4.5 几种简单几何体的表面积和体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦柱体、锥体、台体、球的表面积与体积计算，通过侧面展开图建立平面与立体的联系，衔接平面几何知识，以公式推导和转化（如台体退化为柱体、锥体）为支架，帮助学生构建知识体系。 其亮点在于结合直观想象与数学运算核心素养，通过《张丘建算经》方亭体积等实例渗透数学文化，采用合作探究、分层练习等方法，例题解析注重转化思想（如等积法），助力学生提升空间观念与运算能力，为教师提供系统教学资源与分层教学支持。

4.5　几种简单几何体的表面积和体积 　 第4章　立体几何初步 学习目标 1.了解柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积，培养直观想象及数学运算核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 知识梳理 几何体 直观图 侧面展开图 侧面积 直棱柱     S直棱柱侧＝_____. (其中C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高) 正棱锥     S正棱锥侧＝_______. (其中C为正棱锥的底面周长，h'为侧面等腰三角形的高) 正棱台     S正棱台侧＝____________.(其中C，C'为棱台两底面的周长，h'为棱台侧面的高) Ch Ch' (C＋C')h' 几何体 直观图 侧面展开图 侧面积 圆柱     S侧＝Ch＝2πrl 圆锥     S侧＝Cl＝πrl 圆台   S侧＝(C＋C')l＝π(r'＋r)l 点拨　1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系 当正棱台的上底面与下底面全等时，得到正棱柱； 当正棱台的上底面缩为一个点时，得到正棱锥. 由此可得：S正棱柱侧＝Ch S 正棱台侧＝(C＋C')h' S正棱锥侧＝Ch'(其中C'、C为底面周长，h为高，h'为斜高). 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系 知识点二　锥体、台体、柱体的高   定义 图示 锥体的高 锥体(棱锥、圆锥)的顶点到底面的距离   ______为棱锥P-ABCD的高 台体或柱 体的高 台体(棱台、圆台)或柱体(棱柱、圆柱)的两底面之间的距离   ________为棱台ABCD-A'B'C'D'的高 PO OO' 知识点三　几种简单几何体的体积 几何体 体积 柱体 V柱＝_____.(其中S为柱体的底面积，h为棱柱的高) 锥体 V锥＝_____.(其中S为锥体的底面积，h为锥体的高) 台体 V台＝_______________.(其中S'，S分别为台体的上、下底面积，h为台体的高) 圆柱 V圆柱＝Sh＝πr2h(圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h) 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h(圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h) 圆台 V圆台＝h(S＋＋S')＝πh(r2＋rr'＋r'2)(圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h) Sh Sh (S＋＋S')h 点拨　1.柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们的体积公式之间的关系如下： 2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系 知识点四　球的表面积与体积 若球的半径为R，则 (1)S球＝________； (2)V球＝πR3. 点拨　由公式来看，球的表面积和体积是由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数. 4πR2 知识点五　几个与球有关的切、接常用结论 1.设正方体的棱长为a，球的半径为R. (1)若球为正方体的外接球，则2R＝a； (2)若球为正方体的内切球，则2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 2.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. (　　) (2)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等. (　　) (3)锥体的体积等于底面面积与高之积. (　　) (4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. (　　) (5)球的体积之比等于半径比的平方. (　　) 自主检测 × × × √ × 2.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为 A.3a2 B.2a2 C.a2 D.4a2 √ S＝4××a×a＝a2. 3.把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 A.2倍 B.2倍 C.倍 D.3倍 √ 设原球的半径为R，表面积扩大2倍，则半径扩大倍，体积扩大2倍. 4.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的_______倍. 设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝＝. 返回 合作探究 返回 探究点一　棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 已知正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积. 解：如图所示的正四棱锥P-ABCD，其中E为BC的中点. 由题意可知OE＝2，∠OPE＝30°， 所以PE＝＝4， 因此，正四棱锥的侧面积S侧＝×4×4×4＝32，正四 棱锥的表面积S表＝S侧＋S底＝32＋4×4＝48. 典例 1 　　求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得其表面积. 规律方法 对点练1.已知正四棱台两底面边长分别为3和9.若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高. 解：由题意知，棱台的两底面面积之和为S上底＋S下底＝32＋92＝90. 设棱台的斜高为h斜，则(3＋9)×h斜×4＝90， 所以h斜＝，所以棱台的高为 ＝. 探究点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M＝MB1，A1N＝2ND1，A1P＝3AP，试求三棱锥A1-MNP的体积. 解：＝＝··A1M·A1N·A1P＝··a·a·a＝a3. 典例 2 求几何体体积的常用方法 规律方法 对点练2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面三角形BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 A.16 B.8 C.4 D. √ 因为D为棱AA1的中点，所以BD＝DC1.由题意，得BD· DC1＝6，得BD＝2，所以BC1＝2，由 进一步可得CC1＝4，BC＝2， 所以三棱柱的体积为×2×2××4＝8. 对点练3.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺) A.1 946立方尺 B.3 892立方尺 C.7 784立方尺 D.11 676立方尺 √ 如图所示，用平行于平面ABCD的平面截四棱锥P-ABCD 后得到正四棱台ABCD-A'B'C'D'，设顶点P在平面ABCD、 平面A'B'C'D'内的射影分别为O，O'，过P作PH⊥AB于 点H，PH交A'B'于点H'，连接O'H'，OH，则AB＝20尺， A'B'＝6尺，PO＝30尺，则＝，即＝，解得OO'＝21尺，所以该正四棱台的体积V＝×21×(202＋20×6＋62)＝3 892(立方尺)，故选B. 探究点三　球的表面积与体积 用两个平行平面去截半径为R的球，两个截面圆的半径分别为r1＝24 cm，r2＝15 cm，两截面间的距离d＝27 cm，求该球的表面积和体积. 解：设垂直于两截面且过球心的圆面交两截面圆于A1B1，A2B2，球心为O，两截面圆的圆心分别为O1，O2，则O，O1，O2在同一条直线上，如图. 设OO1＝d1，OO2＝d2，当两截面圆位于球心O的同一侧时，有又d1，d2，R均大于0， 所以该方程组无解. 典例 3 当两截面圆位于球心O的两侧时，有 解得R＝25. 所以S球＝4πR2＝2 500π(cm2)， V球＝πR3＝×π×253＝π(cm3). 球的体积与表面积的求法及其注意事项 1.要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解. 2.半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. 规律方法 对点练4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积为 A. B. C. D. √ 由题意，得r＝，d＝，所以≈ ，解得V＝. 探究点四　与球有关的切接问题 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长都相等，且底面是边长为3的正方形，四棱锥的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥P-ABCD的体积为__________. 典例 4 6或54 设球的半径为R.若球心O位于四棱锥的内部，如图， 连接AC，BD交于点E，连接BO， 则E在直线PO上，PO＝BO＝R， 所以BE＝BD＝＝3，又R＝5， 所以OE＝＝＝4， 所以PE＝R＋OE＝5＋4＝9， 所以四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×PE＝×18×9＝54. 若球心位于四棱锥的外部，则PE＝R－OE＝5－4＝1， 所以四棱锥的体积V＝S四边形ABCD×PE＝×18×1＝6. 综上，四棱锥P-ABCD的体积为6或54. 与球有关的切接问题的一般处理方法 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1). 规律方法 2.长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外 接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球 的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b， c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝ ，如图(2). 3.正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a. 规律方法 对点练5.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建 筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体， 其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体 分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为8，底面正方 形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器(容器壁的厚度忽略不计)的体积的最小值为__________. 28π 本题可转化为求长、宽、高分别为8，4，2的长方体的外接球，由题意，该球形容器的半径最小为＝，则该球形容器的体积的最小值为)3＝28π. 返回 随堂评价 返回 1.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是 A. B. C. D. √ 设正方体棱长为a，球半径为R， 由6a2＝4πR2得＝ ， 所以＝＝＝. 2.已知高为3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1-ABC的体积为 A. B. C. D. √ 因为S△ABC＝×1×1×＝， 所以＝·S△ABC·AA1 ＝××3＝. 3.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝ 4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_______g. 118.8 由题易得长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为6×6×4 ＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所 示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩 形BCC1B1面积的一半，即×6×4＝12(cm2)，所以 V四棱锥O-EFGH＝×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g). 4.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4， M为AA1的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面过棱 CC1到点M的线段中最短为，设这条最短路线与CC1的 交点为N. 求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 解：三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝. (2)PC与NC的长. 解：如图，将侧面BB1C1C展开，使其与侧面AA1C1C在同一 平面上，延长MN交AC的延长线于P1，则MP1就是由点P沿 棱柱侧面过棱CC1到点M的最短路线. 设PC＝x，则P1C＝x. 在Rt△MAP1中，(3＋x)2＋22＝29，得x＝2， 所以PC＝P1C＝2. 所以＝＝，所以NC＝. 返回 课时分层 返回 1.长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为 A.12 B.24 C.28 D.32 √ 设长方体底面矩形的长与宽分别为a，b，则ab＝12.又由题意知×2＝10，解得a＝4，b＝3或a＝3，b＝4.故长方体的侧面积为2×(4＋3)×2＝28.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的表面积为 A. B.12 C.8 D.4 √ 如图所示， 在正四棱锥S-ABCD中，取BC中点E，连接SE，则 △SBE为直角三角形，所以SE＝＝ ＝2，所以表面积S＝S正方形ABCD＋4×S△SBC＝2×2＋4 ××2×2＝12.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为a，则此正三棱台的侧面积为 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝××2a＝a，O1D1＝××a＝a， 所以DE＝OD－O1D1＝a. 在Rt△DED1中，D1E＝a， 则D1D＝ ＝ ＝a. 所以S侧＝3×(a＋2a)a＝a2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知AB，CD是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD的表面积为 A.2＋4＋2 B.2＋2＋2 C.2＋2＋4 D.2＋4＋4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由所给正方体的展开图得到直观图，如图： 则几何体ABCD为三棱锥，此三棱锥的表面积为： S△BCD＋S△ABC＋S△ADC＋S△ABD＝×2×2＋×2× 2＋×2×2＋×2×2×＝2＋4＋ 2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设球的半径为R cm，根据已知条件，知正方体的上底面与 球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为 (R－2)cm， 所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5， 所以球的体积为V＝πR3＝π×53＝(cm3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_______. 10 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的体积为abc＝120，三棱锥E-BCD的体积为S△BDC×c＝×ab×c＝abc＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.张衡(78年～139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家、地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为－1，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为__________. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设正方体的棱长为a，正方体的内切球半径为r＝，正方体的外接球半径R满足：R2＝＋，则R＝a.由题意知R－r＝a－＝－1，则a＝2，R＝，r＝1，该正方体的内切球的表面积为4π，因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即＝，所以π＝，所以内切球的表面积为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.一个长方体的过同一顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为______，表面积为__________________. 2＋2＋2 设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6， 所以长方体的体积V＝abc＝， 表面积为S＝2＋2＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求三棱锥A1-AB1D1的高. 解：设三棱锥A1-AB1D1的高为h， 则＝h××(a)2＝. 又＝＝a×a2＝， 所以＝，所以h＝a， 所以三棱锥A1-AB1D1的高为a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，三角形ABC和三角形BCD都是边长为2a的等边三角形，且AD＝2a，若从AB的中点M沿着三棱锥表面到达CD的中点N，求最短路线的长. 解：有四种展开形式： (1)沿AC把平面ABC和平面ACD展成一个平面图形，此时相对短的路线是线段MN. 延长DC，与过点M且与AC平行的直线交于点P，PM与BC相交于点Q. 因为M为AB的中点，所以Q为BC的中点，MQ＝AC＝a，QC＝a，因为AC2＋CD2＝AD2，所以∠ACD＝90°，又MP∥AC，所以∠QPC＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在Rt△QPC中，∠QCP＝90°－60°＝30°， PC＝a，PQ＝a. 在Rt△ACD中，AD＝2a，CD＝2a，CN＝a， 在Rt△MPN中，MP＝MQ＋QP＝a，PN＝PC＋CN＝a. 于是MN＝＝a. (2)沿BD把平面ABD和平面BDC展成一个平面图形，与(1)类似可以推得MN＝ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)沿BC把平面ABC和平面BDC展成一个平面图形，构成菱形ABDC， 则MN∥BD，MN＝BD，所以MN＝2a. (4)沿AD把平面ACD和平面ABD展成一个平面图形， 构成正方形ABDC，此时MN＝2a. 因为4＋＞4，所以a＞2a. 所以最短路线的长为2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论不正确的是 A.该正方体外接球的直径为2 B.该正方体内切球的表面积为4π C.若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为 D.该正方体外接球的体积为4 √ 若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线长，即2R＝＝2，故A正确，外接球体积为πR3＝4π，故D错误；②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R＝1，球的表面积为4πR2＝4π，故B正确；③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方形的对角线长，即2R＝＝2，球的半径为R＝，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x＝6 cm时，该容器的容积为______cm3. 48 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以 6 cm为边长的正方形，侧面的斜高PM＝5 cm，高PO＝ ＝＝4(cm)，所以所求容积为V＝ ×62×4＝48(cm3). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 4.5　几种简单几何体的表面积和体积 返回 $