26.1.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用（教学课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级下册反比例函数图象和性质的综合应用，涵盖k的几何意义及与一次函数的综合问题。课堂通过复习反比例函数图象类型和k对性质的影响导入，搭建从基础性质到综合应用的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点在于以数形结合思想为主线，通过矩形面积探究k的几何意义（如证明矩形面积等于|k|），培养学生几何直观与推理能力（数学思维）。采用例题解析与随堂练习结合的教学方法，课堂小结系统归纳面积问题和函数综合要点，助力学生提升知识综合运用能力，也为教师提供清晰的教学逻辑与实践素材。

初中同步训练 数学 九年级下册 (RJ版) 第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的综合应用 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重 点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力. (重点、难点) 学习目标 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 问题2 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线. 问题1 复习导入 复习导入 例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 1.反比例函数图象和性质的综合 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时， y1＜y2. 如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 O x y B 小例题 2.反比例函数解析式中 k 的几何意义 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形， 填写下页表格： 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 1.如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 小例题 2. 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC 垂直 x 轴于点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例 函数的表达式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上，∴ xA·yA＝k， ∴ S△AOC＝ ·k＝2， ∴ k＝4， ∴反比例函数的表达式为 3.如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 4. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 5.如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点， PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是 S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别 为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4 3.反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 由一次函数增减性得k＞0 由一次函数与y轴交点知－k＞0， 则k＜0 x 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 小例题 1. 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 随堂练习 A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 2. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上， △ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞ 的解集是___________． 1＜x＜5 O B A x y 1 5 面积问题 面积不变性 与一次函数的综合 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 反比例函数图象和性质的综合运用 课堂小结 $