23.2一次函数的图象和性质寒假预习讲义（3知识点+16大题型+过关检测）2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

23.2一次函数的图象和性质寒假预习讲义 （3知识点+16大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 正比例函数的图象】 1 【题型2 正比例函数的性质】 3 【题型3 判断一次函数的图象】 5 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 7 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 9 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 11 【题型7 画一次函数图象】 12 【题型8 一次函数图象平移问题】 15 【题型9 一次函数图象与对称问题】 17 【题型10 一次函数图象与旋转问题】 19 【题型11 判断一次函数的增减性】 22 【题型12 根据一次函数增减性求参数】 25 【题型13 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 27 【题型14 比较一次函数值的大小】 28 【题型15 一次函数的规律探究问题】 29 【题型16 求一次函数解析式】 34 1. 掌握一次函数图象的画法（列表、描点、连线），知道一次函数的图象是一条直线。 2. 理解一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）中，k和b的几何意义，能初步判断图象的位置。 3. 熟记一次函数的性质（增减性、图象与坐标轴的交点），能结合k的符号判断函数的增减趋势。 4. 区分正比例函数（特殊一次函数）与一般一次函数的图象和性质差异，巩固二者的联系与区别。 5. 能利用一次函数的图象和性质，解决简单的判断、辨析类问题，为后续应用奠定基础。 模块三 知识点梳理 知识点1 一次函数定义回顾 正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。 一次函数定义：如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数，k叫比例系数。当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 画一次函数图象： 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取（0,0）、（1，k）两点。 知识点2 正比例函数与一次函数的性质（重难点、考点） 一、图像特征 　 b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，y随x的增大而减小 【小结】 1）正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质： （1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 2）一次函数的性质：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性质： （1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大； （2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大； （3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小； （4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 二、位置特征（直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系） 对于正比例函数：1）当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b图象。 2）当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到y2=kx＋b图象。 对于一次函数（规则：上加下减，左加右减）： 1）上下平移： ①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n； ②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n； 2）左右平移： ①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b； ②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b； 三、k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系： 由于一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0），则： 1）当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴。 2）当,则b=0，直线过原点。 3）当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴。 知识点3 用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）。 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出待定系数的值； ④将所求得的系数的值代入到函数的一般形式中。 易错点与预习注意事项 1. 易错点1：画一次函数图象时，忘记“直线无限延伸”，只画两点之间的线段，导致错误； 2. 易错点2：混淆k和b的作用——k决定直线升降（增减性），b决定直线与y轴交点，与增减性无关； 3. 易错点3：判断增减性时，忽略k≠0的前提（k=0时，函数是常数函数，无增减性）； 4. 预习提醒：结合简单实例画图（如y=2x+3、y=-x+1、y=3x），通过动手描点，直观理解k、b对图象和性质的影响，比单纯记规律更有效； 5. 衔接提醒：本节课知识点是后续学习一次函数图象的平移、一次函数与方程（不等式）的关系的基础，务必掌握k、b的几何意义和增减性。 模块四 题型汇总 【题型1 正比例函数的图象】 【典例1】．画正比例函数的图象，可以先描出原点和下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正比例函数图象经过原点，且需另一个点确定直线方向. 当时，，故点 在函数图象上； 本题考查了正比例函数的图像，熟练掌握正比例函数的图像是解题的关键. 【详解】解：∵ 函数为 ， 当 时，， ∴ 点 在函数图象上； 故选：C. 【变式1-1】．正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数和正比例函数的图象可得参数的取值范围，然后进行比较即可． 【详解】解：A.由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； B. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； C. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数一致，符合题意； D. 由一次函数图象可知，， ∴； 由正比例函数图象可知，，与一次函数参数矛盾，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】．一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的系数和图像性质的关系，熟练掌握性质是关键； 根据一次函数的图象经过第一、三象限，判断出，即或，再分别判断的图象即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴、同号，即或， 当时，的图象大致为； 当时，， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【题型2 正比例函数的性质】 【典例2】．若正比例函数经过第二、四象限，则的值不可能是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握正比例函数的图象和性质． 根据函数的图象得出比例系数的取值范围，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数是正比例函数，且经过第二、四象限， ∴ 比例系数，即， 选项 A:，符合； 选项 B:，符合； 选项 C:，符合； 选项 D:，不符合； ∴ k的值不可能是5， 故选：D． 【变式2-1】．已知函数，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，一次函数图象与其系数的关系，根据正比例函数的增减性可得，则，据此可判断出一次函数图象经过的象限，由此可得答案． 【详解】解：∵函数中随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第二，三，四象限． 故选：D． 【变式2-2】．点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，实数的比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．点在正比例函数图象上，直接代入函数表达式计算各点纵坐标，然后比较大小． 【详解】解：∵ 点A、B、C在函数 图象上， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． 故选：A． 【题型3 判断一次函数的图象】 【典例3】．如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知， ∵随的增大而减小， ∴， ∴ ∵直线与轴交于负半轴， ∴， 则函数的图象，随的增大而减小，直线与轴交于正半轴， 故选：A． 【变式3-1】．平面直角坐标系中，一次函数（是不等于0的常数）的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，先利用一次函数的性质确定a，b的符号是解题的关键．根据一次函数（a，b为非零实数）的图象经过第一、二、四象限，可得，，从而得出一次函数的图象经过一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数（a，b为非零实数）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：D． 【变式3-2】．在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质及一次函数的性质，根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位置即可得出答案． 【详解】解：A项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； B项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项符合题意； C项：由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、四象限，所以该选项不符合题意； D项：由正比例函数图象得，则直线经过第二、三、四象限，所以该选项不符合题意， 故选：B． 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例4】．下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（  ） ①函数图象经过点； ②图象不经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，在应用一次函数的性质的时候，常常与函数的图象相结合，借助函数的图象叙述函数的性质可以更直接、更具体．根据一次函数的增减性可得不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得不满足①，不满足②，满足①②③． 【详解】解：A、在中，一次项系数小于0，则随的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在中，当时，，则该函数图象经过点，不符合①，不符合题意； C、在中，一次项系数大于0，常数项大于0，则该函数图象经过第一、二、三象限，不符合②，不符合题意； D、在中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，且随的增大而增大，当时，，则该函数图象经过点，故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】．若函数的图像经过第二、三、四象限，则函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数的图像性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 由函数 的图像经过第二、三、四象限，可得 且 ，再分析函数 的图像所经过的象限即可． 【详解】解：∵函数 的图像经过第二、三、四象限， ∴ 且 ， ∴函数 中，，， 图像经过第二、三、四象限， 函数 的图像不经过第一象限． 故选：A． 【变式4-2】．将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．若一次函数的图象经过两点，且， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数经过的象限，一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题．根据“上加下减”的平移规律可得一次函数解析式为，则可判断B、D；求出时，y的值，时，x的值，可得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而求出一次函数与坐标轴围成的图形面积，据此可判断A、C． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移5个单位后得到的函数解析式为， 在中，当时，， ∴一次函数与y轴的交点是，故A说法正确，符合题意； ∵， ∴一次函数经过第一、三、四象限，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴一次函数与x轴的交点坐标点是， ∴一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵， ∴在中，y的值随着x值的增大而增大，当时，，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 【典例5】．已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 由直线经过点可得与的关系，再由直线不经过第三象限确定的取值范围，代入表达式，根据的范围求的范围． 【详解】直线经过点， ，即， 直线不经过第三象限， 且， ，即， ， 又， 当时，； 当时，， ∴． 故选：． 【变式5-1】．已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 【变式5-2】．一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质．直接根据一次函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故选：B． 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例6】．一次函数在实际生活中应用广泛，已知一次函数（），当x增大时，y随之减小，且该函数图像过点，则下列函数符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数（），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小；b为函数图象与y轴交点的纵坐标． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数（），当x增大时，y随之减小，且该函数图像过点， ∴且， 只有B符合要求． 故选：B． 【变式6-1】．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形面积运算，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：把代入可得：， ∴直线与轴交点为， 把代入可得：， 解得：， ∴直线与轴交点为， ∴三角形的面积， ∵， ∴ ， 故选：C． 【变式6-2】．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与坐标轴交点问题，掌握一次函数的图象与坐标轴交点问题是解本题的关键． 求一次函数图象与轴的交点，即令，解方程求出值，进而得到坐标． 【详解】解：一次函数的图象与轴相交时，， 令， 解得， 交点坐标为， 故选：C． 【题型7 画一次函数图象】 【典例7】．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握利用描点法画一次函数图象是解题的关键． 在平面直角坐标系中，描点，发现点、、在同一直线上，点不在直线上，据此解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，表格中各点的位置为： 则表格中点、、在同一直线上，不在直线上， 故选：D． 【变式7-1】．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，后三对数据中，的值每增加1，函数值减小4， ∴当时，， 故算错的函数值为3． 故选：A． 【变式7-2】．已知一次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)不在函数图象上，见解析 (3) 【分析】（1）在坐标系中描出两点，连接过这两点的直线即可； （2）把点P的坐标代入函数解析式中即可作出判断； （3）求出自变量取与时的函数值，利用一次函数的性质即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：在坐标系中描出点，连接过这两点的直线，画图如下； （2）解：点不在一次函数的图象上； 理由如下： 当时，，所以点不在一次函数的图象上； （3）解：当时，；当时，； ∵一次函数中一次项系数， ∴函数值随自变量的增大而增大， ∴． 【点睛】本题考查了画一次函数的图象，一次函数的性质，判断点是否在函数图象上，求函数值的范围等知识，掌握一次函数的图象与性质是关键． 【题型8 一次函数图象平移问题】 【典例8】．将一条直线向上平移3个单位后所得到的直线的表达式为，则原直线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换以及一次函数性质的运用，解题的关键是掌握平移的规律：直线向上平移个单位所得直线解析式为；直线向下平移个单位所得直线解析式为. 直接根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将所得直线 向下平移个单位，得 ， 故原直线表达式为 ． 故答案为：． 【变式8-1】．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 【变式8-2】．如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的的范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是运用数形结合思想． 求得平移后的直线解析式，求得直线过点、、时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：将直线向上移个单位长度，得到直线， 将代入得，， 将代入得，，解得， 将代入得，，解得， 由图象可知， 当平移后的直线与折线只有一个交点时，则或． 故答案为：或． 【题型9 一次函数图象与对称问题】 【典例9】．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 【变式9-1】．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键． 根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 【变式9-2】．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿x轴对折即关于x轴对称，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵原函数为，对折后点变为， ∴， 即 故选：D 【题型10 一次函数图象与旋转问题】 【典例10】．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 【变式10-1】．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键． 先求函数 绕原点逆时针旋转 后的解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得得到最终表达式． 【详解】∵ 在函数的图象上取点， ∴函数的图象绕原点逆时针旋转 后，点 变为， ∵绕原点逆时针旋转 后仍过原点，设， ∴， 解得： ∴ 旋转后图象的函数解析式为。 ∵ 将向上平移个单位， ∴ 平移后的解析式为 ， 故选：A． 【变式10-2】．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1） ． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过证得三角形全等求得点的坐标． （1）根据待定系数法即可求得； （2）过点作轴于点，通过证得，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：（1）一次函数的图象经过点， ， 解得． 故答案为：1． （2）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则；令，即，则， ，， ，． 如图，过点作轴于点． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将，代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为． 故答案为：． 【题型11 判断一次函数的增减性】 【典例11】．如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．关于x的方程的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．根据表格信息求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：将和代入得到， 解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、当时，，解得，该选项正确，符合题意； D、由一次函数为，当时，，函数图象与轴的交点是，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式11-1】．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．点在图象上 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），一次函数的图象有四种情况：①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随的值增大而增大；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随的值增大而减小；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 根据一次函数的性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴，． 对于A：∵且，∴图象经过第一、二、三象限，故A错误； 对于B：∵当时，，∴图象与y轴交于点，故B正确； 对于C：∵，∴函数值y随x的增大而增大，故C错误； 对于D：∵当时，，∴点不在图象上，故D错误； 故选：B． 【变式11-2】．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)随的增大而_______（“增大”或“减小”）； (3)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【答案】(1) (2)增大 (3)点在这个一次函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质即可解答； （3）求出当时y的值，比较即可得解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：， 随的增大而增大， 故答案为：增大； （3）解：点在这个一次函数的图象上，理由如下： 当时，， ∴点在这个一次函数的图象上． 【题型12 根据一次函数增减性求参数】 【典例12】．已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性问题，解一元一次不等式；根据，可得y随x增大而减小，则一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数的图象上且， 又∵， ∴y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项中的数符合题意， 故选：A． 【变式12-1】．已知一次函数的图象经过，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 根据题意在坐标系中作出点，其中，再根据图象即可求解． 【详解】解：在坐标系中作出点，且 ∴从点到，随着的增大而减小， ∴ ∵，在第二象限，在第三象限， ∴直线与轴负半轴相交， ∴， 故选：B． 【变式12-2】．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 【题型13 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【典例13】．若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的性质可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点都在一次函数的图象上，且， ∴， 故选C． 【变式13-1】．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ，且， 则一次函数的函数值随的增大而减小， 由点和在函数图象上，且，可得， 故答案为：． 【变式13-2】．如图是函数的一部分图象，利用图象回答： (1)求自变量的取值范围； (2)当取什么值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键． （1）由点在函数图象上，将代入函数，求得的值，再结合函数图象，可求得的取值范围； （2）利用函数的增减性，可知当时，有最小值，可求得最小值． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 所以自变量的取值范围是． （2）解：由图象可知，函数随的增大而减小， ∴当时有最小值，最小值为． 【题型14 比较一次函数值的大小】 【典例14】．已知点都在直线上，则与的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． 根据一次函数解析式判断函数增减性，再结合点的横坐标大小比较对应函数值的大小． 【详解】解：∵直线 中 ， ∴函数值 随增大而减小， ∵， ∴， 故选C． 【变式14-1】．已知点和点在函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．通过判断一次函数的增减性，确定y随x的增大而减小，从而比较两点y值大小． 【详解】解：∵ 函数 中，， 又 ∵ ， ∴ ， ∴， 即， ∴ 函数随的增大而减小， ∵ 点A的横坐标为, 点B的横坐标为， ∴ ． 故选：A． 【变式14-2】．若点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与性质，根据一次函数的性质，当比例系数时，函数值随自变量的增大而减小，比较点与点的横坐标大小，结合函数的性质即可判断与的关系，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随自变量的增大而减小， ∵，在函数图像上，且， ∴， 故答案为：． 【题型15 一次函数的规律探究问题】 【典例15】．正方形，，，…按如图所示的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化，找出点的纵坐标是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、…的纵坐标，根据点坐标的变化找出点的纵坐标，依此即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为． ∵直线与轴、轴的交点坐标分别为，， 是等腰直角三角形． 又∵四边形，，，…是正方形， ，，，…都是等腰直角三角形， ，，，，，…， ∴点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为， …… 点的纵坐标为． 故答案为：． 【变式15-1】．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的规律题．由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依次代入即可求解． 【详解】解：在直线， ∴ ， ， 设，，，，， 则有， ， ， 又∵，，，…，都是等腰直角三角形， ， ， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到：，故， 同理可得： ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式15-2】．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，且，， 且，， 且，发现其中的规律，解答即可． 本题考查了根据解析式求函数值，自变量的值，数字的规律，熟练掌握规律的探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当时，，此时， 当时，，解得此时且， 当时，，此时， 当时，，解得此时且， 当时，，此时， 当时，，解得，此时且， 由此不难发现规律如下： 当角码中的m是奇数时，； 当角码中的n是偶数时，； 由于，是奇数， 故， 故答案为：． 【题型16 求一次函数解析式】 【典例16】．若与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式． (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的增减性； （1）根据题意设（）将，代入求出k值即可； （2）根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例，则设（）， 当时，即， 解得， 即， 整理得； （2）解：由可知， ∴y随x的增大而减小， ∴当时函数的最大值为． 【变式16-1】．（1）已知一次函数的图象经过点．求这个一次函数的解析式； （2）在中，，求的度数，并判断的形状． 【答案】（1）；（2），是等腰三角形 【分析】本题考查了求一次函数解析式，三角形内角和定理，等腰三角形的定义． （1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）利用三角形内角和定理求，即可判断三角形形状． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为 将点和点，代入得， ，解得：， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：∵在中，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形． 【变式16-2】．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）①；②；（5）或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为； （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或． 模块五 过关检测 1．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数解析式的确定方法，核心是使用待定系数法，通过已知点坐标代入函数式建立方程组求解参数．注意代入计算时符号的处理，避免因粗心导致错误． 【详解】∵点在上， ， . ∵点在上， ， 即. . 故选A 2．函数的图象为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了判断一次函数图象所在的象限，根据得出一次函数经过一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：中， ∴的图象经过一、三、四象限， 故选：A． 3．关于 x 的一次函数和（其中 ）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数中的正负与图象的关系是关键． 根据题意，分别分析的正负，结合选项判定即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，A，B，C，D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时，B选项符合题意； 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限，A，B，C，D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，A，B，C，D选项不符合题意； 故选：B ． 4．下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程与一次函数的关系．熟悉二元一次方程的所有解与对应一次函数图像上的点一一对应，函数图像的识别：根据斜率或与坐标轴的交点判断对应的直线是解题的关键．将二元一次方程变形为一次函数的表达式，求与坐标轴的交点，判断对应的选项即可． 【详解】解：将二元一次方程变形为一次函数的表达式：， ∵， ∴函数图像呈上升趋势， 令，代入得， ∴直线与轴交点为， 令，代入得，解得， ∴直线与轴交点为． 故选：． 5．，是一次函数图象上的两点，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：， ∴随的增大而减小． ，是一次函数图象上的两点， ∴当时，；当时，． 故选： C ． 6．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． ①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， .∴， .∴，即，故②正确； ∵，， ∴ 当的值每增加，，故③错误； 故选：A． 7．下列关于一次函数的结论中，正确的是(  ) A．图象经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，，，函数递减且与轴交于正半轴，与轴交于点． 【详解】解：对于A.当时，，∴A错误． 对于B.，，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，∴B错误． 对于C.当时，，解得，图象与轴交于点，∴C正确． 对于D.，随的增大而减小，∴D错误． 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【答案】D 【分析】连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过点且平行于直线的直线解析式即可； 本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线平行于， ∴， ∴， 将点代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∴时间为秒， 故选：D． 9．一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据一次函数的与判断图象所经过的象限． 【详解】解：对于一次函数 ， ，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 10．点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．已知点在直线上，将点的坐标代入直线方程，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：点在直线上， 将，代入方程， 得， 解得， 故答案为：． 11．已知直线l与直线平行，且经过点，则直线l所对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式．两直线平行自变量系数相等，设直线的表达式为，再代入点求值即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴的正半轴上．将沿直线向上平移得到，点的纵坐标为4．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于读懂题目信息并求出点的坐标． 根据直线解析式求出点的横坐标，再根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小确定出点的横坐标与纵坐标，然后写出即可． 一题多解：根据直线解析式求出点的横坐标，得到点的坐标，然后根据平移的性质即可得到点的坐标． 【详解】解：点在直线上，且纵坐标为， ，解得， ， 即从点至点，横坐标增加了，纵坐标增加了． ， ， ． 故答案为：． 一题多解 点在直线上，且纵坐标为， ，解得， ． ， 由平移的性质，知，， ． 故答案为：． 13．若函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且M、N关于x轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点M或点N的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①若函数与函数不具有“对偶关系”，则； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若无论取何值，函数与函数均具有“对偶关系”，则． 其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据“对偶关系”的定义，点M和点N关于x轴对称，因此横坐标相同，纵坐标互为相反数．逐一分析各结论是否正确． 【详解】解：①若函数和不具有“对偶关系”， ∴方程无解， ∴方程无解， ∴且，故①正确； ②∵函数与函数 ∴当时， 解得 ∴将代入， ∴函数与函数的“对偶值”为1或，故②错误； ③若“对偶值”为， ∴或， ∴将代入得， ，解得， 将，代入得，，无解，不符合题意； ∴将代入，得， 解得， ∴将，代入，得， ∴，故③错误； ④ 当时， ∴函数经过定点， ∵无论取何值，函数与函数均具有“对偶关系”， ∴函数经过点， ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①④． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，求出，即可作答． （2）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， ， （2）解：由（1）得，在一次函数图象上， 代入一次函数解析式可得， 解得， 一次函数的解析式为． 15．已知关于的一次函数（为常数，）的图象过点 (1)求的值： (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了图象过点，一次函数的增减性，求最值，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据一次函数的图象经过点，得到，得到答案； （2）根据函数增减性质，当时，y取得最大值，解答即可． 【详解】（1）解：∵关于的一次函数（为常数，）的图象过点， ∴， 解得， 故的值为； （2）解：由（1）知，， ∴函数解析式为， ∵， ∴ y随x的增大而减小， ∵， 故当时， y取得最大值， 故的最大值为10． 16．如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求点的坐标； (2)求这个一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）将点代入，进行求解即可； （2）将点和代入进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得： 解得， 则点的坐标为； （2）解；将点和代入得： 解得 则这个一次函数的表达式为． 17．如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①直角；②或；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及其逆定理等知识． （1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可； ②根据求出长即可求解； ③先排除和的情况，然后根据，分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角； ②∵， ∴， ∴， ∴或即或； ③∵当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 如图，当点D在点B的左边时，过点作于点E，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 当点D在点B的右边时，过点作于点F，设，则，． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 当时，， ∴； 综上可知，点的坐标为或． 18．在平面直角坐标系中，已知． (1)求过原点和点的直线的表达式； (2)小明学习函数图象表示法后推测：如果能找到一个二元方程，直线或曲线L上每一个点的坐标都是该二元方程的解，而以该二元方程的解为坐标的点都在直线或曲线L上，那么也可以把直线或曲线L看作该二元方程的图象，把该二元方程称作直线或曲线L的表达式．小明尝试用这个方法研究到点的距离等于3的点的轨迹L的表达式，方法如下：设L上任意一点的坐标为，那么，也就是，根据两点的距离公式，，经过化简，也就是方程：，那么到点的距离等于3的点的轨迹的表达式就是方程．参考小明的方法求到点和点距离相等的点的轨迹的表达式； (3)沿方向平移，平移后点O、A、B分别落在点D、E、F，直线交直线于点G，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图象的平移、等腰三角形的性质，求一次函数解析式，勾股定理，分类求解是解题的关键. （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即，即可求解； （3）当是以为腰的等腰三角形时，则或，即或，即可求解． 【详解】（1）解：设函数的表达式为：， 将点代入表达式得：，则， 则直线的表达式为； （2）解：设点在上， 则，即， 即， 即的表达式为； （3）解：设向右平移了、向上平移了个单位，其中， 则点D、E、G的坐标分别为：， 由点D、G、E的坐标得，， 当是以为腰的等腰三角形时，则或， 即或， 解得：或， 即点或． 19．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且a、b、c满足，D在x轴正半轴上． (1)则　　　　，　　　　，　　　　； (2)如图1，若，求B的坐标； (3)如图2，M点是延长线上一点，F点是第二象限内一点，，交x轴于点N，E点在x轴负半轴上，交于点H，与的平分线交于点G，交y轴于点P，交于点Q，，请问是否为定值？若是请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)是， 【分析】（1）根据二次根式，绝对值和平方的非负性，即可求解； （2）设D坐标为，根据，即点是的中点，利用中点公式求出点的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，代入解析式即可求解； （3）设，，根据平行线的性质，角之间的关系和角平分线的定义，用含、的式子表示，和，代入化简即可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， 故答案为：，，； （2）解：设D坐标为， ，，， 点是的中点， ，解得， ， 设直线的解析式为，过点，， 则， 解得， ， 当时，， B的坐标为； （3）解：是定值， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查二次根式、绝对值和平方的非负性，待定系数法求一次函数，平行线的性质，三角形内角和，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 20．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究： 【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论； 深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可； 深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案． 【详解】模型呈现： 证明：在中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中，， ； 模型应用： 解：令，则， 令，则， 则点A，B的坐标分别为：、， 过点C作轴于点H，如图所示： ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 则点， 设直线的解析式为， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故直线的表达式为； 深入探究： 解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图： 把代入得， 解得， 把代入得， ，， ，， 直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 在中，令得， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，求一次函数的解析式，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.2一次函数的图象和性质寒假预习讲义 （3知识点+16大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 正比例函数的图象】 1 【题型2 正比例函数的性质】 3 【题型3 判断一次函数的图象】 5 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 7 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 9 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 11 【题型7 画一次函数图象】 12 【题型8 一次函数图象平移问题】 15 【题型9 一次函数图象与对称问题】 17 【题型10 一次函数图象与旋转问题】 19 【题型11 判断一次函数的增减性】 22 【题型12 根据一次函数增减性求参数】 25 【题型13 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 27 【题型14 比较一次函数值的大小】 28 【题型15 一次函数的规律探究问题】 29 【题型16 求一次函数解析式】 34 1. 掌握一次函数图象的画法（列表、描点、连线），知道一次函数的图象是一条直线。 2. 理解一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）中，k和b的几何意义，能初步判断图象的位置。 3. 熟记一次函数的性质（增减性、图象与坐标轴的交点），能结合k的符号判断函数的增减趋势。 4. 区分正比例函数（特殊一次函数）与一般一次函数的图象和性质差异，巩固二者的联系与区别。 5. 能利用一次函数的图象和性质，解决简单的判断、辨析类问题，为后续应用奠定基础。 模块三 知识点梳理 知识点1 一次函数定义回顾 正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。 一次函数定义：如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数，k叫比例系数。当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 画一次函数图象： 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取（0,0）、（1，k）两点。 知识点2 正比例函数与一次函数的性质（重难点、考点） 一、图像特征 　 b>0 b<0 b=0 k>0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 图象从左到右下降，y随x的增大而减小 【小结】 1）正比例函数的性质：一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质： （1）当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 2）一次函数的性质：一般地，一次函数y=kx+b(k≠0，b≠0)有下列性质： （1）k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大； （2）k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限，y随x的增大而增大； （3）k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限，y随x的增大而减小； （4）k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。 二、位置特征（直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系） 对于正比例函数：1）当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b图象。 2）当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到y2=kx＋b图象。 对于一次函数（规则：上加下减，左加右减）： 1）上下平移： ①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n； ②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n； 2）左右平移： ①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b； ②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b； 三、k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系： 由于一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0），则： 1）当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴。 2）当,则b=0，直线过原点。 3）当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴。 知识点3 用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）。 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： ①设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； ②根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； ③解方程或方程组求出待定系数的值； ④将所求得的系数的值代入到函数的一般形式中。 易错点与预习注意事项 1. 易错点1：画一次函数图象时，忘记“直线无限延伸”，只画两点之间的线段，导致错误； 2. 易错点2：混淆k和b的作用——k决定直线升降（增减性），b决定直线与y轴交点，与增减性无关； 3. 易错点3：判断增减性时，忽略k≠0的前提（k=0时，函数是常数函数，无增减性）； 4. 预习提醒：结合简单实例画图（如y=2x+3、y=-x+1、y=3x），通过动手描点，直观理解k、b对图象和性质的影响，比单纯记规律更有效； 5. 衔接提醒：本节课知识点是后续学习一次函数图象的平移、一次函数与方程（不等式）的关系的基础，务必掌握k、b的几何意义和增减性。 模块四 题型汇总 【题型1 正比例函数的图象】 【典例1】．画正比例函数的图象，可以先描出原点和下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．正比例函数的一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．一次函数的图象经过第一、三象限，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型2 正比例函数的性质】 【典例2】．若正比例函数经过第二、四象限，则的值不可能是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【变式2-1】．已知函数，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型3 判断一次函数的图象】 【典例3】．如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．平面直角坐标系中，一次函数（是不等于0的常数）的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例4】．下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（  ） ①函数图象经过点； ②图象不经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【变式4-1】．若函数的图像经过第二、三、四象限，则函数的图像不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】．将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．若一次函数的图象经过两点，且， 【题型5 已知函数经过的象限求参数范围】 【典例5】．已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．一次函数的图象如图所示，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．等于1 【题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例6】．一次函数在实际生活中应用广泛，已知一次函数（），当x增大时，y随之减小，且该函数图像过点，则下列函数符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 【变式6-2】．一次函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型7 画一次函数图象】 【典例7】．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（   ） x 0 1 2 y 6 2 A． B． C． D． 【变式7-1】．小明在学习画一次函数的图象时，列表如下： … 0 1 2 … … 3 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式7-2】．已知一次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． (3)当时，求y的取值范围． 【题型8 一次函数图象平移问题】 【典例8】．将一条直线向上平移3个单位后所得到的直线的表达式为，则原直线的表达式为 ． 【变式8-1】．如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【变式8-2】．如图，点，，在平面直角坐标系中，将直线向上移个单位长度，当平移后的直线与折线只有一个交点时，满足条件的的范围为 ． 【题型9 一次函数图象与对称问题】 【典例9】．关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【变式9-1】．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为 ． 【变式9-2】．将函数的图象沿轴对折，对折后的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【题型10 一次函数图象与旋转问题】 【典例10】．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位，所得直线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】．如图，一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于，两点． （1） ． （2）将该直线绕点顺时针旋转得直线，过点作交直线于点，则直线的函数解析式为 ． 【题型11 判断一次函数的增减性】 【典例11】．如表是一次函数中x与y的一些对应数值，则下列结论正确的是（   ） x … 0 1 2 … y … 6 3 1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过第一、二、三象限 C．关于x的方程的解是 D．该函数的图象与y轴的交点是 【变式11-1】．关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．点在图象上 【变式11-2】．已知一次函数经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)随的增大而_______（“增大”或“减小”）； (3)判断点是否在这个一次函数的图象上？说明理由． 【题型12 根据一次函数增减性求参数】 【典例12】．已知点、点在一次函数的图象上，且，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】．已知一次函数的图象经过，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式12-2】．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 【题型13 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 【典例13】．若点都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【变式13-1】．若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） 【变式13-2】．如图是函数的一部分图象，利用图象回答： (1)求自变量的取值范围； (2)当取什么值时，的值最小，最小值是多少？ 【题型14 比较一次函数值的大小】 【典例14】．已知点都在直线上，则与的大小关系为（    ）． A． B． C． D．无法比较 【变式14-1】．已知点和点在函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】．若点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是 ． 【题型15 一次函数的规律探究问题】 【典例15】．正方形，，，…按如图所示的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标为 ． 【变式15-1】．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是 ． 【变式15-2】．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为 ． 【题型16 求一次函数解析式】 【典例16】．若与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式． (2)当时，求函数的最大值． 【变式16-1】．（1）已知一次函数的图象经过点．求这个一次函数的解析式； （2）在中，，求的度数，并判断的形状． 【变式16-2】．【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．将一次函数的图象关于轴对称，所得图象对应的函数表达式为___________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点逆时针旋转90°，则所得图象对应的函数表达式为___________． ②如图2，将直线绕点逆时针旋转45°．则所得图象对应的函数表达式为___________． 【拓展应用】 （5）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点的坐标为___________． 模块五 过关检测 1．一次函数的图像经过点和，则k，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 2．函数的图象为（   ）． A． B． C． D． 3．关于 x 的一次函数和（其中 ）的图象可能是（  ） A． B． C． D． 4．下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（    ）. A． B． C． D． 5．，是一次函数图象上的两点，则下列判断正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 6．一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．② D．①②③ 7．下列关于一次函数的结论中，正确的是(  ) A．图象经过点 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而增大 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 9．一次函数的图象不经过第 象限． 10．点在直线上，则 ． 11．已知直线l与直线平行，且经过点，则直线l所对应的函数表达式为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴的正半轴上．将沿直线向上平移得到，点的纵坐标为4．若，则点的坐标为 ． 13．若函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且M、N关于x轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点M或点N的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①若函数与函数不具有“对偶关系”，则； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若无论取何值，函数与函数均具有“对偶关系”，则． 其中正确的序号是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 15．已知关于的一次函数（为常数，）的图象过点 (1)求的值： (2)当时，求的最大值． 16．如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求点的坐标； (2)求这个一次函数的表达式． 17．如图，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标． (2)若点的坐标是， ①是_______三角形（按角分类）． ②点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ③在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，已知． (1)求过原点和点的直线的表达式； (2)小明学习函数图象表示法后推测：如果能找到一个二元方程，直线或曲线L上每一个点的坐标都是该二元方程的解，而以该二元方程的解为坐标的点都在直线或曲线L上，那么也可以把直线或曲线L看作该二元方程的图象，把该二元方程称作直线或曲线L的表达式．小明尝试用这个方法研究到点的距离等于3的点的轨迹L的表达式，方法如下：设L上任意一点的坐标为，那么，也就是，根据两点的距离公式，，经过化简，也就是方程：，那么到点的距离等于3的点的轨迹的表达式就是方程．参考小明的方法求到点和点距离相等的点的轨迹的表达式； (3)沿方向平移，平移后点O、A、B分别落在点D、E、F，直线交直线于点G，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 19．如图1，在平面直角坐标系中，，，，且a、b、c满足，D在x轴正半轴上． (1)则　　　　，　　　　，　　　　； (2)如图1，若，求B的坐标； (3)如图2，M点是延长线上一点，F点是第二象限内一点，，交x轴于点N，E点在x轴负半轴上，交于点H，与的平分线交于点G，交y轴于点P，交于点Q，，请问是否为定值？若是请求出该定值，若不是，请说明理由． 20．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：； 【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式； 【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $