19.3 第1课时 二次根式的加减-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）武汉专版

19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 名师点金 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成 二次根式，再将被开方数 的 二次根式进行合并 夯实基础·逐点练 知识点①二次根式合并的条件 1.下列二次根式中，可以与√2合并的是 A.√4 B.√6 C.√8 D.√12 2.(武汉武昌区期中)已知最简二次根式√a一1与√6能合并，则a的值为 知识点2二次根式的加减运算 3.计算4√5-3√5的结果是 ( A.√5 B.25 C.35 D.4√5 4.计算： (1)(吉林中考)W3+√12= (2)(自贡中考)√/18-3√2= 5.计算： (1)√63- (2)√16x+√64x; (3)V27-8-12. 3 知识点3二次根式加减运算的应用 6.已知等腰三角形的底边长为4√5一2√3，腰长为4√5+√3，则该三角形的周长为 7.全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩 石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径d(单位：cm)和冰川消失的时间t(单位： 年)近似地满足如下的关系式：d=7√t一12.已知冰川消失20年、30年后苔藓的直径分别为 d1,d2,求d2与d1的差. 第十九章二次根式 9 尝试应用·提升练 8.(武汉黄陂区期中)下列各式中，可以合并的一组是 A.√xy与√xy B.√2x与2√元 a6与 D.√a与a 9.计算： 13.5-5月)-(2√)： 10.(教材P14例3变式)有一块长方形木板ABCD,采用如图所示的方式将木板的长AD增加 2√3cm,宽AB增加7√3cm,得到一个面积为192cm2的正方形AEFG. (1)求长方形木板ABCD的长和宽； (②)若从长方形木板ABCD中裁出一块面积为12cm,宽为cm的长方形木料，请通过计算 说明能否裁出符合条件的长方形木料. 综合探究·拓展练 山.嘉琪准备完成题目计算：（√层5v巴）一（√原分而）时，发现“■处的数字印刷不清楚， 1他把■处的数字猜皮6，请你计算：6、层-5v02)-(v网-v2网： (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案是5.”请通过计算求原题中“■”的值 2· 10 数学八年级下册(RJ)参考 第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 名师点金 (1)Wa(a≥0)(2)a≥0 1.B2.23.D4.3 5.解：(1)x0.(2)x1.(3)x为全体实数.(4)x=0.(5)x≥ -2且x≠0.(6)x8. 6./m+10 7.解：设它的长是3xdm,则它的宽是2xdm.根据题意，得 3x·2x=30,解得x=√5（负值已舍去）..3x=3√5,2x= 2√5.答：它的长是3√5dm,宽是2√5dm. 8.C9.x>3且x≠510.17 11.解：由x-2≥0，且6-3x≥0，得x=2..y=3..x十y=5. 12.解：(1)根据题意，设d=k2.将d=40,v=20代入，得40= 20k,解得=0d=0.∴=10a.(2)当d=25.5时， v=√/10d=√/10X25.5=√255. 13.解：(1)/x2-4x十m=√(x-2)十m-4.无论x取何 实数，式子√/x2一4x十m都有意义，∴.m一4≥0，解得m≥4. (2)当1=0时，√x2-4x十m=√/2-4z=√x(x-4).当式 子-4红+m有意义时，x(红-4)≥0.≥0、或 x-4≥0 x0, 解得x≥4或x0.∴.当=0时，式子 x-4≤0， √/x2一4x十m有意义时x的取值范围为x≥4或x≤0. 第2课时二次根式的性质 名师点金 ≥aa-a 1.C2.23.-34.C5.(1)W7)2 2(写)3w 6,解：(1)原式=4.(2)原式=号.(3)原式=0.6.(4)原式=63. 7.C8.5或-59.1-x 10.解：(1)原式=0.36.(2)原式=-号.(3)原式=元-3. (40原式=子 11.C【变式题】x12.2013.(1)-3(答案不唯一)(2)5 14.解：由数轴可知a<0,b>0,∴.a-b<0,∴原式=|a-|b -|a-b=(-a)-b+a-b=-2b. 15.解：原式=a十1+|a-3.当a<-1时，原式=-a-1十 3-a=-2a十2=6，解得a=-2;当-1≤a≤3时，原式=a+1 十3-a=4≠6，等式不成立：当a>3时，原式=a十1十a-3= 2a-2=6,解得a=4..a的值为一2或4. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 名师点金 (1)√ab(2)Wa·√b 1B2.D3.16压4.1)-1(22(3)号 答案 5.C6.B7.A 8.解：(1)原式=√/400×3=√400×√3=20√5.(2)原式= √14X14×4X2=√14X√4×W2=14×2×√2=28√2.(3)原 式=√·√·F·√y=3·x·√(·y=3xy匠 9.C10.36 山.解：D原式=9×(-)×V18x4=-是18x3 -27.(2原式=V停×25×（四）=2×()× √g×8×10=-6. 12.解：：p=合×(5十6+7)=9.六= √9X(9-5)×(9-6)×(9-7)=√9×4X3×2=V9×√4× √6=6√6. 13.解：(1)7×9(2)第⑦个等式为√(4m+1)'-(4n)严=(2m -1)(2n+1).证明如下：√(4n2+1)-(4n)严= √(4n2+1-4n)(4n2+1+4n)=√(2n-1)(2十1)F= √(2n-1)r·√(2n+1)7=(2m-1)(2n+1). 第2课时二次根式的除法 名师点金 a (1)N6 (2)Va (3)分母能开得尽平方 111535(2是音名号22.26 23 3解，1)原式=√震=.(2)原式=√厚=厅=8.8)原式 -V×受=v⑧-2.4原式=√哥-号 4A5.1号(2)25 3a2 (3)255 14 6.D 7.(1)37 7 2四a9 2 30 8.D9.(1)2√5(2)210.2√311.3 12.(1)原式=- 6a·2a=-6a·√2@=-3√2a.(2)原 v√2a·√2a 2a 式= 2./18 3V8 =-号×=-1.(8)原式= :1×4× √6x12×7=3V35=18. 3 3解：)h=60m,t√g=Y10 2×60=23(s).∴.该物 品落地的时间为2√3s.(2)该玩具最低的下落高度h= o7-6m以-√雁-V密-=4a以最少 64 5 经过4s落地就可能会伤害到楼下的行人. 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 名师点金 最简相同 1.C2.73.A4.(1)33(2)0 5.解：(1)原式=3√7-√7=2√7.(2)原式=4√（十8√= 12√.(3)原式=3W5-√2-2√=√5-√2. 6.125 7.解：d2-d1=7×√30-12-7×√20-12=21√2-14V2= 7√2(cm).答：d2与d的差为7√2cm. 8.C 9.解：1)原式=32-53_9+2y5--5.(2)原式 2 32 3 ab+√ab-√ab-Wa=a√b-ba. 10.解：(1)由题意，得正方形AEFG的边长为√192=83(cm), ∴.AD=-8/3-2√3=6√3(cm),AB=83-7√3=√3(cm). ∴.长方形木板ABCD的长为63cm,宽为3cm.(2)长方形木 料的长为12÷5=45(cm).:45=√5,65=√108W5 2 =严4V5<6,5<.能栽出符合条件的长方形 2 木料. 山.解：原式=6×5-5×号-26+合×25=26-6 3 -26+5=0.(2)设原题中的“■”是a,则原式=a.5-5 3 ×9-26+号×26-9：-后-25+5-9 5 Γ2 。-5,解得4=只原酒巾的■老号 34= 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.(1)3√6(2)2 3解：(1)原式=×厄-√合×2=4-1=8.(2)原式=2 5+25-3=-1+5.(3)原式=35×2×22-62= 12√2-6√2=6√2， 4.(111+20√11)元5.(1)a(a-2)(2)6 6.解：(1)原式=1-2√5+3十2√3=4.(2)原式=3-6√2+6 +9-12=6-6√2. 7.A8.C 9.解：(1)原式=(W9+5)(3-√5)=(3十√5)(3-√5)=9-5 =4.(2)原式=2√3÷√3X2√5-(9+4√5)=4√5-9-4√5= -9. 10.解：(1)ab=(W5+2)(W5-2)=5-4=1.(2):a=√5+2，b =5-2,.a+b=(w5+2)+(W5-2)=25..a2+-ab= (a+b)2-3ab=(2√5)2-3×1=17. 11.解：(1)√n+I-√m(2)原式=（√2-1十√3-√2+√-√3 +…+2037-√2036)×（√2037+1）=（√2037-1）× (√2037+1)=2036. 基础专练：二次根式的运算 1.解：(1)原式=45-5+号5=35+号5=5.(2)原 式=5√2÷(2√6÷2√3)=5√2÷√2=5.(3)原式=√/16-5十 √=4-5+3=2.(4)原式=√/25-√4+√24=5-2+2√6=3 +2√6 2.解：1原式=46×√石-2后×√日=4-2=2.(2原式 -45x×9-45×9×得- 5√24 3.解：(1)原式=(2√3)2-（√6）=12-6=6.(2)原式=3 45+4-3E2E=3-45+4-1=6-45.(3)原式=1 √2 +23+3-[(-2)2-(W3)]=1+2W3+3-4+3=2√5+3. (4)原式=(4-4√2+2)(6十4√2)=(6一42)×(6+4√2)= 36-32=4. 核心技巧：利用二次根式的非负性求解 1.B 2.解：-2≤a≤2，∴.5-2a>0,a十2≥0.∴.原式=(5-2a)- (a+2)=5-2a-a-2=-3a+3. 3 4.解：√x-3十y2+4y+4=√-3+(y+2)2=0,.x-3 =0,叶2=0，解得x=3y=-2.反=3=号 5.解：m-2026≥0，.m≥2026..2025-m<0..2025 -m|+√m-2026=m-2025+√m-2026=m,即 √m-2026=2025.两边平方，得m-2026=20252,.m 20252=2026. 6.等边三角形 7.解：(1)由题意，得c-3≥0,3-c≥0，解得c=3..|a-√2十 √b-2=0.a=√2，b=2.(2)分两种情况讨论：①当a是腰 长，c是底边长时，W瓦十√2<3，舍去；②当c是腰长，a是底边长 时，等腰三角形的周长为2+3十3=√2十6.综上所述，这个等 腰三角形的周长为√2十6. 核心技巧：二次根式化简求值的技巧（一）数形结合 1,解：由数轴可知2<a<4,∴.a-2>0,a-4<0..原式=a 2-(a-4)=2. 2.解：(1)<><>(2)：b<0<c<a,a|>|b>cl, .a十b>0,b-c<0,b十c<0..原式=-b+a+b十c-b-b- c=a-2b. 3.解：由数轴可知-3<a<-2,4<b<5,∴.a十√5<0，b-2√3 >0,a-b<0.∴原式=√(a十3)2-√(b-23)2 √/(a-b)r=-(a+√3)-(b-2√3)-[-(a-b)]=-a-√3 -b+2√3+a-b=√3-2b. 4.解：(1)由题意，得S阴影=(n十1)m-n2-1=-n2十(n十 1Dm-1.(2:n=a-2-5-1r=(a-a）)=6 10.∴d+-2=6-25∴a+2=8-26.m=(a+ )+26=++2+25=1m.s=-6-2)+ (W5-1+1)×10-1=12√5-7. 核心技巧：二次根式化简求值的技巧（二）整体代入 1.C 2.解：由题意，得x十y=2W2,x-y=2√5.(1)原式=(x-y) =(23)2=12.(2)原式=(x十y)(x-y)=2√2×2√3=4√6.