精品解析：福建厦门市湖滨中学2025-2026学年八年级上学期1月综合性数学试题

2025-2026学年八年级（上）1月综合性数学试题 一．选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确） 1. 一个三角形的两边长分别为3和8，则它的第三边长可能是（ ） A. 5 B. 12 C. 9 D. 无法确定 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. 8 D. 16 3. 下列计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 6. 疫情防控期间，某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩．随着疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，设第一次每包口罩为x元，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：，则所捂的二次三项式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题有8小题，第9、14题每空2分，其余每小题4分，共32分） 9. 计算： （）______； （）______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 11. 如图，已知在中，，，，则________． 12. 已知三个数a，b，c，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，称为第二次操作；……，以此类推，第n次操作后得到三个结果记为，，．给出下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，当，，中最小值为1时或或2； ③对于三个数，，，第10次操作后的结果，，，满足； ④对于三个数，，（，且x，y为整数），若，，三个数中最大者与最小者差为10，则y的值共有4个． 其中正确的个数有____个． 13. 在中，，，，为的角平分线，在上取一点E，使得，则的长为_____． 14. 如图，已知，在边上顺次取点，，…，在边OM上顺次取点，，…，使得…，得到等腰，，，… （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是__________； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是，则的度数x的取值范围是__________． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为________． 16. 如图，把高度的同种杯子叠在一起，2个的高度是，3个的高度是，……呈现一定的规律．由此推断，n个杯子叠在一起的高度是_______． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算 （1）； （2）； 18. 已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 完成下列证明过程： 证明：∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ （ ）， ∴ ， ∴． 19. 先化简，再求值，其中． 20. 化简： 21. 先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． （1）类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； （2）拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 22. 如图，已知点P是的平分线上一点，点M是射线上一点（异于点B），连结，在射线上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法： 小明说：“以B为圆心、长为半径作弧，交射线于点N，连结．，则．” 小东说：“以P为圆心、长为半径作弧，交射线于点N，连结，当的大小满足一定条件时，可得．” （1）请你按照小明的方法作出图形，并证明； （2）你认为小东提出的条件应该是________（选出所有正确的序号） ① ② ③ ④ ⑤． 23. 小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表（续航里程是指在满电或满油状态下最大行驶里程．）： 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：90千瓦时 油价：元/升 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用： 元 （1）用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 24. 如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（上）1月综合性数学试题 一．选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，有且只有一个选项正确） 1. 一个三角形的两边长分别为3和8，则它的第三边长可能是（ ） A. 5 B. 12 C. 9 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边之差，而小于两边之和是解决问题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【详解】解：∵此三角形的两边长分别为 3 和 8 ， ∴第三边长的取值范围是：第三边． 即：第三边， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 2. 计算的结果是（　　） A. B. C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，需运用负整数指数幂的性质进行计算． 【详解】解： ， 故选：B． 3. 下列计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方可判断B，根据积的乘方可判断C，根据整数指数幂的运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，运算正确，故A符合题意； ，原运算错误，故B不符合题意； ，原运算错误，故C不符合题意； ，原运算错误，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键． 4. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ， 是的外角，， ． 故选：A． 5. 下列各式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、及同类二次根式，根据二次根式的性质及同类二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、与不能进行合并，故不符合题意； B、，则能与进行合并，故符合题意； C、，则不能与进行合并，故不符合题意； D、，则不能与进行合并，故不符合题意； 故选B． 6. 疫情防控期间，某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩．随着疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量与第一次购买的数量相等，设第一次每包口罩为x元，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两次购进口罩单价间的关系可得出第二次购进口罩时口罩的单价，再利用数量=总价÷单价，结合两次购买的数量相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：∵第二次购进口罩时每包口罩下降10元，且第一次购进口罩时每包口罩x元， ∴第二次购进口罩时每包口罩（x-10）元. 依题意得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解答本题的关键． 7. 老师在黑板写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：，则所捂的二次三项式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减，由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数和另一个加数，列出算式，进行化简即可； 【详解】由题意得： ， 所捂的多项式为：； 故答案为：A 8. 如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，第9、14题每空2分，其余每小题4分，共32分） 9. 计算： （）______； （）______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解； （）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可求解； 本题考查了多项式除以单项式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）原式， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于 轴对称的点的坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对称性质，关于 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于 轴对称时，其横坐标互为相反数，纵坐标不变．点 关于 轴对称的点坐标为 ． 故答案为： ． 11. 如图，已知在中，，，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质得，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为：3． 12. 已知三个数a，b，c，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，称为第二次操作；……，以此类推，第n次操作后得到三个结果记为，，．给出下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，当，，中最小值为1时或或2； ③对于三个数，，，第10次操作后的结果，，，满足； ④对于三个数，，（，且x，y为整数），若，，三个数中最大者与最小者差为10，则y的值共有4个． 其中正确的个数有____个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义，计算得，，，最大的数是， ，可判断①正确； 当时，当时，当时，解答即可判断②； 根据，得到最大数是；最小数是，根据题意，得，得，于是的得到了，根据y为整数，得到符合题意的y值有，有4个，可以判断④正确； ③对于三个数，，，计算确定规律，可判定第10次操作后的结果，，，满足的正误； 本题考查了新定义问题中的整式的加减计算，熟练掌握定义，正确列式解答是解题的关键． 【详解】根据定义，当，，，最大的数是， ， 故①正确； 当时，解得；当时，解得；当时，解得；当时，，不合适； 判断②错误； ∵， ∴最大数是；最小数是，根据题意，得，得， ∴， 根据y为整数，得到符合题意的y值有，有4个， 故④正确； 对于三个数，，， 得， 计算，得，，，由此可得第10次操作后的结果，，，满足， 故③正确； 故答案为：3． 13. 在中，，，，为的角平分线，在上取一点E，使得，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分为两种情况：①如图，作于，交的延长线于点，则，证明，所以，求出，，通过直角三角形性质可得，由勾股定理得，，然后利用即可求解；②如图，当位于时，同①即可求解． 【详解】解：①如图，作于交的延长线于点，则， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，当位于时，同理可得：， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 14. 如图，已知，在边上顺次取点，，…，在边OM上顺次取点，，…，使得…，得到等腰，，，… （1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是__________； （2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是，则的度数x的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由，得，于是，故不存在，得解； （2）如图，运用等腰三角形两底角相等，三角形外角知识，得，，最后一个等腰三角形是，则且，解得，． 【详解】解：（1）∵， ∴，． ∴ ∴． ∴不存在． ∴得到的最后一个三角形为； 故答案为：； （2）如图， ∵ ∴;． ∴． ∴． ∴ ∴ 要得到的最后一个等腰三角形是，则 且 解得，． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形外角知识，根据等腰三角形底角变化确定三角形形状变形是解题的关键． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为________． 【答案】60 【解析】 【分析】该题考查了翻折变换的性质及其应用问题．根据题意得出，，确定，得出，据此计算即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意知：，， ∴， 由折叠可得， ∴， 故答案为：60． 16. 如图，把高度的同种杯子叠在一起，2个的高度是，3个的高度是，……呈现一定的规律．由此推断，n个杯子叠在一起的高度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据1个、2个、3个的高度，可得到规律，即可解答． 【详解】解：1个的高度是， 2个的高度是， 3个的高度是， ……， ∴n个杯子叠在一起的高度是． 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 计算 （1）； （2）； 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】此题主要考查实数与二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）首先计算平方根、立方根、绝对值，后算加减即可； （2）首先计算乘法、开平方，后算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 完成下列证明过程： 证明：∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ （ ）， ∴ ， ∴． 【答案】，，，，，，， 【解析】 【详解】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，由等量代换得，证明，得，再由平行线的判定求证即可． 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，，，，，，，． 19. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简与求值，根据分式的运算法则正确地对分式进行化简是解题关键． 首先根据分式的运算法则进行化简，然后把代入化简后的算式计算即可得到解答． 【详解】解：∵原式= = =， ∴当时，原式=． 20. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再去括号、合并同类项计算即可． 【详解】解： ． 21. 先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． （1）类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； （2）拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 【答案】（1）或；或；−2或−3； （2）m＝−5． 【解析】 【分析】（1）根据材料结合整式的乘除运算可直接得出答案； （2）根据整式除法的运算法则结合材料可知，当时，，即可求出m的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴能被或整除， ∴或是的一个因式，且当x＝－2或－3时，； 故答案为：或；或；−2或−3； 【小问2详解】 ∵多项式能被整除， ∴是的一个因式， ∴当时，，即， ∴m＝−5． 【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算，正确理解材料中的方法并能灵活运用是解题的关键． 22. 如图，已知点P是的平分线上一点，点M是射线上一点（异于点B），连结，在射线上用尺规作图的方法找一点N，使．下面有两种作图方法： 小明说：“以B为圆心、长为半径作弧，交射线于点N，连结．，则．” 小东说：“以P为圆心、长为半径作弧，交射线于点N，连结，当的大小满足一定条件时，可得．” （1）请你按照小明的方法作出图形，并证明； （2）你认为小东提出的条件应该是________（选出所有正确的序号） ① ② ③ ④ ⑤． 【答案】（1） 如图， 证明：∵平分， ∴， 又，， ∴； （2）①④ 【解析】 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），作角平分线(尺规作图) 等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意作出，并用证明； （2）根据所给的条件，逐一画图作出说明，再作出判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，圆弧与的两边相切， 所以为唯一的点，故①符合； 当时，如图，以P为圆心、长为半径作弧，交射线于两个点，故②不符合； 当时，如图，以P为圆心、长为半径作弧，交射线于两个点， 故③不符合； 当时，如图， 同样有为唯一的点， 故④符合； 当时，都有，如图，以P为圆心、长为半径作弧，交射线于两个点， 故⑤不符合； 故小东提出的条件应该是①④， 故答案为：①④． 23. 小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表（续航里程是指在满电或满油状态下最大行驶里程．）： 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：90千瓦时 油价：元/升 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用： 元 （1）用含a的代数式表示表格中每千米行驶费用； （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，分别求出这两款车的每千米行驶费用． 【答案】（1）， （2）燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、分式方程的应用等知识点，审清题意、明确量之间的关系是解题的关键． （1）根据每千米行驶费用为：总费用除以续航里程列代数式即可； （2）根据等量关系“燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：燃油车每千米行驶费用为元； 新能源车每千米行驶费用为元． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）； （元）． 答：燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元． 24. 如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的值为15秒或45秒或60秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 故答案为：15秒或45秒或60秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $