精品解析：湖北省直辖县级行政单位2025-2026学年度第一学期教学质量监测高一数学试卷

2025—2026学年度第一学期教学质量监测 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，若，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据补集定义计算求解. 【详解】集合，又， 则集合. 故选：A. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称的否定是特称可得； 【详解】由全称的否定是特称可得命题“”的否定为“”. 故选：C. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由根式、分式、对数有意义列不等式求解即可. 【详解】由题意，，解得， 故选：B. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简计算即可. 【详解】，又，. 故选：C. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可验证A、B、D错误，利用不等式的性质即可证明选项C，即可求解. 【详解】举反例，则，故选项A错误； 举反例，则，故选项B错误； 因为，所以，因为，所以，故选项C正确； 当，则，故选项D错误. 故选：C. 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. D. 的图象关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的性质求解即可. 【详解】对于选项，令，解得，故错误； 对于选项，最小正周期，故错误； 对于选项，，因为， 所以；， 因此，故错误； 对于选项，令，解得，此时， 所以函数图象关于点对称，当时，对称中心为，故正确. 故选： 7. 已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得终边过点，则可得，，据此可得答案. 【详解】由题可得终边过点， 则可得，， 则 故选：A 8. 设、分别表示，中的最大者与最小者，记为，，当时，的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平方差公式化简，再根据与的大小关系，分两种情况讨论，最后利用三角函数性质求最值即可. 【详解】设，，则， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 在区间 内，的最大值为 1（当或时）， 的最大值也为 1（当 时），因此，表达式的最大值为 1. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数图象过，下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 是奇函数 C. 在定义域内是减函数 D. 的值域是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质判断各项即可. 【详解】因为幂函数的图象过， 所以，解得，A正确； 所以，定义域为，因为， 所以是奇函数，B正确； 在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误； 根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确. 故选：ABD. 10. 定义运算（其中），则下列结论正确的是（ ） A. B. 对任意 C. 对任意，，都有 D. 对任意，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】化简，取即可验证A，取特殊值，代入得到即可验证B，利用作差法即可证明C、D. 【详解】先化简定义的运算， 所以，故选项A正确； 当时， ，所以选项B错误； 因为， 即对任意，，都有，故选项C正确； 因为， 又因为，所以，即， 即对任意，都有，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若为上的减函数，则实数的取值范围是 C. 若的值域为，则实数的取值范围是 D. 函数在上恰有一个零点的充要条件是 【答案】AB 【解析】 【分析】令，解不等式即可判断A；根据分段函数的单调性求出的取值范围即可判断B；根据一次、二次函数的值域可得，解之即可判断C；分别求出两段函数的零点，对分类讨论即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，解得； 当时，，解得， 故不等式的解集为，故A正确， 若为上的减函数，需满足，解得，故B正确， 在上的值域为， 在上的值域： 当时，值域为；当时，值域为， 若的值域为，则当时，，解得，即； 当时，，解得，即， 综上，实数的取值范围为.故C错误. 当时，，解得； 当时，，解得， 当时，方程有两个解； 当时，则方程有一个解为； 当时，方程有两个解； 当时，方程有一个解为， 综上，函数在上恰有一个零点的充要条件是或.故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】代入计算函数值即可求解. 【详解】函数， 则. 故答案为：0. 13. 在长方形中（如图），，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理、相似三角形及直角三角形求三角函数求解即可. 【详解】在中，，. 在中，， 过点作的垂线，垂足为. 因为，， 所以，所以，即，所以. 在中，. 故答案为：. 14. 已知函数在上所有零点之和等于260，则满足条件的整数的值是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】首先将函数的零点问题转化为交点问题，再由这两个函数都关于点成中心对称，且所给区间也关于点成中心对称，所以每一对对称的交点的横坐标的和为，从而可得共有对零点，因而可得在有个交点，从而可得右端点在第个和第交点的横坐标之间，因此可得所求k的值. 【详解】令，得，再设， 因为，所以函数关于点成中心对称. 同理，所以函数关于点成中心对称如图： 所以函数的零点就是函数的图象与函数的图象交点的横坐标， 显然这些交点关于对称，每一对零点的和等于，而所有零点之和等于260，所以一共有对零点. 而区间的中点为，所以区间也关于对称， 所以函数的图象与函数的图象在有个交点，再由函数的周期为. 函数的图象与函数的图象在有2个交点，以后每个周期内均有2个交点，一共有个周期. 所以区间的右端点必满足， 即，得，因为，所以整数的值为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最大值为2． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间和对称轴方程． 【答案】（1）； （2）；，． 【解析】 【分析】（1）先由辅助角公式将函数化为一个角的三角函数形式，再由函数的最大值可得所求值； （2）根据（1）得函数解析式，再根据整体代换的方法分别可得函数的单调区间及对称轴方程. 【小问1详解】 ． ．． 依题意可得：，故． 【小问2详解】 由（1）知，， 令，，解得：，． 因此，函数的单调递减区间为． 再令，解得，． 因此，函数的对称轴方程为，． 16. 已知集合，定义集合运算：． （1）求和； （2）若集合，且，求实数取值范围． 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）先分别解绝对值不等式和分式不等式可得A，B，再根据定义计算和； （2）分三种情况解集合C中的不等式，再根据确定实数的范围. 【小问1详解】 由，得，解得，即. 又由，得，解得，即.如图： 所以， 【小问2详解】 由，变形得：， 当时，，与不符，舍去； 当时，，与不符，舍去； 当时，，若，则． 综上所述，．所以实数的取值范围 17. 已知函数，． （1）判断的单调性并证明； （2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1）是上的减函数，证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）依题意可得，从而得到，则对任意实数恒成立，求出，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 依题意的定义域为， 可判断函数在上是减函数，证明如下： 在上任取，，且， 则 ， 由，可知，则，，， 所以，所以，即是上的减函数． 【小问2详解】 若不等式对任意实数恒成立， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以对任意实数恒成立，即， 由（1）知在区间上单调递减， 故， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 18. 某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． （1）求的表达式； （2）当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 【答案】（1），． （2）（i）5分钟；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据摩天轮的旋转周期求出，结合摩天轮的圆心距离地面高度和半径求出A和b，再根据初始位置求出，进而得到的表达式； （2）（i）将代入不等式，求解不等式得到t的取值范围，进而求出有阳光直射的持续时间；（ii）根据有阳光直射的时间不少于10分钟，结合三角函数的性质求出的最大值. 【小问1详解】 旋转一周需要30分钟，故， 由，依题意取，， 当时，，解得． 故， 【小问2详解】 由（1）知，，化简得： ， （i）若时，， 代入得，即， 因,结合余弦函数的图象可得，解得， 故时，观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间为5分钟． （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟， 根据（i）可知，，化简得：． 设，则，， 设的解集为，, 由题意知有阳光直射的时间长度，即， 在内，的解 关于 对称，其长度为，最大为，最小为 0, 当时，区间的解为. 故，即的最大值为． 19. 已知函数，其中，，且，函数为偶函数． （1）求实数的值，并说明理由； （2）若关于的方程在区间上恰有四个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）设函数，若对于任意，，且，都有，求当时，实数与的关系式，并求的最小值． 【答案】（1）理由见解析， （2）或 （3），最小值为 【解析】 【分析】（1）应用偶函数定义计算求解参数； （2）分类讨论结合在区间上恰有四个不同的实数解求解参数； （3）先根据已知得出单调性，再分类讨论函数单调性，最后应用换元法结合二次函数值域计算解最小值. 【小问1详解】 若为偶函数，则对任意，有． 即， 化简得：对所有成立． 平方得，故． 当时，此时显然为偶函数． 综上，． 【小问2详解】 由（1）知： 函数，关于的方程， 解得或，， 当时，，与均无解； 当时，或，方程在上恰有三解； 当时，，， 有四解，无解，故有四解； 当时，，，与均无解； 当时，或，方程在上恰有三解； 当时，，，无解， 有四解，故恰有四解； 当时，，，无解，至多两解； 综上，当或时，方程恰有四解． 【小问3详解】 ， 令， 依题意知在上单调递增； 当时，， 要使在单调递增，只需，即； 当时，， 要使在单调递增，只需，即； 故①当时，；②当时，， 综上，当时，实数与的关系式为． 令，代入 ， 所以当，时，取到最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期教学质量监测 高一数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，若，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. D. 的图象关于点对称 7. 已知角顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后，其终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设、分别表示，中的最大者与最小者，记为，，当时，的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 是奇函数 C. 在定义域内是减函数 D. 的值域是 10. 定义运算（其中），则下列结论正确的是（ ） A. B. 对任意 C. 对任意，，都有 D. 对任意，都有 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式的解集为 B. 若为上的减函数，则实数的取值范围是 C. 若的值域为，则实数的取值范围是 D. 函数在上恰有一个零点的充要条件是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则_____． 13. 在长方形中（如图），，则的值为_____． 14. 已知函数在上所有零点之和等于260，则满足条件整数的值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数最大值为2． （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间和对称轴方程． 16. 已知集合，定义集合运算：． （1）求和； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 17. 已知函数，． （1）判断的单调性并证明； （2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 18. 某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． （1）求的表达式； （2）当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 19. 已知函数，其中，，且，函数为偶函数． （1）求实数的值，并说明理由； （2）若关于的方程在区间上恰有四个不同的实数解，求实数a的取值范围； （3）设函数，若对于任意，，且，都有，求当时，实数与的关系式，并求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $