例谈圆锥曲线的第二定义解题策略(二)讲义——2026届高三数学二轮专题复习

例谈圆锥曲线的第二定义解题策略(二)讲义 圆锥曲线是解析几何的精华与核心内容,是高中数学的重点、难点,也是高考命题的热点问题之一.圆锥曲线的第二定义将焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的试题时，如能巧妙运用第二定义，能起到化繁为简、化难为易的导向作用，使问题轻松简洁地获解，在解题中起到事半功倍之效. 圆锥曲线的第二定义：平面内到一个定点的距离和到一条定直线(定点不在定直线上)的距离之比是一个常数的点的轨迹,此轨迹统称为圆锥曲线,其中常数是圆锥曲线的离心率.第二定义也称为圆锥曲线的统一定义.当时,轨迹是抛物线,点和直线分别是焦点和准线.当时，轨迹是椭圆；当时,轨迹是双曲线；点和直线分别是其一个焦点和对应的准线.当椭圆和双曲线的标准方程分别为和时，它们的离心率,左焦点对应于左准线方程为,右焦点对应于右准线方程为.当椭圆和双曲线的标准方程分别为和时，它们的离心率,下焦点对应于下准线方程为,上焦点对应于上准线方程为. 本文结合典型试题，将从八个方面介绍圆锥曲线的第二定义在解题中的精彩妙用，以供同学们参考和借鉴. 类型五、求距离和的最值 例5.已知是双曲线右支上一点,分别为双曲线的左、右焦点,定点.求的最小值. 【解析】如图,设双曲线的右准线为,过作于.易得离心率,且方程为,由双曲线第二定义知,,即.于是,由图分析可知,当三点共线且所在直线垂直右准线时,所求值最小.故. 【点评】在圆锥曲线的考题中,常涉及求距离和的最值问题,对于这类问题要分析题目的结构特征,善于挖掘潜伏在题目中的隐含条件，尝试利用第二定义将问题进行转化往往能促使问题快速解决.由此可见,如何利用第二定义将这类求和问题进行转化是有效解题的关键. 类型六、求离心率的取值范围 例6.设双曲线的右支上存在一点，它到右焦点的距离与到左准线的距离相等,求双曲线离心率的取值范围. 【解析】设,到左、右准线的距离分别为.由于双曲线的左准线方程为,右准线方程为,则，.由第二定义得，依题意，代入得,注意及,化简得,即,从而可得为所求. 【点评】本题根据第二定义及已知条件列出方程,然后通过的取值范围将等式转化为不等式，从而求出解,这种利用主变量的范围将等式转化为不等式求参数范围的方法是解析几何常用的方法和技巧． 类型七、求轨迹方程 例7.求经过定点,以轴为准线,离心率为的椭圆左顶点的轨迹方程. 【解析】如图,设椭圆左顶点为,左焦点.因椭圆以轴为准线,离心率为,由椭圆第二定义知,解得,即.又到左准线(轴)的距离,又由第二定义知,即，则.化简整理得为所求轨迹方程. 【点评】在学习圆锥曲线时,一定要重视用定义解题，因为定义是曲线几何性质的“源”，它蕴含着曲线的一切.本题两次运用了第二定义解题,每一次的运用都是解题的转折点和关键所在,可以说上述解法就是用第二定义解题的经典. 类型八、求解存在性问题 例8.在椭圆上是否存在一点,使得到左准线的距离是到左、右两焦点的距离的等比中项?若存在求出点的坐标,若不存在说明理由. 【解析】依题意,得,,则,离心率.由第二定义知,即.由于,得,又由椭圆第一定义知,解得,因为,故存在点满足条件.设,由第二定义可得焦半径,解得,代入椭圆方程解出.故存在满足条件的点坐标为. 【点评】本题是一道存在性探索问题，解题思路一般是先假设存在，然后在求解过程中经过严密的逻辑推理和合理的计算后就能作出准确的判断.解题中运用第二定义起到了将条件联络与转化的作用,同时也优化了运算和化简的过程,使解题思路连贯畅通. 【针对训练题5】已知定点,点为椭圆的右焦点,动点在椭圆上移动,求的最小值及相应的坐标. 【针对训练题6】已知双曲线的左、右焦点分别为,为双曲线右支上一点，若到左准线的距离等于它到右准线距离的2倍,求离心率的取值范围. 【针对训练题7】判断方程所表示的曲线是何种曲线? 【针对训练题8】已知双曲线的左、右焦点分别为，能否在双曲线的左支上找到一点,使是到左准线的距离与的等比中项?若能求出点的坐标,若不能说明理由. 训练题答案与解析 5.解:设椭圆的右准线为,过作于.易得离心率,且方程为,由椭圆第二定义知,,即.于是 ,由分析可知,当三点共线且所在直线垂直右准线时,所求值最小.故.设此时,则，代入椭圆方程得,故的坐标为. 6.解:设到左、右准线的距离分别为，离心率为.由第二定义得,由于，则有.又由双曲线第一定义,知,解得.由双曲线性质知,即，且,故得为所求. 7.解：若直接将方程的两边平方化简，会处于非常尴尬的境地而一无所获.但将方程变形化成，就会很快发现等式左边表示动点到定点的距离()，等式右边是点到定直线:的距离()的倍.由第二定义知,方程表示以为一个焦点，对应准线为的双曲线. 8.解:依题意,得,,则,离心率.由第二定义知,即得，又因为,解得.又由双曲线的第一定义知.解得,则，又,从而与事实矛盾.故符合题目条件的点不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $