5.5 数学归纳法-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[12] 第五章 数列 5.5 [数学归纳法] b组·素养自测 5.(2025·北师大附中高二期末)用数学归纳法 一、选择题 1.已知fn)=1+1」 证明1+2+3+…+=””，nN,则 1 n2+1n+2+“+n,则d 当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左 An)中共有n项，当n=2时f(2)=)+ 2+ 边加上 () A.k3+1 B.f(n)中共有(n+1)项，当n=2时，f(2)= 3+5+ B.(k2+1)+(k3+2)+…+(k+1)3 C.(k+1)3 C.f(n)中共有(n2-n)项，当n=2时，f(2)= 11 D.(k+1)+(k+1)3 2+3 2 0)中共有公--1)项当n=2时2)6设5中++2+中++品则8 。1 1 111 =2+3+4 2.用数学归纳法证明“2”>2n+1,对于n≥no的 1 正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值 A.S+2(k+1) no应取 ( ,; 1 A.2 B.3 B.S+2k+1+2(k+1) C.5 D.6 1 1 C.S+2k+12(k+1) 3.我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数 1 1 n的命题时，在由“n=k时论断成立→n=k+1 D.S+2(k+1)2k+1 时论断也成立”的过程中 二、填空题 A.必须运用假设 7.(2025·无锡期末)一个与自然数有关的命题， B.可以部分地运用假设 若n=k(k∈N)时命题成立可以推出n=k+1 C.可不用假设 时命题也成立.现已知n=l0时该命题不成立， D.应视情况灵活处理，A,B,C均可 那么下列结论正确的是： (填上所有正 4.(2025·上海高二检测)如果命题P(n)对n= k成立，那么它对n=k+2也成立，又若P(n) 确命题的序号) 对n=2成立，则下列结论正确的是( ①n=11时，该命题一定不成立； A.P(n)对所有自然数n成立 ②n=11时，该命题一定成立； B.P(n)对所有正偶数n成立 ③n=1时，该命题一定不成立； C.P(n)对所有正奇数n成立 ④至少存在一个自然数，使n=no时，该命题 D.P(n)对所有大于1的自然数n成立 成立. 135 8.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k:10.在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn, 1 时成立推导n=k+1时成立时，f(n)=1+ an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列 2 (nEN"). 1 +1,增加的项数是 3+… +2”-1 求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn} 三、解答题 的通项公式，并证明你的结论 9.求证：(n+1)(n+2)…(n+n)=2”·1·3· 5·…·(2n-1)(n∈N*). ?组·素养提升 一、选择题 1,用数学归纳法证明不等式1+了+子+…+ 1、127 2>64 成立时，起始值n至少应取为 () A.7 B.8 C.9 D.10 2.(多选题)用数学归纳法证明命题1+2+3+ …+=(n+1山时，下列说法错误的是 () A.当n=1时，命题的左边为1+1 B.当n=k+1时，命题的左边为1+2+3+… +k+(k+1)2 136 C.当n=k+1时，命题左端在n=k的基础上：三、解答题 增加的部分有(k+1)2-(k2+1)项 2a.(nEN'). D.当n=k+1时，命题左端在n=k的基础上 7.在数列{an}中，a1=1,a+1=2+a 增加的部分是(k2+1)+（k2+2)+…+（k (1)分别求出a2,a3,a4,并根据上述结果猜想 +1)2 这个数列的通项公式； (2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想. 3用数学归纳法证明1-)+写-4+ 34+…+ 21a-+a42*…+haeN) 1 则从k到k+1时左边添加的项是（) 1 1 1 A.2k+1 B.2k+22k+4 1 1 1 C.-2k+2 D.2k+12k+2 4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满 足：“当fk)≥2成立时，总可推出f(k+1)≥ (k+1)2成立”.那么，下列命题总成立的是 ( A.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥ 2成立 8.用数学归纳法证明对一切n∈N,1++日 22+32 B.若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有 1.3n 十…十 f代k)≥k成立 产2n+ C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有 f(k)>成立 D.若f(4)=25成立，则当k≥4时，均有 f(k)≥2成立 二、填空题 5.平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任 何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成 f(k)个区域，则k+1条直线把平面分成的区 域数f八k+1)=f(k)+ 6.用数学归纳法证明1+3·(1+司）， 1+引-1+21小>2(>1，则当 n=k+1时，在n=k时的左端应乘上 ,这个乘上去的代数式共有因式的个 数是 —1374.A根据弧长公式，知螺旋线CA1,A1A2,A2A3,…,A3m-2A3m-1, A4的长度分别为写，2x,3×号…，3n×号，此数列 是为首项，否为公差，项数为3加的等差数列，根据等差数 列的求和公式，得S=3n×2红+3n(3n-山×2年=n(3n+1) 3 2 T,此时n=10,易得螺旋线CA1,A1A2,A2A3,…,A8A9,A2gA0 的总长度S,为310π. 5.①③④对于①，{an},bn}均为等差数列，M={klak=bk}, {a.},{bn}不为常数列且各项均不相同， 故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公 共点， 所以M中至多有一个元素，故①正确： 对于②，令a,=2”-1,bn=-（-2)-1,满足an},b.}均为等 比数列， 但当n为偶数时，a.=2"-1=bn=-（-2)-1,此时M中有无 穷多个元素，故②错误： 对于③，设b=Ag"(Ag≠0，g≠±1)，am=kn+b(k≠0)， 若M中至少有四个元素，则关于n的方程Ag”=m+b至少有 4个不同的正数解， 若q<0,q≠±1，考虑关于n的方程Ag”=m+b奇数解的个数 和偶数解的个数， 当Ag=kn+b有偶数解，此方程即为AIq”=kn+b, 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln Igl>0, 否则AkInIgl<0,因为y=AIql",y=m+b单调性相反， 方程AIgI"=n+b至多有一个偶数解， 当Ag“=kn+b有奇数解，此方程即为-A1q”=km+b, 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时 -Akln Igl >0,Akln Igl <0, 否则Akln Igl>0. 因为y=-AIg“,y=m+b单调性相反， 方程AIgI”=n+b至多有一个奇数解， 因为Akln Iql>0,Akln Ig<0不可能同时成立， 若q>0,9≠1， 则由y=Ag”和y=m+b的散点图可得关于n的方程Ag"= kn+b至多有两个不同的解，矛盾； 故Ag”=kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确； 对于④，因为a,}为递增数列，{b,}为递减数列，M=Ia= b},an},{bn}不为常数列且各项均不相同， 前者的散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势 两者至多有一个交点，故④正确： 故答案为①③④. 6.(1)按方案一闯过各关所得积分构成常数数列，A.=40n; 按方案二闯过各关所得积分构成首项为5，公差为5的等差数 列， 故B,=5n+nn,-1x5=5m2+5n 2 按方案三闯过各关所得积分构成首项为弓，公比为2的等比 2 数列，故Cn= 1-2到 1-2=(2"-1) (2)令A,>B.,即40n>5m+5n,解得0<n<15, 2 而当n=15时，An=B,, 又因为n≤15且neN,,故An≥Bn恒成立， 故方案二不予考虑 令4>C.,即40n>2(2-1).解得0<n<10 故当0<n<10时，An>Cm;当10≤n≤15，An<Cm, 故当能闯过的关数小于10时，应选择方案一； 当能闯过的关数大于等于10时，应选择方案三 小明应该选择方案三 练案[12] A组·素养自测 1.D由f(n)可知，f(n)中共有(n2-n-1)项，且n=2时，f代2) =方++放选D 1 2.B.n=1时，2=2,2×1+1=3,2">2n+1不成立； n=2时，22=4,2×2+1=5,2">2n+1不成立； n=3时，23=8,2×3+1=7,2">2n+1成立，.n的第一个取 值no=3. 3.A由“n=k时论断成立→n=k+1时论断也成立”的过程中 必须运用假设. 4.B因为命题P(n)对n=k成立，且它对n=k+2也成立，所 以若P(n)对n=2成立，则P(n)对所有正偶数n成立.故 选B. 5.B当n=k时，等式左边=1+2+3+…+k; 当n=k+1时，等式左边=1+2+3+…+k3+(k3+1)+ (k2+2)+(k3+3)+…+(k+1)3, 所以增加的项为(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(k+ 1)3. 故选B. 6.C由题意将k替换为k+1,据此可得 1 1 1=+1）+1+(k+1）+2+(k+1）+3+…+2k+） 1 1 1 =+2+k+3+k+4+…+2(k+1) 111 .11 +2+k+3+k+4+…+2+2k++2k+1 1,1 1 1 =+++2++3++4*…+2水+2h++2k+n+ 11,1 1 =++k+2+k+3+k+4+…+2k+2k+12(k+1) 1 1 =S+2k+12(k+1)° 故选C. 7.③由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n=10 时该命题不成立， 可得P(n)对n=9不成立， 同理可推得P(n)对n=2,n=1也不成立.由题意，n=11时命 题成立与否不确定.所以③正确， 故答案为③ 8.2当n=k时成立， 11 即)=1+2+3…+2- 1 厕n=k+1成立时，有fk+1)=1+2+3+…+2 2+…+25+2-1 所以增加的项数是(2*+2*-1)-(2-1)=2 9.(1)当n=1时，等式左边=2，右边=2，故等式成立. (2)假设当n=k(k∈N,k≥1)时等式成立， 即(k+1)(k+2)…(k+k) =2·1·3·5·…·(2k-1), 那么当n=k+1时， 左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2) =2·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1)·2 =21·1·3·5·…·(2k-1)(2k+1) =2*+1.1·3·5·…·[2(k+1)-1] 这就是说当n=k+I时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立 10.由已知得2bn=an+am+1,a+l=bnbn+1,a1=2,b1=4, 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20, b4=25 猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，可得结论成立. ②假设当n=k(k≥1，keN*)时，结论成立， 即a=k(k+1),b=(k+1)2, 那么当n=k+1时， a+1=2bk-a:=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2), -4=k+1)2(k+2=（k+2)2 (k+1)2 .当n=k+1时，结论也成立. 由①②可知，a.=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数n都 成立 B组·素养提升 1 1 1 27-1 1.B1+2+4++2= 1- 26 2 127 64, 面1+宁+好+…+点>器放应选以 11 2.ABC用数学归纳法证明命题1+2+3+…+n2= 2(n2+1D时， 当n=1时，命题的左边为1，所以A不正确； n=k时，左侧=1+2+3+…+2，当n=k+1时，命题左端在 2 n=k的基础上增加的部分是(k+1)+(k+2)+…+(k+ 1)之.所以选项D正确，C不正确，选项B不正确； 故选ABC. 3D当a=时等式的左边为1-宁+兮子++女 1 1 2k’ 当n=k+1时，等式的左边为1-2+了-4+…+2k- 1.11 2k+2k+12k+21 故从“n=k到n=k+1”,左边所要添加的项是2k+2k+2 4.D对于Af(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥ 2成立，故A错误 对于B,要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误 对于C,没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误。 对于D,f(4)=25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故 选D. 5.k+1当n=k+1时，第k+1条直线被前k条直线分成(k+1) 段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k+1个区域 6(1*4i0+*241+2 ）2-1因为分母的 公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+2十)小最后一个 +2）,根据等差数列通项公式可求得共有 (2+1-1)-(2+1+1=2-2-1=2-项. _24.-(nEN"). 7.(1)在数列a}中，4=l,a+1=2+a. 2a1=2×1=2. 当n=1时，a=2+a=2+i=3 2 2× 当n=2时，a-2+a,2+分 22二 当n=3时，a,-2+a,2+2 2 12 2 所以4，=3a=2=4a=5 猜测a,=2 Γn+1 2 (2)证明：①当n=1时，a=11+1, 所以a1=1,所以n=1时，等式成立： ②假设当n=k时，等式成立，即ak=k+i, 2 2 2× 0a44-62 2 则as1二2+ak2+k+1 所以n=k+1时，等式成立. 3 综合①和②可知，对于任意的neN”,4=n子均成立 3×1 8(1)当n=1时，左边=1，右边=2+1，不等式成立， (2)假设当n=k时，不等式成立， 即1+1+1 、3k 2京+3京++≥2+ 则当n=k+1时， 11 1 1 3(k+1) 要证1+2京+京+…+衣+(k+1)产2k+1)+1 只需证，3水 (k+1) 2k+1+(k+1)≥ 2k+3 因为3(k+1)-「36 11 2k+3-2k+1+(k+1) 3 1 4(k+1)2-1(k+1) 1-(k+1)2 (k+1)2[4(k+1)2-1] -k(k+2) (k+1)2(4+3+3)≤0， 所以+中产 1 、3(k+1) 2k+3 即1+宁+好++定+产 1 1 3(k+1) 所以当n=k+1时不等式成立 由(I)(2)知，不等式对一切neN都成立. 练案[13] A组·素养自测 1.C由平均变化率的概念知C正确，故选C. 2.D△y=fxo+k△x)-f(xo),故选D. 3D由题意，可得平均变化率为+△)- △x 2(+△)-20=2，放选D. △x 4B4-3）-1山-③+2c),+2@=4. △x 3-1 2 5.A由题意结合函数的解析式可得， k+△》-】.（+)°-6=2+4. △x △x ,=f）=f八o-4如-号-(0-Ax △x △x -=2x0-△x, 则k1-k2=2△x,容易判断△x大于零，所以k>k2 6.C根据平均变化率的定义，可知Af=(2a+b)-(a+b)三 △x 2-1 a=3. 7.0f1+△x)-f1) Ax -1+Ax)2-2(1+A)+1-4x2 △x 4x=4x 当△x趋近于0时，im△x=0. 8.20+5△t20由题物体在t=2到t=2+△t这一段时间内的 平均速度为0=5(2+△)-5×2=20+5At,则当4￥趋近于 At —20 0时趋近于20.即t=2时的瞬时速度为20. 9山路从4到台病度的平均变化率为如=盆出-88-行，山 _△y20-101 路从B到C高度的平均变化率为k==0-50=2' ∴.kc>kAB,∴.山路从B到C比从A到B陡峭 10.因为函数y=f(x)在[2,2+△x]上的平均变化率为A义 △x =2+A)-2) △x =-(2+△x)2+(2+△x)-(-4+2) △x =-4Ax+Ar-(△)2=-3-4x, Ax 所以由-3-△x≤-1，得△x≥-2. 又因为△x>0,所以△x>0, 即△x的取值范围是(0，+∞) B组·素养提升 1.C Ay=f1+A)=f1=2(1+A)P-4+2= △x △x △x 2(△x)2+4△x=2Ax+4. △x 2.A函数)=在区间0，小上的平均变化率m8=与 函数()=f在区间0，山上的平均变化率m0=1: 13-03 函数h(x)=2在区间[0,1止的平均变化率m=1-0=1, ∴.m1=m2=m3: 3.[x3,x4]根据平均变化率的定义，记函数y=f(x)在区间 [1,2],[2,x3],[3,x4]上的平均变化率分别为k,k2,k, 则k=) 2,=）-6）,k-）-) 3X2-x1 x3-x2 X4-x3 结合题中图像可以发现k3>k>0>k2,故函数y=f(x)的平 均变化率最大的一个区间是[x,x4] 4.(1)8由题意知，△t=3s,△h=h(3)-h(0)=24(m),即前3s 内球的套直方向的平均速度为尝-学=-8(m》 (2)12由题意知，△t=3-2=1(s),△h=h(3)-h(2)= 12(m),即这段时间内球的垂直方向的平均速度为= △t 12(m/s). 5.(1)当x从1变为4时，在函数y=fx)中，△x=4-1=3,△y= 九4-1》=2-2=4，则版数的平为空化率=兰 在函数y=g(x)中，△x=4-1=3,△y=g(4)-g(1)=1og24- 1og1=2-0=2,则函数g(x)的平均变化率Ay=2 △x3 14、2 (2)因为3>3所以当x从1变为4时，函数()的函 数值比函数g(x)的函数值变化得快 6.当d>0时，x+d>xo,则f(xo+d)>f(x), 即6+d0-f)>0,所以+）-）>0. d