专题7.3 离散型随机变量的数字特征（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦离散型随机变量的数字特征，系统梳理均值、方差、标准差的定义及性质，构建从概念理解（如均值反映平均水平、方差体现离散程度）到性质应用（如线性变换下均值方差的关系），再到两点分布特殊情形及综合决策的学习支架。 资料以9大题型为框架，例题与变式题结合，通过知识竞赛得分、购物抽奖等实例，培养学生用数学思维推理计算、用数学语言分析决策的能力。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题7.3 离散型随机变量的数字特征（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求离散型随机变量的均值】 2 【题型2 均值的性质】 3 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 3 【题型4 求离散型随机变量的方差】 5 【题型5 求离散型随机变量的标准差】 6 【题型6 方差的性质】 7 【题型7 求两点分布的均值与方差】 8 【题型8 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 8 【题型9 决策问题】 10 知识点1 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【题型1 求离散型随机变量的均值】 【例1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 【变式1-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·福建三明·期末）在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【变式1-3】（24-25高二下·内蒙古·期末）小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【题型2 均值的性质】 【例2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【变式2-3】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·山东烟台·期中）若随机变量X的分布列如表所示，且，则（    ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 知识点2 离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【题型4 求离散型随机变量的方差】 【例4】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·甘肃定西·月考）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 【变式4-3】（24-25高二下·广西南宁·期中）若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 【题型5 求离散型随机变量的标准差】 【例5】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·上海静安·二模）某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示． 年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31 人数 1 1 2 1 3 4 1 12 该公司雇员年薪的标准差约为（    ） A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元） 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【变式5-3】（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求和； (2)求的标准差. 【题型6 方差的性质】 【例6】（24-25高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量的方差为1，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【变式6-3】（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【题型7 求两点分布的均值与方差】 【例7】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若随机变量的分布列为 0 1 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-3】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 【例8】（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【变式8-2】（24-25高二下·陕西西安·月考）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【变式8-3】（24-25高二下·北京西城·期末）商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 (1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； (2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； (3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 【题型9 决策问题】 【例9】（2025·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【变式9-1】（24-25高二下·山西·月考）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【变式9-2】（2025·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【变式9-3】（24-25高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 离散型随机变量的数字特征（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求离散型随机变量的均值】 2 【题型2 均值的性质】 5 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 6 【题型4 求离散型随机变量的方差】 9 【题型5 求离散型随机变量的标准差】 11 【题型6 方差的性质】 13 【题型7 求两点分布的均值与方差】 15 【题型8 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 17 【题型9 决策问题】 21 知识点1 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=x1p1+x2p2++xipi++xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且E(Y)= E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．求离散型随机变量ξ的均值的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E(ξ). 【题型1 求离散型随机变量的均值】 【例1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则数学期望（   ） A．m B．2 C．1 D． 【答案】D 【解题思路】先根据分布列的性质求得，然后根据期望公式求解即可. 【解答过程】由，得， 所以． 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二下·河南郑州·期末）某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】的所有可能取值为，0，2，根据组合数及古典概型求出相应概率，列出分布列，根据期望公式求解即可. 【解答过程】的所有可能取值为，0，2， 所以， ， ， 则的分布列为： 0 2 所以. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二下·福建三明·期末）在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【解题思路】（1）根据古典概型概率公式计算； （2）的可能值为，计算出概率后得分布列，根据期望公式计算出期望. 【解答过程】（1）甲选4个专业的方法数是，至少填报3个电子信息类专业方法数为， 所以甲至少填报3个电子信息类专业的概率为 （2）由题意的可能值为， ，，，， 所以的分布列是 0 1 2 3 . 【变式1-3】（24-25高二下·内蒙古·期末）小张从一个口袋内取小球，每次取一个小球，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，已知每次取到红球还是白球相互独立，他连续取球次，直至取到3个红球则停止取球，设停止取球时已取球的次数的概率为． (1)求； (2)求； (3)若小张在取球5次之内（含5次）可以停止取球，设他停止取球时已取球的次数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）根据独立事件乘法概率公式求解即可. （2）结合组合数及对立事件概率公式，根据独立事件乘法概率公式求解即可. （3）求出及随机变量的取值，利用条件概率分别求出对应的概率，进而求解分布列，代入数学期望公式求解即可. 【解答过程】（1）表示连续取球3次且3次都取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （2）表示连续取球4次，且前3次中有2次取到红球，第4次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． （3）表示连续取球5次，且前4次中有2次取到红球，第5次取到红球的概率， 根据独立事件乘法概率公式得． 由题意随机变量可取， 根据条件概率可得， ， 则的分布列为 3 4 5 所以． 【题型2 均值的性质】 【例2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用概率之和等于1求出的值，再由数学期望公式求出，最后根据数学期望的性质求得即可. 【解答过程】由题意，，解得， 则， 故. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）随机变量的分布列为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由均值的计算公式和均值的性质求解即可得出答案. 【解答过程】由题意可得，， 则. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二下·四川南充·期末）若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【解答过程】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二下·广东深圳·期中）已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【解答过程】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 【题型3 由离散型随机变量的均值求参数】 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则＝（   ） X －1 0 a 2 P b A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【解答过程】由题意知， 解得， 因为，所以，即， 则， 解得，所以， 故选：C． 【变式3-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（   ） X 2 3 5 P a b 2b－a A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据离散型随机变量分布列的性质及期望公式即可求解. 【解答过程】由离散型随机变量分布列的性质及期望公式可知：，解得. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（    ） X 1 2 3 P n m A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解． 【解答过程】由分布列的性质可得，，所以， 又因为，所以，即； 联立方程，解得， 所以 故选：B. 【变式3-3】（24-25高二下·山东烟台·期中）若随机变量X的分布列如表所示，且，则（    ） X 0 1 3 a P 0.2 0.3 b 0.2 A．0.6 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【解题思路】由对应的概率之和为1，可求得，再由数学期望的定义可求得，由此可得的值. 【解答过程】由随机变量的分布列的性质可知，， 由数学期望的定义可得， 所以. 故选：B. 知识点2 离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为. (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；当b=0时，D(aX)=a2D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 4．求离散型随机变量ξ的方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由方差的定义求D(ξ). 【题型4 求离散型随机变量的方差】 【例4】（24-25高二下·新疆·期末）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用离散型随机变量的方差的计算公式进行求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由题意得，， 所以． 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据数学期望及方差定义计算，再结合数学期望及方差的性质计算即可. 【解答过程】因为随机变量的分布列可得，所以， 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二下·甘肃定西·月考）在一个不透明的袋子里装有3个黑球，2个红球，1个白球，从中任意取出2个球，然后再放入1个红球和1个白球. (1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率； (2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X，求X的分布列及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【解题思路】（1）根据题设分析，对应事件为从3黑2红中取出2个球，应用古典概型的概率求法求概率； （2）由题意的可能值为，并求出对应概率值，写出分布列，依次求出期望和方差，即可得. 【解答过程】（1）由题意，取球放球结束后袋子里白球的个数为2，即从3黑2红中取出2个球， 所以所求概率为； （2）由题设，的可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 1 2 3 则，故. 【变式4-3】（24-25高二下·广西南宁·期中）若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题： (1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列； (2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析. (2)， 【解题思路】（1）根据给定条件，求出X的所有可能取值及对应的概率，再列出分布列即得. （2）利用（1）的分布列计算数学期望和方差即可. 【解答过程】（1）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， ，或， ，或， ，或， ，或， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）由（1）可得， . 【题型5 求离散型随机变量的标准差】 【例5】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则标准差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分布列求期望与方差即可得解. 【解答过程】设，则可得分布列如下表; 0 1 2 根据期望公式得：， 解得， 所以根据方差公式得：， 即标准差为， 故选：C. 【变式5-1】（2025·上海静安·二模）某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示． 年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31 人数 1 1 2 1 3 4 1 12 该公司雇员年薪的标准差约为（    ） A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元） 【答案】B 【解题思路】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可． 【解答过程】年薪的平均数为万元， 所以该公司雇员年薪的方差约为， 所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）． 故选：B. 【变式5-2】（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，，在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列、方差及标准差． 【答案】分布列见解析，， 【解题思路】依题意，确定的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式计算即得. 【解答过程】由题意得，的可能取值为0，1，2． ， ， ． 故的分布列为 0 1 2 ， ． ． 【变式5-3】（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求和； (2)求的标准差. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）分析，两种情况下的胜负关系，再根据概率的公式求解即可； （2）根据题意可得可能的取值为，再求解的概率，进而根据均值和方差的公式求解即可 【解答过程】（1）：甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜. ； ：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜. . （2）根据题意可得可能的取值为. ：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜； 甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜； 乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜； 乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜； . ， ，所以标准差为. 【题型6 方差的性质】 【例6】（24-25高二下·广东广州·期末）已知离散型随机变量的方差为1，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据方差的性质即可求解. 【解答过程】因为离散型随机变量的方差为1，所以. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高二下·山东临沂·期末）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【解答过程】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【解题思路】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【解答过程】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二下·辽宁抚顺·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据随机变量分布列的性质列式求出，计算，再根据期望，方差的性质计算求解. 【解答过程】由离散型随机变量的性质可得，解得， 则 ，， 所以 ，． 故选：A. 【题型7 求两点分布的均值与方差】 【例7】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【解答过程】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若随机变量的分布列为 0 1 其中，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】利用两点分布的期望和方差的公式即可求解. 【解答过程】依题意，可知服从两点分布， 又，则， 所以，. 故选：D. 【变式7-3】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案. 【解答过程】∵，，∴， ∵，， 二次函数在区间上单调递减， ∴，，且. 故选：D. 【题型8 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 【例8】（24-25高二下·上海·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【解答过程】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 【变式8-1】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【解题思路】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【解答过程】由题意： . 所以. 所以. 故选：D. 【变式8-2】（24-25高二下·陕西西安·月考）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，； (3). 【解题思路】（1）根据表中数据，结合古典概型概率公式即可得解； （2）利用古典概型概率公式求出各取值的概率，然后可得分布列，再由期望公式可得； （3）利用方差公式计算出即可得解. 【解答过程】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 【变式8-3】（24-25高二下·北京西城·期末）商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024年某地区每个月苹果的价格指数： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 指数 151 152 149 146 151 147 151 154 152 151 152 153 (1)若从2024年随机抽取1个月，求该月苹果的价格指数大于150的概率； (2)若从2024年1~6月随机抽取3个月，从7~12月随机抽取1个月，记为随机抽取到苹果的价格指数大于150的月份的个数，求的分布列和数学期望； (3)若从2024年1~4月、5~8月、9~12月各随机抽取1个月，分别记、、为这个月苹果的价格指数大于150的月份的个数，则、、中哪个最大?（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【解题思路】（1）从表中找出所有月份中苹果价格指数大于150的事件个数即可得； （2）得到随机变量的所有可能取值后计算相应概率，即可得其分布列，再借助期望公式计算即可得其数学期望； （3）结合两点分布的方差公式与方差定义可得、、，即可得解. 【解答过程】（1）设“2024年随机抽取1个月，且该月苹果价格指数大于150”为事件， 由表可知，2024年12个月中，有9个月的苹果价格指数大于150， 所以； （2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， ， ； 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以的数学期望为； （3）2024年1~4月中有两个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年5~8月中有三个月苹果的价格指数大于150，则服从两点分布， 故； 2024年9~12月中四个月苹果的价格指数都大于150，则， 故， 即、、中最大. 【题型9 决策问题】 【例9】（2025·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为．比赛没有平局． (1)求甲在第3局中获胜的概率； (2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的，如果再继续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的，第4局甲失败，甲拿走奖金的，请问甲将如何决策，以期拿走更多的奖金． 【答案】(1) (2)选择停止比赛，拿到奖金的期望更高 【解题思路】（1）由相互独立事件、互斥事件的概率计算可得答案； （2）计算出停止比赛甲拿到奖金的期望、再继续比赛一局甲拿到奖金的期望可得答案. 【解答过程】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜， 所以甲在第3局中获胜的概率 ； （2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为（万元）． 方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为， 前三局的情况有： 胜胜负，概率； 胜负胜，概率； 负胜胜，概率．     再继续比赛，第4局甲获胜的概率 ， 第4局甲失败的概率， 所以甲拿到奖金的期望（万元）． 因为，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高． 【变式9-1】（24-25高二下·山西·月考）某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． (1)游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为元，求； (2)游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为元，求的分布列； (3)试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)游客选择网上购票更划算 【解题思路】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【解答过程】（1），即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． （2）由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 （3）通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 【变式9-2】（2025·江西上饶·模拟预测）甲乙两家公司要进行公开招聘，招聘分为笔试和面试，通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两家公司的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若小明报考甲公司，每门科目通过的概率均为；报考乙公司，每门科目通过的概率依次为，，其中． (1)若，分别求出小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)招聘规则要求每人只能报考一家公司，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当小明更希望通过乙公司的笔试时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用独立事件同时发生的概率公式即可求得小明报考甲、乙两公司在笔试环节恰好通过一门科目的概率； （2）分别求得小明报考甲、乙两公司通过科目数的数学期望，列出关于的不等式，进而求得的取值范围． 【解答过程】（1）设小明报考甲公司恰好通过一门笔试科目为事件A， 小明报考乙公司恰好通过一门笔试科目为事件， 根据题意可得，      . （2）设小明报考甲公司通过的科目数为X，报考乙公司通过的科目数为， 根据题意可知，，则， ， ， ， ， 则随机变量的分布列为 Y 0 1 2 3 P ， 若，则， 故，即的取值范围是. 【变式9-3】（24-25高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】(1)0.4； (2)分布列见解析； (3)应选. 【解题思路】（1）利用古典概率求得结果. （2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列. （3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果. 【解答过程】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. （2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $