第二十章勾股定理课后同步练 2025-2026学年人教版数学八年级下册 （重庆适用）

弈泓共享数学 课后同步练02 第二十章勾股定理 地 城 20.1 勾股定理及其应用 一、单选题 1．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长，题目未明确已知两边是直角边还是斜边． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和4 当3和4为两条直角边时 由勾股定理得，第三边长为； 当4为斜边，3为直角边时 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为5或， 故选：D． 2．在中，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 在直角三角形中，利用勾股定理计算未知直角边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴根据勾股定理，得， ∴， 故选：A． 3．如图，在长方形中，，．将此长方形沿所在的直线折叠，使点D与点B重合，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查长方形的折叠问题，利用勾股定理列方程求线段的长度；，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵长方形中，，， 设，则， 解得， 故选C． 4．如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，正确利用勾股定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，令，则，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：直线为的垂直平分线， ， 令，则， 在中，， ， 解得，， ． 故选：C． 5．如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所爬行的最短路线的长是多少．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短， ； 如图2所示，， 如图3所示，， ∵， ∴蚂蚁所行的最短路线为cm． 故选：B． 二、填空题 6．如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与数轴上实数的对应关系，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合点的位置确定其符号． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两条直角边长度分别为2和1， 根据勾股定理，斜边的长度为； ∵点在原点的左侧，且原点到点的距离等于该斜边的长度， ∴点表示的实数是． 故答案为：． 7．如图所示的三角形为直角三角形，那么字母A所表示的正方形的边长等于 ． 【答案】 【分析】设字母A所表示的正方形的边长为a，由勾股定理得即可得出结论． 本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设字母A所表示的正方形的边长为a， 由勾股定理得：， ∴字母A所表示的正方形的边长等于， 故答案为：． 8．如图，在中，，、分别为，上的一点，将，分别沿、折叠，点、恰好重合于点处．则= °，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质、直角三角形的性质及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边与对应角相等，结合直角三角形的内角和性质与勾股定理进行求解． （1）根据折叠的性质得到对应角相等，结合直角三角形中两锐角互余的性质，即可推出的度数； （2）设的长度为未知数，利用折叠性质得到，表示出的长度，再结合，在中应用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵将，分别沿、折叠，点、恰好重合于点处， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，即； 设，则， ∵将沿折叠，点重合于点处， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即，解得：； 故答案为：；． 9．如图，在中，，为上任意一点，那么的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三线合一，勾股定理，线段和差的计算，根据题意，如图所示，过点作于点，，运用勾股定理得到，，再根据线段和差的计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作于点， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9 ． 10．在中，，，，点D为的中点，为的垂直平分线，点E为上任意一点，连接、，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短，先利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，则的周长最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 三、解答题 11．在中，，，，求的面积． 【答案】54 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得： 即 解得 因此 答：的面积为． 12．如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，根据勾股定理求出，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 即池水看起来变浅了． 13．如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离，已知．求点到地面的距离的长为多少米? 【答案】点到地面的距离的长为2.2米 【分析】 本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．根据题意，在中，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，由勾股定理得：， ， （米）， 答：点到地面的距离的长为米． 地 城 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 一、单选题 1．以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵，， ∴， ∴B不能判定是直角三角形，符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴C可以判定是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴D可以判定是直角三角；不符合题意． 故选：B． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用． 先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，即可求解的面积． 【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故D错误，A、B、C正确， 故选：D． 4．五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； B、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； C、，，故包含两个直角三角形，故符合题意； D、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据勾股定理的逆定理可以证明；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，可知的最小值即等于直角三角形斜边上的高，根据矩形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵在中，，，， ∴，即 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当的值最小时，的最小值， ∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小， ∴的最小值即为直角三角形斜边上的高， 设直角三角形斜边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题 6．小明同学用长度是的木棒拼三角形，一共能拼出 个直角三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此可求出能构成三角形的组合，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么该三角形是直角三角形，据此可确定能构成直角三角形的组合． 【详解】解：，，，， ，，，， ，， ∴能构成三角形的组合为，，， ，，，， ， ∵，， ，， ，， ，， ∴能构成直角三角形的组合为，， ∴一共能拼出2个直角三角形， 故答案为：2． 7．在中，，，上的中线，则 ． 【答案】17 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及线段垂直平分线的性质是关键．先根据勾股定理的逆定理，证明，再根据线段垂直平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：是上的中线， ， ， 是直角三角形，， ， ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：17． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1） 度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 45 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 9．在中，的对边分别是a、b、c，满足，则是 三角形． 【答案】等腰或直角 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，由，得到或，从而得到或，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形， 故答案为：等腰或直角． 10．如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 12．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 13．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 精选考题刷题捷径第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $弈泓共享数学 课后同步练02 第二十章勾股定理 目目 20.1 勾股定理及其应用 一、单选题 1.已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为() A.3 B.4 C.5 D.5或√万 2.在ABC中，∠C=90°，AB=√5，BC=2,则AC的长为() A.1 B,√2 C.5 D.2 3.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=10,将此长方形沿EF所在的直线折叠，使点D与点B重合， 则AE的长为() -----------,D G A.3 c21 D.5 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE为AB的垂直平分线，交AC于点D,连接BD,已知 AC=7,BC=3,则CD的值为() E A.3 B.4 C.20 D.17 7 6 5.如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm、高为10cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所 爬行的最短路线的长是多少cm,() 精选考题刷题捷径 第1页共7页 弈泓共享数学 B 10cm A 3cm 5cm A.V134 B.241 C.V194 D.√234 二、填空题 6.如图，在数轴上点A表示的实数是 -3-2-10123 7.如图所示的三角形为直角三角形，那么字母A所表示的正方形的边长等于 4 8.如图，在AABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB,AC上的一点，将△BCD,△ADE分别沿CD、 DE折叠，点A、B恰好重合于点A处.则∠EA'C=°，若BC=3,AC=5,则 AE= B D A 9.如图，在ABC中，AB=AC=3,P为BC上任意一点，那么PA+PB·PC的值是一· 精选考题刷题捷径 第2页共7页 弈泓共享数学 10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10,点D为BC的中点，MN为AB的垂直平分线，点E 为MN上任意一点，连接DE、BE,则BDE周长的最小值是 三、解答题 11.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,AB=15,求ABC的面积. 12.如图所示，池底某点反射的光OA从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点O的位置升 高到O处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象.己知O,O,B三点共线，AB⊥OB, AB=6dm,0'A=10dm,OB=15dm,池水看起来变浅了多少？（即求OO'的长度） B 13.如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度 和工作半径.在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂 AB=1m,点B到地面的距离BC=1.4m,点B到AD的距离BE=0.6m,己知DE=BC.求点A到地面的距 离AD的长为多少米？ 精选考题刷题捷径 第3页共7页 弈泓共享数学 图1 图2 目目 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 一、单选题 1.以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是() A.5,11,12B.3,4,5 C.6,8,11 D.7,23,24 2.若△ABC的三边分别是a,b,C,则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是() A.∠A=2∠B=2LC B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a=5,b=12,c=13 D.a=5,b=2,c=V5 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点A,B,C都在格点上，则下列说法不正确的是 () B A.AC=5 B.AB=25 C.∠BAC=90° D.S△4Bc=10 精选考题刷题捷径 第4页共7页 弈泓共享数学 4.五根小木棒的长度分别为5,9,12,13,15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是() 5 9 1 5.如图，在ABC中，AB=30,AC=40,BC=50,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于 F,则EF的最小值为() B P C A.20 B.22 C.24 D.25 二、填空题 6.小明同学用长度是7cm,15cm,20cm,24cm,25cm的木棒拼三角形，一共能拼出_个直角三角形. 7.在ABC中，AB=17cm,BC=30cm,BC上的中线AD=8cm,则AC= cm 8.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点.ABC的顶点A,B,C均在 格点上 (1)∠ABC= 度； (2)取格点D,连接AD,BD,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段BD上画出点P,使得 ∠APD=2∠ABD,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 9.在ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足(a-b)(a2+b2-c2）=0,则ABC是 三 角形. 10.如图，ABC中，AB=8,AC=15,BC=I7,将ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重 合，E为射线BM上的一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 精选考题刷题捷径 第5页共7页 弈泓共享数学 三、解答题 11.如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,∠B=90°，AD=5,CD=5V2,求四边形ABCD的面积. A 12.渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地.如图，渭河一侧有一 村庄C,河边原有两个观景台A,B,其中AB=BC,现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台D(点 A,D,B在同一条直线上)，并新修一条路CD,测得AC=3km,CD=2.4km,AD=1.8km. B (1)通过计算说明，CD是从村庄C到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线BC的长. 13.如图，在ABC中AB=10,BC=m,AC=n,且m,n满足Vm-6+n-8=0,D,E分别是边AC, BC上的动点，连接DE.将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE,点F恰好落在边AB上. B C----- D 图1 图2 精选考题刷题捷径 第6页共7页 弈泓共享数学 (1)求证：ABC是直角三角形； (2)如图1，若D为AC的中点，求证：∠BFE=∠DEF; (3)如图2，若F为AB的中点，判断线段BE,AD与DE之间的数量关系，并说明理由 精选考题刷题捷径 第7页共7页