精品解析：江苏省南京市职业学校2025-2026学年度第一学期综高期末联考试卷高一数学

南京市职业学校2025/2026学年度第一学期综高期末联考试卷 2025级综合高中《 数学 》 （满分 150 分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11～第23题，共13题）两部分.本试卷满分 150 分，考试时间120分钟.考试结束后，只需上交答题卡. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不必要也不充分 3. 已知关于的不等式的解集为，则（   ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角是第四象限角，角的终边过点，若点到坐标原点的距离为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像（ ） A. 关于直线对称 B. 关于原点对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 7. 已知函数，且，则（ ） A. B. 16 C. 26 D. 27 8. 设奇函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 8 10. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（　　） A. （0,2） B. （0,2] C. （0,3] D. [0,3] 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 已知指数函数在上单调递减，则__________ 12. 若，且，则__________ 13. 计算的值为__________ 14. 已知定义在R上的减函数满足，则的取值范围为_________． 15. 如图所示的是一个几何体的三视图，（尺寸的长度单位为），则它的体积是__________ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知函数的定义域为. （1）求实数的取值范围； （2）解关于x的不等式. 17. 若，求 （1）的值； （2）的值. 18. 已知函数且满足，. （1）求的解析式. （2）若不等式的解集为，求实数的值. 19. 已知函数，当时，函数的值域是. （1）求实数的值及的对称中心. （2）求函数的值域. 20. 如图所示，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，为底面圆的圆心，M为底面圆周上一点，且，求： （1）圆锥的表面积. （2）三棱锥的体积. （3）求点B到面的距离. 21. 已知函数（且）是定义在R上的奇函数，函数为定义在R上的偶函数． （1）求a、的值； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，，求奇函数在R上的解析式. 22. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 23. 已知函数，函数（且），函数恒过定点. （1）若在上为单调函数 ，求实数a的取值范围 ; （2）若对任意实数x都有成立，且过定点， ①求实数a，b的值； ② 当时，恒成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市职业学校2025/2026学年度第一学期综高期末联考试卷 2025级综合高中《 数学 》 （满分 150 分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11～第23题，共13题）两部分.本试卷满分 150 分，考试时间120分钟.考试结束后，只需上交答题卡. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂选其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 4.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，请将答题卡上对应项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解集合和集合，再根据交集的定义求出. 【详解】集合， 集合， 所以. 故选：D. 2. “”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不必要也不充分 【答案】A 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法，结合充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】由， 得或，解得或， 则若“”，则“”成立，故充分性成立， 若“”，则或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 已知关于的不等式的解集为，则（   ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个解， 则，解得. 故选：B. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为增函数， 所以，即， 因为在上为增函数， 所以，即， 因为在上为减函数， 所以，即， 所以， 故选：D. 5. 已知角是第四象限角，角的终边过点，若点到坐标原点的距离为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到原点的距离求出参数，由三角函数定义得到与，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 若点到坐标原点的距离为5，则有，解得（舍去）， 则，， 则. 故选：A. 6. 函数的图像（ ） A. 关于直线对称 B. 关于原点对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 【答案】B 【解析】 【分析】将函数进行化简，再根据函数奇偶性求解即可. 【详解】函数. 所以. 又因为函数的定义域为，关于原点对称，所以函数为奇函数，进而关于原点对称. 故选：B. 7. 已知函数，且，则（ ） A. B. 16 C. 26 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，分情况讨论的取值范围，进而求出的值，最后计算. 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，所以， 而，所以这种情况不合题意. 当时，， 令，即，可得，解得， 所以. 故选：C. 8. 设奇函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性求解即可. 【详解】因为奇函数在区间上为增函数，且， 所以函数在上也为增函数，且， 作出满足条件的函数图象如下图所示： 因为等价于或， 当时，由图象可得； 当时，由图象可得； 综上，不等式的解集是. 故选：D. 9. 已知，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】通过对进行变形，构造出可以使用基本不等式的形式，进而求出最小值. 【详解】已知，且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立, 则的最小值是8， 故选：D. 10. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（　　） A. （0,2） B. （0,2] C. （0,3] D. [0,3] 【答案】B 【解析】 【分析】因为函数在R上单调递减，所以要保证分段函数每一段都单调递减，整体函数也要满足单调递减，全面考虑，然后求解. 【详解】因为函数是R上的减函数， 所以时，单调递减，即（1）， 时，单调递减，即（2）， 且（3）， 联立（1）、（2）、（3）得， 故选：B. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 已知指数函数在上单调递减，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数的定义及单调性即可得解. 【详解】指数函数，则， 解得或， 因为指数函数在上单调递减，则， 所以， 故答案为：. 12. 若，且，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的平方关系与商数关系求值即可. 【详解】已知， 所以，因为， 所以， 所以， ， 故答案为：. 13. 计算的值为__________ 【答案】0 【解析】 【分析】将根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算及对数的运算法则可求解. 【详解】原式 . 故答案为：0 14. 已知定义在R上的减函数满足，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知为定义在R上的减函数， 由，得， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 15. 如图所示的是一个几何体的三视图，（尺寸的长度单位为），则它的体积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图确定几何体为正三棱柱，再由棱柱的体积公式求值即可. 【详解】由图可知，该几何体为正三棱柱， 由主视图可知该三棱柱的高为，底面三角形的高为， 由左视图可知该三棱柱的底面三角形的底为， 所以它的体积是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90分，解答应写出必要的文字说明及证明过程） 16. 已知函数的定义域为. （1）求实数的取值范围； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据题意可知恒成立，则即可得解. （）根据对数函数的单调性，列出不等式组即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以恒成立， 则， 解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（）可知，， 则函数在为增函数， 因为， 则，解得， 所以解集为. 17. 若，求 （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式结合同角三角函数的商数关系列方程求解即可. （2）根据同角三角函数的商数关系化简求值即可. 【小问1详解】 由， 得，即， 即，所以. 【小问2详解】 . 18. 已知函数且满足，. （1）求的解析式. （2）若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】（1）= （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求得，进而求得，结合题意可求得，从而得解； （2）利用（1）中结论，结合绝对值不等式的解得到关于的方程组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，解得或， 即（舍去）或1，故， 又，即，由，得， =. 【小问2详解】 由（1）可得，解得， 而该不等式的解集为， 所以且，解得. 19. 已知函数，当时，函数的值域是. （1）求实数的值及的对称中心. （2）求函数的值域. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合正弦函数的性质列出方程组求解，的值，再利用正弦函数的对称性求出的对称中心； （2）将代入并化简，利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质求出值域. 【小问1详解】 ，， 正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 时，， 时，， 所以，则， 故的对称中心为. 【小问2详解】 ， 令，，则， 则在上单调递增， 所以当时，； 当时，， 故函数的值域为. 20. 如图所示，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，为底面圆的圆心，M为底面圆周上一点，且，求： （1）圆锥的表面积. （2）三棱锥的体积. （3）求点B到面的距离. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆锥的表面积公式求解； （2）利用棱锥的体积公式求解； （3）利用等体积法求解． 【小问1详解】 由题意，轴截面是边长为4的等边三角形， 则，母线长，底面半径， 侧面积， 底面积， 所以圆锥的表面积. 【小问2详解】 在中，， 则， 由题意，是直径，∴， 在中，，， ∴， ， ∴三棱锥的体积. 【小问3详解】 取中点N，连接, ∵是等腰三角形，∴, 在中，，， 得， 所以， 设点B到面的距离为h， ∵， ∴， ∴. 21. 已知函数（且）是定义在R上的奇函数，函数为定义在R上的偶函数． （1）求a、的值； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，，求奇函数在R上的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数和偶函数的性质来分别求出和的值； （2）先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性来求解； （3）根据奇函数的性质，分别求出和时的表达式. 【小问1详解】 已知函数是定义在R上的奇函数， 记，则，即，解得， 当，， 因为，则是奇函数， 所以； 因为函数是定义在R上的偶函数，则其对称轴为， 所以，解得. 【小问2详解】 由，得，解得或， 所以函数的定义域为. 令，则，函数在上单调递增， 对于二次函数，其对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调增区间为. 【小问3详解】 因为是定义在R上的奇函数，所以； 当时，， 设，则， ， 又因为是奇函数， 所以， 综上，. 22. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. 【解析】 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1）， 当且仅当时，即取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元. （2） 又，∴当时，. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 23. 已知函数，函数（且），函数恒过定点. （1）若在上为单调函数 ，求实数a的取值范围 ; （2）若对任意实数x都有成立，且过定点， ①求实数a，b的值； ② 当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的图像和性质，只需对称轴在已知区间的两侧（含端点）即可，列不等式可求解； （2）①由已知可得二次函数的对称轴为，可求；在中，令指数为零，可得定点，代入函数可求b的值；②将参数和变量分离，不等式恒成立转化为求函数的最值问题，进而求出m的取值范围． 【小问1详解】 由函数可知，对称轴方程为， 因为在上为单调函数 ， 所以或， 解得或； 【小问2详解】 ①因为对任意实数x都有成立， 所以函数的对称轴为，解得， 即. 由函数（且）恒过定点， 令，即时，， 所以定点. 将代入， ，得. ② 由题可知，在上恒成立。 即在上恒成立. 令，只需即可， 因为，且， 所以时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $