精品解析：广东省珠海市文园中学2025-2026学年八年级上学期第三阶段数学试卷

2025-2026学年八年级上学期第三阶段数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，给出下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，长方形的长为，宽为，则下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的三条角平分线的交点为点D，则（ ） A. B. C. D. 8. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，则下列关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，的角平分线于点D，E为的中点，与交于点F，则与面积之差的最大值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 10. 学习了重心并研究确定重心位置后，小明知道了在平面直角坐标系中，若三个顶点坐标分别为，则的重心的坐标为 ．如图，在平面直角坐标系中，点D，E，F的坐标分别为，对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉；如图，P是的中点，连接．的重心在线段上； 淇淇：的重心的坐标为． A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 因式分解：______________ ． 12. 已知，则_____ ． 13. 已知，则____． 14. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得的度数分别为，则这两根竹竿的夹角的度数是_______ ． 15. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与________互为“5阶分式”． 三．解答题（共8题，其中第16—18每题7分，第19—21题每题9分，第22题13分，第23题14分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）计算：． 17. 如图，是上一点，且． （1）求证：． （2）若，求梯形的面积． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点、、的坐标； （3）求出的面积． 20. 观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； （1）写出第5个等式：________； （2）写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； （3）利用上述规律计算：． 21. 在中，，点，是边上的两点． （1）如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； （2）如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； （3）如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 22. 定义∶把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．例如∶．教科书中这样写道∶“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如∶(1)分解因式∶，做法∶； （1）分解因式∶； （2）当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． （3）已知a、b、c是三边的长，且满足，求三边的长． 23. 在中，，点D为的中点．射线与射线交于点E，过点D作 交射线于点F． （1）观察猜想 如图1，当点E在边上时，线段与的数量关系是 ； （2）类比探究 如图2，当点E在延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 如图3，连接，点P在的延长线上，点Q在上，且若，，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期第三阶段数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 2. 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握和运用三角形三边的关系是解决本题的关键． 根据三角形三边的关系即可一一判定． 【详解】解：A．， 该选项的三根小木棒不能构成三角形； B．， ∴该选项的三根小木棒不能构成三角形； C． ， 该选项的三根小木棒不能构成三角形； D． ，， 该选项的三根小木棒能构成三角形； 故选：D． 3. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的基本定义，需注意变形后必须是整式的乘积． 因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式．根据定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 4. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．利用最简公分母的确定方法可得答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：B． 5. 如图，，给出下列结论∶①；②；③；④．其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明，得到，，即可判断①②；由推出，根据即可证出，即可判断③；已知条件不能证出进而判断④． 【详解】解：，，， ， ，， ，即，故①②正确； ， ， 在和中， ， ，故③正确； 根据已知不能推出，故④错误； 正确的结论有①②③，共个， 故选：C． 6. 如图，长方形的长为，宽为，则下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据割补法求阴影部分的面积． 【详解】解：阴影部分面积可表示为：或或， 故选：A． 7. 如图，的三条角平分线的交点为点D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，先证明，，，进一步利用三角形的内角和定理即可求解. 【详解】解：∵的三条角平分线的交点为点D， ∴，，， ∵， ∴； 故选：B 8. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，则下列关系式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意可得，再利用完全平方公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∴（负值舍去）， ∴， 由得：，即， 由得：，即， ∴关系式中不正确的是D选项． 故选D． 【点睛】本题考查的是两个完全平方式的特点及变形，掌握以上知识点是解题关键． 9. 如图，中，的角平分线于点D，E为的中点，与交于点F，则与面积之差的最大值是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明，得出当的面积最大时，最大，根据，得出时，的面积最大，求出最大值即可． 【详解】解：延长，交于点G，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴当的面积最大时，最大， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：D． 10. 学习了重心并研究确定重心位置后，小明知道了在平面直角坐标系中，若三个顶点坐标分别为，则的重心的坐标为 ．如图，在平面直角坐标系中，点D，E，F的坐标分别为，对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ） 嘉嘉；如图，P是的中点，连接．的重心在线段上； 淇淇：的重心的坐标为． A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 嘉嘉、淇淇的都正确 D. 嘉嘉、淇淇的都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义，掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解题的关键． 根据重心的定义可得判定嘉嘉的说法，根据小明知道的方法可判定淇淇的说法，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形的三条中线的交点， ∴的重心在线段上，即嘉嘉的说法正确； ∵的重心的坐标为，即， ∴淇淇的说法正确． ∴嘉嘉、淇淇的都正确． 故选C． 二．填空题（每小题3分，满分15分） 11. 因式分解：______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式；   故答案为： ． 12. 已知，则_____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方法则将 展开为 ，再代入已知条件计算． 【详解】解： = = ． ∵，， ∴． 故答案为： 6 13. 已知，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质得，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的性质，多项式乘多项式，掌握运算法则是解题的关键． 14. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得的度数分别为，则这两根竹竿的夹角的度数是_______ ． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：为的一个外角， ∴， ∵的度数分别为， ∴； 故答案为：19 15. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与________互为“5阶分式”． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：， 故答案为： 三．解答题（共8题，其中第16—18每题7分，第19—21题每题9分，第22题13分，第23题14分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）计算：． 【答案】（1） （2）无解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）（2）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （3）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 化简得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问3详解】 解： ． 17. 如图，是上一点，且． （1）求证：． （2）若，求梯形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 而， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． （1）由，可得，根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可； （2）根据全等可得，再利用梯形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 梯形的面积． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值， 先根据整式的乘法计算括号内的，再根据整式的除法计算，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位长度． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点、、的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图所示：即为所作图形， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的点的特征作出即可； （2）根据（1）中作出的图形写出坐标即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：，，； 【小问3详解】 解：的面积． 20. 观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； （1）写出第5个等式：________； （2）写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得：第个等式：； 【小问3详解】 解：原式 21. 在中，，点，是边上的两点． （1）如图，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，，，求的值； （2）如图，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； （3）如图，连接，，若，且，平分，，的面积为，点，分别是线段，上的动点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； ∴， 如图，过点作，交于点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，证得是等边三角形，再证明，即可解答； （2）利用角的等量代换证明，过点作，交于点，得到是等边三角形，证明，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，故当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，利用三角形的面积公式可求出，利用等面积法可得，则的最小值为． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， 又， ∴； 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵的面积为，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 定义∶把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．例如∶．教科书中这样写道∶“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如∶(1)分解因式∶，做法∶； （1）分解因式∶； （2）当x为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． （3）已知a、b、c是三边的长，且满足，求三边的长． 【答案】（1） （2）当时有最小值，最小值为 （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握题干给定的方法是解题的关键： （1）利用题干给定的方法进行因式分解即可； （2）利用添项，构造完全平方，利用完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用完全平方公式法进行因式分解，利用非负性求出三边的长即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时，，值最小； 故当时有最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴． 23. 在中，，点D为的中点．射线与射线交于点E，过点D作 交射线于点F． （1）观察猜想 如图1，当点E在边上时，线段与的数量关系是 ； （2）类比探究 如图2，当点E在延长线上时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 如图3，连接，点P在的延长线上，点Q在上，且若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 解：由题意，作图如下， （1）中结论仍然成立，证明如下： 连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）4 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三线合一，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键： （1）连接，根据等边对等角，三线合一，同角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）根据题意，画出图形，同（1）法证明，即可得证； （3）过点作，交的延长线分别于点，证明，进而推出，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，点D为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线分别于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $