26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（华东师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2\)的图象与性质，通过投篮轨迹的情境导入，搭建从生活现象到数学抽象的学习支架，帮助学生衔接已有函数认知，逐步理解抛物线概念及相关性质。 其亮点在于以描点法画图为核心，通过对比\(a\)正负与绝对值对图象的影响，培养几何直观与推理意识，典例结合坐标计算与对称性质解决问题，体现数学语言表达。学生能提升动手与应用能力，教师可借助分层检测和方法总结高效开展教学。

第二十六章 26.2.1 二次函数y=ax 的图象与性质 2 第二十六章 二次函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第二十六章 二次函数 情境引入 新知导入 第二十六章 二次函数 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.（难点） 学习目标 第二十六章 二次函数 二次函数y=ax2的图象 一 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 例1 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 典例精析 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 知识探究 第二十六章 二次函数 2 4 -2 -4 o 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． 知识探究 第二十六章 二次函数 -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 知识探究 第二十六章 二次函数 练一练：画出函数y=-x2的图象. y 2 4 -2 -4 0 -3 -6 -9 x x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 知识探究 第二十六章 二次函数 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. x o y=x2 议一议 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． y 知识探究 第二十六章 二次函数 说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. o x y y=-x2 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点． 知识探究 第二十六章 二次函数 1. 顶点都在原点; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 二次函数y=ax2 的图象性质： 知识要点 2. 图像关于y轴对称; 知识探究 第二十六章 二次函数 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 交流讨论 知识探究 第二十六章 二次函数 二 二次函数y=ax2的性质 问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 知识探究 第二十六章 二次函数 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 知识要点 知识探究 第二十六章 二次函数 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？ 知识探究 第二十六章 二次函数 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 知识要点 知识探究 第二十六章 二次函数 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 知识探究 第二十六章 二次函数 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 思考1：从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？ 当a>0时，a越大，开口越小. 知识探究 第二十六章 二次函数 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 知识探究 第二十六章 二次函数 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 思考2 从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？ 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 知识探究 第二十六章 二次函数 y＝ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识要点 y O x y O x 知识探究 第二十六章 二次函数 例1 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 典例精析 知识探究 第二十六章 二次函数 22 （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？ 解：（1）当x=2时，y=x2=4， 所以A（2，4）在二次函数图象上； （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标； （2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）； 知识探究 第二十六章 二次函数 23 （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4， 所以C点在二次函数y=x2的图象上； 当x=2时，y=－x2=－4， 所以B点在二次函数y=－x2的图象上； 当x=－2时，y=－x2=－4， 所以D点在二次函数y=－x2的图象上． 知识探究 第二十六章 二次函数 24 已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此， 解得 k=2 2 练一练 知识探究 第二十六章 二次函数 25 例3. 已知二次函数y＝2x2. (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2； (填“>”“＝”或“<”)； (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． 分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解； (2)由于函数图象经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图象关于y轴对称求出OA＝OB，即图象左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积． < 知识探究 第二十六章 二次函数 (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它 们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 知识探究 第二十六章 二次函数 二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 方法总结 知识探究 第二十六章 二次函数 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 课堂检测 第二十六章 二次函数 3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 . x y k>1 4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） O 课堂检测 第二十六章 二次函数 5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. (4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 y2. 2 y轴 向上 （0,0） 小 上 > 课堂检测 第二十六章 二次函数 31 6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 课堂检测 第二十六章 二次函数 7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 课堂检测 第二十六章 二次函数 二次函数y=ax2的图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 第二十六章 二次函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十六章 二次函数 $