精品解析：湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高三第一学期2月期末质量检测数学试题

襄阳四中2025-2026学年度高三年级第一学期期末质量检测 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：A. 2. 已知是两个虚数，则“为实数”是“均为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、纯虚数的定义进行判断即可. 【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有， 当时，显然，但是，都不是纯虚数”， 所以“为实数”是“均为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得. 【详解】因为和的夹角为，，， 所以. 故选：D. 4. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项，根据展开式中存在常数项，得到且，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项， 令，得，因为，所以的最小值为. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式化简可得出的值. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. “心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的对称性，结合“心形”图形横坐标的取值范围、函数的最大值逐一判断即可. 【详解】因为由图象可知“心形”在轴上方部分是关于纵轴对称的， 所以“心形”在轴上方部分对应的函数是偶函数, 且定义域为，且值域为. A：由，所以本选项函数的定义域为， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， ，即， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以，所以该函数的值域不符合题意，因此本选项函数解析式不符合题意； B：令， 因为， 所以该函数不是偶函数，不符合题意； C：由， 所以本选项函数的定义域符合题意， 令， 因为， 所以该函数是偶函数，符合题意， 又， 当时，即当时，该函数有最大值，因此该函数的值域为， 因此本选项函数解析式符合题意； D：，不符合题意， 故选：C 7. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，且为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图②的轴截面，求出以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积，然后可求出图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水体积. 【详解】由题意可知，图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水部分是以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱体积的一半. 作出图②的轴截面，如图所示： 因为左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，所以，又，. 以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积. 图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水体积为. 故选：C 8. 设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（ ） A. 无穷 B. 4个 C. 3个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据构成三角形的条件两边之和大于第三边，列出不等式组求解；借助最值解决对任意都满足的问题. 【详解】因为长为的线段均能构成三角形，所以. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，而当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得可为任意正整数. 由，有，即， 所以，因，当时，有最大值. 要使任意的都有，即要，解得. 由，有，即， 若，则对任意的都成立。 若，则，当时，有最小值. 要使任意的都有，即要，解得. 综上，，所以满足条件的有3个． 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 B. 经验回归直线至少经过一个样本点 C. 若事件满足，且，则事件独立 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据极差和方差的定义分析判断即可；对于B：根据线性回归方程的定义分析判断即可；对于C：根据独立事件的定义以及事件的运算分析判断；对于D：根据线性相关系数的意义分析判断. 【详解】对于选项A：如果一组数据的极差为0，则这组数据为同一实数， 所以这组数据的方差也为0，故A正确； 对于选项B：回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，故B错误； 对于选项C：因为， 则， 且，所以事件独立，故C正确； 对于选项D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误； 故选：AC. 10. 如图，，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 曲线上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点） B. 曲线与轴围成的图形的面积等于 C. 弧与弧的公切线方程为 D. 动点分别在圆和上，动点在上，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图中的交点，可判断A；由题意，作图，根据图形组合，可判断B；结合图象所作切线，设出直线方程，利用切线性质，可判断C；作点关于的对称点，求解即可. 【详解】对于A选项，由，，，，有5个整点，故A正确； 对于B选项，如图所示，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， 则曲线与轴围成的图形的面积为，故B错误； 对于C选项，弧与弧的公切线方程为，由图象可知， 则，，解得，，即，故C正确; 对于D选项，如图 动点在上，，，则， 故的最小值为点关于的对称点到的距离， 所以最小值为. 故选：ACD. 11. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使 B. 到直线和的距离相等的点有且只有2个 C. 不存在点，使 D. 若，则四面体体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用向量判断每个选项的正确性.对于A，通过计算来判断是否存在满足条件的点；对于B，根据点到直线距离的计算方法，得出点的轨迹方程，进而判断出满足条件的点的个数；对于C，根据向量平行的条件判断是否存在满足的点；对于D，先根据向量垂直的条件得到之间的关系，再结合三角形的面积的取值范围求出四面体体积的最大值. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系 则有， 设，其中， 对，则， 当时，有， 故存在点，使，故A正确； 对B：点到直线距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由，故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故B不正确； 对C：， 若，则有， 由，故当时，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合， 故不存在点，使，故C正确； 对D：， 由，故有，则， 又， 故，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 13. 设为函数的定义域，若对于且，都有，则我们称为“不减函数”.已知函数的定义域，值域，则函数为“不减函数”的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用隔板法将定义域中的数分组，计算概率求解. 【详解】把中的个数分成三组为的情况有种， 基本事件总数为， 满足函数为“不减函数”，等价于在中间有个空，插入块板分成组， 分别从小到大对应共有种情况， 所以函数为“不减函数”的概率为. 故答案为： 14. 如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，则当最大值时，内切圆的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合双曲线的定义得在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上，进而建立平面直角坐标系，求得双曲线方程为，再根据双曲线的定义转化为，即可得当是射线与双曲线右支的交点时，最大，最后根据等面积法求解即可. 【详解】设圆与的三边分别切于点， 如图，是中点，则， ， 所以， 所以在以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上， 以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， 的轨迹方程为：， ，所以， 由题意，当是射线与双曲线右支的交点时，最大， 直线方程为， 由点在第一象限，解得，即， ， ， 设此时内切圆半径为， 则，所以， 所以内切圆面积为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知向量，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和正弦定理求得关于的方程，求解即可. （2）先利用余弦定理列出的一个方程，再利用基本不等式求出面积的最大值. 【小问1详解】 ， 根据正弦定理得， ， ，即， ，所以，则， . 【小问2详解】 由余弦定理， 得， 所以. 当且仅当时，等号成立， 所以当时，面积有最大值，最大值为. 16. 12月20日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100名学生参加宪法知识竞赛，这100名学生的竞赛成绩均在内，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名学生竞赛成绩的上四分位数； （2）从成绩在和的学生中，用分层抽样抽取5名学生，再从5名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中来自成绩在的学生的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），上四分位数为 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形面积之和为1，求得的值，根据各组频率分布情况求得第75百分位数，即上四分位数； （2）按比例求得在和学生中需抽取的人数，确定的可能取值及其分布列，由数学期望的定义求得的数学期望. 【小问1详解】 由题可知，解得； 上四分位数即为第75百分位数. 学生成绩在范围内的频率为， 学生成绩在范围内的频率为. 所以第75百分位数一定位于范围内. 由，所以估计学生成绩的上四分位数为. 【小问2详解】 依题意，成绩在，两组内的频率分别为和，所以在两组内分别抽取3人和2人. 记为抽取的3人中成绩来自内的人数，则的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列如下， 0 1 2 所以的数学期望. 17. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，. （1）若，求四棱锥的体积； （2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出底面的面积，再根据体积公式求出的体积. （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面与平面的法向量，利用平面角正弦值为列出关于的方程，求解出的值. 【小问1详解】 在底面中，因为底面直径， 所以， 又，故， 所以. 所以. 因为是圆柱的母线，所以面，所以四棱锥的体积为. 【小问2详解】 以为坐标原点，以为轴正方向，在底面内过点C作平面的垂直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，故. ， 因此，. ，，则 设平面和平面的法向量分别为， 则有：， 取， 设平面与平面的夹角为，则 ， 整理得或（无解，舍），由于k为正整数，解得. 18. 已知椭圆：的右焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而得解； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，分析、的斜率均存在，由，即可得证； （ii）设的中点为，求出的垂直平分线，即可求出点坐标，再由表示出三角形的面积，再换元，利用导数求出函数的最大值. 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，，， 由，整理得， 所以，则， 所以，， 若轴，由，解得，则，此时的斜率，即（不合题意）， 所以、的斜率均存在， 所以， 又， 所以，即， 又因为、均在椭圆上， 由椭圆的对称性可知，即为等腰三角形； （ii）设的中点为，则，， 所以， 所以的垂直平分线为， 令可得，所以， 所以的面积， 令，设，， 所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数，. （1）讨论单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若的最小值是，求的最大值. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）令，求得，由，转换为恒成立，令，求得，得到在上为增函数，得到，即可求解； （3）令函数，转化为在上恒成立，结合相切时取得等号，设切点坐标为，求得切线方程，列出方程组，求得、的表达式，得到所以，令函数，利用导数求得单调性，得到，求得，，得出，且，进而得到答案. 小问1详解】 由函数，可得， 若时，可得，所以在上单调递增； 若时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 综上可得：当时，的增区间为； 若时，的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 令函数，可得， 因为当时，恒成立，所以在上恒成立， 又因为，要使得在上恒成立，则恒成立， 令， 可得 ， 即在上为单调递增函数，所以，解得， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，若的最小值是0， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 显然相切时取得等号，由函数， 设切点坐标为， 可得，可得， 所以切线方程为， 即， 因为切线过原点，则， 解得，， 所以 ， 令，其中， 可得，令，解得， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以，此时，， 可得， 则，其中， 只需证明：当时，，当时，， 令，可得， 因为和都为增函数，所以为增函数， 所以，所以为增函数， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以，当且仅当，，等号成立， 即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳四中2025-2026学年度高三年级第一学期期末质量检测 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两个虚数，则“为实数”是“均为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知和的夹角为，且，则（ ） A 1 B. C. 3 D. -1 4. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. “心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（　　） A. B. C. D. 7. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，且为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，数列，数列，设．若对任意，长为、、的线段均能构成三角形，则满足条件的有（ ） A. 无穷 B. 4个 C. 3个 D. 1个 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 B. 经验回归直线至少经过一个样本点 C. 若事件满足，且，则事件独立 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 如图，，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，弧是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 曲线上有5个整点（横､纵坐标均为整数的点） B. 曲线与轴围成图形的面积等于 C. 弧与弧的公切线方程为 D. 动点分别在圆和上，动点在上，的最小值为 11. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直.点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动.设，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使 B. 到直线和的距离相等的点有且只有2个 C. 不存在点，使 D. 若，则四面体体积最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 13. 设为函数的定义域，若对于且，都有，则我们称为“不减函数”.已知函数的定义域，值域，则函数为“不减函数”的概率是__________. 14. 如图，在中，，点为中点，点为线段垂直平分线上的一点，且，固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的异侧，则当最大值时，内切圆的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知向量，且. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 16. 12月20日是澳门回归纪念日，为弘扬家国情怀，某校抽取100名学生参加宪法知识竞赛，这100名学生的竞赛成绩均在内，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这100名学生竞赛成绩的上四分位数； （2）从成绩在和的学生中，用分层抽样抽取5名学生，再从5名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中来自成绩在的学生的人数，求的分布列和数学期望. 17. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，. （1）若，求四棱锥的体积； （2）设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值. 18. 已知椭圆：右焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若的最小值是，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $