精品解析：云南省罗平县职业技术学校2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

罗平县职业技术学校2025-2026学年秋季学期高二期末考试 数 学 考试时间：90分钟，满分100分. 注意事项：请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 一、单项选择题（本大题共16小题，每小题4分，共64分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 已知点、，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若两向量，且，则（ ） A. 20 B. C. D. 3. 若向量，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，且，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 6. 平面内一个动点到两个定点与的距离之和等于，则这个动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的两个焦点分别是和，双曲线上一点到的距离为3，则点到的距离为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 3 9. 抛物线上一点到焦点的距离是，则它的横坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 某班同学用几个几何体组合成一个装饰品美化校园．其中一个几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 11. 复数（ ） A. B. C. 1 D. 12. “”是“复数是纯虚数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 若，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 14. 某中学高中部共有高一、高二、高三三个年级，高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生.现在按年级用分层抽样的方法从该中学高中部三个年级的学生中抽取容量为n的样本进行研究活动，假设该中学高中部三个年级中的每名学生被抽到的概率都为，那么（  ）. A. B. C. D. 15. 某校对高三年级学生进行体检，并将高三男生的体重（）数据进行整理后分成五组，绘制成频率分布直方图.规定高三男生的体重结果只分偏胖、偏瘦和正常三个类型，超过属于偏胖，低于的属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为，第二小组的频数为.若该校高三男生的体重没有和，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ） A. B. C. D. 16. 已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，满分15分.请将答案填在答题卡上相应题号后） 17. 已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点距离为4，则点P到另一个焦点的距离为_________. 18. 已知复数，则其共轭复数_______ 19. 在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，恰好是黄球的概率为，则袋子内共有乒乓球__________个． 三、解答题 （本大题共3小题，每小题7分，满分21分.请将答案填在答题卡上相应题号后，解答时应写出推理、演算步骤.） 20. 已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线方程为，求双曲线的标准方程. 21. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：平面. （2）若，求三棱锥的体积. 22. 某校高二学生中，已知语文优秀的有200人，英语优秀的有150人，每个学生至少有一科优秀，且语文、英语都优秀的学生被抽到的概率为.现按“语文优秀英语不优秀”“英语优秀语文不优秀”“语文、英语都优秀”三层进行分层抽样，抽取6名学生，其中对应三层的人数分别为a、b、c. （1）求a、b、c的值； （2）从抽取的6名学生中随机抽取2人，求这2人语文都优秀的概率P. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗平县职业技术学校2025-2026学年秋季学期高二期末考试 数 学 考试时间：90分钟，满分100分. 注意事项：请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效. 一、单项选择题（本大题共16小题，每小题4分，共64分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1. 已知点、，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量坐标的表示方法即可求解. 【详解】已知，，所以. 故选：. 2. 若两向量，且，则（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量内积的定义计算即可. 【详解】已知， 则. 故选：B. 3. 若向量，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标关系列出等式，进而求解出的值. 【详解】已知向量，且， 可得，解得， 故选：B. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行时斜率相等截距不同，结合充要条件的概念，即可解得. 【详解】当时，直线为，与直线斜率相同，截距不同 两直线平行，所以“”“直线与直线平行”， 当直线与直线平行时，， 所以“”“直线与直线平行”， 即“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 5. 设，且，则（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的性质列出方程，然后求解方程得到的值. 【详解】已知，且， 所以，即，解得， 故选：C. 6. 平面内一个动点到两个定点与的距离之和等于，则这个动点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义确定椭圆的标准方程即可. 【详解】因为两个定点与之间的距离为， 且动点到两个定点与的距离之和等于 所以这个动点的轨迹是椭圆， 其中焦点为与，在轴上， 则，由到两个定点与的距离之和等于， 可知，所以， 所以这个动点的轨迹方程是， 故选：A. 7. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由离心率公式求值即可. 【详解】椭圆中，， 则，离心率， 故选：B. 8. 已知双曲线的两个焦点分别是和，双曲线上一点到的距离为3，则点到的距离为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可解答. 【详解】由双曲线可得， 由，且， 且，可得， 故选：B. 9. 抛物线上一点到焦点的距离是，则它的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义，即抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离列式求解即可. 【详解】抛物线中，设点的横坐标为， 该点到焦点距离等于到准线的距离， 即， 所以，又，所以. 故选：B. 10. 某班同学用几个几何体组合成一个装饰品美化校园．其中一个几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据常见几何体的三视图特征来判断. 【详解】题目所给的三视图都是圆，则这个几何体是球， 故选：A. 11. 复数（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的指数幂运算即可得解. 【详解】. 故选：D. 12. “”是“复数是纯虚数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念即可判断. 【详解】要使复数为纯虚数，则且， 则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件． 故选：A. 13. 若，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等复数列方程求解即可. 【详解】已知， 则，解得， 故选：D. 14. 某中学高中部共有高一、高二、高三三个年级，高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生.现在按年级用分层抽样的方法从该中学高中部三个年级的学生中抽取容量为n的样本进行研究活动，假设该中学高中部三个年级中的每名学生被抽到的概率都为，那么（  ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽样比和总数即可求出样本的数量. 【详解】由题意可知，抽样比为， 则， 故选：A. 15. 某校对高三年级学生进行体检，并将高三男生的体重（）数据进行整理后分成五组，绘制成频率分布直方图.规定高三男生的体重结果只分偏胖、偏瘦和正常三个类型，超过属于偏胖，低于的属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为，第二小组的频数为.若该校高三男生的体重没有和，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出第二小组的频率，再利用频率、频数与样本容量的关系求解即可. 【详解】由题意可得， 偏瘦：低于 55kg（对应第一组）， 偏胖：超过 65kg（对应第四、五组）， 体重正常：55kg∼65kg（对应第二、三组）， 第二小组的频率为， 又第二小组的频数为，故该校高三年级的男生总数为， 体重正常的频率为. 故选：D. 16. 已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意联立方程组，结合韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】直线的斜率为， 联立方程组， 设， 则，， 所以， 故选：. 二、填空题 （本大题共3小题，每小题5分，满分15分.请将答案填在答题卡上相应题号后） 17. 已知椭圆上一点P到椭圆的一个焦点距离为4，则点P到另一个焦点的距离为_________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可解答. 【详解】已知椭圆， 则，由，， 可得， 所以点P到另一个焦点的距离为. 故答案为： 18. 已知复数，则其共轭复数_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义直接求解即可． 【详解】因为复数， 所以其共轭复数． 故答案为：． 19. 在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，恰好是黄球的概率为，则袋子内共有乒乓球__________个． 【答案】10 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意得，设黄乒乓球为个，则摸出一个黄球的概率为. 解得，则乒乓球共有个. 故答案为：10. 三、解答题 （本大题共3小题，每小题7分，满分21分.请将答案填在答题卡上相应题号后，解答时应写出推理、演算步骤.） 20. 已知双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线方程为，求双曲线的标准方程. 【答案】 【解析】 【分析】由题可设双曲线方程为，由渐近线方程可得，再根据焦点坐标求出即可. 【详解】因为双曲线的一个焦点为，焦点在轴上， 又一条渐近线方程为， 可设双曲线方程为，则 ，解得， 所以双曲线的标准方程. 21. 如图，在三棱锥中，，，. （1）求证：平面. （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证明； （2）转化为求三棱锥的体积即可. 【小问1详解】 因为，，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，三棱锥的高为， 又因为，， 所以. 22. 某校高二学生中，已知语文优秀的有200人，英语优秀的有150人，每个学生至少有一科优秀，且语文、英语都优秀的学生被抽到的概率为.现按“语文优秀英语不优秀”“英语优秀语文不优秀”“语文、英语都优秀”三层进行分层抽样，抽取6名学生，其中对应三层的人数分别为a、b、c. （1）求a、b、c的值； （2）从抽取的6名学生中随机抽取2人，求这2人语文都优秀的概率P. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意算出语文、英语都优秀的人数，再结合分层抽样的定义即可得解. （）根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. 【小问1详解】 设语文、英语都优秀的学生有人， 则总人数为人， 且，解得人， 所以语文优秀英语不优秀的人数为人； 英语优秀语文不优秀的人数为人； 语文、英语都优秀的人数为人， 分层抽样抽取名学生，则； ，， 综上所述，. 【小问2详解】 由（）名学生中，语文优秀英语不优秀的人数为人，英语优秀语文不优秀的人数为人，语文、英语都优秀的人数为人， 从中随机抽取两人的组合数为； 抽取的两人语文都优秀的组合数为， 所以概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $