1.1 周期变化-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦三角函数中的周期变化，涵盖周期现象识别、周期函数概念及周期性应用，通过“天津之眼”摩天轮等生活实例导入，从具体现象抽象出周期概念，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于结合生活情境与典型例题，如造父变星亮度周期分析，培养数学抽象与逻辑推理素养，分层评价设计适配不同学生。学生能提升用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的能力，教师可高效开展教学与评价。

§1　周期变化 　 第一章　三角函数 学习目标 1.了解现实生活中的周期现象，并能判断其周期.　 2.了解周期函数的概念与最小正周期的意义，培养数学抽象的核心素养.　 3.会利用函数的周期性解决问题，提升逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　周期变化现象 1 任务二　周期函数 2 任务三　函数周期性的推断与应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　周期变化现象 返回 问题1.“天津之眼”摩天轮的直径为110米，旋转一周需28分钟，顶点高度为119.8米.如果你从最低点登上摩天轮，你与地面的距离随时间的变化而变化，这种现象是周期现象吗？转两圈需要多少时间？ 提示：是周期现象，且转两圈需要56分钟. 问题导思 每经过相同(时间)间隔，某种现象就______出现一次，这种现象称为周期变化现象.这个间隔就是周期. 新知构建 重复 (1)周期变化现象的周期的单位不一定是时间，也可以是角 度等. (2)若某物体做周期运动(或变化)，则这个物体从任一状态开始运动(或变化)，经过一个周期(或周期的整数倍)后，总是回到开始的状态. 微提醒 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由. (1)地球的自转； 解：地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象. 典例 1 (2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数； 解：连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1，2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象. (3)钟表的秒针的转动； 解：钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象. (4)某段高速公路每天通过的车辆数. 解：某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象. 　　周期现象的判断关键点：“间隔相同，现象(或值)重复出现”、“周而复始”等特征. 规律方法 对点练1.(多选题)下列现象是周期现象的是 A.挂在弹簧下方作上下振动的小球 B.游乐场中摩天轮的运行 C.抛一枚骰子，向上的数字是奇数 D.每四年出现一个闰年 √ √ √ 周期现象是指间隔相等而重复出现的现象，由此可知A、B、D均为周期现象，C不是周期现象.故选ABD. 返回 任务二　周期函数 返回 问题2.已知[x]表示不超过x的最大整数，画出下列函数的图象，并观察其图象是否具有周期现象？ (1)f(x)＝(－1)[x]； 提示：f(x)＝(－1)[x]的图象如图①所示，具有周期现象. 问题导思 (2)f(x)＝x－[x]. 提示： f(x)＝x－[x]的图象如图②所示，具有周期现象. 周期函数的概念与最小正周期 新知构建 周期 函数 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D，且满足________________，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的______ 最小 正周 期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个_____的正数，那么这个________ 就称作函数y＝f(x)的____________.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期 f(x＋T)＝f(x) 周期 最小 最小正数 最小正周期 (1)是否所有的函数都是周期函数？周期函数的周期唯一吗？ 提示：不是所有的函数都是周期函数，如y＝x＋1就不是周期函数；周期函数的周期不唯一，若T为f(x)的周期，则nT(n∈N＋)也是f(x)的周期. 微思考 (2)所有的周期函数都有最小正周期吗？ 提示：不是所有的周期函数都存在最小正周期.如f(x)＝0，不存在最小正周期. (链教材P3例3)(1)造父变星是一类高光度周期性脉动变星，其亮度随时间呈周期性变化.如图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，由图可知此造父变星亮度变化的周期是 A.5.5天 B.7天 C.14天 D.20天 √ 典例 2 由题图可以看出该造父变星的亮度每经过7天亮度等级相同，所以此造父变星亮度变化的周期是7天.故选B. (2)已知定义在N上的函数f(n)满足f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n). 求证：f(n)是周期函数，并求出其周期. 证明：因为f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)， 所以f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1)＝[f(n＋1)－f(n)]－f(n＋1)＝－f(n)， 所以f(n＋6)＝－f(n＋3)＝f(n). 所以f(n)是周期函数，周期为6. 　　判定或证明函数f(x)是周期函数关键是找到满足周期函数定义中的非零常数T. 规律方法 对点练2.(1)挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合__________次(注意：0时开始的那次重合不计算在内) A.11 B.12 C.13 D.14 √ 从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时，由题意知，0时开始的那次重合不计算在内，因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次，所以一共会重合13次.故选C. (2)函数y＝2 025＋(－1)n，n∈N的周期是 _______. 2 当n∈N时，该函数的取值为2 026，2 024，2 026，2 024，2 026，2 024，…，可见它是周期函数，且周期为T＝2. 返回 任务三　函数周期性的推断与应用 返回 已知周期函数y＝f(x)的图象，如图. (1)求函数的周期； 解：T＝1－(－1)＝2. 典例 3 (2)画出函数y＝f(x＋1)的图象； 解：把y＝f(x)向左平移一个单位得y＝f(x＋1)的图象，如图所示. (3)写出函数y＝f(x)的解析式. 解：y＝＝｜x｜，x∈[－1，1]， 所以y＝｜x－2k｜，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z. 1.常用结论 已知a＞0且a为常数，若函数y＝f(x)对定义域内任一实数x： (1)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a； (2)满足f(x＋a)＝±，则f(x)的周期T＝2a； (3)满足f(x＋a)＝f(x－a)， 则f(x)的周期T＝2a. 2.利用周期性求函数值、解析式、研究函数的性质，关键是利用性质f(x＋kT)＝f(x)(其中，T为f(x)的周期，k∈Z且k≠0)转化到对应的区间上. 规律方法 对点练3.函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈. (1)画出函数f(x)在区间上的图象，并求其单调区间； 解：由f(x)的周期性及x∈上的解析式，得区间上的图象如下： 由上图知：增区间为[－2，－1)，[0，1)，减区间为[－1，0)，[1，2]. (2)求f的值； 解：由题设f＝f(8－0.5)＝f(－0.5)＝(－0.5)2＝0.25. (3)求f(x)在区间上的解析式，其中n∈Z. 解：令x∈⇒x－2n∈[－1，1]且n∈Z，则f＝(x－2n)2， 又f＝f(x)，则f(x)＝f，即f(x)＝(x－2n)2， 综上，在区间上f(x)＝(x－2n)2，n∈Z. 返回 课堂小结 任务再现 1.周期变化现象.2.周期函数与最小正周期的概念.3.函数周期性的推断与应用 方法提炼 转化法、数形结合思想 易错警示 周期函数不一定都有最小正周期 随堂评价 返回 1.下列现象不是周期现象的是 A.“春去春又回” B.钟表的分针每小时转一圈 C.“哈雷彗星”的运行 D.某同学每天上数学课的时间 √ 对于A，每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；对于B，分针每小时转一圈，是周期现象；对于C，天体的运行具有周期性，所以“哈雷彗星”的运行是周期现象；对于D，某同学每天上数学课的时间不固定，并不是隔一段时间就会重复一次，因此不是周期现象.故选D. 2.下列函数图象中，不具有周期性的是 √ 因为C选项中x∈(－2，2)之间的图象在前后都没有重复出现，所以C选项的函数图象不具有周期性.故选C. 3.如图，是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是 A.2T B.T C. D. √ 因为整个运动刚好是一个周期，所以经历的时间是一个周期T.故选B. 4.已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2 025，那么f(11)＝__________. 2 025 f(11)＝f(1＋2×5)＝f(1)＝2 025. 返回 课时分层评价 返回 1.下列现象是周期现象的是 A.日出日落 B.气温的冷暖 C.海啸 D.火山爆发 √ 选项A是周期现象，选项B、C、D不是周期现象.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选题)下列函数图象中具有周期性的是 √ √ √ 抓住周期变化的特点，重复性，可知A、B、D为周期函数.对于C，图象不重复出现，故不合题意.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是 A.点A处 B.点B处 C.O，A之间 D.O，B之间 √ 钟摆的周期T＝1.8秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又＜0.6＜，所以经过1分钟后，钟摆在O，B之间.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支.把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅……癸对酉，其中天干比地支少两位，所以天干先循环(甲对戌、乙对亥……)，接下来地支循环(丙对子、丁对丑……)，以此用来纪年.2020年是庚子年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是 A.戊辰年 B.己巳年 C.庚午年 D.庚子年 √ 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，2020年是干支纪年法中的庚子年，而2 049－2 020＝29＝2×10＋9＝2×12＋5，所以2049年的天干为己，地支为巳.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4) 等于 A.－1 B.1 C.－2 D.2 √ 因为函数f(x)的周期为5，所以f(x＋5)＝f(x)，所以f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)，又因为f(x)为奇函数，f(2)＝2，所以f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，同理f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(3)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.故选A. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)若定义在R上的函数f(x)分别满足下列条件，其中可以得出f(x)的周期为2的有 A.f(x)＝f(x－2) B.f(x＋2)＝f(x－2) C.f(－x)＝f(x＋2) D.f(x－1)＝f(x＋1) √ √ 由周期函数的定义知，选项A的周期为2，选项B的周期为4，选项D的周期为2，选项C不满足周期性.故选AD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.十字路口处红绿灯亮灭的情况如下：1分钟亮绿灯；接着10秒亮黄灯；再接着1分钟亮红灯；10秒亮黄灯；1分钟亮绿灯；10秒亮黄灯， ……，则某人开始亮绿灯时，过路口，10分钟后又到此路口，此时应该亮___灯. 绿 由题意知，红绿灯的亮灭以140秒为一个周期，因为600＝140×4＋40，所以是绿灯. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，若f(1)＝2，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝______. 0 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.由函数f(x)是周期为3的函数，得f(2 024)＝f(675×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2 025)＝f(675×3)＝f(0)＝0，f(2 026)＝f(675×3＋1)＝f(1)＝2.所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝0. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式为________________. f(x)＝3－｜x＋1｜ 因为f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f(x)＝x， 所以x∈[－2，－1]时， 2＋x∈[0，1]，4＋x∈[2，3]， 此时f(x)＝f(4＋x)＝4＋x； x∈[－1，0]时， －x∈[0，1]，2－x∈[2，3]， 此时f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x. 综上可得：x∈[－2，0]时，f(x)＝3－｜x＋1｜. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数有f(x＋1)＝f(1－x)成立. (1)证明：f(x)是周期为4的函数； 证明：由f(x＋1)＝f(1－x)可得f(－x)＝f(x＋2). 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 有f(－x)＝－f(x)，故f(x＋2)＝－f(x)， 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的函数. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)若f(x)＝(0＜x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式. 解：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0， x∈[－1，0)时，－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－， 故x∈[－1，0]时，f(x)＝－. 当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x＋4)＝－， 从而x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式为f(x)＝－. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.如果函数y＝f(x)满足f(ax)＝f(ax－)(a＞0)，则y＝f(ax)的一个正周期为 A. B. C. D. √ 根据f(ax)＝f(ax－)，可知f(ax)＝f，令g(x)＝f(ax)，则有g(x)＝f(ax)＝f［a(x－)］＝g(x－)，故可得周期T＝，故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在t＝0时刻，粒子从点A出发，沿着轨迹曲线运动到B，再沿着轨迹曲线途经A点运动到C，之后便沿着轨迹曲线在B，C两点之间循环往复运动.设该粒子在t时刻的位置对应点P，则坐标x，y随时间t变化的图象可能是 A. B. C. D. √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由题意知，粒子从A→B→A→ C→A为一个周期，对应x由0→1→0 →－1→0为一个周期，对应y由1→－1→1→－1→1为 两个周期，所以函数x＝f的周期是函数y＝g的周 期的2倍.对于A，x＝f的周期为2π，y＝g的周期为2π，故A错误；对于B，x＝f的周期为2π，y＝g的周期为π，故B正确；对于C，x＝f的周期为π，y＝g的周期为2π，故C错误；对于D，x＝f的周期为π，y＝g的周期为π，故D错误.故选B. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(新角度)有下面两个命题： ①若y＝f(x)是周期函数，则y＝f(f(x))是周期函数； ②若y＝f(f(x))是周期函数，则y＝f(x)是周期函数.则下列说法中正确的是 A.①②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①②都错误 √ 若y＝f(x)是周期函数，设周期为T，则f(x＋T)＝f(x)，则f(f(x＋T))＝f(f(x))也是周期函数，故①正确；若y＝f(f(x))是周期函数，设周期为T，则f(f(x＋T))＝f(f(x))，f(x＋T)＝f(x)不一定成立，故②错误.故选B. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； 解：由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积； 解：由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(－x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线 x＝1对称.又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示. 当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×(×2×1)＝4. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调递增(或减)区间. 解：函数f(x)的单调递增区间为[4k－1，4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1，4k＋3](k∈Z). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(多选题)已知f(x)为偶函数，且f＝f恒成立.当x∈时，f(x)＝x.则下列四个命题中，正确的是 A.f(x)的周期是2k B.f(x)的图象关于点对称 C.当x∈时，f(x)＝－x D.当x∈时，f(x)＝3－ √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 由f＝f得，f(x)＝f，所以f(x)的周期是2k，故A正确；因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f就是f＝f，即f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B不正确；根据偶函数的对称性，C显然正确；当x∈时，x＋4∈，则f(x)＝f＝x＋4，即f(x)＝x＋4；当x∈时，x－2∈，则f(x)＝f＝2－x，即f(x)＝2－x，故D正确.故选ACD. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶 点P(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y＝f(x)，画出点 P的运动轨迹，并讨论y＝f(x)是否为周期函数.如果是，指出 周期；如果不是，请说明理由. 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 解：假设A落在x轴上时开始计时，下一次A落在x轴上，过程中四个顶点依次落在了x轴上，而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4. 若正方形向右滚动时，P点运动情况： 首先以A为圆心，正方形边长为半径运动个圆，然后以B为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆，最后以C为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹是如下图中的曲线： 由图知：y＝f(x)是周期为4的函数. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 §1　周期变化 返回 $