理求得AF、ND、BD、MB，进而根据CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF求得CD+AB，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵∠BDE=120°，BD=DE， ∴∠ABD=∠AED=30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，BC=AB=AC=2， ∴∠ADB=90°， ∴AD=CD=1，∠ADE=30°， ∴AE=AD=1， 过点E作EM⊥CA，交延长线于M， ∵∠MAE=∠BAC=60°， ∴AM=，ME=， ∴CM=AC+AM=， ∴； （2）如图，延长DF至点K，使FK=DF，连接EK、KC，过点D作DP∥BC，交AB于点P， ∵点F是CE的中点， ∴FE=FC， 又FK=DF， ∴四边形CDFK是平行四边形， ∴ED= КС，ED∥KC， ∴∠EDA=∠КСА， ∵将BD绕点D顺时针旋转120°得到DE， ∴BD=DE，∠BDE=120°， ∴BD=KC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵PD∥BC， ∴∠APD=∠АВС=60°，∠CBD=∠PDB， ∴△APD是等边三角形， ∴AD=AP， ∵AB=AC， ∴CD=PB， 设∠CBD=，则∠PDB=， ∴∠ABD= ∠APD-∠PDB=60°-，∠ADB= 60°+， ∠ADE=∠ BDE-∠ADB= 120°- (60°+)= 60° –， ∵ED∥KC， ∴∠ẠCK=∠ADE= 60 °–， ∴△ ABD≌△ACK， ∴AK=AD，∠ KАC= ∠DAB= 60°， ∴△ AKD是等边三角形， ∵DF= FK， ∴∠FAD=∠KAD=30°，AF⊥DF， ∴； （3）如图，过点D作DM⊥BE于点M，连接MF，交AC于H，过点D作DN⊥AB，交BE于R，过R作RQ⊥BD于Q， ∴∠GMD= ∠GFD= 90°， ∴G，M，D，F四点共圆， ∴∠FGD=∠FMD， 由(2) 知AF⊥DF，∠ FAD= 30°， ∴∠ADF= 60° ， ∵FG=FD， ∴∠FDG=∠FGD=45°，∠FGD=∠FMD=45°， ∵将BD绕点D顺时针旋转120°得到DE， ∴BD=DE，∠BDE= 120°， ∴МВ=МЕ=ВЕ， ∵ F是EC的中点， ∴MF是△EBC的中位线， ∴ MF∥BC， ∴∠EBC=∠EMF=45°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°， ∵∠NBD=∠ABE+∠EBD=45°， ∴△NBD是等腰直角三角形， ∴ND=NB， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=∠BAD+∠DAF=90°， ∵∠AFD=90°，DN⊥AB， ∴四边形ANDF是矩形， ∴ND= AF， AN= DF， 设AN=DF=1， 在Rt△ADF中，AD=2DF=2， ∴AF=， ∴AB=AN+NB=AN+ND=AN+AF=1+， ∴DC=AC-AD=AB- AD=1+-2=-1， 在Rt△NBD中，ND=NB=AF=， ∴BD=， 在Rt△MBD中，MB=， ∴BE=2BM =， ∴CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF=2(-1+1)=2， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，四点共圆，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，掌握旋转的性质，等边三角形的性质与判定是解题的关键． 16．（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ 最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______． （2）小试牛刀：如图2所示，中，，，．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为______． （3）尝试应用：如图3所示是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE． ①请直接写出DE的最小值． ②在①的条件下求的面积． （4）拓展提高：如图4，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．．，，请求出AE的最小值． 【答案】（1）PO，垂线段最短；（2）；（3）①DE的最小值是1；②△BPE的面积为；（4）AE的最小值为． 【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答； （2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值，利用面积法即可求解； （3）①根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得△ABP≌△CBE，得到∠BCE=30°．得到点E在射线CE上，根据“垂线段最短”这一定理，当∠DEC=90°时，DE最短，据此求解即可； ②利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的长，即可求解； （4）作出如图的辅助线，先判断出点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当当AE⊥GH时，AE最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）∵PO⊥直线m， ∴从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 故答案为：PO，垂线段最短； （2）由（1）知当PC⊥AB时，PC取得最小值， S△ABC=ACBC=ABPC， ∴PC=，即CP的最小值为， 故答案为：； （3）①由旋转知∠PBE=60°，BP=BE， ∴△PBE是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，边长为4， ∴AB=BC，∠ABC=60°，∠ABD=∠CBD=30°，BD=CD=2， ∴∠ABP=∠CBE， ∴△ABP≌△CBE（SAS）， ∴∠BCE=∠BAD=30°； ∵点P为高AD上的一个动点， ∴点E在射线CE上， 根据“垂线段最短”可知，当DE⊥CE时，DE最短． ∵∠BCE=30°，CD=2， ∴DE=CD=1， 即DE的最小值是1； ②由①得CD=2，DE=1， ∴CE=， ∵△ABP≌△CBE， ∴AP=CE， 在Rt△BDA中，AB=4，BD=2， ∴AD=， ∴PD=AD-AP=， ∴PB=， ∴等边三角形△PBE的高为， ∴△BPE的面积为=； （4）过点B作BH⊥AC于点H， 则∠BHC=90°， ∴∠HBC+∠HCB=90°，∠ACD+∠HCB=90°， ∴∠HBC=∠ACD， ∵∠EBF=∠ACD， ∴∠HBC=∠EBF， 此时点F与点C重合，点E与点H重合， ∵AB=3，BC=4， ∴AC=， ∵S△ABC=ABBC=ACBH， ∴BH=， ∴AH=， 取AB中点G， 过点G作GI⊥AB交AC于点I， 则∠BGI=90°， ∴∠GBI=∠BAC， ∵∠EBF=∠ACD=∠BAC， ∴∠GBI=∠EBF， 此时点F与点I重合，点E与点G重合， 顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动， 且， 四点共圆， ∴点E在直线GH上运动， 根据“垂线段最短”这一定理，当AE⊥GH时，AE最短， 过点H作HP⊥AB于点P， ∴△APH△ABC， ∴，即， ∴PH=，AP=， ∴PG=AG-AP=， ∴GH=， ∵S△AGH=AGPH=GHAE， ∴AE=， ∴AE的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 17．已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点E． (1)如图①，，过圆心O作，垂足为H．当是的直径时，求证：； (2)如图②，，过圆心O作，垂足为H．当不是的直径时，请你判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，，F为上一点，若，，则E到距离的最大值是 _． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)；理由见详解； (3) 【分析】（1）根据垂径定理可知是的中点，故是的中位线，即，再根据垂径定理说明即可； （2）做直径并连接，根据中位线定理证明，再根据圆周角定理证明，从而证明即可； （3）通过圆周角定理得出，，从而得出，得到点在以为弦的上运动，且，再通过计算得到点到的距离的最大值即可． 【详解】（1）证明： 在中，， ， ， 是的中位线， ， 为的直径，， ， ， ； （2）解：，理由如下∶ 作直径，连接， 在中，， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， 连接， ， ， ， ， ； （3）解：，由（2）可得， ， ， ， ， ，， ， ， 点在以为弦的上运动，且， ， 当过圆心时，到距离取得最大值， 即点在的位置时，，， ， ， ，， 点到的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，圆的基本性质，最值问题、解直角三角形等，掌握圆的基本性质、正确作出辅助线是解题的关键． 18．如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N． （1）求证：∠AOC=135°； （2）若NC=3，BC=，求DM的长． 【答案】（1）见解析；（2）DM=1． 【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题； (2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示， ∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N ∴OM⊥AB，ON⊥CD， ∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB， ∴OM=OE， 即：E为⊙O的切点； ∴OE=ON， 又∵OE⊥AC，ON⊥CD， ∴OC平分∠ACD， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠OAC+∠OCA=45°， ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°， 即：∠AOC=135°， （2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x， ∵AB=AC， ∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE-DM=3-x， ∵CD=3+x， 在Rt∆BCD中，由勾股定理得：， 即：， 解得：x=1或x=-1（舍去）， 即DM=1． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程． 9．2 几何动态问题 一、填空题 1．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角. （1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______； （2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角． 【答案】 140°、120°或80° 【分析】（1）根据折叠性质可得∠A1B1B2=∠C，∠AA1B1=∠B，由三角形外角性质可得∠AA1B1=2∠C，根据等量代换可得∠B=2∠C；（2）先求出经过三次折叠，∠BAC是△ABC的好角时，∠B与∠C的等量关系为∠B=3∠C，进而可得经过n次折叠，∠BAC是△ABC的好角时∠B与∠C的等量关系为∠B=n∠C，因为最小角是20º，是△ABC的好角，根据好角定义，设另两角分别为20mº，4mn°，由题意得20m+20mn+20=180°，所以m(n+1)=8，再根据m、n都是正整数可得m与n+1是8的整数因子，从而可以求得结果． 【详解】（1）根据折叠性质得∠B=∠AA1B1，∠A1B1B2=∠C， ∵∠AA1B1=∠A1B1B2+∠C， ∴∠B=2∠C 故答案为∠B=2∠C （2）如图：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°， 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； ∴当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C； ∵最小角为20°， ∴设另两个角为20m°和20mn°， ∴20°+20m°+20mn°=180°，即m(1+n)=8， ∵m、n为整数， ∴m=1，1+n=8；或m=2，1+n=4；或m=4，1+n=2. 解得：m=1，n=7；m=2，n=3，m=4，n=1， ∴另两个角为20°、140°或40°、120°或80°、80°， ∴此三角形最大角为140°、120°或80°时，三个角均是此三角形的好角. 故答案为140°、120°或80° 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．充分利用三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质是解题关键． 2．如图，将矩形纸片置于平面直角坐标系中，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形纸片进行两次折叠：先沿对角线折叠，点C落在处，再次折叠，使点D与点A重合，折痕交于点E，交于点F．则点F的坐标为____． 【答案】 【分析】延长交y轴于G，设与相交于H，证明得到，设，则，在中，利用勾股定理求得，再证明求得，进而利用坐标与图形可得结论． 【详解】解：延长交y轴于G，设与相交于H， ∵顶点A，C的坐标分别为，， ∴由矩形性质得，，，， 由折叠性质得，，，， 在和中， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由得， 解得，即， ∵， ∴，即轴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 3．折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 【详解】解：将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．如图，在矩形中，，为边上两点，将矩形沿折叠，点恰好落在上的处，且，再将矩形沿过点的直线折叠，使点落在上的处，折痕交于点，将矩形再沿折叠，与恰好重合，已知，则___． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出△A'EF为等腰直角三角形，得出EF=A'E=2，∠EFC'=45°，求出AF=AE+EF=+2，证明△ABF为等腰直角三角形，求出AB的长，证明△FDH∽△EAB，由相似三角形的性质求出DF的长，则可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得AE=A'E，又AE=， ∴A'E=， ∵A'E=A'F，∠EA'B=∠EAB=90°， ∴△A'EF为等腰直角三角形， ∴EF=A'E=2，∠EFC'=45°， ∴AF=AE+EF=+2，△ABF为等腰直角三角形， ∴AB=AF=+2，∠ABF=45°， ∴∠ABE=∠HBF=22.5°， 由折叠的性质得∠C'HF=∠DHF，∠BHC=∠BHC'， ∴∠BHF=∠BHC'+∠C'HF=90°， ∵∠C'FH=∠BFH，∠BHF=∠FC'H=90°， ∴△FHC'∽△FBH， 同理△ABE∽△FBH， ∴△FDH∽△EAB， ∴， ∵DH=C'H=CH， ∴DF=AE=， ∴AD=AF+DF=+2． 故答案为：+2． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、解答题 5．阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角． 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现 △ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？_　_　（填“是”或“不是”）． 小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为_． 根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为　_　． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． 【答案】（1）是；（2）∠B=n∠C；（3）4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º． 【详解】试题分析：（1）仔细分析题意根据折叠的性质及“好角”的定义即可作出判断； （2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C，由∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得结果； （3）因为最小角是4º是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4mº，4mnº（其中m、n都是正整数），由题意得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44，再根据m、n都是正整数可得 m与n+1是44的整数因子，从而可以求得结果． （1）由题意得∠BAC是△ABC的好角； （2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C 因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C， 所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C 由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C； （3）因为最小角是4º是△ABC的好角， 根据好角定义，则可设另两角分别为4mº，4mnº（其中m、n都是正整数）． 由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44． 因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子， 因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2． 所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1． 所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88． 所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º． 考点：折叠问题的综合题 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大. 6．在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”． 【尝试与感悟】 （1）如图，点在边上，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，此时折痕与边形成的夹角就是“折叠角”，且 ______ ； （2）如图，先将矩形对折，使得与重合，折痕为，点在边上，再将纸片沿着折叠，点落在上的点处求“折叠角”的度数； 【探索与发现】 （3）在图中与垂直的射线、上分别取点、，使得四边形是矩形，将其沿着经过点的直线折叠后，点落在边上并且得到的“折叠角”请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点、不写作法，保留作图痕迹 【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）由折叠的性质可求，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，即可求解； （3）以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点M、H，连接，，，作的垂直平分线，交于点K，交于点J，分别以点K、J为圆心，为半径画弧，交于点D，交于点C，连接，则四边形即为所求作的矩形． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接， 由折叠可得：，，， ， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， ， 将纸片沿着折叠， ， ； （3）如图，以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点M、H，连接，，，作的垂直平分线，交于点K，交于点J，分别以点K、J为圆心，为半径画弧，交于点D，交于点C，连接，则四边形即为所求作的矩形． 根据作图可知：垂直平分，，，点H在上， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形是矩形， ∵， 是等边三角形， ， 过点作，交于点E， ， ∵是等边三角形，， ∴为的对称轴， ∴点A的对称点为点H，且折叠角为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 7．综合与实践 综合与实践 背景 打印纸中的数学：我们生活中常见的A4纸是由国际标准化组织的定义的，规格，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准，我们通过计算发现纸的长、宽之比约为，猜想纸的长、宽之比为，我们取一张纸，记为矩形，并通过以下几种折纸操作证明这一结论． 操 作 一 折叠一：如图1，是纸边上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，另一张纸的长边恰好与重合． 操 作 二 折 叠 二 ：如图2，分别是纸边上一点，先将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，再继续沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，发现此时点与点重合． 操 作 三 折叠三：如图3，是纸边上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，然后将矩形展开，再将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，然后将矩形展开，折痕与交于点．如图4，将如图3的纸片沿折叠，发现与重合，与重合 ……． 问题解决 任务 1 根据折叠一中的图1，求图1中的值为_ ； 任务 2 根据折叠二中的图2，若矩形边长，则长度为_； 任 务 3 根据折叠三中的图4，连接并延长交于F，求   【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查矩形的折叠问题、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键． 任务1：结合矩形的性质、折叠的性质，可知是等腰直角三角形，即可得出；设，则，设，则，利用勾股定理解，用含a的式子表示出x，即可求解； 任务2：由折叠的性质得出是等腰直角三角形，进而可得； 任务3：证明是等腰直角三角形，同理可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，设，则，，，分别求得的长，证明，等面积法求得，进而求比值，即可． 【详解】解：任务1：四边形是矩形， ，， 由折叠知， ， ，即是等腰直角三角形， ， ； 故答案为：． 任务2：同方法一可得， ∵，则，， 由折叠知， ， ， ， 设，则， 由折叠知， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 任务3：解：纸片沿折叠，发现与重合，与重合， ，，， 又矩形中，， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 同理可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 设，则，， ∴， ∴ ∴， ∴ 在中， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵折叠， ∴ ∵，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 8．“折纸”是同学们经常做的手工活动． 【活动一】 如图1，有一张长方形纸片，，，小明将纸片进行两次折叠，第1次是沿过点B的直线进行折叠，使得点A的对应点落在纸片的内部，折痕与边交于点E，第2次折叠，在边上取一点F，将沿进行折叠，使得点D落在射线上． （1）如图1，在第1次折叠中，若点恰好落在对角线上，则　_　； （2）用圆规和直尺在图2中作出第2次折叠中的折痕（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚），并求出的最大值． 【活动二】 （3）如图3，有一张四边形纸片，已知，，，，小明认为他可以用一张边长为的正方形纸片，经过【活动一】中的两次折叠得到与四边形纸片一模一样的四边形，小明的想法对吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）图见解析，；（3）小明的想法不对，理由见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，再结合轴对称的性质与勾股定理可得答案； （2）如图2，作的角平分线，交于点F即可，证明，可得，设，，则，再建立二次函数，利用二次函数的性质可得答案； （3）如图，连接，先求解，根据题意，可能的折法有以下两种：折法一：如图3，可得一边长为45，则不符合题意；折法二：如图4，将所得的四边形纸片展开的正方形，证明，可得，设，则，，，求解，可得，从而可得结论． 【详解】解：（1）由折叠可知，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， （2）如图2，作的角平分线，交于点F， 由折叠可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， 整理得，， ∴当时，y有最大值， ∴的最大值为； （3）小明的想法不对，理由如下： 如图，连接， ∵，，，， ∴，， ∴， 根据题意，可能的折法有以下两种： 折法一：如图3，可得一边长为45， ∵，不符合题意； 折法二：如图4，将所得的四边形纸片展开的正方形， 同理可得：， ∴， ∴两个三角形的相似比为， 设，则，，， ∴， 解得， ∴， ∵，不符合题意； 综上所述：小明的想法不正确． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作角平分线，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 9．综合与实践：直角三角形折叠中的数学。数学活动：在综合实践活动课上，老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题．在中，． （1）如图1，勤学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点则的长为_． 如图2，乐学组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，折痕交于点则的长为_． （2）如图3，博学组将点沿折叠，使得点与点重合，折痕交于点交于点求线段的长度； 如图4，善思组在博学组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，则的长度为__． （3）如图5，奋进组将点沿折叠，使得点的对应点落在边上，求的长度； 如图6，创新组在奋进组的基础上，将点沿折叠，使得点的对应点落在上，折痕交于点再把展开，将点沿折叠，使得点的对应点落在的延长线上，折痕交于点得到如图7所示的图形，请直接写出的长． 【答案】（1）①2；②；（2）①；②；（3）①；② 【分析】先根据勾股定理得出AC=5； （1）①根据折叠的性质得出DE是△ABC的中位线即可 ②根据折叠的性质得出BE⊥AC，再根据等积法即可得出BE的长 （2）①根据折叠的性质得出EF垂直平分AC，从而得出，根据相似三角形的性质得出即可得出EF的长 ②由①和勾股定理得出，再根据折叠的性质得出，从而得出，得出比例式即可 （3）①过点作于先证出得出4EM=3CM，根据折叠的性质和勾股定理即可得出BE的长 ②根据折叠的性质结合①得出再证明根据相似三角形的性质即可 【详解】解： 根据折叠的性质得：AD=BD，ED⊥AB； ，∴DE//BC ∴DE是△ABC的中位线 ∴DE= 由折叠的性质得BE⊥AC， ∴ ∴ ∴ 将点沿折叠与点重合， 是的垂直平分线． ． 又 ． 在Rt中，， 由勾股定理得出，则； 根据折叠的性质得出， ∴ ∴∴ ∴,∴ ∴GF= 过点作于如图． 又 即 设 则 将点沿折叠，使得点的对应点落在边上， 解得 由折叠的性质可得 即 【点睛】此题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键． 10．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似的，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形． (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，__________； (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个四边形， ①求证：折出的四边形为矩形 ②若，，求__________． 【答案】(1) (2)①证明见解析，②13 【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理； （1）根据折叠后的图形全等，进而得到面积相等即可得到，，然后表示出和即可求解； （2）①由折叠的性质得：，，再结合，可得，同理可得：，即可判断折出的四边形为矩形； ②先由勾股定理求出，再由折叠的性质得：，，，，推出，最后由得到． 【详解】（1）解： 由折叠的性质得：，四边形四边形， ，， ， ∴ ； 故答案为：； （2）①证明：∵由折叠的性质得：，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴折出的四边形为矩形； ②解： ，，， ， 如图： 由折叠的性质得：，，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ； 11．如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙，无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形． （1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_，_；S矩形AEFG=______，S▱ABCD=_． （2）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长． 【答案】（1）AE，GF，1：2；（2）折法一：AD= 1，BC= 7，或折法二：AD=，BC=. 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得出△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积，得出S矩形AEFG=S▱ABCD，即可得出答案； （2）折法1中，由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°，由叠合正方形的性质得出BM=FM=4，由勾股定理得出GM=CM==3，得出AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7； 折法2中，由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MC=CN，求出GH=CD=5，由叠合正方形的性质得出EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25，由勾股定理求出FM=BM==3，设AD=x，则MN=FM+FN=3+x，由梯形ABCD的面积得出BC=﹣x，求出MC=BC﹣BM=﹣x﹣3，由MN=MC得出方程，解方程求出AD=，BC= ． 【详解】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF； 由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG， ∴△ABE的面积=△AHE的面积，四边形AHFG的面积=四边形DCFG的面积， ∴S矩形AEFG=S▱ABCD， ∴S矩形AES▱ABCD =1：2， 故答案为AE，GF，1：2； （2）有两种折法，如图4、图5所示： 折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：AD=BG，AE=BE=AB=4，CF=DF=CD=5，GM=CM，∠FMC=90°， ∵四边形EFMB是叠合正方形， ∴BM=FM=4， ∴GM=CM===3， ∴AD=BG=BM﹣GM=1，BC=BM+CM=7； 折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形EMHG的面积=梯形ABCD的面积，AE=BE=AB=4，DG=NG，NH=CH，BM=FM，MC=CN， ∴GH=CD=5， ∵四边形EMHG是叠合正方形， ∴EM=GH=5，正方形EMHG的面积=52=25， ∵∠B=90°， ∴FM=BM==3，设AD=x，则MN=FM+FN=3+x， ∵梯形ABCD的面积=（AD+BC）×8=2×25， ∴AD+BC=， ∴BC=﹣x， ∴MC=BC﹣BM=﹣x﹣3， ∵MN=MC， ∴3+x=﹣x﹣3，解得：x=， ∴AD=，BC=﹣=． 12．【知识技能】 （1）如1图，把一副三角尺拼接在一起，其中与直线重合，，，则的度数为_______； 【数学理解】 （2）如2图，三角尺固定不动，将三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，当平分时，求出时间的值； 【深入探究】 （3）如3图，若三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，三角尺同时也绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，在旋转过程中，两块三角尺都在直线的上方．当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．设三角尺的旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在；t的值为21或25 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，角平分线的定义，角的计算，利用三角板的特殊角，分清运动的情形是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）先求出旋转角，再除以转动速度即可； （3）分当在左侧和当在右侧两种情形，结合图形分别求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）当边平分时， ∵， ∴， ∴旋转角为：， ∴； （3）存在，理由是： 当在左侧时， 根据旋转可知：， ， ∵， ∴， 解得：； 当在右侧时， ， ， ， ， ； 综上：的值为21或25． 13．如图，直线与直线相交于点O，． 已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． (1)如图1，从旋转开始至边与射线重合时，共需多少秒？ (2)旋转至如图2所示位置时，试说明与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，绕点O在平面内旋转，旋转前，边与射线重合，边与射线重合． 若在旋转过程中，绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转，当停止旋转时，也停止旋转，旋转过程中，当边所在直线恰好平分锐角时，求出旋转时间． 【答案】(1)15 (2)与的数量关系是：(相等)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的角度计算问题，一元一次方程方程的应用等知识，能正确找到符合条件的情况并正确作图是解题的关键． （1）先推导找出旋转的角度为，再除以旋转速度得解； （2）利用得到，从而得解； （3）设时间为t秒，分平分和的反向延长线平分两种情况讨论分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从旋转开始至边与射线重合时，共旋转了， ∴所需时间是：(秒)， 答：旋转开始至边与射线重合时，共需15秒． （2）与的数量关系是：(相等)，理由如下： ∵， ∴，即； （3）设时间为t秒， ∵将绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周． ∴当时，，当时，． 又∵绕点O以每秒的速度绕点O沿逆时针方向旋转， ∴， ①如图，当平分时，，， ∵平分，， ∴， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：； ②如图，当的反向延长线平分时，，， ∵的反向延长线平分，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴解得：； 综上所述：或． 14．综合与实践 背景阅读：旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转作为图形变换的一种，具备图形旋转前后对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形是全等图形等性质．所以充分运用这些性质是在解决有关旋转问题的关键． 实践操作：如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． 问题解决：（1）①当α＝0°时，＝　_　；②当α＝180°时，＝　_　． （2）试判断：当0°≤a＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． 问题再探：（3）当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求得线段BD的长为　_　． 【答案】（1）①，②；（2）无变化，证明见解析；（3）6或． 【分析】问题解决：（1）①根据三角形中位线定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，即可求出的值； ②先求出BD，AE的长，即可求出的值； （2）证明△ECA∽△DCB，可得； 问题再探：（3）分两种情况讨论，由矩形的判定和性质以及相似三角形的性质可求BD的长． 【详解】问题解决： （1）①当α=0°时． ∵BC=2AB=12， ∴AB=6， ∴AC6， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=3，DEAB， ∴． 故答案为：； ②如图1． ， 当α=180°时． ∵将△EDC绕点C按顺时针方向旋转， ∴CD=6，CE=3， ∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18， ∴． 故答案为：． （2）如图2， ， 当0°≤α＜360°时，的大小没有变化．证明如下： ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． 问题再探： （3）分两种情况讨论： ①如图3． ． ∵AC=6，CD=6，CD⊥AD， ∴AD12． ∵AD=BC，AB=DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=6 ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P． ∵AC=6，CD=6，CD⊥AD， ∴AD12． 在Rt△CDE中，DE==3， ∴AE=AD﹣DE=12﹣3=9， 由（2）可得：， ∴BD． 综上所述：BD=6或． 故答案为：6或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，正确作出辅助线，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 15．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于点N. （1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数； （3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）；（2）；（3）不变化，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，DA旋转了，从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积. （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为. （3）延长BA交DE轴于H点，通过证明和可得结论. （1）∵A点第一次落在DF上时停止旋转，∴DA旋转了. ∴DA在旋转过程中所扫过的面积为. （2）∵MN∥AC，∴,. ∴.∴. 又∵，∴. 又∵ ,∴. ∴.∴. ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形ABCD旋转的度数为 . (3)不变化，证明如下： 如图， 延长BA交DE轴于H点，则 ，， ∴. 又∵.∴． ∴． 又∵, ,∴． ∴.∴. ∴. ∴在旋转正方形ABCD的过程中，值无变化. 考点：1.面动旋转问题；2．正方形的性质；3.扇形面积的计算；4.全等三角形的判定和性质. 16．阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 图形旋转的应用．图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的． 如图，在中，，平分，且，．过点作互相垂直的两条直线，即，交于点，交于点，求四边形的面积． 分析：将以点为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后的对应线段所在直线垂直于，并且交于点，旋转后的对应线段所在直线交于点．则容易证明四边形为正方形．因为，，，所以， 所以． 学习任务： （1）四边形的面积等于______； （2）如图，在中，： ①作出的外接圆； ②作的平分线，与交于点． 要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹 （3）在（2）的基础上，若，则四边形的面积等于______． 【答案】（1）；（2）①图见解析；②图见解析；（3）49 【分析】（1）根据题意，设正方形MENC的边长是，利用，对应边成比例列式求出的值，即可得到四边形EFCD的面积； （2）①作线段AC的垂直平分线，线段BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OA长为半径画圆，得到的外接圆； ②以C为圆心，任意长为半径画弧，交AC和BC于两个点，再分别以这两个点为圆心，足够的长为半径画弧，交于一个点，连接这个点和点C，即可得到的平分线； （3）连接AD、BD，过点D作于点E，于点F，证明，得，根据，即可求出正方形CEDF的边长，四边形ACBD的面积等于正方形CEDF． 【详解】解：（1）根据题意，设正方形MENC的边长是， 则， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 故答案是：； （2）①如图所示： ②如图所示： （3）如图，连接AD、BD，过点D作于点E，于点F， ∵， ∴四边形CEDF是矩形， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形CEDF是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案是：49． 【点睛】本题考查几何综合题，解题的关键是掌握圆的性质，旋转的性质，以及构造全等三角形进行证明求解． 17．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，连接，写出与的关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试画出C，D，E三点构成直角三角形的图形，并直接写出直角三角形的面积（至少2种情况）． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】（1）利用勾股定理求出，由三角形全等的性质可得，，过点作，易证是等腰直角三角形，求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先根据直角三角形的性质可得，易证是等腰三角形，分别过点作，垂足分别为，根据等腰三角形三线合一的性质求出，利用勾股定理求出，再利用三角形等面积法求出，由勾股定理求出，由，根据等腰三角形三线合一的性质求出，即，再证明，得到，求出，即可得出结论； （3）运用分类思想解答即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴即， 过点作， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为； （2），证明如下： 根据题意，得， ∴是等腰三角形， 分别过点作，垂足分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 18．（1）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，若，在纸片绕点旋转过程中，直线与分别交于点，点，求证：． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，在纸片绕点旋转过程中，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）2 （3）16或64或48 或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据平行线证明，利用勾股定理解答即可． （3）根据旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解方程，分类的思想解答即可． 本题考查了旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理的应用，分类思想的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质，得， ∵ ∴． ∴． （2）解：根据题意，得， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当，且点D在上时，是直角三角形， 根据题意，得，， 此时； 当，且点D在的延长线上时，是直角三角形， 根据题意，得，， 此时； 当时，是直角三角形， 过点A作于点Q， 则四边形是矩形， 故，， 由， ， 故， 此时； 当时，是直角三角形， 过点A作于点M，设的交点为N， 由， ， 故， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴， 此时． 综上所述，的面积为16或64或48 或． 19．如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形_（填“是”或“不是”“旋转位似图形”； 如图1，与互为“旋转位似图形”， ①若，，，则_； ②若，，，则_； (2)知识运用： 如图2，在四边形中，，于，，求证：和互为“旋转位似图形”； (3)拓展提高： 如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求出和的值． 【答案】(1)是；①；② (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转位似图形的定义； 旋转位似图形的性质，得，根据三角形的内角和，即可； 根据相似三角形的性质，即可； （2）如图，根据，，，得，；根据对顶角相等，得，；再根据，即可； （3）连接，根据勾股定理，求出，过作于，由，；根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，再根据勾股定理，即可求出的长． 【详解】（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”， 故答案为：是； ①∵与互为“旋转位似图形” ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：是；①；②． （2）如图： ∵，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和互为“旋转位似图形”． （3）连接 ∵为等腰直角三角形，点为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：，． 【点睛】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是理解旋转位似图形的定义，相似三角形的判定和性质． 20．在数学活动中，小明发现将两块不同的等腰直角三角板进行旋转，能得到一组结论：在其中一块三角板Rt△ABC，AB＝BC＝4，∠B为直角，将另一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于E、F两点，如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况． （1）三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，求出CF；若不能，请说明理由； （2）三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图②加以证明； （3）若将三角板的直角原点放在斜边上的点P处（如图③），当，PF和PE有怎样的数量关系，证明你发现的结论． 【答案】（1）CF＝2或CF＝4；（2）OE＝OF，理由详见解析；（3）PF＝4PE，理由详见解析. 【分析】△OFC能成为等腰直角三角形，分∠OFC＝90°和∠COF＝90°两种情况求FC的长即可；（2）OE＝OF，连结OB，CF，根据已知条件易证OB＝OC、∠EBO=∠OCF=135°、∠EOB＝∠FOC．利用ASA证明△OEB≌△OFC，即可得OE=OF；（3）PF＝4PE，如图③，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证明△PME∽△PNF，△APM∽△PCN，利用相似三角形的性质可得，由此即可求得，结论得证. 【详解】解：（1）△OFC能成为等腰直角三角形， ∵Rt△ABC，AB＝BC＝4， ∴∠C＝45°， ∵△OFC是等腰直角三角形， ∴∠OFC＝90°或∠COF＝90°， 当∠OFC＝90°时，OF⊥BC， ∵∠B＝90°， ∴OF∥AB， ∵点O是AC的中点， ∴点F是BC的中点， ∴CF＝BC＝2， 当∠COF＝90°时，此时点F和点B重合，CF＝BC＝4， 即：CF＝2或CF＝4； （2）OE＝OF， 理由：连结OB，CF，如图②， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，O点为AC的中点， ∴OB＝AC＝OC，∠BOC＝90°，∠ABO=∠ACB=45°， ∴∠EBO=∠OCF=135°． ∵∠EOF＝90°， ∴∠EOB＝∠FOC． 在△OEB和△OFC中， ， ∴△OEB≌△OFC． ∴OE=OF； （3）PF＝4PE，如图③，过点P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M， ∵∠B＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠EPN＝∠FPM． ∵∠ENP＝∠FMP＝90°， ∴△PNE∽△PMF， ∴ ， ∵△APN和△PCM为等腰直角三角形， ∴△APM∽△PCN， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴， 即：PF＝4PE． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，解题的关键在于作好辅助线，构建相似三角形和全等的三角形． 21．如图将绕点逆时针旋转角度后，与构成位似图形，则称与互为“旋转位似图形”． （1）知识理解： ①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”． 如图，与互为“旋转位似图形” ②若，，，则的度数为________； ③若，，，则的长度为________； （2）知识运用： 如图，在四边形中，，于，．求证：与互为“旋转位似图形”． （3）拓展提高： 如图，为等腰直角三角形，点为斜边的中点，点是上一点，是延长上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求和的长． 【答案】（1）①是；②；③；（2）证明见解析；（2）DE=；BD=． 【分析】（1）①根据“旋转位似图形”的定义即可得答案； ②由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质及三角形内角和定理可得∠C、∠BAC的度数，根据旋转的性质可得∠EAC=26°，利用角的和差关系即可得答案； ③由“旋转位似图形”的定义可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）根据直角三角形两锐角互余的性质及角的和差关系可得∠2=∠BAE，即可得出∠1=∠BAE，进而可证明△ACD∽△ABE，即可得结论； （3）作交直线于点，根据等腰直角三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可求出AE的长，根据角的和差关系可得∠DAE=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AE′，即可证明点E与点E′重合，可得AE⊥DG，可得DE=AE，即可得出DE的长，利用勾股定理即可求出BD的长． 【详解】（1）①如图，△ABC和△ADE是等边三角形， ∴△ABC∽△ADE， ∴绕点逆时针旋转角度后与构成位似图形， 故答案为：是 ②∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠E=29°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°， ∵△ADE绕点逆时针旋转角度后，与△ABC构成位似图形， ∴∠EAC==26°， ∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°， 故答案为：25° ③∵与互为“旋转位似图形” ∴△ABC∽△ADE， ∴，即， 解得：BC=， 故答案为： （2）∵AE⊥BD，∠ABC=90°， ∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠BAE=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BAE， ∵∠ADC=∠AEB=90°， ∴△ACD∽△ABE， ∵△ACD与△ABE有一个公共顶点A， ∴△ACD与△ABE互为“旋转位似图形”． （3）如图，作交直线于点， ∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6， ∴AB=AC=， 与互为“旋转位似图形”， ． ， ，；． ∴∠DAE′=45°， ∴为等腰直角三角形． ， ．，点和点重合， ． ∴，， ∴． 【点睛】本题考查位似图形及相似三角形的判定与性质的综合，理解“旋转位似图形”的定义并熟练掌握相似三角形的判定定理、是解题关键． 22．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为：_； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②；（3）能，或或12或． 【分析】（1）连接，证明 ，即可证明结论； （2）①由是中线，得，根据等边对等角得，，进而得，即可证明结论；②连接，证明， 得，可求得，证明，进而可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可得，由此建立方程即可求解； （3）分情况讨论：根据，画出图形结合图形分别求解． 【详解】（1）解：； 理由：连接，当点E落在边上时，， ， 都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：∵在中，是中线， ， ， ，     ， ， ， ； ②连接， ，，， ， ， ， ， ，    ∴， ∴， ， ∵在和中， ， ， ，， ，即， ， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， 解得，即， ， （3）① 如图，当点在边上，此时， ； ②如图，当点在边的延长线上，此时， ； ③如图，当时，作于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； ④如图，当时，作，垂足为F，，垂足为G， 同③可证四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ∴， ， 在中，， ， ， ． 综上所述， 或或12或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 23．【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【答案】（1），；（2）详见解析；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （2）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （3）根据当三点共线，且点在线段上时，最小，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为， 故答案为：；； （2）证明见（1）； （3）， ，， 正方形绕点旋转一周， 当三点共线，且点在线段上时，最小， 此时， 故答案为：． 24．综合探究 【问题情境】在学习《图形的平移和旋转》时，某兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C． 【初步探究】（1）小明是这样画图的：如图2，过点C画的平行线l，在l上取，连接，则即为旋转后的图形，你能说说小明这样做的道理吗？ 【类比迁移】（2）如图3，点D为等边内一点，绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展应用】（3）如图4，中，，，若于点D， ，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】（1）先利用平行线的性质得到，再证明得到,所以，然后利用旋转的定义即可判断结果； （2）证明,可得，故，从而得出结论； （3）延长至点，使，证得，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）为等边三角形， ， ． ， ， ， ， ， 绕点逆时针旋转得到． （2）证明：将线段绕点逆时针旋转得到， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）如图，延长至点，使， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 如图，在上取一点，使， 同理可得， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，在纸片绕点A 旋转过程中，直线与，分别交于点 F，点 M，求证∶． 【深入探究】 （2）如图2，在(1)的条件下，在纸片绕点A 旋转过程中，若，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点 A 旋转过程中，试探究 C，D，E三点能否构成直角三角形，且，若能，直接写出直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）面积为16或64． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，同理可得，由勾股定理可得， 设，，则，，，，结合，得出，求解即可； （3）分两种情况：当在上时；当在的延长线上时；分别利用旋转的性质和三角形面积公式计算即可得解． 【详解】 （1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，        同理，   在中，，， ∴， 设，，则， ∴，， ∴， ∵， ∴，   解得， ∴；            （3）当在上时，，此时是直角三角形，如图： ， 由旋转的性质可得：，， ∴此时； 当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图： ， 由旋转的性质可得：，， ∴此时 综上所述，的面积为16或64． 9．3 解直角三角形 一、解答题 1．如图，在直角梯形中，,, ,，点为边上一点，且，延长交于点． (1)求的长； (2)设，的面积为，求与的函数关系式并写出定义域； (3)联结，延长交于点，若是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1) (2)； (3)的长为或或6或2. 【分析】（1）由已知容易，再证明，可得，利用相似三角形的性质得出，由此即可求出； （2）先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式得出，然后根据求出的取值范围，由此即可得； （3）若是直角三角形，有三种情况，①当时，先利用解直角三角形求出，，继而可得，再证明可得，由此即可求出，②当时，利用得出，由此即可求出，③当时，延长、交于点，设，可得，，，由此求出，再由，可得，求得，在中，由列方程求出，，即可得出． 【详解】（1）解：∵，,， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴. （2）解：过点作的高，如图1， ∵，， ∴， ∴ 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：若是直角三角形，有三种情况： ①当时，如图2， 由（1）可知：，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当时，如图3， 由（1）可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ③当时，延长、交于点，如图4，设， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴ 解得：，， ∴或， 综上，的长为或或6或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、函数关系式、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 2．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕，无人机航拍技术全程直播．如图，在无人机的镜头下，观测冬奥会场地A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时无人机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，求A，B两点间的距离．（结果保留根号） 【答案】（200﹣200）米 【分析】根据已知可得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，然后分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出AD与BD的长，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：EC∥AD， ∴∠CAD＝∠ECA＝30°，∠ECB＝∠CBD＝45°， 在Rt△ACD中，CD＝200米， ∴（米）， 在Rt△BCD中，（米）， ∴AB＝AD﹣BD＝（200﹣200）米， ∴A，B两点间的距离为（200﹣200）米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°．（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.236） (1)若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m） (2)若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m） 【答案】(1)3.8米 (2)2.7米 【分析】（1）根据，结合已知即可解得OB的长度； （2）在OP上取一点M，使，则可得，，再解三角形即可解答． 【详解】（1）解：在Rt△OBP中，， ∴， ∴（米） 答：OB的长度为3.8米； （2）解：在OP上取一点M，使， ∴， ∵∠PAO＝75°， ∴∠APO＝15°，∠PAM＝15°， ∴， 在Rt△OBP中，设，则，， 又∵=，即：， ∴， 解得：， ∴（米） 答：设备的安装高度OP的高度为2.7米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造特殊直角三角形将Rt△OPA分成30°直角三角形和等腰三角形是解题的关键． 4．如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据： ，，，，，） 【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船C处 【分析】由已知可得在△ABC中，∠C＝67°，∠B＝37°，且AB＝20海里，要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，分别求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形． 【详解】解答：过点A作AH⊥BC，垂足为点H． 由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20． 在Rt△ABH中， ∵ ， ， ∴ ， ， 在Rt△ACH中， ∵ ， ∴ ， ∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21， ∵21÷25＜1， ∴巡逻艇能在1小时内到达渔船C处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 5．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【分析】设，再利用锐角三角函数用含的代数式表示再列方程，解方程可得答案． 【详解】解： 设， 在中，，      在中，，   ， 解得，．            答：宝塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键． 6．如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东方向与包装公司北偏西方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：，） 【答案】不会 【分析】过点P作于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，从而做出判断． 【详解】解：如图，过点P作于D． 由题意得． ∴在Rt△PMD中，，即 在Rt△PND中，，即 ∵， 即， ∴． 答：这条公路不会穿越这个住宅小区． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为，乙在山下测得C，D之间的距离为米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）    【答案】 【分析】由题得，由即可求解； 【详解】解：∵甲在山顶测得C处的俯角为，D处的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查锐角三角形函数综合应用，掌握相关知识并灵活应用是解体的关键． 8．如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程． 【答案】出塔的高度DE为131.6m．过程见解析． 【分析】先根据等腰三角形的判定可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， 即塔的高度DE为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质，线段和差等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 9．如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【答案】约为5.7m 【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解． 【详解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3， ∴i＝1∶3＝tanM， ∵BC//MN， ∴∠CBD＝∠M， ∴tan∠CBD＝＝tanM＝1∶3， ∴BC＝3CD＝4.8（m）， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19， ∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m）， 即树AB的高度约为5.7m． 【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键． 10．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长． 【答案】15﹣5 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案． 【详解】解： 过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10， ∵AB∥CF， ∴∠BCM＝∠ABC＝30°． ∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5， CM＝BC•cos30°＝10×＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝5， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．关键是能通过解直角三角形求出线段CM，MD的长． 11．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 【答案】宣传牌的高度为2米． 【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可． 【详解】解：过分别作、的垂线，设垂足为、， 则，， 在中， 斜坡的坡度，米， 设米，米， ， ， 米，米， 在中，， 米， （米）， 在中，（米）， （米）． 答：宣传牌的高度为2米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 12．四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点B到地面的高度为，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高 31° 42° 3米 1.65米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分位）．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】在两个直角三角形中，用BG表示DG、FG，进而用 DG−FG＝DF＝3列方程求出BG即可． 【详解】如图，延长DF与AB交于点G， 设BG＝x米，在Rt△BFG中， FG＝， 在Rt△BDG中，， 由DG−FG＝DF得，， 即， 解得，x＝5.4， ∴AB＝AG＋BG＝1.65＋5.4＝7.057.1（米）， 答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为7.1米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用BG表示DG、FG是列方程求解的关键． 13．如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 【答案】64m 【分析】利用直角三角形的边角关系，在两个直角三角形中设未知数列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，EC＝54m，AB＝22m，∠DBC＝60°，∠EAC＝34°， 设DE＝xm，则DC＝（x+54）m， 在Rt△DCB中， ∵tan∠DBC＝，即＝， ∴BC＝， 在Rt△ECA中， ∵tanA＝， ∴AC＝≈＝90（m）， 由题意得，90﹣（x+54）＝22， 解得，x≈64， 答：塑像DE的高度约为64m． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 14．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°． （1）求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73） （2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）64m；（2）误差为0.36，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值． 【分析】（1）根据正切的定义用x表示出BC，再根据正切的定义求出AC，结合图形列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据平均数的性质即可题出建议即多次测量，求平均值． 【详解】（1）解：设DE=xm，则DC=（x+54）m． 在Rt△DCB中，tan∠DBC， ∴BC（x+54）． 在Rt△ECA中，tanA， ∴AC90， 由题意得：90（x+54）=22， 解得：x≈64， 答：炎帝塑像DE的高度约为64m． （2）由（1）知，误差为 减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米 【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值． 【详解】解：在Rt△ACD中，，则. 设，则 在Rt△BCD中，. ∴ ∴   解得：.             在Rt△ACE中，. ∴ 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错． 16．在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，） 【答案】宣传牌AB的高度为2米 【分析】过点C作于G，设AB为x，根据可得，然后在中解直角三角形即可. 【详解】解：过点C作于G，则， ∵， ∴， 设AB为x， ∵， ∴， ∴CG=4+18+x=22+x， 在中，， 则，即 解得：， 答：宣传牌AB的高度为2米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 17．如图，某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一座高为5米的建筑物CD，数学小组为了测量假山DE的高度，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物底部D点（即假山顶）的仰角为30°，沿水平方向前进25米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，求假山DE的高度．（结果保留根号） 【答案】假山DE的高度为（15+15）米． 【分析】可先设假山DE的高度为x，得到CE=DE+CD=x+5，再根据直角三角形得到AE=AB+BE=30+x，然后直接运用三角函数解答即可 【详解】解：设假山DE的高度为x， 则CE=DE+CD=x+5， 在Rt△BCE中， ∵∠CBE=45°， ∴BE=CE=x+5， ∴AE=AB+BE=30+x， 在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，DE=x， ∴AE==x， 解答：x=15+15， 答：假山DE的高度为（15+15）米． 【点睛】此题考查直角三角形的性质和三角函数的应用，解题关键是设假山DE的高度为x，再进行求解 18．某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．） 【答案】34米． 【分析】作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E， 设AN=x米，则BD=CE=x米， 在Rt△MBD中，MD=x•tan23°， 在Rt△MCE中，ME=x•tan24°， ∵ME﹣MD=DE=BC， ∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1， ∴， 解得x≈34（米）． 答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．构造直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $专题9几何综合计算与证明 目录 9.1圆的综合（弧长、扇形面积、切线与三角形综合） 9.2几何动态问题（折叠、旋转中的线段关系） 9.3解直角三角形（三角函数定义、特殊角值、实际应用） 考情分析：安徽中考几何压轴核心模块，圆与三角形综合、动态几何 为高频考点，解直角三角形实际应用（测高、测距）近5年必考，是 拉开分差关键 9.1圆的综合 一、解答题 1.如图，四边形ABCD为⊙0的内接四边形，且∠C=2LA. 图1 图2 图3 图4 (1)求∠A的度数， (2)若00的半径为5. ①如图2，连结BD,求BD的长。 ②如图3，连结CA,若CA平分∠BCD,求BC+CD的最大值， (3)如图4，若AC是⊙0的直径，直接写出线段AB,BC,CD之间的等量关系 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上， 以AE为直径的OO经过点D, B (1)求证：BC是⊙0的切线： (2)若点F是劣弧AD的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，以CD为直径的OO分别交AC, BC于点E,F两点，过点F作FG⊥AB于点G. D G B (1)试判断FG与00的位置关系，并说明理由， (2)若AC=6,CD=5,求FG的长. 4.已知：如图，直线1与⊙0相离，0P11于点P,交⊙0于点A,点B是00上一点，连 接BA并延长，交直线1于点C,且PB=PC. B C P (1)求证：PB是⊙0的切线； (2)若4C=25,0P=5,求00的半径， 5.己知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的OO与BC相交于点E,在AC上 取一点D,使得DE=AD, B A D (1)求证：DE是00的切线 (2)当BC=10,AD=4时，求⊙0的半径 6.如图1，AB是⊙0的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,P是O0上半部 分的一个动点，连接OP,CP. B 图1 图2 (1)当0P OC时，△OPC的最大面积为 (2)如图2，延长PO交O0于点D,连接BD,且BD=CP.求证：CP是O0的切线 7.如图，在ABC中，AB=AC,点D在BC上，BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为 E,OO经过A,B,D三点. B (1)求证：AB是⊙0的直径； (2)判断DE与⊙0的位置关系，并加以证明； (3)若00的半径为6，∠BAC=60°，求DE的长. 8.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于点D, 点F是BD的中点，直线CF交直线AB于点G. D C 0 B G (1)求证：CG是⊙0的切线； (2)已知，BG=2V2,FB=1,求AC. 9.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=90°，以点A为圆心，以AB的 长为半径作OA,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE. E B F D (1)求证：DE与0A相切： (2)若∠ADE=30°，AB=6,求EF的长 10.如图，在平行四边形ABCD中，点A,B,D三个点都在⊙O上，CD与⊙O交于点F, 连接BO并延长交边AD于点E,点E恰好是AD的中点. A D B (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若AE=1,∠BAD=75°； ①求BE的长； ②求阴影部分的面积. 11.如图，⊙0为ABC的外接圆，直线MN与O0相切于点C,弦BD∥MN,AC与BD相 交于点E. M B 0 (1)求证：∠CAB=∠CBD: (2)若BC=5,BD=8,求O0的半径. 12.如图，O0的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交O0于点D. 0 B D (1)求AD的长； (2)试探究CA、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论； 3)连接0D,P为半圆ADB上任意一点，过P点作PE⊥OD于点E,设△OPE的内心为M, 当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长 13.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分∠ADC,AC⊥CD,且 ∠BAC=∠ADB. C (1)证明：∠BAD+∠BCD=180°； (2)若∠ADB=30°，AD+CD=4√5，求BD的长. 14.在ABC中，AC=BC,点D在BC上方，连接CD,将CD绕点D顺时针旋转90°到 ED. E D E H E F D R M C B C 图1 图2 图3 (1)如图1，∠ACB=90°，点D在AC右上方，连接AE,CE，,若∠ACD=15°，AB=2√2， CD=2V6,求AE的长； (2)如图2，点D在AC的左侧上方，连接BE交CD于点M,F为BE上一点，若 LDEF=∠EDF+∠EBC,且M为BF的中点，过F作FH⊥DE于点H,求证： DM=IDE+FH: (3)如图3，∠ACB=90°，BC=2,CD=2√5，将△EDC沿着直线CD翻折至△E'CD连接 EB,连接EA并延长交CD于点Q,交E'B于点R,当CR最长时，直接写出此时△AQD的 面积。 15.在等边△ABC中，点D是AC边上一动点，连接BD,将BD绕点D顺时针旋转120°， 得到DE,连接CE. E E G 图1 图2 图3 (1)如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE,若AB=2,求CE的长； (2)如图2，取CE的中点F,连接AF,DF,猜想线段AF与DF的关系，并证明你的猜想： 3)如图3，在(2)的条件下，连接BE交AF于点G,若GF=DF,请直接写 AB+CD的 BE 值 16.(1)回归教材：北师大七年级下册P44,如图1所示，点P是直线m外一点，P0⊥m, 点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO,PA,PB,PC的长短，你发现了什 么？ 最短线段是，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 图1 图2 (2)小试牛刀：如图2所示，Rt△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则点P为AB边上 一动点，则CP的最小值为 (3)尝试应用：如图3所示ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个 动点，连接BP,将BP绕点B顺时针旋转6O°得到BE,连接PE、DE、CE 图3 ①请直接写出DE的最小值 ②在①的条件下求aBPE的面积. (4)拓展提高：如图4，Rt△BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE. ∠EBF=∠ACD.AB=3,BC=4,请求出AE的最小值. D 图4 17.己知四边形ABCD是OO的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E. D D B B B 图① 图② 图③ (1)如图①，AC1BD,过圆心O作OH⊥AD,垂足为H.当BD是⊙0的直径时，求证： o-9c, (2)如图②，AC1BD,过圆心O作OH⊥AD,垂足为H.当BD不是O0的直径时，请你 判断OH与BC的数量关系，并说明理由； (3)如图③，AD=12,F为O0上一点，若∠DAF=120°，AF=BC,则E到AD距离的最 大值是一 18.如图，AB=AC,CD⊥AB于点D,点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M, 与CD相切于点N, A (1)求证：∠AOC=135°； (2)若NC=3,BC=25,求DM的长. 9.2几何动态问题 一、填空题 1.如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠BAC 的平分线AB2折叠，剪掉重叠部分；；将余下部分沿∠BnAnC的平分线ABn+1折叠，点B。 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角. B:B.B 图1 图2 (1)如图2，在△ABC中，∠B>∠C,若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与 ∠c的等量关系是 (2)如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为时，该三角形的三个 角均是此三角形的好角， 2.如图，将矩形纸片A0CD置于平面直角坐标系中，顶点A,C的坐标分别为0,6)，(8,0 ·将矩形纸片AOCD进行两次折叠：先沿对角线OD折叠，点C落在C处，再次折叠，使 点D与点A重合，折痕交OD于点E,交C'D于点F.则点F的坐标为一· F 0 C 3,折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑.如图，纸艺社团的小凡拿出一张长 方形纸片ABCD,他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD'与 A'B重合，展开纸片后测量发现∠AEF=110°，则∠D'GH的度数是 E 4,如图，在矩形ABCD中，E,F为边AD上两点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A恰好落 在BF上的A处，且A'E=A'F,再将矩形ABCD沿过点B的直线折叠，使点C落在BF上 的C处，折痕交CD于点H,将矩形ABCD再沿FH折叠，D与C'恰好重合，己知 AE=√2，则AD=一· 二、解答题 5.阅读理解 如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠BAC的 平分线AB2折叠，剪掉重复部分；；将余下部分沿∠BnAC的平分线AnBn1折叠，点Bn 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶 角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折 叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠BAC的平分线AB2折叠，此时点B1与点C重合. 探究发现 △ABC中，∠B=2∠C,经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ (填“是”或“不是”). 小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的 等量关系为_ 根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设∠B>∠ C)之间的等量关系为. 应用提升 (3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105的两个角都是此 三角形的好角， 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形 的三个角均是此三角形的好角 A B D 图1 图2 图3 6.在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得到一些特殊角，我们将折痕与 矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”. Q 图1 图2 图3 【尝试与感悟】 (1)如图1，点E在AB边上，将矩形ABCD沿DE折叠，点A落在DC边上的点F处，此 时折痕DE与AB边形成的夹角∠AED就是“折叠角”，且∠AED=一°； (2)如图2，先将矩形ABCD对折，使得AB与CD重合，折痕为MN,点G在AB边上， 再将纸片沿着DG折叠，点A落在MN上的点H处求"折叠角”∠AGD的度数：