精品解析：安徽省临泉县靖波信息技术学校2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

临泉县靖波信息技术学校2025-2026学年高一上学期期末 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.正确的写“正确”，错误的写“错误”） 1. 集合与集合表示同一个集合.（ ） 2. 若，则．（ ） 3. 命题“若，则”的逆命题是真命题.（ ） 4. 不等式的解是.（ ） 5. “” 是 “” 的必要不充分条件.（ ） 6. 在实数范围内的解集是．（ ） 7. 若 ，则 .（ ） 8. 不等式的解集为.（ ） 9. 任何一个集合至少有两个子集（ ） 10. 已知，则．（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知集合，则以下表示正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 13. 不等式的解集用区间表示为（ ） A. B. C. D. 14. 已知 ，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 16. 若，，则是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 17. 某班有学生45人，其中参加数学小组的有20人，参加英语小组的有18人，两个小组都参加的有5人.则两个小组都没参加的有（ ）人. A. 10 B. 12 C. 15 D. 17 18. 已知集合，则的所有子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 三、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 用列举法表示集合为______. 20. 全称命题“所有奇数的平方都是奇数”的否定是______. 21. 若不等式的解集为，则 ______. 22. 设集合 ，，则 ______. 23. 已知关于的方程 的一个根是2，则另一个根是______. 24. 不等式组的解集用区间表示为______. 四、计算题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 25. 解不等式：. 26. 已知全集 ，集合，，求： （1）； （2）. 27. 已知关于的方程. （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及另一个根. 五、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 28. 某文具店计划购进一批笔记本和钢笔.已知每个笔记本进价为3元，每支钢笔进价为8元.该店准备用不超过130元的资金购进这两种商品共30件（笔记本和钢笔均需购进）. （1）设购进钢笔支，请写出满足题意的不等式； （2）若钢笔售价为12元/支，笔记本售价为5元/本，全部售完后利润不低于50元，求钢笔至少需购进多少支. 29. 学校准备利用一面长为20米的墙和一段长度为40米的栅栏，围成一个矩形劳动实践基地. （1）如果矩形的一边靠墙，另外三边用栅栏围成（如图），设垂直于墙的一边长为米，请用含的代数式表示基地的面积； （2）若要围成的基地面积不小于150平方米，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临泉县靖波信息技术学校2025-2026学年高一上学期期末 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.正确的写“正确”，错误的写“错误”） 1. 集合与集合表示同一个集合.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据相同集合的概念判断即可. 【详解】集合与集合中元素相同， 所以， 故答案为：正确. 2. 若，则．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】举反例即可判断. 【详解】当，时，. 故答案为：错误 3. 命题“若，则”的逆命题是真命题.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可得解. 【详解】命题“若，则”的逆命题为“若 ，则”，该命题为假命题， 因为还可以等于， 故答案为：错误. 4. 不等式的解是.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 解得， 故答案为：正确. 5. “” 是 “” 的必要不充分条件.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念运算即可. 【详解】若“”，不一定有“”，故充分性不成立， 若“”则一定有“”，故必要性成立， 所以“” 是 “” 的必要不充分条件， 故答案为：正确. 6. 在实数范围内的解集是．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】解一元二次方程即可得解. 【详解】，. 所以无解，解集为. 故答案为：正确. 7. 若 ，则 .（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据集合之间的关系以及集合的并集求解即可. 【详解】若 ，则 . 故答案为：错误. 8. 不等式的解集为.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】不等式，解得， 所以解集为， 故答案为：正确. 9. 任何一个集合至少有两个子集（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】考虑特殊集合空集. 【详解】空集只有一个子集，就是它自己. 故答案为：错误. 10. 已知，则．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据题意结合不等式的性质即可得解. 【详解】已知，则， 故答案为：正确. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知集合，则以下表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合元素与集合的关系即可得解. 【详解】集合， 则，故正确；，故错误； ，故错误；，故错误， 故选：. 12. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的概念求解. 【详解】全集，集合，则. 故选：A. 13. 不等式的解集用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用区间表示法表示即可. 【详解】解不等式，得，区间表示为， 故选：B. 14. 已知 ，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可. 【详解】已知，则，故A错误， 若，则，故B错误， 若，则，故C正确， 若，，故D错误， 故选：C. 15. 关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的关系列方程求解即可. 【详解】已知有两个相等的实数根， 则，解得， 故选：B. 16. 若，，则是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，判断即可. 【详解】由不能推出，所以是的不充分条件， 由可以推出，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：. 17. 某班有学生45人，其中参加数学小组的有20人，参加英语小组的有18人，两个小组都参加的有5人.则两个小组都没参加的有（ ）人. A. 10 B. 12 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】先计算至少参加一个小组的人数，再用总人数减去，即可求解未参加的人数. 【详解】依题意，至少参加一个小组的人数为 ， 所以两个小组都没参加的人数为. 故选：B 18. 已知集合，则的所有子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】解二次方程化简集合，再利用子集的个数公式即可得解. 【详解】解，得或 所以， 则的所有子集个数为. 故选：B. 三、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 用列举法表示集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，求出的值，再用列举法书写即可. 【详解】在中， 令可得，， 所以集合用列举法表示为. 故答案为： 20. 全称命题“所有奇数的平方都是奇数”的否定是______. 【答案】存在一个奇数，它的平方不是奇数 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】全称命题“所有奇数的平方都是奇数”的否定是：存在一个奇数，它的平方不是奇数. 故答案为：存在一个奇数，它的平方不是奇数. 21. 若不等式的解集为，则 ______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可知的解为，利用韦达定理即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则的解为， 由韦达定理可知，， 故答案为：. 22. 设集合 ，，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】因为集合 ，，则. 故答案为：. 23. 已知关于的方程 的一个根是2，则另一个根是______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可求解. 【详解】由题意，设方程  的另一根为， 由韦达定理，可得，解得. 故答案为：3 24. 不等式组的解集用区间表示为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据区间的定义即可得解. 【详解】不等式组的解集用区间表示为， 故答案为：. 四、计算题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 25. 解不等式：. 【答案】. 【解析】 【分析】解一元一次不等式即可得解. 【详解】， 所以该不等式的解集为. 26. 已知全集 ，集合，，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据并集的概念运算即可. （2）根据交集与补集的概念运算即可. 【小问1详解】 已知集合，， . 【小问2详解】 已知集合，， 则，或. 27. 已知关于的方程. （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及另一个根. 【答案】（1）证明见解析 （2），2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行证明即可. （2）根据方程的一个根是1代入求出的值，进而求出另一个根. 【小问1详解】 方程的判别式 ， 所以方程总有两个实数根. 【小问2详解】 因为方程的一个根是1，所以代入方程得：，解得. 方程为，解得另一根为. 五、应用题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 28. 某文具店计划购进一批笔记本和钢笔.已知每个笔记本进价为3元，每支钢笔进价为8元.该店准备用不超过130元的资金购进这两种商品共30件（笔记本和钢笔均需购进）. （1）设购进钢笔支，请写出满足题意的不等式； （2）若钢笔售价为12元/支，笔记本售价为5元/本，全部售完后利润不低于50元，求钢笔至少需购进多少支. 【答案】（1） （2）钢笔至少需购进1支. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出购进笔记本的数量，再根据题意求解即可. （2）列出利润函数，根据利润不低于50元求出范围，再结合（1）问的结果取交集即可. 【小问1详解】 设购进钢笔支，则购进笔记本本， 因为每个笔记本进价为3元，每支钢笔进价为8元，且资金不能不超过130元， 所以. 【小问2详解】 利润为， 由，解得，此条件自然满足. 结合(1)中不等式⇒⇒， 又因为笔记本和钢笔均需购进，故， 综合得的取值范围是且为整数. 因此，钢笔至少需购进1支. 29. 学校准备利用一面长为20米的墙和一段长度为40米的栅栏，围成一个矩形劳动实践基地. （1）如果矩形的一边靠墙，另外三边用栅栏围成（如图），设垂直于墙的一边长为米，请用含的代数式表示基地的面积； （2）若要围成的基地面积不小于150平方米，求的取值范围. 【答案】（1）（平方米）（其中）. （2） 【解析】 【小问1详解】 垂直于墙的一边长为米（），则平行于墙的一边长为米， 由于墙长米，所以，解得， 基地的面积（平方米）（其中）. 【小问2详解】 由题意，即， 整理得，即，解得， 又， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $