精品解析：浙江绍兴市上虞区2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025学年第一学期九年级期末教学质量调测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分。全卷满分120分，考试时间120分钟。试题卷共6页，答题卡共6页。 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将试卷I选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，试卷II填空题的答案写在答题卡对应的横线上．解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列函数属于二次函数的是() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如(、、为常数，)的整式函数是二次函数这一概念是解题关键，根据定义逐项判断即可 【详解】解：∵二次函数的定义为形如(、、为常数，)的整式函数 ∴A选项符合二次函数形式，，是二次函数 B选项是反比例函数，不是二次函数 C选项是一次函数，不是二次函数 D选项是分式函数，不是整式，不符合二次函数定义 故选：A． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C. 一个负数的绝对值是正数 D. 潜水员深潜海底捞到月亮 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A选项中，宇航员在月球上所受重力一定比地球上小，属于必然事件，故本选项不符合题意； B选项中，打开电视机，屏幕可能显示科教频道，也可能显示其他频道，属于随机事件，故本选项符合题意； C选项中，负数的绝对值一定是正数，属于必然事件，故本选项不符合题意； D选项中，潜水员在海底捞到月亮不可能发生，属于不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：榫的俯视图是： 故选：D． 4. 如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（ ）． A. B. C. 3 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的应用．易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：，，随的增大而增大， ∵， ∴，故该选项不合题意； B：，，随的增大而减小， ∵， ∴，故该选项不合题意； C：，，函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，且第一象限点的纵坐标为正，第三象限点的纵坐标为负， ∵， ∴，故该选项不合题意； D：，，对称轴为轴，当时，随的增大而增大，和关于轴对称， ∵， ∴，故该选项符合题意． 故选：D． 6. 如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ） A. π B. π C. 2π D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长． 【详解】 解：如图，设弧AB的圆心为O，连接OP，OA，AP'，AP，AB' ∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点， 根据垂径定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB． ∴OC＝＝3． ∴PC＝OP−OC＝5−3＝2． ∴AP＝＝． ∵将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′， ∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°． ∴弧PP′的长为：＝π． 则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、弧长计算、旋转的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 7. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　） A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为， 而A （4，3）， ∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 8. 如图，已知锐角．按下列步骤作图：①在边上取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．设，由作图知，，求得，，利用三角形的外角性质求得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：设， 由作图知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，即， 故选：C． 9. 我国魏晋时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解时，用四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形面积是100，小正方形面积是4，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正切值的计算．根据正方形的面积得到，，根据赵爽弦图之间线段的关系，设，则，由勾股定理得到，作交的延长线于点，则四边形是矩形，结合正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形， ∴， ∴，，， ∴， ∵大正方形的面积是， ∴， ∵小正方形的面积是， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，（负值舍去）， ∴， 作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，两点，点是二次函数图象上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质和图象．由勾股定理，及根与系数的关系可得． 【详解】解：过点Q作于点C， ∵， ∴， 设的两根分别为与， ∴，， 依题意有， 化简得：， 有， ∴， ∵是图象上的一点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则_____ 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，设，，代入求值即可． 【详解】解：由，可设，（）， 则． 故答案为： 12. 若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积公式进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由扇形面积公式，其中弧长 ，半径， ∴ ， 故答案为：． 13. 若抛物线的对称轴为直线，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．利用抛物线对称轴公式代入已知条件求解 【详解】解：抛物线 的对称轴公式为 ，已知对称轴为 且 ， 代入公式得 ，即 ， 解得 故答案为：． 14. 规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率；由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有3种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中所组成的三位数为“上升数”的结果有：1，2，3，共3种， ∴所组成的三位数为“上升数”的概率为 故答案为：． 15. 如图．在矩形中，，点在边上，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形．点、的对应点分别是，，当恰好经过点时，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】证明，得出，设，则，即可得出，求出，，根据，得出，求出x的值，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， 经检验，都是原方程的解，但，不符合题意， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一个角正切值，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 16. 如图，是边长为3的正方形边上一点，为正方形内一点，线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，连接，若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解：如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， ∴，， ∵线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， ∴的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， ∵， ，， ， 由旋转得：，， ， ， 的值最小为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值与实数的混合运算，熟练运用特殊角的三角函数值进行计算是解题的关键． 先计算特殊角的三角函数值，再算乘方，接着算乘法，最后进行加减运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 18. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为． （1）布袋里红球有多少个？ （2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【详解】（1）设有红球个， 由题意可得；， 解得， 即布袋中红球有1个； （2）画树状图如下：一共有12种等可能情况，其中两次都摸到白球的有2次， ∴ 两次摸到的球都是白球的概率为P=. 19. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移问题： （1）设点M的坐标为，可设二次函数的表达式为，再把点，代入，求出a，m的值，即可； （2）根据由平移的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 20. 如图，若四边形，四边形，四边形都是边长为1正方形． （1）计算：_____，_____，_____ （2）求证：． 【答案】（1）；； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）利用勾股定理解答即可； （2）证得，即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形，四边形，四边形都是边长为1正方形， ∴，，， 故答案为：；； 【小问2详解】 证明：由（1）得：，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，坡角为的斜坡上有垂直于水平地面的大树，在太阳光线与水平线成角沿斜坡照射下，大树在斜坡上的树影长为16米，求大树的高度． （参考数据：，，） 【答案】大树的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质．过点作交直线于点，过点作于点，求得是等腰直角三角形，，在中，利用直角三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点作交直线于点，过点作于点， 由题意得，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， ∴大树的高度为米． 22. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交延长线于点，交于点． （1）若，求的长． （2）若，试用含的代数式表示四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）设，证明，求得，，证明，求得，根据，列式计算求得，据此求解即可； （2）证明，得到，求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是边的中点，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 23. 已知二次函数图象的对称轴为直线，且． （1）该二次函数图象的顶点坐标是_____． （2）当时，该二次函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）当时，函数有最小值，求的值． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）求出函数解析式，化成顶点式即可求解； （2）当时，最小值取在顶点处，最大值取在处，进而求解； （3）分三种情况讨论最小值的位置，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：二次函数，对称轴是， 当时，最小值取在顶点处，最大值取在处， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，，随的增大而减小， ∴最小值取在处， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当且，即时，当，随先减小后增大， ∴最小值取在顶点处， ∴， 解得（与矛盾，舍去）； 当，即时，当，随的增大而增大， ∴最小值取在处， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴； 综上所述，或． 24. 如图1，四边形内接于，为的中点，分别延长，交于点，连接并延长交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，当时，若． ①求的直径； ②连接，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）①的直径为；②． 【解析】 【分析】本题考查圆的垂径定理、弧与弦的对应关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，以及解直角三角形等知识，同时还涉及辅助线构造(如连接直径、作垂线)等几何解题技巧．关键是将圆中弧的关系转化为角或线段的关系，再结合三角形的性质逐步推导，同时合理构造辅助线来转化和计算． （1）利用垂径定理，由且为的直径，得到；再结合为的中点，得到，通过弧的等量代换即可完成证明． （2）①当时，得出为的直径，进而；再由为的中点，得到，结合为公共边，证明，得到、；接着结合，从而判定为等边三角形，得到，进而；最后在中，由求出直径． ②先由等边及，算出的长度；再由圆内接四边形的外角等于内对角，得到，结合，推出；在中，利用角的性质求出；接着过点作于，在中，利用及，求出和的长度；再通过求出，最后在中，根据正切的定义，计算出的值． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，是的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：连接． ∵四边形内接于，， ∴是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴，, 在和中，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即的直径为； ②解：过点作于点， 由①得为等边三角形，，， ∴， ∴， 由圆内接四边形性质，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴ 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期末教学质量调测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卡两部分。全卷满分120分，考试时间120分钟。试题卷共6页，答题卡共6页。 2．答题前，先用钢笔在答题卡规定位置上填写学校、班级、姓名、考号． 3．答题时，将试卷I选择题的答案用2B铅笔在答题卡上对应的选项位置涂黑、涂满，试卷II填空题的答案写在答题卡对应的横线上．解答题的答案或解答过程直接做在答题卡上． 选择题部分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列函数属于二次函数的是() A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B. 打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C. 一个负数的绝对值是正数 D. 潜水员深潜海底捞到月亮 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ） A. B. C. D.   4. 如图，在测量小玻璃管内径的量具上，被分为50等份．如果玻璃管的内径正对量具的30等分处，量得长为，则的长为（ ）． A. B. C. 3 D. 30 5. 已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知弧AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是弧AB的中点，将弧AB绕点A逆时针旋转90°后得到弧AB′则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ） A. π B. π C. 2π D. 2π 7. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　） A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1） 8. 如图，已知锐角．按下列步骤作图：①在边上取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 我国魏晋时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解时，用四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形面积是100，小正方形面积是4，那么（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，两点，点是二次函数图象上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则_____ 12. 若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为_____． 13. 若抛物线的对称轴为直线，则_____． 14. 规定：对于一个三位数，当时，则称这样的三位数为“上升数”．现有这样一个三位数，若从1，2，3，4，5，6这六个数中任意抽取一个数作为百位上的数，则所组成的三位数为“上升数”的概率为_____． 15. 如图．在矩形中，，点在边上，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形．点、的对应点分别是，，当恰好经过点时，则_____． 16. 如图，是边长为3的正方形边上一点，为正方形内一点，线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，连接，若，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为． （1）布袋里红球有多少个？ （2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率． 19. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 20. 如图，若四边形，四边形，四边形都是边长为1正方形． （1）计算：_____，_____，_____ （2）求证：． 21. 如图，坡角为的斜坡上有垂直于水平地面的大树，在太阳光线与水平线成角沿斜坡照射下，大树在斜坡上的树影长为16米，求大树的高度． （参考数据：，，） 22. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交延长线于点，交于点． （1）若，求的长． （2）若，试用含的代数式表示四边形的面积． 23. 已知二次函数图象的对称轴为直线，且． （1）该二次函数图象的顶点坐标是_____． （2）当时，该二次函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）当时，函数有最小值，求的值． 24. 如图1，四边形内接于，为的中点，分别延长，交于点，连接并延长交于点，交于点，且． （1）求证：； （2）如图2，当时，若． ①求的直径； ②连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $