1.4.2 向量线性运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

1.4.2　向量线性运算的坐标表示 　 第1章　1.4　向量的分解与坐标表示 学习目标 1.掌握平面向量加、减、数乘运算的坐标表示， 会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算，提升数学运算核心素养. 2.掌握向量的坐标与表示有向线段起、终点坐标的关系， 提升逻辑推理核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　向量线性运算的坐标表示 1.平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则： (1)a＋b＝__________________. (2)a－b＝__________________，即两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (3)λa＝___________，即一个实数与向量的积的坐标等于这个数乘以向量相应的坐标. 知识梳理 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) 2.向量坐标与点的坐标的联系 在平面直角坐标系中，向量的坐标等于终点Q的坐标(x2，y2)减去起点P的坐标(x1，y1)，即＝__________________. 3.线段定比分点坐标公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P(x，y)是直线P1 P2上一点，且＝λ(λ≠－1)，则 特别地，当λ＝1时，得到线段P1P2的中点M(x，y)的坐标公式 (x2－x1，y2－y1) 4.向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)平行，则 (x1，y1)∥(x2，y2)⇔x1y2－x2y1＝0. 点拨　(1)向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关； (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. (　　) (2)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. (　　) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. (　　) (4)点的坐标与向量的坐标相同. (　　) 自主检测 × × × × 2.已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是 A.(－2，－1) B.(2，1) C.(1，2) D.(－1，－2) √ 的坐标为(3－2，1－(－1))，即(1，2)，故选C. 3.已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD相交于点M，则的坐标是 A. B. C. D. √ ＝＝[(5，0)－(2，4)]＝(3，－4)＝. 4.设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为__________________. (2，5)；(4，3) 由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j， 得a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j， a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j， 又i＝(1，0)，j＝(0，1)， 所以a＋b，a－b的坐标分别是(2，5)，(4，3). 返回 合作探究 返回 探究点一　向量线性运算的坐标表示 (1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4) D.(1，4) 典例 1 √ 方法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4).故选A. 方法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).故选A. (2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐标. 解：a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7). 向量坐标运算的方法 1.在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算. 2.在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 3.求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标. 规律方法 对点练1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝ A.(1，) B.(－，) C.(－，) D.(－，－) √ 因为a－2b＋3c＝0， 所以c＝－(a－2b)＝b－a， 又a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)， 所以(x，y)＝(－4，－3)－(5，－2)＝(－，－). 故选D. 对点练2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是 A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3) √ 根据a＝λe1＋μe2， 当e1，e2不共线时，λ，μ的值唯一确定， 当e1，e2共线时，不存在实数λ，μ使结论成立， B中的e1，e2不共线，满足题意. A、C、D中的e1，e2不合题意.故选B. 探究点二　向量坐标运算的应用 已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ).若＝＋(λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上？ 解：设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ) ＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且不共线， 所以 若点P在第一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝. 典例 2 (2)点P在第三象限内？ 解：设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ) ＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且不共线， 所以 若点P在第三象限内，则 所以λ＜－1.即λ的取值范围为(－∞，－1). (3)点P在坐标轴上，求λ的值. 解：设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ) ＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且不共线， 所以 ①当点P在x轴上时，y＝4＋7λ＝0， 所以λ＝－. ②当点P在y轴上时，x＝5＋5λ＝0， 所以λ＝－1. 坐标形式下向量相等的条件及其应用 1.条件：相等向量的对应坐标相等. 2.应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 规律方法 对点练3.已知向量a，b满足a＝(x，1)，b＝(1，2)，若a∥b，则a＋2b＝ A.(，5) B.(0，5) C.(，－3) D. (，5) √ 因为a∥b，所以2x－1＝0，解得x＝，所以a＋2b＝(，1) ＋(2，4)＝(，5).故选A. 对点练4.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为__________. (0，－2) 方法一：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，所以＝.设D(x，y)，则(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x，y)，所以x＝0，y＝－2，即D(0，－2). 方法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，所以＝，即－＝－，所以＝＋－＝(8，6)＋(－2，0)－(6，8)＝(0，－2). 即D点的坐标为(0，－2). 探究点三　定比分点坐标公式应用 如图，已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB的中点M和三等分点P，Q的坐标. 解：根据中点坐标公式和定比分点坐标公式，代入相关数据求解即可. 因为M为线段AB的中点，设M(x，y)，则x＝＝－，y＝＝2，所以点M坐标为(－，2). 因为点P点为线段AB的三等分点，所以＝， 设点P坐标为(x1，y1)，则 所以点P坐标为(－1，)，同理可求得Q(0，). 典例 3 对点练5.已知点A(－1，2)，B(1，－3)，点P在线段AB的延长线上，且＝3，则点P的坐标为 A.(3，－) B.(，－) C.(2，－) D.(，－) √ 点A(－1，2)，B(1，－3)，点P在线段AB的延长线上，且＝3，所以＝－3.设点P的坐标为(x，y)，则x＝＝2，y＝＝－，所以点P的坐标为(2，－). 探究点四　三点共线问题 设，，是三个有共同起点的不共线向量，求证： 它们的终点A，B，P共线，当且仅当存在实数m，n使m＋n＝1，且＝m＋n. 证明：(1) 由A，B，P三点共线⇒m，n满足的条件. 若A，B，P三点共线，则共线，由向量共线的条件知存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝＋λ. 令m＝1－λ，n＝λ，则＝m＋n且m＋n＝1. 典例 4 (2) 由m，n满足m＋n＝1⇒A，B，P三点共线. 若＝m＋n且m＋n＝1，则＝m＋. 则－＝m，即＝m. 所以共线，又直线BP与BA有公共点A，所以A，B，P三点共线. 由 (1) (2) 可知， 原命题是成立的. 1.三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点. 2.若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线. 规律方法 对点练6.p，q，r是互异实数，三个点P，Q(q，q3)，R(r，，求证： 若P，Q，R三点共线，则p＋q＋r＝0. 证明：因为P，Q，R三点共线，所以共线，所以存在实数λ使得＝λ. 又P，Q，R，所以＝，＝，于是有： 由p，q，r是互异实数，所以q－p≠0，r－p≠0，q－r≠0， ②÷①得q2＋pq＋p2＝r2＋rp＋p2，所以＝0，所以p＋q＋r＝0. 返回 随堂评价 返回 1.已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为 A.－ B. C.2 D. √ 因为平面向量a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，1)， 所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)， 因为(a＋kb)∥c， 所以＝， 解得k＝. 所以实数k的值为.故选B. 2.设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为 A.4 B.6 C.8 D.9 √ ＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)， 因为A，B，C三点共线，所以2(a－1)－(－b－1)＝0，化为：2a＋b＝1. 又a＞0，b＞0，则＋＝(2a＋b)(＋)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当 b＝2a＝时取等号.故选C. 3.已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是______________. (1，3)∪(3，＋∞) 当ABCD为平行四边形时， 则＝＋＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1). 故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪ (3，＋∞). 4.已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系； 解：由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1). 若A，B，C三点共线，则∥， 即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0， 故a＋b＝2. (2)若＝2，求点C的坐标. 解：由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1). 因为＝2， 所以(a－1，b－1)＝(4，－4)， 所以 所以 即点C的坐标为(5，－3). 返回 课时分层 返回 1.已知＝(5，－2)，＝(－4，－3)，且＋＋＝0，其中O为坐标原点，则P点坐标为 A.(－9，－1) B.(，－) C.(1，－5) D.(3，－) √ 设P(x，y)， 则＝(x，y)，＝(x－5，y＋2)， ＝－＝(x＋4，y＋3)， 则＋＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＝(x，y)＋(x－5，y＋2)＋(x＋4，y＋3) ＝(3x－1，3y＋5)＝0， 则所以P(，－). 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(3，1)，若a∥b，则sin θcos θ＝ A.－ B. C. D.3 √ 因为向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(3，1)，且a∥b， 所以cos θ－3sin θ＝0，故tan θ＝， 又sin θcos θ＝ ＝＝＝. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知向量a＝(1，)，b＝(－1，0)，c＝(，k).若a－2b与c共线，则实数k＝ A.0 B.1 C. D.3 √ a－2b＝(3，)，因为a－2b与c共线，所以3k－×＝0，解得k＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知M(3，－2)，N(5，－1)，若＝，则P点的坐标为 A.(3，2) B.(3，－1) C.(7，0) D.(1，0) √ 设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－5，y＋1)，＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，因为＝，即(x－5，y＋1)＝(2，1)，所以 所以P(7，0).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是 A.(2，3) B.(2，－1) C.(4，1) D.(－2，－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设D(x，y)，若＝，则(1，－1)＝(x－3，y－2)，即即D(4，1)； 若＝，则(1，－1)＝(3－x，2－y)，即即D(2，3)； 若＝，则(－2，－2)＝(x，y－1)，即即D(－2，－1).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知向量a＝(3，2)，b＝(2，－1)，若非零向量ma＋nb与a＋2b共线，其中m，n∈R，则等于________. 由a＝(3，2)，b＝(2，－1)，可得ma＋nb＝(3m＋2n，2m－n)，a＋2b＝(7，0).因为ma＋nb与a＋2b共线，所以14m－7n＝0，即可得＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“ⓧ”为mⓧn＝(ac－bd，bc＋ad).设m＝(p，q)，若(1，2)ⓧm＝(5，0)，则(1，2)＋m＝__________. (2，0) 由(1，2)ⓧm＝(5，0)， 可得 所以(1，2)＋m＝(1，2)＋(1，－2)＝(2，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知点M(－1，1)，N(2，4)，点Q在直线MN上，且｜MQ｜＝2｜NQ｜，则点Q的坐标为______________. (1，3)或(5，7) 点Q在直线MN上，且｜MQ｜＝2｜NQ｜， 则＝2＝－2， ①当＝2时，设Q的坐标为(m，n)， 得＝(m＋1，n－1)，＝(m－2，n－4)， 所以得Q(5，7). ②当＝－2时，类似①的方法求出Q的坐标为(1，3)， 综上所述，满足条件的点Q坐标为(1，3)或(5，7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(10分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线. (1)求实数λ的值；若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； 解：因为＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2， 因为A，E，C三点共线， 所以存在实数k，使得＝k. 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)， 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2， 因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 解得k＝－，λ＝－. 所以＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知点D(3，5)，在(1)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 解：因为A、B、C、D四点按逆时针顺序构成平行四边形， 所以＝. 设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)， 又＝(－7，－2)， 所以 所以点A的坐标为(10，7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)平面内三个向量a＝(7，5)，b＝(－3，4)，c＝(1，2). (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； 解：由a＝mb＋nc，得(7，5)＝(－3m＋n，4m＋2n)， 所以解得m＝－，n＝； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若(ka＋c)∥(b－c)，求实数k. 解：ka＋c＝(7k＋1，5k＋2)，b－c＝(－4，2)， 因为(ka＋c)∥(b－c)，所以2(7k＋1)＋4(5k＋2)＝0， 解得k＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(5分)设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊗”为a⊗b＝(ms，nt).若向量p＝(1，2)，p⊗q＝(－3，－4)，则向量 q＝ A.(－3，2) B.(3，－2) C.(－2，－3) D.(－3，－2) √ 设向量q＝(x，y)，则pⓧq＝(x，2y)，根据题意可得x＝－3，2y＝－4，解得x＝－3，y＝－2，即向量q＝(－3，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(15分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋. (1)求的值； 解：由题意知A，B，C三点满足＝＋， 可得－＝－)， 所以＝＝＋)， 即＝， 即＝2，则｜｜＝2｜｜， 所以＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知A(1，cos x)，B(1＋cos x，cos x)，x∈，f(x)＝·－(2m＋)｜｜，若f(x)的最小值为g(m)，求g(m)的最大值. 解：由题意，知＝(1，cos x)，＝(1＋cos x，cos x)， ＝＋＝(1＋cos x，cos x)，＝－＝(cos x，0)， 函数f(x)＝·－(2m＋)｜｜ ＝1＋cos x＋cos2x－(2m＋)cos x ＝(cos x－m)2＋1－m2， 令t＝cos x，因为x∈，所以t∈[0，1]， 令h(t)＝(t－m)2＋1－m2，t∈[0，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当m＜0时，h(t)的最小值为h(0)＝1，即g(m)＝1； 当0≤m≤1时，h(t)的最小值为h(m)＝1－m2，即g(m)＝1－m2； 当m＞1时，h(t)的最小值为h(1)＝2－2m， 即g(m)＝2－2m. 综上所述，g(m)＝可得函数g(m)的最大值为1， 即g(m)的最大值为1. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 1.4.2　向量线性运算的坐标表示 返回 $