精品解析：江苏省徐州市中等职业学校2025—2026学年第一学期期末考试高三数学试卷（升学班）

徐州市职业学校2025-2026学年第一学期期末考试 高三数学试卷 注意事项：1．本试卷考试时间120分钟，满分150分； 2．请在答题纸上指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，，若，则实数值为（ ） A. B. C. 0 D. 6 4. 已知函数，则“”是“在内单调递减”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在的展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知函数的图像上相邻两个对称中心的距离为，则其图像的一条对称轴的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知数列满足，，则________． 12. 经过抛物线的焦点且与直线垂直的直线方程为________． 13. 已知角的终边经过点，则________． 14. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为________． 15. 设函数，若存在不相等的实数，，，使得，则实数的取值范围是________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知实数满足不等式. （1）求实数取值范围； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数的图像恒过定点，且． （1）求点的坐标及实数的值； （2）若函数是定义在的奇函数，点在的图像上，且当时，． ①求当时，函数的解析式； ②求的值． 18. 某车间甲组有6名工人，其中2名女工，乙组有5名工人，其中3名女工．现从甲组中抽取2名工人，乙组中抽取1名工人进行技术考核． （1）求抽取的工人中都是女工的概率； （2）记表示抽取的3名工人中男工的人数，求“”的概率． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 20. 为了鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.小华按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能材料.已知这种节能材料的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月销量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：. （1）当销售单价定为多少时，小华每月获得的利润最大？并求出最大利润； （2）若物价部门规定，这种节能材料的销售单价不得高于元.如果小华想要每月获得的利润不低于元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 21. 已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若数列满足，求数列的前项和． 22. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 23. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交椭圆于，两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市职业学校2025-2026学年第一学期期末考试 高三数学试卷 注意事项：1．本试卷考试时间120分钟，满分150分； 2．请在答题纸上指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可解答. 【详解】已知集合，， 由，则可得， 故选：A. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法法则运算，并由复数的虚部的定义即可解答. 【详解】已知， 则 ， 所以的虚部为， 故选：C. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 0 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算与向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 则， 由，得， 解得， 故选：D. 4. 已知函数，则“”是“在内单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的基本性质，结合对称轴，即可求解. 【详解】函数，对称轴：， 故在对称轴左侧是单调递减的，即， 故时，在内单调递减，充分性成立， 但在内单调递减，可得，充分性不成立， 故“”是“在内单调递减”充分不必要条件. 故选：A. 5. 在的展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质结合组合数的性质求出的值，最后由组合数的运算方法求值即可. 【详解】在展开式中， 第4项的二项式系数为， 第7项的二项式系数为， 则，所以， 则， 故选：B. 6. 若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】，是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 若，，则的位置关系可能是平行或异面，故错误； 若，，则，故错误； 若，，则，故正确； 若，，则的位置关系可能是平行，相交，故错误， 故选：. 7. 已知函数的图像上相邻两个对称中心的距离为，则其图像的一条对称轴的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相邻两个对称中心的距离求出函数的周期，进而得到的值，再根据正弦函数的对称轴方程求出函数的对称轴. 【详解】已知函数的图像上相邻两个对称中心的距离为， 所以（为函数的周期），则，即，解得， 所以. 令，解得， 即对称轴方程为：， 令，得，故A不符合； 当时，，故B符合； 令，得，故C不符合； 令，得，故D不符合， 故选：B. 8. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数和周期函数的性质得出，再将代入解析式求值即可. 【详解】是定义在上且周期为2的偶函数， 则， 因为当时，， 所以， 所以， 故选：C. 9. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到渐近线方程，由圆方程得到圆心和半径，再根据圆心到渐近线的距离等于圆的半径，得到的关系，即可求解． 【详解】因为双曲线， 则渐近线方程，即， 由圆可得， 圆心为，半径为， 因为两条渐近线均与圆相切， 则， 即，则，即 ， 因为，所以离心率为， 故选：C. 10. 若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的最小值，再根据不等式有解的条件确定实数的取值范围. 【详解】已知正实数，满足，则， 则， 因为，是正实数，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 因为不等式有解， 所以要大于的最小值，即：， 整理得，即，解得或， 综上，实数取值范围是. 故选：A. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11 已知数列满足，，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据数列的递推公式逐步计算出的值. 【详解】已知数列的递推公式为，且， 当时，可得， 当时，可得， 当时，可得， 故答案为：7. 12. 经过抛物线的焦点且与直线垂直的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定抛物线焦点，再设与直线垂直的直线方程为，并将焦点代入求出的值即可. 【详解】已知抛物线， 其中， 所以焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为， 故答案为：. 13. 已知角的终边经过点，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意求出，根据诱导公式及二倍角公式将所求式子进行化简求值即可得解. 【详解】角的终边经过点，则， 原式， 故答案为：. 14. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的底面周长，结合圆心角公式求出母线长，利用圆锥的性质求出高，代入圆锥的体积公式即可得解. 【详解】圆锥的底面半径为，其侧面展开图的圆心角为， 则底面周长为， 设圆锥的母线长为， 则，解得， 所以圆锥的高为， 则体积为， 故答案为：. 15. 设函数，若存在不相等的实数，，，使得，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分析该分段函数的图象，再将题意转化为函数图象与至少有个不同的交点即可解答. 【详解】如图所示，函数， 当时，， 该图象为开口向上的抛物线，对称轴为，顶点为， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 所以当时，的值域为， 当时，，单调递减， 所以的值域为， 若存在不相等的实数，，，使得， 则满足函数图象与至少有个不同的交点， 其中部分最多有交点，部分只有一个交点， 所以要使函数图象与有个不同的交点， 需要直线与抛物线部分重叠，即与有交集， 则，解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知实数满足不等式. （1）求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性列不等式，再由含绝对值不等式的解法求解即可. （2）根据对数函数的单调性列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为在上位增函数， 由，得， ，，， 的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知， 则在上为增函数， 由，得， 其中，解得或， 由，得，解得， 所以该不等式组的解集为或. 所以不等式的解集为. 17. 已知函数的图像恒过定点，且． （1）求点的坐标及实数的值； （2）若函数是定义在的奇函数，点在的图像上，且当时，． ①求当时，函数的解析式； ②求的值． 【答案】（1）， （2）①当时，；② 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质求解定点的坐标，由列方程求解； （2）①根据奇函数的性质求解； ②根据函数解析式，代入求值即可. 【小问1详解】 在中，令，，， 函数的图像恒过定点， ，， ，． 【小问2详解】 ①由（1）知， 函数是定义在的奇函数，点在的图像上， 所以也在的图像上，则， ，即． ，． ② ． 18. 某车间甲组有6名工人，其中2名女工，乙组有5名工人，其中3名女工．现从甲组中抽取2名工人，乙组中抽取1名工人进行技术考核． （1）求抽取的工人中都是女工的概率； （2）记表示抽取的3名工人中男工的人数，求“”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出抽取的工人中都是女工的情况，再根据古典概率公式求解即可. （2）根据题意分析包含，再根据古典概率的计算，即可求解； 【小问1详解】 从甲组中抽2名工人有种，从乙组中抽1名工人有种， 所以抽取的工人中都是女工有种， 抽取的工人都是女工的概率为：； 【小问2详解】 由条件知：“”包括，两种情况， 因为，， ． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）22 【解析】 【分析】（1）首先由同角三角函数平方关系求出的值，再由正弦定理求值即可. （2）首先由余弦定理求出的值，再由三角形面积公式求值即可. 【小问1详解】 ，， ， 由正弦定理知 ． 【小问2详解】 ，， 消去得， 即， ，（舍） ． 20. 为了鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.小华按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能材料.已知这种节能材料的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月销量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：. （1）当销售单价定为多少时，小华每月获得的利润最大？并求出最大利润； （2）若物价部门规定，这种节能材料的销售单价不得高于元.如果小华想要每月获得的利润不低于元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【答案】（1）当售价定为元时，元 （2）元 【解析】 【分析】（1）根据利润=每月销量每件利润列式建立函数模型，再由二次函数的最值公式求值即可. （2）由题意列不等式求解，再由一次函数的单调性确定最值即可. 【小问1详解】 已知出厂价为每件元，成本价为每件元， 则每件利润为，每月销量， 设每月的利润为元， 则， 这是一个开口向下的二次函数，其中顶点横坐标为， 纵坐标为， 所以当时，元. 【小问2详解】 由条件令，则， 整理得，解得， ，， 已知出厂价为每件元，成本价为每件元，每件差价为元， 所以政府承担的总差价为为减函数， 则当时，最小，所以. 即政府为他承担的总差价最少为元. 21. 已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式结合等差数列的前项和公式列方程求解即可. （2）根据等比数列的定义证明，再由等比数列的通项公式求值即可. （3）运用分组求和法和裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 为等差数列，设公差为， ，， ，， ． 【小问2详解】 ，， ， （常数）， 数列为等比数列，公比，首项， ，． 【小问3详解】 由（1）（2）知， 22. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直、面面垂直的性质，可得，据此利用线面垂直的判定可得证； （2）过作于，过作于，连结，由线面垂直的判定和性质，可得，即为侧面与面的平面角，在中可求解. 【小问1详解】 是正方形，； 平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，； 为的中点，为正三角形， ，且，、平面， 平面. 【小问2详解】 过作于，过作于，连结， 为正三角形，为的中点，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面，， 又，，面，面， 平面，，， 为侧面与面的平面角， 由条件知，中，，， ，， ， 即侧面与平面的二面角的余弦值为. 23. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交椭圆于，两点，试判断是否存在实数，使以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和短轴公式结合的关系求解的值. （2）联立直线与椭圆方程组，设，，并由韦达定理得，，再由列方程求解即可. 【小问1详解】 已知椭圆， ，，， 即，，得， ，，， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 设，， 联立，消去得，， 则，， ，， 以为直径的圆过点，， ， ， ， 代入得：， 即， 整理得，解得， 综上可知，存在，使得以为直径的圆过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $