第3章 复数 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学复数单元复习课件系统梳理了复数的概念、几何意义、代数形式、三角形式及运算，通过知识框架图将实部虚部、复平面点、四则运算法则等核心内容串联，帮助学生构建完整的复数知识网络。 其亮点在于以数学抽象、数学运算、直观想象核心素养为导向，设计分层探究题型，如复数概念辨析、四则运算化简、复平面点位置判断等，结合考教衔接对比高考题与教材溯源题，单元检测卷分层设题。这种设计既培养学生素养，又助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

章末综合提升 　 第3章　复数 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 素养一　数学抽象 　　数学抽象是数学的基本思路，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中. 题型一　复数的概念 (1)设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝ A.4 B.3 C.2 D.1 典例 1 √ 因为a＋＝a＋ ＝a＋＝a－2－4i是纯虚数， 所以a－2＝0，即a＝2.故选C. (2)i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝ A.或 B.2或5 C. D.5 √ 因为z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i ＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i， 所以解得a＝－2. 所以z＝－2＋i，故｜z｜＝＝. 故选C. 素养二　数学运算 　　数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中，主要表现在复数的四则运算中. 题型二　复数的四则运算 (1)已知复数z＝1＋i(i为虚数单位)，则z2＋＝ A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 典例 2 √ 因为z＝1＋i， 所以z2＋＝(1＋i)2＋＝2i＋＝1＋i.故选A. (2)复数＝ A.－i B.－1 C.－i D.－i √ ＝＝＝＝－i，故选A. 素养三　直观想象 　　直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中，主要表现在复数z、复平面上的点Z及向量之间的相互联 系中. 题型三　复数的几何意义 (1)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝1＋i＋(2i)2，则复数z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 典例 3 √ 由已知得(1－i)z＝－3＋i，则z＝＝＝＝－2－i， 所以复数z对应的点为(－2，－1)，位于第三象限，故选C. (2)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为 A.1＋i B.－1＋i C.－1－i D.－1±i √ 设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b). 根据题意可画图形如图所示. 因为｜z｜＝2，且与x轴正方向的夹角为120°， 所以a＝－1，b＝±， 即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－). 所以z＝－1＋i或－1－i. 返回 考教衔接 返回 (2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝ A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 真题 1 √ 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 溯源：(湘教必修第二册P109习题3.2T6)根据下列条件，求z. (1)z(1＋i)＝2；(2)z－1＋zi＝－4＋4i. 点评：高考题与教材习题题型一致，都是考查复数的运算，解题方法完全相同. (2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则＝ A.0 B.1 C. D.2 真题 2 √ 若z＝－1－i，则＝＝.故选C. 溯源：(湘教必修第二册P114习题3.3T4)已知复数－1＋i，－3－4i，4＋3i，4i，－i.(2)求各复数的模； 点评：高考题与教材习题题型一致，都是考查复数的模的计算，解题方法完全相同. (2024·全国甲卷理)若z＝5＋i，则i(＋z)＝ A.10i B.2i C.10 D.2 真题 3 √ 由z＝5＋i⇒＝5－i，z＋＝10，则i＝10i.故选A. (2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝ A.－i B.i C.0 D.1 真题 4 √ 因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A. 溯源：(湘教必修第二册P114练习T3)设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，求－在复平面内对应的点位于第几象限. 点评：以上两道高考试题都是考查共轭复数的概念性质与复数运算的，与教材练习题基本一致，比教材练习题考查面更全面. (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 真题 5 √ 因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A. (2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 真题 6 √ 因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C. 溯源：(湘教必修第二册P107例2)计算： (1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1 000. 点评：以上两道高考题和教材例题考查的角度基本一致，都是简单的复数乘法运算. 返回 单元检测卷 返回 1.已知复数z＝为实数，则实数m＝ A.－ B.－ C.－2 D.－ √ z＝＝，因为z是实数，则－＝0，所以m＝－2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.设z＝，f(x)＝x2＋x＋1，则f(z)＝ A.－1－i B.－1＋i C.－i D.i √ 因为z＝＝＝＝＝－i，所以f(z)＝f(－i)＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知a＋i＝－2＋bi(a，b∈R)，则复数z＝＝ A.－2＋i B.－i C.i D.1 √ 因为a＋i＝－2＋bi且a，b∈R，则a＝－2，b＝，所以z＝＝＝＝i，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2－2t＋2)i，t∈R，则下列命题中一定正确的是 A.z的对应点Z在第一象限 B.z的对应点Z在第四象限 C.z不是纯虚数 D.z是虚数 √ 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＝2t2＋5t－3＝2(t＋)2－≥－，b＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1≥1＞0，则z的对应点Z可能在第一象限、第二象限或在虚轴上，z是虚数，有可能是纯虚数，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知z是复数，为z的共轭复数.若命题p：｜z｜＝，命题q：｜z·－1｜＝1，则p是q成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 由｜z｜＝可得z·＝2，所以｜z·－1｜＝1，由｜z·－1｜＝1，设 ｜z｜＝m(m≥0)，得｜m2－1｜＝1，所以m＝0或m＝，即｜z｜＝0或｜z｜＝，所以p是q成立的充分不必要条件，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.若z＝(m＋1)＋(m－1)i(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围为 A.(－∞，－1) B.(－∞，1) C.(－1，1) D.(－1，＋∞) √ z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，因为对应的点位于第四象限，得解得－1＜m＜1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.设复数z满足(3＋2i)＝i2 023，则复数z＝ A. B. C. D. √ ＝＝＝＝，所以z＝，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知z1，z2均为复数，下列四个命题中为真命题的是 A.｜z1｜＝｜｜＝ B.若｜z2｜＝2，则z2的取值集合为{－2，2，－2i，2i}(i是虚数单位) C.若＋＝0，则z1＝0或z2＝0 D.z1＋z2一定是实数 √ 对A，例如取z1＝i，则≠1，故A错误；对B，｜z2｜＝2，取z2＝2(cos θ＋isin θ)，θ∈[0，2π)，故B错误；对C，例如取z1＝i，z2＝－1，满足条件，故C错误；对D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1＋z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝ac＋bd＋(bc－ad)i＋ac＋bd＋(ad－bc)i＝2ac＋2bd，所以z1＋z2是实数，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.已知a，b∈R，(a－1)i－b＝3－2i，z＝(1＋i)a－b，则 A.z的虚部是2i B.｜z｜＝2 C.＝－2i D.z对应的点在第二象限 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由复数相等可得，解得，所以z＝(1＋i)a－b＝(1＋i)2＝2i， z的虚部是2，所以A选项错， ｜z｜＝｜2i｜＝2，所以B选项对， ＝－2i，所以C选项对， z对应的点在虚轴上，所以D选项错，故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知z1与z2是共轭复数，且z1，z2是虚数，以下四个命题一定正确的是 A.＜｜z2｜2 B.z1·z2＝｜z2｜2 C.z1＋z2∈R D.∈R √ √ 由题意，复数z1与z2是共轭复数，设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，a，b∈R且b≠0， 则＝a2－b2＋2abi，当a≠0时，由于虚数不能比较大小，所以A选项不一定正确， 又由z1·z2＝a2＋b2，｜z2｜2＝a2＋b2， 所以z1·z2＝｜z2｜2，所以B选项一定正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由z1＋z2＝2a∈R，所以C选项一定正确， 由＝＝＝＋i不一定是实数，所以D选项不一定正确，故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.设x1，x2是关于x的方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈C)的两根，下列命题正确的是 A.x1＋x2＝－a B.若x1，x2∈R，则a，b∈R C.a2－4b≥0 D.若a2－4b＜0，则x1，x2是共轭复数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A选项，由根与系数关系知x1＋x2＝－a，对， B选项，x1，x2∈R，又x1＋x2＝－a，x1·x2＝b，即a，b∈R，对， C选项，仅当x1，x2∈R，才有Δ＝a2－4b≥0，而方程的根不一定为实数，错， D选项，由于a∈C，而x1＝，x2＝， 仅当a∈R时x1，x2是共轭复数，错，故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.设i为虚数单位，若复数(1－i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a是实数，则｜1－a＋i｜＝_______. 设z＝(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai＋1＝(1＋a)＋(1－a)i，因为复数z的实部与虚部相等， 所以1＋a＝1－a，又a∈R，则a＝0， 所以｜1－a＋i｜＝｜1＋i｜＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.已知i是虚数单位，则｜()2 022＋()2 022｜＝_____. 原式＝ ＝｜i4×252＋3＋i4×505＋2｜＝｜i3＋i2｜＝｜－i－1｜ ＝｜－1－i｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝_______. 4 由＋＝知，(1＋i)＋(1＋2i)＝(1＋3i)， 即(5x＋2y－5)＋(5x＋4y－15)i＝0， 故，解得，故x＋y＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(本小题满分13分)(1)在①z＋＝4，②z为纯虚数，③z为实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 已知复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2－5m＋6)i(i为虚数单位)，为z的共轭复数，若__________，求实数m的值；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分) 解：选①：因为＝(m2－3m＋2)－(m2－5m＋6)i，z＋＝4， 所以2(m2－3m＋2)＝4，即m2－3m＝0，解得m＝0或m＝3. 选②：因为z为纯虚数， 所以解得m＝1. 选③：因为z为实数，所以m2－5m＋6＝0，解得m＝2，m＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)在复数范围内解关于x的方程：x2＋2x＋2＝0. 解：因为(x＋1)2＝－1＝i2，所以x1＝－1＋i，x2＝－1－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(本小题满分15分)已知z是复数，z＋2i和均为实数，且复数(z＋ai)2对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，所以z＋2i＝x＋(2＋y)i， 又z＋2i为实数，所以2＋y＝0，解得y＝－2， 所以z＝x－2i，所以＝＝＝＝(x＋1)＋(x－4)i， 又为实数，所以x－4＝0，解得x＝4， 所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， 根据已知条件有，解得2＜a＜6， 所以实数a的取值范围是a∈(2，6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(本小题满分15分)设z是虚数，且w＝z＋满足－1＜w＜2. (1)求｜z｜的值及z的实部的取值范围； 解：设z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0， 则w＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i， 因为－1＜w＜2，所以w是实数，又b≠0，所以a2＋b2＝1，即｜z｜＝1， 所以w＝2a，因为－1＜w＝2a＜2，所以－＜a＜1，所以z的实部的取值范围是(－，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设u＝，求证：u为纯虚数； 证明：u＝＝＝＝－i， 因为a∈(－，1)，b≠0，所以u为纯虚数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)求w－u2的最小值. 解：w－u2＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2[(a＋1)＋]－3， 因为a∈(－，1)，所以a＋1＞0， 故w－u2≥2×2－3＝4－3＝1， 当a＋1＝，即a＝0时，w－u2取得最小值1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(本小题满分17分)已知θ为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数z＝cos θ＋isin θ，且z2＋z在复平面上对应的点在实轴上. (1)求θ； (2)设2z，zi，1＋z＋z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求△ABC的 面积. 解：因为z2＋z在复平面上对应的点在实轴上， 所以sin 2θ＋sin θ＝2sin θcos θ＋sin θ＝0， θ∈(0，π)，所以cos θ＝－，故θ＝. (2)由(1)知：sin θ＝，2z＝－1＋i， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以zi＝i＝－－i，z2＝－－i＝－－i， 所以1＋z＋z2＝1－＋i－－i＝0. 在复平面上对应的点分别为A(－1，)，B(－，－)，C(0，0)， 所以AC＝2，BC＝1，·＝(－1，)·＝0， 所以，⊥，所以，S△ABC＝×2×1＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(本小题满分17分)设复数z1，z2满足z1·z2＋2iz1－2iz2＋1＝0. (1)若z1，z2满足－z1＝2i，求z1，z2； 解：由－z1＝2i可得：z2＝－2i，代入已知方程得z1·(－2i)＋2iz1－2i(－2i)＋1＝0， 即｜z1｜2－2i－3＝0， 令z1＝a＋bi(a，b∈R)，所以a2＋b2－2i(a－bi)－3＝0，即(a2＋b2－2b－3)－2ai＝0， 所以，解得， 所以z1＝－i，z2＝－i或z1＝3i，z2＝－5i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若｜z1｜＝，则是否存在常数k，使得等式｜z2－4i｜＝k恒成立？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由. 解：由已知得z1＝，又｜z1｜＝， 所以｜｜＝，所以｜2iz2－1｜2＝3｜z2＋2i｜2， 所以(2iz2－1)(－2i－1)＝3(z2＋2i)(－2i)， 整理得(z2－4i)(＋4i)＝27，所以｜z2－4i｜2＝27， 即｜z2－4i｜＝3，所以存在常数k＝3，使得等式｜z2－4i｜＝k恒 成立. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 章末综合提升 返回 $