重难专题 复数的几何意义分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

重难专题　复数的几何意义 一、必备知识基础 1.如图,复平面内点P所表示的复数为(每个小方格的边长为1)(　　) A.2+2i B.3+i C.3+3i D.3+2i 2.已知复数z=2+i(i是虚数单位),则|z|为(　　) A. B.1 C.2 D.3 3.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则=(　　) A.-1+2i B.1+2i C.1-2i D.-1-2i 4.(2025内蒙古包头高一期末)已知复平面内表示复数z=(m2-8m+1)+(m2-5m-14)i的点在直线y=x上,则实数m=　　　　　.  5.(2025陕西渭南高一期末)已知复数z=4-a+(a-2)i(a∈R,i为虚数单位). (1)若z是纯虚数,求|z|; (2)若在复平面内复数z对应的点位于第一象限,求实数a的取值范围. 二、关键能力提升 6.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,则所得向量对应的复数是(　　) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 7.设复数z=cos(+α)+(sin α)i(i为虚数单位)且α∈(-,0),若|z|=1,则tan 2α=　　　　.  8.定义:复数b+ai是复数a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是　　　　　.  9.已知m∈R,i是虚数单位,复数z=m2+m-2+(m2-1)i. (1)若z是纯虚数,求m的值; (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围. 10.设z=x+yi(x,y∈R),若1≤|z|≤,判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形,并求其面积. 三、学科素养创新 11.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列说法正确的是(　　) A.z不可能为纯虚数 B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数 C.若z=|z|,则z是实数 D.|z|可以等于 12.已知复数z1=1+cos θ+isin θ,z2=1-sin θ+icos θ,且两复数的模的平方和不小于2,求θ的取值范围. 参考答案 1.D　由题意可知,点P的坐标为(3,2),所以复平面内点P所表示的复数为3+2i.故选D. 2.A　|z|=.故选A. 3.D　由题知,z=-1+2i,故=-1-2i,故选D. 4.5　因为复数z=(m2-8m+1)+(m2-5m-14)i在复平面中对应的点为(m2-8m+1,m2-5m-14),该点在直线y=x上,所以m2-8m+1=m2-5m-14,解得m=5. 5.解 (1)因为复数z=4-a+(a-2)i是纯虚数, 所以解得a=4,则z=2i,故|z|=2. (2)若在复平面内复数z对应的点位于第一象限, 则解得2<a<4,则实数a的取值范围为(2,4). 6.B　复数3-i对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i. 7.-2　由题可得,|z|==1, 所以sin2α=. 又α∈(-,0),则sin α=-,cos α=, 所以tan α=-,则tan 2α==-2. 8.-2+i　由a+2i=1-bi,得a=1,b=-2,所以复数z=a+bi=1-2i,故复数z=1-2i的转置复数是-2+i. 9.解 (1)若z=m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数, 则解得m=-2. (2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限, 则解得-2<m<-1, ∴m的取值范围是(-2,-1). 10.解|w|=|z|, 而1≤|z|≤,故≤|w|≤2, 所以w对应点的集合是以原点为圆心,和2为半径的圆所夹圆环(含内外圆周),其面积S=π[22-()2]=2π. 11.BC　当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,故A错误;若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,因此b=0,故B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,故C正确;由|z|=,得a2+b2=.又a+b=1,则整理得8a2-8a+3=0.又Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于,故D错误.故选BC. 12.解由已知得,|z1|2=(1+cos θ)2+sin2θ=2+2cos θ, |z2|2=(1-sin θ)2+cos2θ=2-2sin θ. 因为|z1|2+|z2|2≥2, 即2+2cos θ+2-2sin θ≥2,cos θ-sin θ≥-1, 所以cosθ+≥-, 所以2kπ-≤θ+≤2kπ+,k∈Z. 所以2kπ-π≤θ≤2kπ+,k∈Z. 所以θ的取值范围是2kπ-π,2kπ+,k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $