19.3 第2课时 二次根式的混合运算-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）贵州专版

第2 口名师导学 ◆◆◆预习先知 新知梳理 ①二次根式混合运算的顺序与有理数 的运算顺序相同，先算乘方，再算乘 除，最后算加减，有括号的先算括号 里面的. ②在二次根式的混合运算中，乘法公式 (平方差公式、完全平方公式)仍然适 用，最后结果一定要化成最简二次 根式 ☑例题引路 【例】计算： (1)√2X(W8+√12)； (2)(4√3-3√6)÷2√5； (3)(√6+2)(6-2)； (4)(2√5-√2)2. 【名师点拨】(1)(2)利用分配律进行计 算，(3)(4)利用乘法公式进行计算. 【学生解答】 课时二次根式的混合运算 基础过关 ●◆逐点击破 知识点1二次根式的混合运算 1.计算√/15×√3-√5的结果是 A.√40 B.3 C.25 D.4√5 2.计算： (1)√12：√6+√18= 2m-÷层 3.计算： ×√√： (2)(27-√24+/2)÷3： (3)(3√6-6)(6+2)； (4)80-4 2-/5o×8. √5 知识点2利用乘法公式进行二次根式的混合运算 4.(2025·河北中考)计算（√10+√6）(10-√6)的结果为 A.2 B.4 C.6 D.8 5.计算： (1)(2-√2)2= (2)(1-3√2)(1+3√2)= 6.计算： (1)(3√3+2√6)2； (2)(3√7+5√2)(3√7-52). 第十九章二次根式11 T能力提升 >◆整合运用 7.估计√2×（√⑧+√10）的值应在 A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间 8.若x为实数，在“（√3十1）☐x”的“☐”中填一 种运算符号（在“十，一，×，÷”中选择）后其 运算的结果为有理数，则x不可能是() A.√3+1 B.√3-1 C.2√3 D.1-√3 9.若3-√2的整数部分为a,小数部分为b,则 代数式(2十√2a)b的值为 10.计算： (1)(27×3+专0-8②)÷： (2)5(5-√15)+(25+√/15)(15-23). 11.长方形ABCD的长为2√6+√5，宽为2√6 √5.在长方形ABCD内部挖去一个边长为 √6一√5的正方形，求剩余部分的面积. 12数学1八年级下册 思维拓展 。◆·强化素养 12.阅读理解新趋势(2025·遵义期末)【观察】 √3×2√3=6； (5+1)(/3-1)=2: 37×(-3风)=-7： (2√5+√2)(2√5-√2)=18. 像上面各式这样，等号左边两因式均为无 理数，等号右边结果为有理数，我们就把等 号左边的两个因式称为互为有理化因式. 当有些分母为带根号的无理数时，我们可 以用分子、分母同乘分母的有理化因式进 行化简. 例如： 2=23=25.6=6=32 (3)2 3⑧22(2)2 3√2 2 2(3-1) 21 +1(5+1)（√5-1） =3-1. 【应用】化简与计算： (1)07 :②33-2 27 3√3+√2 1 1 (2) 十… √4+2 √6+√4 √⑧+√6 1 √/2032+√2030 提示 请完成基本功专练（一）参考答案 第十九章 二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时二次根式的概念 新知梳理 ①a(a≥0) 例题引路 【例1】解：(2)(3)是二次根式. 【例2】解：由已知，得{20：解得x=2,y=5,三=2 y 5 基础过关 1.C2.A3.0(答案不唯一)4.35.解：(1)由-a≥0，得a0.(2)由4a十1≥0，得a≥ 得a>1.6.B7.√2m a-1≠0， 能力提升 8.D9.410.2011.解：(1)设这个矩形过道的长为5xm,宽为2xm.根据题意，得5x· 弥2x=10,解得x=士1.：x不能为负数，x=1.∴5x=5,2x=2.答：这个矩形过道的长为 帐 5m,宽为2m(2)设这种地板砖的边长为ym,则40y=10“y=子y=士√厂 土号“y不能为负数，“y=之答：这种地板砖的边长为号m。12.解：存在.由条件①， 号公013二0：解得13<a≤20.整数a的取值可能为13,14,15,16,17,18,19,20. 合条件②的整数只有16，且16同时符合条件③，∴.a=16. 思维拓展 地 13.解：(1)(4,5)(2)：要使√a-2,√4-2a有意义，.a-2≥0,4-2a≥0，解得a=2.将 a=2代入b=√a-2+√4-2a-√7，得b=0+0-√7=-√7.：4<7<9，.2<√7<3， .-3<-√7<-2，∴b的麓外区间是(-3，-2). 第2课时二次根式的性质 新知梳理 ①≥②a3a-a 例题引路 【例1】解：(1)原式=7.(2)原式=5，(3)原式=(2√3)=2×(3)2=4×3=12.(4)原式= 0 13-√101=√/10-3.【例2】8 易错典例 【例3】2025 基础过关 1.B2.-83.A4.(1)(5)2 (2)(√3.4)2 (4)(√)25.解：(1)原式 =17.(2)原式=4×7=28.(3)原式=号.6.C7.B8.解：(1)原式=-03.(2)原式 5 一4 =5.(3)原式=13-π=元-3. 4 能力提升 9.D【变式题】C10.B11.(1)4或7或8(2)212.解：(1)原式= 引+ 9--号-号+1-号号2原式=25-3+8x号-2×-3+1=4x6 -3+1=20-3+1=18. 思维拓展 13.解：(1)由隐含条件3-x≥0，解得≤3.x一π<0..原式=-(x-π)-(3-x)=-x 十π-3十x=π-3.(2)由数轴，得a<0,b>0,|a>|b1,∴a十b<0,b-a>0.∴.原式=|a -|a十b1-|b-a=-a十a十b-b十a=a.(3)由三角形的三边关系得隐含条件a十b+c> 0,a-b<c,b-a<c,c-b<a,.a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0..原式=|a十b+c十 |a-b-c|-|b-a-c十|c-b-a|=(a十b+c)-(a-b-c)十(b-a-c)-(c-b-a)=a+ b+c-a+b+c+b-a-c-c+b+a=46. 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 新知梳理 ①ab②√a·√石 第1页（共48页） 例题引路 【例】解：(1)原式=√6X3=√3×2=3瓦.(2)原式=2√8×=2×2=4. 【例2】解：(1)原式=√3X10=√X√/10产=10√3.(2)原式=√3X2·x2·y=2√5xy. 基础过关 1D2.D3解：1原式=V5X0=0=10.(2②)原式=√写×42=爪.(3)原式 5√号×10=5V历=25.(4原式=-3×2XVX1西=-6X5X对=-150.4A 5.A6.解：(1)原式=√/16×√49=4×7=28.(2)原式=√/25×10=√25×√10= 5√10.(3)原式=√12×27=√12×√27=√3×2×√3×3=2√5×3√3=18.(4)原式 =√36·√·√=6xy. 能力提升 7.B8.60m9.-a厂ad10.解：(1)原式=号×(-9)×√×45=-6× √厚x15x8=-45.(2)原式-√/×25×(-)-2×(-)×√×3x10 =-6.11.解：当d=20,f=1.2时，u=16√/20×1.2=16/24=32√6≈32×2.4495≈ 78.38(km/h).答：肇事汽车的车速大约是78.38km/h. 思维拓展 12.解：(1)1（答案不唯一）(2)①2X√5=√2X5=√10.②/3×√12=√3×12=√36= 6.(3)①√16X8I=√4X9=√36=36.②√16a6c=4bc√ac. 第2课时二次根式的除法 新知梳理 0√ eva ③分母能开得尽平方的因数或因式 例题引路 【1解：)式=√√写-(2)原式=√÷-√=8.(3)原式=2 49 3X(-DX14X7X2=6N6 49×6=-76. =-6W6×6 【例2】解：(1)原式= 拾-华原庆震器-分 √25 基础过关 1A2.C3.解：1)原式=-√号=-瓜=-2.(2)原式= 12 5 4 4.C5.解：(1)原式= T_ /121 /100 2)原式-√隔 -共④原式-爱 /5x2-0,(2)原式= 96 =%6.D7.解：1)原式=√×2 2 5-5X2=(3)原式=② √2×0=⑤ 2√2√2√2X2 3×2√106√10X√1030* 能力提升 8.C9.0≤x<110.2y5 3 11.解：1)原式= 号√=-号√厚=-1.2原式= 号×4x号√6x12x=3丽=18， ,3 思维拓展 12.解：1)两名同学的解法都正确(2)答案不唯一，如：而-√四== -√偶-√-品而=总 49 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 新知梳理 最简二次根式被开方数 例题引路 【例11)V2V(2)v压√后√停【例2】解：1)原式=3+4=7厄 (2)原式=4+3-万-(3)原式=+4-号+5-号+55 第2页（共48页） 基础过关 1.D2.D3B4.0(2)555.解：)原式-3.(2)原式-2F+4G=6E (3)原式=27-3V7+9=-25.（4)原式=45+125-205=-45.6.46 3 3 7.162 能力提升 8.C9.C10.311.解：(1)原式=(35+3√2)-(25-5√2)=35+3√2-25+5√2 =5+8.(2)原式=25-反-5+2反=5+2.(3)原式=3√3x+3×红+2x· 证=3/3+√3x+23=6√3z.12.解：应+√27=2B+33=55- x √/7(dm).:9=√8I>√/7，√27<2√I2=√48,7=√49>/48，∴.能够在这块木板上 裁出一个面积为27dm2和两个面积均为12dm的正方形木板. 思维拓展 13.解：（1)原式=6×5-5×5-26+号×2后=26-5-26+5=0.(2)设原题中 3 5 ■的值是a,则a…9-5×写-26+合×26-写a-5-26+6- 3 “(合a一2)6=.34一2=宁解得a=只.原题中■的值是号 第2课时二次根式的混合运算 例题引路 【1解：1)原式=5+V瓜=4+26.(2)原式=4万÷2疗-35÷2后=2-8号 (3)原式=(W6)2-22=6-4=2.(4)原式=(2√3)2-2×2√3×2+(W2)2=12-4√6+2= 14-4√6. 基础过关 1.C2.14E(2w后3解：原式-4x号-√层×6=2-3=-1(2)原式 (3√5-2√6+2√3)÷√3=(5√3-2√6)÷√3=5-2√2.(3)原式=18+6√6-6√6-12=6. （40原式=45-35-√400=1-20=-19.4.B5.1)6-42(2)-17 5 6.解：(1)原式=27+36√2+24=51+36√2.(2)原式=(3√7)-(5√2)=63-50=13. 能力提升 7.B8.C9.210.解：(1)原式=(33×3V6+4√2-4√2)÷√2=27√2÷√2=27.(2)原 式=5-5√3+15-12=8-5V3.11.解：剩余部分的面积为(2√6+5)×(2W6-5) (W6-√5)=(2V6)2-(W5)2-[(W6)2-26×√5+(5)]=(24-5)-(6-2√30+5)= 19-(11-2√30)=8+2√/30. 思维拓展 12.解：(1)①73 ②2965(2)： 1 n+2-m 9 25 √m+2+W元-（√n+2+√m)(√n+2- -叵，∴原式-合×-②)+×6-m+×-+… n+2-n 2 +×(2032-V2030)=之×(I-E+5-+-6++V208题-2080) ×(v哑-万4E-2m9 2 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【贵州热点·回归教材】 1.解：(1)当x=√5-1时，原式=(w5-1-1)(W5-1+3)=(W5-2)(5+2)=5-4=1. (2)a(a十2b)-2b(a十b)=a2+2ab-2ab-26=a2-26.当a=2+√5，b=√3时，原式=(2+ √3)2-2×(W3)2=4+4√5+3-2×3=1十43.(3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)(W2十 1)+(1-√2)(w2+1)=(3-2√2)(2+2√2+1)+(1-√2)(1+√2)=(3-2√2)(3+2√2) 十(1一√2)(1十√2)=9一8十1一2=0.2.D3.D4.解：根据二次根式有意义的条件，得 -解得=把=1代人=V7+8,0y=V7十了+8= 8,.(x-y)22s=(7-8)2025=(-1)228=1.5.C6.17.-2c8.C9.解：(1)：x= 3十5，y=3-√5，∴.x2-y=(x+y)(x-y)=(3+W5+3-W5)×(3+√5-3+W5)=6× 25=125.(2):x=3+5,y=3-5,∴xy=(3十5)×(3-5)=9-5=4. 10解+y后后万5十-+6历2， 1 5-√2 3+2 第3页（共48页）