26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程（不等式）的关系，通过小球飞行高度问题导入，引导学生从实际情境抽象出函数表达式，再通过解方程探究高度能否达到，搭建从具体问题到数学模型的学习支架，衔接二次函数图像与方程求解的知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合生活情境培养数学眼光，通过方程求解与图像分析发展推理能力，用表格对比总结不同判别式下的图像、方程根与不等式解集，规范数学语言表达。实例如小球飞行问题的分层探究、课堂小结的结构化表格，帮助学生提升抽象能力与应用意识，也为教师提供清晰的教学逻辑和丰富的探究素材。

第二十六章 26.3 实践与探索 第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 第二十六章 二次函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第二十六章 二次函数 情境引入 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题： 新知导入 第二十六章 二次函数 学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 学习目标 第二十六章 二次函数 二次函数与一元二次方程的关系 一 （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？ h=20t-5t2 知识探究 第二十六章 二次函数 （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时，它的高度为20米. h=20t-5t2 知识探究 第二十六章 二次函数 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 20.5 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米. h=20t-5t2 知识探究 第二十六章 二次函数 7 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. h=20t-5t2 知识探究 第二十六章 二次函数 从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 知识探究 第二十六章 二次函数 9 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 知识探究 第二十六章 二次函数 利用二次函数深入讨论一元二次方程 二 思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 知识探究 第二十六章 二次函数 11 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 知识探究 第二十六章 二次函数 12 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的关系 知识探究 第二十六章 二次函数 13 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 知识探究 第二十六章 二次函数 (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 知识探究 第二十六章 二次函数 变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 知识探究 第二十六章 二次函数 例2：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 三 知识探究 第二十六章 二次函数 解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 知识探究 第二十六章 二次函数 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4. 同理可得另一近似值为x2≈2.4. 知识探究 第二十六章 二次函数 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根. (1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象； (2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5. 方法归纳 知识探究 第二十六章 二次函数 例3:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. B 知识探究 第二十六章 二次函数 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 知识探究 第二十六章 二次函数 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1). x y O 　-2 2 2 4 6 4 -4 8 -2 -4 y = x2－2x－2 解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. 练一练 知识探究 第二十六章 二次函数 23 一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根. 说一说 知识探究 第二十六章 二次函数 二次函数与一元二次不等式的关系 四 问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 ; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是___________; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________. 3 -1 O x y x1=-1， x2=3 x<-1或x>3 -1<x<3 合作探究 知识探究 第二十六章 二次函数 拓广探索： 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是___________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 3 -1 O x 2 (4,2) (-2,2) x1=-2， x2=4 x<-2或x>4 -2<x<4 y 知识探究 第二十六章 二次函数 问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______. 1 (2,0) x=2 2 O x 知识探究 第二十六章 二次函数 问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点； 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？ 0 解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 3 -1 O x 知识探究 第二十六章 二次函数 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: (1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y= -x2+x+2 x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x2-4x+4=0 x=2 x≠2的一切实数 x无解 -x2+x-2=0 x无解 x无解 x为全体实数 知识探究 第二十六章 二次函数 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x2 . y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x2. y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解. y＞0，所有实数；y＜0，无解 y＜0，所有实数；y＞0，无解 知识探究 第二十六章 二次函数 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1.根据下列表格的对应值: 课堂检测 第二十六章 二次函数 31 2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ； -1 y O x 1 3 3.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 . (-2，0) ( ，0) 课堂检测 第二十六章 二次函数 32 4.若一元二次方程 无实根， 则抛物线 的图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 A 课堂检测 第二十六章 二次函数 33 5.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数． ∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3； 当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数． ∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 课堂检测 第二十六章 二次函数 能力提升 已知二次函数 的图象，利用图象回答问题： （1）方程 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？ x y O 2 4 8 解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4. 课堂检测 第二十六章 二次函数 35 判别式△=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y △>0 △＝0 △＜0 x1 ; x2 x1 =x2 ＝－b/2a 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ x1的一切实数 所有实数 x1<x<x2 无解 无解 课堂小结 第二十六章 二次函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十六章 二次函数 $