专题三：曲线运动 导学案 -2026届高考物理二轮复习

二轮复习 专题三：曲线运动（原卷版） 01 考情分析 2 02知识构架 3 03题型突破 4 一、运动的合成与分解 4 考向一：曲线运动的轨迹判断 5 考向二：运动的合成与分解 7 考向三：小船过河 8 考向四：关联速度 9 1.绳关联：两物体沿绳的分速度大小相同 12 2.杆关联：两物体沿杆的分速度大小相同 12 3.面关联：两物体垂直于接触面的分速度大小相同 12 二、平抛运动 13 考向一：平抛运动的规律和应用 16 考向二：平抛运动和斜面 17 考向三：平抛运动和曲面 18 考向四：平抛运动的临界和极值问题 20 考向五：类平抛运动 21 三、斜抛运动 24 考向一：斜抛运动 25 考向二：一般抛体运动 27 04 自我提升 29 01 考情分析 往年命题规律 从近3年以来的高考命题来分析，平抛运动属于高频考点，常以选择题、实验题和简答题的形式考查，较大概率出现在简单题中或者作为多过程运动的一部分进行命题，出题方式会以生活情景相结合，例如投篮球、喷水、飞车等场景 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 运动的合成与分解 湖南·高考真题 黑吉辽蒙·高考真题 全国乙卷·高考真题 平抛运动 江西·高考真题 浙江·高考真题 北京·高考真题 湖南·高考真题 河北·高考真题 安徽·高考真题 山东·高考真题 浙江·高考真题 海南·高考真题 海南·高考真题 安徽·高考真题 广西·高考真题 湖北·高考真题 新疆河南·高考真题 辽宁·高考真题 浙江·高考真题 广东·高考真题 浙江·高考真题 湖北·高考真题 新课标·高考真题 全国甲卷·高考真题 斜抛运动 湖南·高考真题 云南·高考真题 黑吉辽蒙·高考真题 江西·高考真题 山东·高考真题 福建·高考真题 山东·高考真题 辽宁·高考真题 江苏·高考真题 湖南·高考真题 浙江·高考真题 2026年向预测 2026年高考平抛运动为高频考点，命题大概率以平抛运动为主要命题方向，也会以斜抛运动进行命题，会结合生活情景，例如投篮，足球，天工开物中的情景，会更加注重学生对于情景的解读，从中提取出平抛运动的运动特点，利用化曲为直的思路，再结合知识进行考查。 素养目标 1.掌握运动的合成与分解的基本思路 2.掌握平抛运动的基本规律，熟练使用运动的合成与分解分析平抛运动的特点，结合斜面，曲面，临界等问题进行求解 3.掌握化曲为直的解题思路，可以分析斜抛运动等一般的抛体运动。 核心能力 掌握运动的合成与分解、化曲为直的思路、图像法、临界发等解题方法 02知识构架 03题型突破 一、运动的合成与分解 【知识储备】 （一）曲线运动 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动． 3．做曲线运动的条件： (1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上． (2)动力学角度：物体所受的合外力方向跟速度方向不在同一条直线上。 （二）运动的合成与分解 1．基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动． (2)运动的分解：已知合运动求分运动． 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 3．运动分解的原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法． 4．合运动与分运动的关系 等时性 合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止 独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和轨迹 等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果 （三）关联速度 1．模型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上． 2．明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 3．解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 【必备能力】 （一）曲线运动的轨迹判断 1．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动． (2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动． 2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间． （二）关联速度求解 1.寻找合运动：眼睛看到的实际运动。 2.关联速度：绳关联，杆关联，面关联。 3.分解合速度：沿着关联速度方向和垂直于关联速度方向。 4.列关联速度和合速度之间的等式。 【考向预测】 考向一：曲线运动的轨迹判断 （2026·陕西渭南·一模）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由向行驶，动能一直增加。下列四幅图表示汽车在轨道上相应位置处所受的合力，可能正确的是（　　）例1 A． B． C． D． （2025·河南新乡·模拟预测）近年来，我国在高超音速滑翔飞行器（HypersonisGlide Vehicle，HGV）技术领域取得突破性进展。某型HGV采用“助推-滑翔”弹道技术，由运载火箭发射至大气层边缘后，用类似打水漂的方式以超过5马赫的速度进行无动力滑翔飞行，具有射程远、突防能力强、轨迹多变等特点，可应用于航天返回、快速全球打击等任务，展现了我国在先进飞行器领域的科技实力，其弹道轨迹如图所示。下列说法错误的是（    ）变1-1 A．导弹在a点速度方向指向轨迹切线方向 B．导弹在a点所受合力的方向指向地球 C．导弹在b点所受合力的方向沿轨迹切线方向 D．导弹在b点附近一小段轨迹可视为匀变速曲线运动 （25-26高三上·河南焦作·期中）一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　）变1-2 A． B． C． D． 考向二：运动的合成与分解 （2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示，甲、乙两图分别是某一物体在相互垂直的x方向和y方向运动的图像。物体先在0~1s内、后在1s ~2s内的运动情况，以下判断正确的是（　　）例2 A．物体先做匀变速直线运动；后以大小为的加速度做匀变速直线运动 B．物体先做匀变速直线运动；后以大小为的加速度做匀变速曲线运动 C．物体先做匀变速曲线运动；后以大小为的加速度做匀变速直线运动 D．物体先做匀变速曲线运动；后以大小为的加速度做匀变速曲线运动 （2025·河南·一模）“牡丹文化节”距今已有1600多年历史，2025年4月1日第42届“牡丹文化节”开幕，电视台摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器采集某台无人机飞行过程中的数据，得到了水平方向的速度及竖直方向的加速度与飞行时间的关系图像，如图甲、乙所示。取水平向前和竖直向上为正方向，竖直方向初速度为零，则下列说法正确的是（    ）变2-1 A．内，无人机做匀变速曲线运动 B．时，无人机速度为 C．时，无人机运动到最高点 D．时，无人机竖直方向的速度为 总结提升 1．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线． 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 考向三：小船过河 （2025·内蒙古乌兰察布·模拟预测）如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　）例3 A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m （2025·湖北·模拟预测）如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ）变3-1 A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 总结提升 渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，xmin＝＝ 考向四：关联速度 （绳关联）（25-26高三上·河南·期中）如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角，经时间绳与水平方向的夹角为，已知滑轮与小船上沿的高度差为，不计定滑轮大小，，。则下列说法正确的是（　　）例4 A．小船做匀速运动 B． C．时小船的速度大小为 D．时小船的速度大小为 （2025·湖南湘西·一模）如图所示，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以恒定的速率v相向运动，当细绳与竖直方向成角时，塔块的速度大小为（　　）变4-1 A． B． C． D． （2026·江苏·一模）如图所示，竖直面内一定滑轮固定在A点，轻绳绕过定滑轮后右端固定于B点，轻绳左端连接质量为M的物体甲，把一个质量为m的物体乙系在轻绳的结点C上，用手托至BC段轻绳水平静止。现放手使乙运动，运动过程中BC与水平方向的夹角用α表示。已知乙到达最低点时两段轻绳的夹角为90°且（如虚线所示），滑轮视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　）变4-2 A．物体乙向下运动的过程中，物体甲先失重后超重 B．物体乙向下运动的过程中，甲和乙的速度关系为 C．物体乙到达最低点时BC段轻绳拉力为 D．物体乙到达最低点时AC段轻绳的拉力为 （杆关联）（2026·福建·一模）如图所示，光滑小球a、b的质量均为m，a、b均可视为质点，用长为l的刚性轻杆连接，竖直地紧靠光滑墙壁放置，b位于光滑水平地面上，a、b处于静止状态，重力加速度大小为g。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，某时刻轻杆与竖直墙壁夹角为60°，则此时小球a、b的速度大小关系为 ，此过程中轻杆对小球b做的功为 。例5 （2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，四根长度均为L=1m的细杆用铰链连成一个四边形，O点通过铰链固定在墙上。现将B点推至与O点重合，使四根细杆都紧贴墙壁。现拉着B点沿垂直于墙壁的方向做速度为v=2m/s的匀速直线运动。当发现四根细杆恰好构成一个正方形时，图中杆的角速度是（　　）变5-1 A．1rad/s B． C．2rad/s D． （面关联）（2025·山东·模拟预测）如图甲、乙所示，两个相同的物块P、Q均置于光滑水平地面上，细杆分别绕以相同的角速度沿顺时针方向转动。A、B分别为细杆与物块的接触点，某时刻两细杆与水平地面之间的夹角均为，此时的长度分别为。关于该时刻，下列说法正确的是（　　） 例5 A．P的速度大小为 B．Q的速度大小为 C．P、Q的速度大小相等 D．P、Q的速度大小之比为 （2026·云南大理·二模）如图是一个楔形结构的示意图，质量分别为，的两个楔形块、叠放在一起，斜面与水平底面间夹角为。两个光滑竖直面将楔形块夹在竖直方向，两个水平面将楔形块夹在水平方向。不施加外力时，恰好能静止在地面上；当在上施加水平外力时，只能竖直上下移动，只能水平左右移动，不计A、B间的摩擦力，和地面间的动摩擦因数，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　）变6-1 A．不施加时，只减小的质量，、仍能静止 B．不施加时，只增大的质量，、仍能静止 C． D．施加后，的速度与的速度满足 总结提升 1.绳关联：两物体沿绳的分速度大小相同 2.杆关联：两物体沿杆的分速度大小相同 3.面关联：两物体垂直于接触面的分速度大小相同 【直击真题】 1.（2023·全国乙卷·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2.（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3.（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 二、平抛运动 【知识梳理】 （一）平抛运动基本规律 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． （二）平抛运动的推论 1.做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α.(如图所示) 推导： →tan θ＝2tan α 2.做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导：→xB＝ （三）平抛运动与斜面或曲面相结合 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，即已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【必备能力】 （一）化曲为直的解题思路 在解决抛体运动中常应用运动和合成与分解，将一个曲线运动分解为两个直线运动进行求解。 （二）平抛运动的临界和极值判断 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 【考向预测】 考向一：平抛运动的规律和应用 （2026·云南·模拟预测）体育课上，小华将质量m = 2kg的实心球（可视为质点）从离水平地面高h = 1.5m处水平抛出，落地点距抛出点的水平距离x = 9m。忽略空气阻力，g取10m/s2，则球落地瞬间（   ）例7 A．速度大小为 B．重力的功率为 C．动量大小为 D．速度方向与初速度方向夹角的正切值为3 （2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　）变7-1 A． B． C． D． （22-23高三下·广东潮州·月考）如图，长方体中，，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同方向水平抛出，落点都在范围内（包括边界）。不计空气阻力，则小球（　　）变7-2 A．抛出速度最大时落在点 B．抛出速度最小时落在点 C．落在中点的速度与落在点的速度相等 D．从抛出到落在线段上任何一点所需的时间都相等 考向二：平抛运动和斜面 （2026·贵州毕节·一模）如图，从固定斜面顶端连续水平向左抛出两个小球A和B，分别落回斜面，该过程B的位移为A的两倍。设A和B抛出时的初速度分别为和，在空中运动的时间分别为和，若不计空气阻力，则（　　）例8 A． B． C． D． （2025·河北保定·一模）2025年2月，第九届亚冬会在哈尔滨成功举办。中国体育代表团夺得32金27银26铜共85枚奖牌，位列金牌榜、奖牌榜第一。某次高山滑雪项目中，运动员比赛中的场景简化示意图如图所示，一质量为m的运动员（看成质点）从斜坡顶端a点以水平向左的速度起跳，运动一段距离后，落在斜坡上的b点。已知斜坡与水平面的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）变8-1 A．运动员在空中飞行的时间 B．斜坡上a、b之间的距离 C．运动员落在b点时重力的瞬时功率 D．运动员在空中离坡面的最大距离 （2026·重庆·模拟预测）如图所示，是光滑固定的竖直墙壁，是一与竖直方向成角的固定斜面。将一可视为质点的小球从点以速度水平向右抛出，小球与墙壁发生一次弹性碰撞后，刚好垂直落在斜面上点。小球与墙壁碰撞前后，竖直方向的速度不变，水平方向的速度大小不变、方向反向，碰撞时间和空气阻力不计。已知重力加速度为，则从抛出到第一次到达斜面过程中，小球在空中运动的时间为（　　）变8-2 A． B． C． D． 总结提升 1.若小球A以v0的初速度水平抛出，小球B以kv0的初速度水平抛出，落在斜面上的时候 vA：vB=1：k（分速度之比具有相同规律） tA：tB=1：k xA：xB=1：k2（水平位移之比和竖直位移之比具有相同的规律） 考向三：平抛运动和曲面 （2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　）例9 A． B． C． D． （2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　）变9-1 A．点 B．点 C．点 D．点 （多选）（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　）变9-2 A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 考向四：平抛运动的临界和极值问题 （2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）例10 A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 （多选）（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（   ）变10-1 A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为 D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为 考向五：类平抛运动 （多选）（2024·贵州·模拟预测）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　）例11 A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【直击真题】 1.（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 2.（2024·浙江·高考真题）如图为水流导光实验，出水口受激光照射，下面桶中的水被照亮，则（　　） A．激光在水和空气中速度相同 B．激光在水流中有全反射现象 C．水在空中做匀速率曲线运动 D．水在水平方向做匀加速运动 3.（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 4.（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 5.（多选）（2024·安徽·高考真题）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 6.（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 三、斜抛运动 【知识梳理】 （一）斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 【必备能力】 （一）斜抛运动极值问题 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． （二）逆向思维处理斜抛运动 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 【考向预测】 考向一：斜抛运动 （2025·河北·模拟预测）如图所示，某同学在进行投篮练习，A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为抛出点，B为运动轨迹的最高点，C为篮球落入篮筐的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角。不计空气阻力，则AB与BC的竖直高度之比为（　　）例12 A． B． C． D． （2025·新疆·二模）如图所示，涨水期某河段上、下游水面高度差为0.4m，静止的小鱼突然从下游水面跃出，越过坡面AB恰好无碰撞地落在上游水面上。已知上、下游水面连接的坡面倾角θ为53°，小鱼初速度方向与坡面平行，小鱼质量为500g，可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取，，。下列说法正确的是（　　）变12-1 A．小鱼跃出水面时的速度大小为3.5m/s B．小鱼落回上游水面时的速度大小为2.8m/s C．小鱼出水位置距离B点的距离为0.6m D．小鱼在空中运动的时间为 （多选）（2025·四川达州·一模）如图所示，在竖直平面内一发射器（视为质点）在O点先后以大小为、的初速度斜向上发射、两个完全相同的小球（视为质点），两球初速度方向相同，不计空气阻力，斜坡足够长，则下列说法正确的是（   ）变12-2 A．、两小球从抛出到落到斜坡上的时间之比为1:2 B．、两小球从抛出到落到斜坡上的位移之比为1:4 C．、两小球从抛出到落到斜坡上过程离斜面最远距离之比为1:2 D．、两小球落到斜坡上前瞬间速度方向不同 总结提升 1.斜抛运动中的极值 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． 2.逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 考向二：一般抛体运动 （25-26高三上·湖南长沙·月考）“风洞实验”指在风洞中安置飞行器或其他物体模型，研究气体流动及其与模型的相互作用，以了解实际飞行器或其他物体的空气动力学特性的一种空气动力实验。在如图所示的风洞中存在大小恒定的水平风力，现将一小球从M点竖直向上抛出，其运动轨迹如图中的实线所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点的动能为9J，在O点的动能为1J，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　）例13 A．小球受到的重力与受到的风力大小之比为 B．小球落到N点时的动能为13J C．O点到MN的距离与M、N两点间的距离之比为 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为0.9J 【直击真题】 1.（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（    ）    A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于 C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等 2.（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A．B． C． D． 3.（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 04 自我提升 1.（25-26高三上·海南·月考）往复式活塞压缩机是通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体的压缩机，简图如图所示，圆盘与活塞通过铰链、连接在轻杆两端，左侧活塞被轨道固定，只能在方向运动，圆盘绕圆心（定点）做角速度为的匀速圆周运动，已知距离不变，杆长，则（　　） A．杆长越大，活塞运动的范围越大 B．活塞运动范围与杆长L无关 C．当垂直于时，活塞速度为 D．当垂直于时，若与夹角为，则活塞速度为 2.（2025·湖南·一模）一轻质杆AB，初始时紧靠在光滑的竖直墙面上竖直静止放置，杆长为2l，在其中点C处固定一个质量为m的小球，现使A端不脱离墙面，B端沿着光滑地面以速度v向右匀速运动，当杆与地面成角时，则（　　） A．小球的速度大小为 B．小球做匀速圆周运动 C．当时，杆对小球的作用力大小为 D．当时，杆对小球做的功为 3.（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 4.（2025·安徽淮北·一模）跳台滑雪是一项勇敢者的运动。如图所示，斜坡与水平方向的夹角为。现有某运动员从跳台A处以速度沿水平方向飞出，在斜坡C处着陆，从运动员运动轨迹上离斜坡最远处的B点作斜坡的垂线，与斜坡的交点为E点。不计空气阻力，则（　　） A．图中AE段与EC段长度相等 B．运动员在B点时速度大小为 C．运动员从A运动到B的时间小于B运动到C的时间 D．运动员在C点时速度方向与水平方向的夹角为 5.（2025·江西新余·模拟预测）如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 6.（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 7.（2026·安徽合肥·模拟预测）打水漂投掷时石片在距离水面高处以水平速度抛出，若石片与水面碰撞时，水平速度不变，但碰后反弹高度都是前一次，不计空气阻力，重力加速度为，则石片从抛出到第四次触水过程中（　　） A．经历的时间 B．经历的时间 C．经历的水平距离为 D．经历的水平距离为 8.（2025高三·内蒙古·专题练习）如图所示，玩具水枪对着竖直墙壁稳定连续喷水，喷口始终位于点，水流喷出方向始终沿、连线方向。第一次喷水时水流击中墙壁点，第二次喷水时速度变为第一次的一半，水流击中墙壁点。、、、位于同一竖直平面，喷出的水可视为做斜抛运动。下列说法正确的是（　　）    A．图中的距离关系满足 B．水流在、点速度的反向延长线交于中点 C．第二次空中的水量大于第一次空中的水量 D．第二次水枪喷水的功率是第一次的 9.（2024·广西·模拟预测）如图所示，一小球从空中某处以大小为，方向与竖直方向成斜向上抛出，小球受到水平向右、大小为的水平风力，若小球落地时速率为，重力加速度为，则小球在空中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 10.（多选）（2025·湖北·模拟预测）如图所示，在一个倾角为的足够长的固定斜面上，一小球以初速度离开斜面，方向与斜面方向成角斜向上（）。已知重力加速度为，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球经时间，离斜面最远 B．由于小球做曲线运动，则在空中相等的时间内速度变化不相等 C．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 11.（多选）（2025·河南·一模）为了保护人民的生命和财产安全，科学家研究了对导弹或陨石的拦截技术并进行模拟测试。如图所示，假设某陨石从点以速度斜向下飞来，速度方向与水平方向的夹角为；此时在点的正下方处在同一竖直平面内以速度斜向上发射炮弹进行拦截，速度方向与竖直方向的夹角也为，最终拦截成功。已知重力加速度为，、间的高度差为，，不考虑空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A． B． C．炮弹击中陨石时离地面的高度为 D．炮弹击中陨石时离地面的高度为 13.（2025·内蒙古乌兰察布·模拟预测）如图所示，一可视为质点的小物块，从平台左端以初速度滑上平台，小物块从平台右端离开后做平抛运动，小物块击中平台右下侧挡板上的P点时动能为平抛初始动能的17倍。以平台右端为坐标原点O，在竖直面内建立平面直角坐标系，x轴和y轴分别沿水平方向和竖直方向，挡板形状满足方程（单位：m）。已知小物块与平台间的动摩擦因数，重力加速度g取10m/s2。求： (1)P点的坐标； (2)小物块离开平台时的速度大小及小物块沿平台运动的时间。 14.（2026·黑龙江辽宁·一模）滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二轮复习 专题三：曲线运动（解析版） 01 考情分析 2 02知识构架 3 03题型突破 4 一、运动的合成与分解 4 考向一：曲线运动的轨迹判断 5 考向二：运动的合成与分解 7 考向三：小船过河 9 考向四：关联速度 12 二、平抛运动 20 考向一：平抛运动的规律和应用 23 考向二：平抛运动和斜面 25 考向三：平抛运动和曲面 28 考向四：平抛运动的临界和极值问题 31 考向五：类平抛运动 34 三、斜抛运动 40 考向一：斜抛运动 42 考向二：一般抛体运动 46 04 自我提升 52 01 考情分析 往年命题规律 从近3年以来的高考命题来分析，平抛运动属于高频考点，常以选择题、实验题和简答题的形式考查，较大概率出现在简单题中或者作为多过程运动的一部分进行命题，出题方式会以生活情景相结合，例如投篮球、喷水、飞车等场景 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 运动的合成与分解 湖南·高考真题 黑吉辽蒙·高考真题 全国乙卷·高考真题 平抛运动 江西·高考真题 浙江·高考真题 北京·高考真题 湖南·高考真题 河北·高考真题 安徽·高考真题 山东·高考真题 浙江·高考真题 海南·高考真题 海南·高考真题 安徽·高考真题 广西·高考真题 湖北·高考真题 新疆河南·高考真题 辽宁·高考真题 浙江·高考真题 广东·高考真题 浙江·高考真题 湖北·高考真题 新课标·高考真题 全国甲卷·高考真题 斜抛运动 湖南·高考真题 云南·高考真题 黑吉辽蒙·高考真题 江西·高考真题 山东·高考真题 福建·高考真题 山东·高考真题 辽宁·高考真题 江苏·高考真题 湖南·高考真题 浙江·高考真题 2026年向预测 2026年高考平抛运动为高频考点，命题大概率以平抛运动为主要命题方向，也会以斜抛运动进行命题，会结合生活情景，例如投篮，足球，天工开物中的情景，会更加注重学生对于情景的解读，从中提取出平抛运动的运动特点，利用化曲为直的思路，再结合知识进行考查。 素养目标 1.掌握运动的合成与分解的基本思路 2.掌握平抛运动的基本规律，熟练使用运动的合成与分解分析平抛运动的特点，结合斜面，曲面，临界等问题进行求解 3.掌握化曲为直的解题思路，可以分析斜抛运动等一般的抛体运动。 核心能力 掌握运动的合成与分解、化曲为直的思路、图像法、临界发等解题方法 02知识构架 03题型突破 一、运动的合成与分解 【知识储备】 （一）曲线运动 1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． 2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动． a恒定：匀变速曲线运动；a变化：非匀变速曲线运动． 3．做曲线运动的条件： (1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上． (2)动力学角度：物体所受的合外力方向跟速度方向不在同一条直线上。 （二）运动的合成与分解 1．基本概念 (1)运动的合成：已知分运动求合运动． (2)运动的分解：已知合运动求分运动． 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则． 3．运动分解的原则 根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法． 4．合运动与分运动的关系 等时性 合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止 独立性 各分运动相互独立，不受其他运动的影响．各分运动共同决定合运动的性质和轨迹 等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果 （三）关联速度 1．模型特点 与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上． 2．明确合速度与分速度 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线 3．解题原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示． 【必备能力】 （一）曲线运动的轨迹判断 1．运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动． (2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动． 2．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 (1)速度方向与运动轨迹相切； (2)合力方向指向曲线的“凹”侧； (3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间． （二）关联速度求解 1.寻找合运动：眼睛看到的实际运动。 2.关联速度：绳关联，杆关联，面关联。 3.分解合速度：沿着关联速度方向和垂直于关联速度方向。 4.列关联速度和合速度之间的等式。 【考向预测】 考向一：曲线运动的轨迹判断 （2026·陕西渭南·一模）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由向行驶，动能一直增加。下列四幅图表示汽车在轨道上相应位置处所受的合力，可能正确的是（　　）例1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】汽车做曲线运动，所受合力方向位于轨迹的凹侧，由向行驶，动能一直增加，可知合力做正功，合力与速度方向（轨迹切线方向）的夹角小于。 故选B。 （2025·河南新乡·模拟预测）近年来，我国在高超音速滑翔飞行器（HypersonisGlide Vehicle，HGV）技术领域取得突破性进展。某型HGV采用“助推-滑翔”弹道技术，由运载火箭发射至大气层边缘后，用类似打水漂的方式以超过5马赫的速度进行无动力滑翔飞行，具有射程远、突防能力强、轨迹多变等特点，可应用于航天返回、快速全球打击等任务，展现了我国在先进飞行器领域的科技实力，其弹道轨迹如图所示。下列说法错误的是（    ）变1-1 A．导弹在a点速度方向指向轨迹切线方向 B．导弹在a点所受合力的方向指向地球 C．导弹在b点所受合力的方向沿轨迹切线方向 D．导弹在b点附近一小段轨迹可视为匀变速曲线运动 【答案】C 【详解】A．导弹做曲线运动，导弹速度方向一定沿着轨迹切线方向，A正确，不符合题意； B．导弹在a点附近处于大气层外，没有空气阻力，a点附近导弹只受重力，所以导弹在a点所受合力的方向指向地球，B正确，不符合题意； C．导弹在b点受到的合力方向不可能沿轨迹切线方向，而应指向曲线凹侧，导弹在b点所受合力的方向背向地球，C错误，符合题意； D．导弹在b点附近一小段可以看做匀速圆周运动的一小部分，向心加速度大小不变，方向与速度垂直，当时间趋于零，可认为加速度不变，轨迹可视为匀变速曲线运动，D正确，不符合题意。 故选C。 （25-26高三上·河南焦作·期中）一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　）变1-2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块从车厢顶部落下后，在水平方向上，由于不计空气阻力，它不受任何水平力作用。根据牛顿第一定律（惯性定律），物块将保持脱离车厢瞬间的水平速度做匀速直线运动。在竖直方向上，物块只受重力作用，做自由落体运动。因此，物块相对地面的运动是平抛运动，其轨迹是一条抛物线。 以车厢为参考系，在物块下落的过程中，车厢在水平方向上向右做匀加速直线运动，而物块在水平方向上做匀速直线运动。因此，物块在水平方向上相对于车厢向左做初速度为零的匀加速直线运动（加速度大小等于车厢的加速度，方向向左）。在竖直方向上，物块相对于车厢做自由落体运动。 物块相对于车厢的运动，可以看作是水平方向向左的匀加速直线运动和竖直方向向下的匀加速直线运动（自由落体）的合运动。由于这两个分运动都是从静止开始的，根据运动的合成，其合运动的轨迹是一条过起点的直线，方向指向左下方。 故选B。 考向二：运动的合成与分解 （2025·安徽安庆·模拟预测）如图所示，甲、乙两图分别是某一物体在相互垂直的x方向和y方向运动的图像。物体先在0~1s内、后在1s ~2s内的运动情况，以下判断正确的是（　　）例2 A．物体先做匀变速直线运动；后以大小为的加速度做匀变速直线运动 B．物体先做匀变速直线运动；后以大小为的加速度做匀变速曲线运动 C．物体先做匀变速曲线运动；后以大小为的加速度做匀变速直线运动 D．物体先做匀变速曲线运动；后以大小为的加速度做匀变速曲线运动 【答案】C 【详解】在0~1s内，x方向为匀速运动，y方向为匀加速运动，则合运动为匀变速曲线运动； 在1s~2s内，x方向初速度为，加速度为 y方向初速度为，加速度为 根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为 合加速度为 而且二者方向在同一直线上，可知合运动为匀变速直线运动。 综上分析可知，物体先做匀变速曲线运动；后以大小为的加速度做匀变速直线运动。 故选C。 （2025·河南·一模）“牡丹文化节”距今已有1600多年历史，2025年4月1日第42届“牡丹文化节”开幕，电视台摄制组为了拍到更广、更美的景色，采用了无人机拍摄的方法。现通过传感器采集某台无人机飞行过程中的数据，得到了水平方向的速度及竖直方向的加速度与飞行时间的关系图像，如图甲、乙所示。取水平向前和竖直向上为正方向，竖直方向初速度为零，则下列说法正确的是（    ）变2-1 A．内，无人机做匀变速曲线运动 B．时，无人机速度为 C．时，无人机运动到最高点 D．时，无人机竖直方向的速度为 【答案】D 【详解】A．图甲可知内无人机在水平方向的加速度（为恒定值） 图乙可知内无人机在竖直方向的加速度是变化的，可知合加速度不恒定，因此无人机不是匀变速曲线运动，故A错误； B．图甲可知4s时水平方向速度 面积表示速度变化量，由于竖直方向初速度为零，则内有 则4s时无人机速度，故B错误； C．图乙可知内无人机在竖直方向一直做加速运动，可知无人机在t=8s时运动到最高点，故C错误； D．根据图乙，可知内有，故D正确。 故选D。 总结提升 1．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线． 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 考向三：小船过河 （2025·内蒙古乌兰察布·模拟预测）如图所示，两平行河岸的宽度为d=150m，水流速度大小为v1=5m/s，方向沿着河岸，一条小船从河岸的某点渡河到对岸，船在静水中的速度为v2大小恒定，船头与垂直河岸方向的夹角为30°时，小船相对河岸的速度大小为v，方向与垂直河岸方向的夹角为60°，下列说法正确的是（　　）例3 A． B．v=5m/s C．小船渡河时间为20s D．小船渡河位移大小为300m 【答案】D 【详解】AB．把、分别沿着河岸和垂直河岸分解，则在垂直河岸方向有 沿着河岸方向有 联立解得，，故AB错误； CD．小船渡河位移大小为 渡河时间为，故C错误，D正确。 故选D。 （2025·湖北·模拟预测）如图所示，两平行河岸的间距为d，水稳定沿着河岸流动，一条小船从河岸渡到河对岸，船在静水中的速度（为已知量）指向河的上游与河岸的夹角为37°，船速（即合速度）（为未知量）指向河的下游与河岸的夹角也为37°，水流的速度（为未知量），，，下列说法正确的是（   ）变3-1 A．船速 B．水速 C．小船被冲向下游的距离为 D．小船渡河的时间为 【答案】B 【详解】B．、、构成的矢量三角形如图所示 由几何关系可得， 解得，A错误，B正确； C．由几何关系可得小船被冲向下游的距离，C错误； D．小船渡河的位移s与同向，与河岸的夹角为37°，河宽为d，由几何关系可得 小船渡河的时间，D错误。 故选B。 总结提升 渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽) 渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d 若v船<v水，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，xmin＝＝ 考向四：关联速度 （绳关联）（25-26高三上·河南·期中）如图所示，通过光滑的定滑轮拉着小船靠岸，拉绳的速度恒为，开始时拴接小船的绳与水平方向的夹角，经时间绳与水平方向的夹角为，已知滑轮与小船上沿的高度差为，不计定滑轮大小，，。则下列说法正确的是（　　）例4 A．小船做匀速运动 B． C．时小船的速度大小为 D．时小船的速度大小为 【答案】C 【详解】A．将船速分解为沿绳方向和垂直绳方向，则 为绳和水平方向夹角，随着角度变大，船速变大，故A错误； B．根据几何关系，故B错误； C．时小船的速度大小为，故C正确； D．时小船的速度大小为，故D错误。 故选C。 （2025·湖南湘西·一模）如图所示，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以恒定的速率v相向运动，当细绳与竖直方向成角时，塔块的速度大小为（　　）变4-1 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向下落的速度为，将v和沿绳方向和垂直绳方向分解，可得 解得 故选B。 （2026·江苏·一模）如图所示，竖直面内一定滑轮固定在A点，轻绳绕过定滑轮后右端固定于B点，轻绳左端连接质量为M的物体甲，把一个质量为m的物体乙系在轻绳的结点C上，用手托至BC段轻绳水平静止。现放手使乙运动，运动过程中BC与水平方向的夹角用α表示。已知乙到达最低点时两段轻绳的夹角为90°且（如虚线所示），滑轮视为质点，重力加速度为g，不计一切摩擦，则下列说法正确的是（　　）变4-2 A．物体乙向下运动的过程中，物体甲先失重后超重 B．物体乙向下运动的过程中，甲和乙的速度关系为 C．物体乙到达最低点时BC段轻绳拉力为 D．物体乙到达最低点时AC段轻绳的拉力为 【答案】D 【详解】A．由于物体乙的运动情况是速度由零加速后再减速为零，故物体甲同样向上运动先加速后减速，即物体甲先超重后失重，故A错误； B．甲、乙两物体沿轻绳方向的速度相同，将物体乙的速度正交分解，根据已知可得物体乙做圆周运动，如图1所示 但是分解后没有已知角度，故无法求出甲和乙两个物体的速度关系，故B错误； CD．当物体乙运动到最低点时，甲、乙两个物体的速度均为零，BC段轻绳的拉力等于物体乙重力沿BC方向的分力，沿AC方向，甲、乙两物体的加速度相同，力的分解情况如图2所示 BC段轻绳的拉力等于，设AC的拉力为则 甲物体只受重力和竖直向上的拉力，则 解得，故C错误，D正确。 故选D。 （杆关联）（2026·福建·一模）如图所示，光滑小球a、b的质量均为m，a、b均可视为质点，用长为l的刚性轻杆连接，竖直地紧靠光滑墙壁放置，b位于光滑水平地面上，a、b处于静止状态，重力加速度大小为g。现对b施加轻微扰动，使b开始沿水平面向右做直线运动，某时刻轻杆与竖直墙壁夹角为60°，则此时小球a、b的速度大小关系为 ，此过程中轻杆对小球b做的功为 。例5 【答案】 【详解】[1]如图 轻杆滑动过程中，沿杆方向的速度大小相等，轻杆与竖直墙壁夹角为，则 某时刻轻杆与竖直墙壁夹角为60°，则此时小球a、b的速度大小关系为 [2]根据机械能守恒可得 解得 由动能定理可得轻杆对小球b做的功为 （2025·吉林长春·模拟预测）如图所示，四根长度均为L=1m的细杆用铰链连成一个四边形，O点通过铰链固定在墙上。现将B点推至与O点重合，使四根细杆都紧贴墙壁。现拉着B点沿垂直于墙壁的方向做速度为v=2m/s的匀速直线运动。当发现四根细杆恰好构成一个正方形时，图中杆的角速度是（　　）变5-1 A．1rad/s B． C．2rad/s D． 【答案】D 【详解】由图可知，A点的线速度等于杆的速度，把B点的速度分解到互相垂直的方向，如图所示 有 由 有 解得 故选D。 （面关联）（2025·山东·模拟预测）如图甲、乙所示，两个相同的物块P、Q均置于光滑水平地面上，细杆分别绕以相同的角速度沿顺时针方向转动。A、B分别为细杆与物块的接触点，某时刻两细杆与水平地面之间的夹角均为，此时的长度分别为。关于该时刻，下列说法正确的是（　　） 例5 A．P的速度大小为 B．Q的速度大小为 C．P、Q的速度大小相等 D．P、Q的速度大小之比为 【答案】A 【详解】A．将速度分解如图甲、乙所示，图甲中，由于P对杆的约束，点实际运动方向为水平方向，将点的速度沿杆和垂直杆分解，有 可知，A正确； BCD．图乙中， 可知P、Q的速度大小之比为，BCD错误。 故选A。 （2026·云南大理·二模）如图是一个楔形结构的示意图，质量分别为，的两个楔形块、叠放在一起，斜面与水平底面间夹角为。两个光滑竖直面将楔形块夹在竖直方向，两个水平面将楔形块夹在水平方向。不施加外力时，恰好能静止在地面上；当在上施加水平外力时，只能竖直上下移动，只能水平左右移动，不计A、B间的摩擦力，和地面间的动摩擦因数，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　）变6-1 A．不施加时，只减小的质量，、仍能静止 B．不施加时，只增大的质量，、仍能静止 C． D．施加后，的速度与的速度满足 【答案】D 【详解】C．不施加外力时，恰好能静止在地面上，受力情况如图甲所示 对进行分析，水平方向上有 对A、B构成的整体进行分析，竖直方向上有 对进行分析，竖直方向上有 解得，，故C错误； AB．结合上述，A对B的弹力N在水平方向分力为 与地面之间最大静摩擦为 由于不施加外力时，恰好能静止在地面上，则有 可知，若只减小的质量，或只增大的质量，A对B的弹力N在水平方向分力均将大于与地面之间最大静摩擦，表明与地面之间都会出现滑动，故AB错误； D．向左运动时，二者的速度关系如图乙所示 则有 可得，故D正确。 故选D。 总结提升 1.绳关联：两物体沿绳的分速度大小相同 2.杆关联：两物体沿杆的分速度大小相同 3.面关联：两物体垂直于接触面的分速度大小相同 【直击真题】 1.（2023·全国乙卷·高考真题）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】AB．小车做曲线运动，所受合外力指向曲线的凹侧，故AB错误； CD．小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合外力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。 故选D。 2.（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、、表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为，加速度为大小，斜面倾角为 AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故AB错误； CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为，加速度大小为，则有 整理可得 可知，图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。 故选C。 3.（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（   ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【详解】设两边绳与竖直方向的夹角为，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得 解得 由于塔块匀速下落时在减小，故可知v一直增大。 故选B。 二、平抛运动 【知识梳理】 （一）平抛运动基本规律 1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4．基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向． （二）平抛运动的推论 1.做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α.(如图所示) 推导： →tan θ＝2tan α 2.做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即xB＝. 推导：→xB＝ （三）平抛运动与斜面或曲面相结合 已知条件 情景示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，即已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面 分解位移tan θ＝＝＝ 利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R 从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【必备能力】 （一）化曲为直的解题思路 在解决抛体运动中常应用运动和合成与分解，将一个曲线运动分解为两个直线运动进行求解。 （二）平抛运动的临界和极值判断 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形： (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向． 2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题． 【考向预测】 考向一：平抛运动的规律和应用 （2026·云南·模拟预测）体育课上，小华将质量m = 2kg的实心球（可视为质点）从离水平地面高h = 1.5m处水平抛出，落地点距抛出点的水平距离x = 9m。忽略空气阻力，g取10m/s2，则球落地瞬间（   ）例7 A．速度大小为 B．重力的功率为 C．动量大小为 D．速度方向与初速度方向夹角的正切值为3 【答案】B 【详解】A．根据平抛运动规律，将运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。竖直方向，有 得飞行时间 水平方向有 得初速度 落地瞬间的竖直速度为 可得落地瞬间的速度大小为，故A错误； B．重力的功率，故B正确； C．球落地瞬间动量大小为，故C错误； D．速度方向与初速度方向（水平）夹角的正切值，故D错误。 故选B。 （2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　）变7-1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】排球恰好通过球网上边缘时竖直速度 落地时竖直速度 由运动学公式 解得球网高为 故选A。 （22-23高三下·广东潮州·月考）如图，长方体中，，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同方向水平抛出，落点都在范围内（包括边界）。不计空气阻力，则小球（　　）变7-2 A．抛出速度最大时落在点 B．抛出速度最小时落在点 C．落在中点的速度与落在点的速度相等 D．从抛出到落在线段上任何一点所需的时间都相等 【答案】D 【详解】D．设高度为高度为，从抛出到落在线段上任何一点时，由 得 从抛出到落在线段上任何一点所需的时间都相等。D正确； A ．设平抛的水平位移为，抛出速度 落在点水平位移最大，因此抛出速度最大时落在点。A错误； B．水平位移小于时，比落在点抛出速度更小，落在点的抛出速度最小。B错误； C．由得，落在中点的竖直方向分速度与落在点的竖直方向分速度 落在中点时水平位移大于落在点时的水平位移，得落在中点的水平分速度大于落在点的水平速度。由 得，落在中点的速度大于落在点的速度。C错误。 故选D。 考向二：平抛运动和斜面 （2026·贵州毕节·一模）如图，从固定斜面顶端连续水平向左抛出两个小球A和B，分别落回斜面，该过程B的位移为A的两倍。设A和B抛出时的初速度分别为和，在空中运动的时间分别为和，若不计空气阻力，则（　　）例8 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该过程B的位移为A的两倍，由几何关系得，B的水平位移为A的两倍 B的竖直位移也为A的两倍 由平抛运动规律得,,, 联立解得，，故选B。 （2025·河北保定·一模）2025年2月，第九届亚冬会在哈尔滨成功举办。中国体育代表团夺得32金27银26铜共85枚奖牌，位列金牌榜、奖牌榜第一。某次高山滑雪项目中，运动员比赛中的场景简化示意图如图所示，一质量为m的运动员（看成质点）从斜坡顶端a点以水平向左的速度起跳，运动一段距离后，落在斜坡上的b点。已知斜坡与水平面的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）变8-1 A．运动员在空中飞行的时间 B．斜坡上a、b之间的距离 C．运动员落在b点时重力的瞬时功率 D．运动员在空中离坡面的最大距离 【答案】D 【详解】A．运动员在空中飞行时水平位移和竖直位移分别为， 斜面倾角为，则 方程联立，解得运动员在空中飞行的时间，故A错误； B．斜坡上a、b之间的距离 方程联立，解得，故B错误； C．运动员落在b点时竖直方向速度 则运动员落在b点时重力的瞬时功率，故C错误； D．将运动员速度分解到垂直斜面的方向上，则 将重力加速度分解在垂直斜面方向上，可得 则离坡面的最远距离满足 解得，故D正确。 故选D。 （2026·重庆·模拟预测）如图所示，是光滑固定的竖直墙壁，是一与竖直方向成角的固定斜面。将一可视为质点的小球从点以速度水平向右抛出，小球与墙壁发生一次弹性碰撞后，刚好垂直落在斜面上点。小球与墙壁碰撞前后，竖直方向的速度不变，水平方向的速度大小不变、方向反向，碰撞时间和空气阻力不计。已知重力加速度为，则从抛出到第一次到达斜面过程中，小球在空中运动的时间为（　　）变8-2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球与墙壁发生弹性碰撞，碰撞前后水平方向速度大小不变、方向反向，故落到点时，小球的水平分速度大小为 小球在竖直方向做自由落体运动，设总时间为，则到达点时其竖直分速度 小球垂直落在斜面点，说明此时其速度矢量与斜面垂直，已知斜面与竖直墙壁（即竖直方向）的夹角为，根据几何关系可知，此时速度矢量与水平方向的夹角亦为。 根据速度的分解关系可知 解得小球在空中运动的时间为，故选A。 总结提升 1.若小球A以v0的初速度水平抛出，小球B以kv0的初速度水平抛出，落在斜面上的时候 vA：vB=1：k（分速度之比具有相同规律） tA：tB=1：k xA：xB=1：k2（水平位移之比和竖直位移之比具有相同的规律） 考向三：平抛运动和曲面 （2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　）例9 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为。由， 联立解得A、B之间的水平距离为 故选A。 （2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　）变9-1 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】小球垂直打在点时，速度方向的反向延长线过点，且交于水平位移的中点，如图所示 由几何关系可知抛出点一定在点。 故选C。 （多选）（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　）变9-2 A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 【答案】AC 【详解】A．如图所示 与斜面对称的斜边交圆弧于点，两球只有落到、点的高度和时间相同，可同时撞在斜面与圆弧上；此时有， 解得 故A正确； B．若P球落到斜面底端有， 解得 故B错误； C．当P球落到斜面底端时，Q在圆弧上的落点距地面高度高于，轨迹如图中的抛物线，故C正确； D．当时，P球在斜面上的落点高于Q在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。 故选AC。 考向四：平抛运动的临界和极值问题 （2025·陕西西安·模拟预测）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）例10 A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【答案】B 【详解】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A错误； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据 解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动， 设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从EF线打到AB线，水平位移为，则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据 可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选B。 （多选）（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（   ）变10-1 A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为 D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为 【答案】BD 【详解】A．设，则平抛运动位移的偏转角为 当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得 综合可得 故A错误； B．小球从A到，由平抛运动的规律可得 ， 由几何关系可得 综合解得 故B正确； CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点点时的速度为 结合 ，， 综合可得 由数学知识可得 则的最小值为 故C错误，D正确。 故选BD。 考向五：类平抛运动 （多选）（2024·贵州·模拟预测）如图所示，A、B两质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B在光滑斜面上运动，落地点为。不计阻力，则在x轴方向上的远近关系是（　　）例11 A．较远 B．较远 C．等远 D．B运动的时间 【答案】BD 【详解】根据题意可知，质点A做平抛运动，根据平抛运动规律 ， 得A运动的时间 质点B视为在光滑斜面上的类平抛运动，其加速度为 沿着斜面的位移和水平方向分别有 ，B运动的时间 A、B沿x轴方向都做水平速度相等的匀速直线运动，由于运动时间不等，所以沿x轴方向的位移大小不同，根据可知 即P2较远。 故选BD。 【直击真题】 1.（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 2.（2024·浙江·高考真题）如图为水流导光实验，出水口受激光照射，下面桶中的水被照亮，则（　　） A．激光在水和空气中速度相同 B．激光在水流中有全反射现象 C．水在空中做匀速率曲线运动 D．水在水平方向做匀加速运动 【答案】B 【详解】A．光在介质中的速度为，故激光在水中的传播速度小于在空气中的传播速度，故A错误； B．水流导光的原理为光在水中射到水与空气分界面时入射角大于临界角，发生了全反射，故B正确； C．水在空中只受到重力作用，做匀变速曲线运动，速度在增大，故C错误； D．水在水平方向做匀速直线运动，故D错误。 故选B。 3.（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A点时 解得 故选C。 4.（2022·广东·高考真题）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是（　　） A．将击中P点，t大于 B．将击中P点，t等于 C．将击中P点上方，t大于 D．将击中P点下方，t等于 【答案】B 【详解】由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运动时间相同，根据 可知下落高度相同，所以将击中P点；又由于初始状态子弹到P点的水平距离为L，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有 故选B。 5.（多选）（2024·安徽·高考真题）一倾角为足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力和，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取，不计空气阻力。则（    ） A．物块始终做匀变速曲线运动 B．时，物块的y坐标值为2.5m C．时，物块的加速度大小为 D．时，物块的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．根据图像可得，，故两力的合力为 物块在y轴方向受到的力不变为，x轴方向的力在改变，合力在改变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A错误； B．在y轴方向的加速度为 故时，物块的y坐标值为 故B正确； C．时，，故此时加速度大小为 故C错误； D．对x轴正方向，对物块根据动量定理 由于F与时间t成线性关系故可得 解得 此时y轴方向速度为 故此时物块的速度大小为 故D正确。 故选BD。 6.（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求 （1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间； （2）平台距地面的高度。 【答案】（1）4m/s；；（2） 【详解】（1）物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为 薄板做加速运动的加速度 对物块 对薄板 解得 （2）物块飞离薄板后薄板得速度 物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为 则平台距地面的高度 三、斜抛运动 【知识梳理】 （一）斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t① vx＝v0x＝v0cos θ② 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2③ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④ 【必备能力】 （一）斜抛运动极值问题 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． （二）逆向思维处理斜抛运动 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 【考向预测】 考向一：斜抛运动 （2025·河北·模拟预测）如图所示，某同学在进行投篮练习，A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为抛出点，B为运动轨迹的最高点，C为篮球落入篮筐的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角。不计空气阻力，则AB与BC的竖直高度之比为（　　）例12 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设篮球在A点的竖直分速度为，在C点的竖直分速度为，篮球的水平分速度为，篮球从A到B过程，根据逆向思维将篮球看成从B到A的平抛运动，篮球在A点时，根据平抛运动推论可得 根据几何关系可知B、C连线与水平方向的夹角为 篮球从B到C做平抛运动，篮球在C点时，根据平抛运动推论可得 又， 联立可得篮球从A到B与从B到C的竖直高度之比为 故选A。 （2025·新疆·二模）如图所示，涨水期某河段上、下游水面高度差为0.4m，静止的小鱼突然从下游水面跃出，越过坡面AB恰好无碰撞地落在上游水面上。已知上、下游水面连接的坡面倾角θ为53°，小鱼初速度方向与坡面平行，小鱼质量为500g，可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取，，。下列说法正确的是（　　）变12-1 A．小鱼跃出水面时的速度大小为3.5m/s B．小鱼落回上游水面时的速度大小为2.8m/s C．小鱼出水位置距离B点的距离为0.6m D．小鱼在空中运动的时间为 【答案】A 【详解】AB．小鱼无碰撞地落在上游水面，说明此时速度水平，逆向思维将此运动看成是从上游水面到下游水面的平抛运动。竖直方向上有 解得 速度偏转角为，则有 解得水平速度为 可知小鱼落回上游水面时的速度大小为2.1m/s，则小鱼在下游水面处的速度为，故A正确，B错误； CD．小鱼在空中的运动时间为 水平位移 小鱼初位置到B点的距离为0.3m，故CD错误。 故选A。 （多选）（2025·四川达州·一模）如图所示，在竖直平面内一发射器（视为质点）在O点先后以大小为、的初速度斜向上发射、两个完全相同的小球（视为质点），两球初速度方向相同，不计空气阻力，斜坡足够长，则下列说法正确的是（   ）变12-2 A．、两小球从抛出到落到斜坡上的时间之比为1:2 B．、两小球从抛出到落到斜坡上的位移之比为1:4 C．、两小球从抛出到落到斜坡上过程离斜面最远距离之比为1:2 D．、两小球落到斜坡上前瞬间速度方向不同 【答案】AB 【详解】A．设斜面倾角为，初速度与水平方向成，把初速度沿水平竖直方向分解，如图所示 水平方向有 竖直方向有 小球落到斜面上，有 解得 若初速度变为，则有 解得，故A正确； B．把初速度沿斜面和垂直斜面方向分解，如图所示 垂直斜面方向有 沿斜面方向有 解得 若初速度变为，则有 解得，故B正确； C．把初速度沿斜面和垂直斜面方向分解，由前面分析可知，从抛出到落到斜坡上过程离斜面距离最远用时为，则最远距离 若初速度变为，则有 解得，故C错误； D．把初速度沿斜面和垂直斜面方向分解，设小球落到斜面上时的速度与斜面夹角为，如图所示 沿斜面有 垂直斜面有 则 与初速度无关，故两小球落到斜坡上前瞬间速度方向相同，故D错误。 故选AB。 总结提升 1.斜抛运动中的极值 在最高点，vy＝0，由④式得到t＝⑤ 将⑤式代入③式得物体的射高ym＝⑥ 物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0， 由③式得总时间t总＝⑦ 将⑦式代入①式得物体的射程xm＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大． 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． 2.逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题． 考向二：一般抛体运动 （25-26高三上·湖南长沙·月考）“风洞实验”指在风洞中安置飞行器或其他物体模型，研究气体流动及其与模型的相互作用，以了解实际飞行器或其他物体的空气动力学特性的一种空气动力实验。在如图所示的风洞中存在大小恒定的水平风力，现将一小球从M点竖直向上抛出，其运动轨迹如图中的实线所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点的动能为9J，在O点的动能为1J，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　）例13 A．小球受到的重力与受到的风力大小之比为 B．小球落到N点时的动能为13J C．O点到MN的距离与M、N两点间的距离之比为 D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为0.9J 【答案】A 【详解】A．根据， 可求出 竖直方向 水平方向 联立解得 根据牛顿第二定律可得小球受到的重力与受到的风力大小之比为，故A错误，符合题意； B．由运动的合成与分解知，小球在水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，所以可得点到点的时间和点到点的时间相同，设小球在点的速度为，在点的速度为，水平方向加速度为 因为点是轨迹的最高点，即此时速度只有水平分量即 即点的水平速度满足 又小球在点的动能为，在点的动能为，小球落到点时的动能为 因为， 解得，故B正确，不符合题意； C．设点到的距离为，竖直方向 水平方向 联立解得，故C正确，不符合题意； D．如图所示 小球从点运动到点过程中的最小速度为在垂直于合力方向上的分量，其中 故在垂直于合力方向上的分量 故最小动能为 代入数据解得，故D正确，不符合题意。 故选A。 【直击真题】 1.（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（    ）    A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于 C．两谷粒从到的运动时间相等 D．两谷粒从到的平均速度相等 【答案】B 【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A错误； C．谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2运动时间较长，C错误； B．谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于，B正确； D．两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。 故选B。 2.（多选）（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为，末速度v沿x轴正方向．在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度和竖直方向分速度与时间t的关系，下列图像可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即为定值，则有水平位移 故A正确，C错误； BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则 ， 且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。 故选AD。 3.（多选）（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有 ， 垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得 故B正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。 故选BD。 04 自我提升 1.（25-26高三上·海南·月考）往复式活塞压缩机是通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体的压缩机，简图如图所示，圆盘与活塞通过铰链、连接在轻杆两端，左侧活塞被轨道固定，只能在方向运动，圆盘绕圆心（定点）做角速度为的匀速圆周运动，已知距离不变，杆长，则（　　） A．杆长越大，活塞运动的范围越大 B．活塞运动范围与杆长L无关 C．当垂直于时，活塞速度为 D．当垂直于时，若与夹角为，则活塞速度为 【答案】B 【详解】AB．活塞运动到最远点时，此时点位于圆盘水平直径左端距为的位置上，活塞运动到最近点时，此时点位于圆盘水平直径右端距为的位置上，由几何知识可知，当距离不变时，活塞运动范围等于，与杆长无关，故A错误，B正确； C．当垂直于时，设此时与夹角为，则B点的线速度大小与活塞速度大小满足 可得活塞此时速度大小为，故C错误； D．当垂直于时，若与夹角为，此时点的线速度大小为 由几何知识可知此时点的线速度方向与活塞的速度方向平行，二者沿杆方向的分速度相等，则有 可得此时活塞速度为，故D错误。 故选B。 2.（2025·湖南·一模）一轻质杆AB，初始时紧靠在光滑的竖直墙面上竖直静止放置，杆长为2l，在其中点C处固定一个质量为m的小球，现使A端不脱离墙面，B端沿着光滑地面以速度v向右匀速运动，当杆与地面成角时，则（　　） A．小球的速度大小为 B．小球做匀速圆周运动 C．当时，杆对小球的作用力大小为 D．当时，杆对小球做的功为 【答案】C 【详解】AB．轻杆AB上的所有点，沿杆方向的分速度大小相等，由于B点做匀速直线运动，所以当杆与地面成α角时，杆上所有点沿着杆方向的分速度均为vcosα，对于小球，它与墙角O点间距时刻保持l，所以运动轨迹为以O点为圆心的圆，速度方向与OC连线垂直，由图中几何关系得，小球在C点速度方向与杆的夹角为，沿杆方向的分速度为，则有 解得 可知则vC大小随α改变，并非匀速圆周运动，故AB错误； CD．分析可得杆对小球的作用力必须沿着竖直方向，由指向圆心的合外力提供向心力，即 解得 对小球运用动能定理，可得 解得，故C正确，D错误。 故选C。 3.（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【详解】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 4.（2025·安徽淮北·一模）跳台滑雪是一项勇敢者的运动。如图所示，斜坡与水平方向的夹角为。现有某运动员从跳台A处以速度沿水平方向飞出，在斜坡C处着陆，从运动员运动轨迹上离斜坡最远处的B点作斜坡的垂线，与斜坡的交点为E点。不计空气阻力，则（　　） A．图中AE段与EC段长度相等 B．运动员在B点时速度大小为 C．运动员从A运动到B的时间小于B运动到C的时间 D．运动员在C点时速度方向与水平方向的夹角为 【答案】B 【详解】ABC．建立如图所示的坐标系，将速度进行分解，则有， 将重力加速度进行分解则有， 因此运动员沿x轴做匀加速直线运动，沿y轴做匀减速运动，则有， 在B点时 此时运动员只有沿x方向的速度，则有 联立解得 根据运动的对称性可知，A到B和B到C所用时间相等，即 根据匀变速直线运动规律可得， 可见图中AE段与EC段的长度不相等，故AC错误，B正确； D．从A到C的过程中，水平方向的位移 竖直方向的位移为 由几何知识可得 设运动员在C点时速度方向与水平方向的夹角为，则有 联立可得，故D错误。 故选B。 5.（2025·江西新余·模拟预测）如图所示竖直放置的圆环半径为R，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，不计空气阻力，从下列哪个位置沿x轴正方向水平抛出小球（可以看成质点）有可能垂直打到圆环上（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若想平抛后垂直打到圆环上，则速度的反向延长线会经过圆心。根据平抛运动的推论，速度的反向延长线会过水平位移的中点。 若在x轴上的某点抛出，抛出点只能在x轴的负半轴；若抛出点在y轴上，则只能在y的负半轴；满足条件的只有A选项。 故选A。 6.（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整个运动过程的时间 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t1，则有 且 联立解得 设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 联立以上，解得 故选A。 7.（2026·安徽合肥·模拟预测）打水漂投掷时石片在距离水面高处以水平速度抛出，若石片与水面碰撞时，水平速度不变，但碰后反弹高度都是前一次，不计空气阻力，重力加速度为，则石片从抛出到第四次触水过程中（　　） A．经历的时间 B．经历的时间 C．经历的水平距离为 D．经历的水平距离为 【答案】B 【详解】AB．从抛出到第一次接触水面的时间 碰后反弹高度都是前一次，可知从第一次接触水面到第二次接触水面的时间 从第二次接触水面到第三次接触水面的时间 从第三次接触水面到第四次接触水面的时间 则经历的时间，A错误，B正确； CD．因水平速度不变，则经历的水平距离为，CD错误。 故选B。 8.（2025高三·内蒙古·专题练习）如图所示，玩具水枪对着竖直墙壁稳定连续喷水，喷口始终位于点，水流喷出方向始终沿、连线方向。第一次喷水时水流击中墙壁点，第二次喷水时速度变为第一次的一半，水流击中墙壁点。、、、位于同一竖直平面，喷出的水可视为做斜抛运动。下列说法正确的是（　　）    A．图中的距离关系满足 B．水流在、点速度的反向延长线交于中点 C．第二次空中的水量大于第一次空中的水量 D．第二次水枪喷水的功率是第一次的 【答案】B 【详解】A．把斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，设、间距离为，有 到击中点的距离为，有 可得 两次高度之比 所以，故A错误； B．画出速度矢量图和位移矢量图如图所示    反向延长末速度方向与交于点，由相似关系可得 可得 故水流在、点速度的反向延长线交于的中点，故B正确； C．设管口截面积为，空中水的体积 则两次空中的水量相等，故C错误； D．时间喷出水的质量 水枪在时间对水做的功为 水枪的喷水功率 则第二次水枪的喷水功率是第一次的，故D错误。 故选B。 9.（2024·广西·模拟预测）如图所示，一小球从空中某处以大小为，方向与竖直方向成斜向上抛出，小球受到水平向右、大小为的水平风力，若小球落地时速率为，重力加速度为，则小球在空中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球的受力分析如图所示 则合力大小为 合力与水平方向的夹角满足 可得 可知合力方向与垂直斜向下，故小球做类平抛运动，加速度为 以方向为轴，合力方向为轴，建立直角坐标系得 解得 故选C。 10.（多选）（2025·湖北·模拟预测）如图所示，在一个倾角为的足够长的固定斜面上，一小球以初速度离开斜面，方向与斜面方向成角斜向上（）。已知重力加速度为，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球经时间，离斜面最远 B．由于小球做曲线运动，则在空中相等的时间内速度变化不相等 C．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 【答案】AC 【详解】A．将小球的运动分解为垂直斜面方向和沿斜面方向两个分运动， 小球垂直斜面方向的初速度大小为，加速度大小为 当小球垂直斜面的速度减为零时，离斜面最远， 则有，故A正确； B．小球在空中加速度为重力加速度，根据，可知相等的时间内速度变化一定相等，故B错误； CD．小球沿斜面方向的初速度大小为，加速度大小为 小球开始运动到第一次落到斜面上的时间 则小球开始运动到第一次落到斜面上位移为，故C正确，D错误。 故选AC。 11.（多选）（2025·河南·一模）为了保护人民的生命和财产安全，科学家研究了对导弹或陨石的拦截技术并进行模拟测试。如图所示，假设某陨石从点以速度斜向下飞来，速度方向与水平方向的夹角为；此时在点的正下方处在同一竖直平面内以速度斜向上发射炮弹进行拦截，速度方向与竖直方向的夹角也为，最终拦截成功。已知重力加速度为，、间的高度差为，，不考虑空气阻力的影响。下列说法正确的是（　　） A． B． C．炮弹击中陨石时离地面的高度为 D．炮弹击中陨石时离地面的高度为 【答案】AC 【详解】AB．设经过时间，炮弹与陨石相遇，则在水平方向位移相等，则 所以，A正确，B错误； CD．在竖直方向有： 解得 故炮弹击中陨石时陨石离地面的高度为，C正确，D错误。 故选AC。 13.（2025·内蒙古乌兰察布·模拟预测）如图所示，一可视为质点的小物块，从平台左端以初速度滑上平台，小物块从平台右端离开后做平抛运动，小物块击中平台右下侧挡板上的P点时动能为平抛初始动能的17倍。以平台右端为坐标原点O，在竖直面内建立平面直角坐标系，x轴和y轴分别沿水平方向和竖直方向，挡板形状满足方程（单位：m）。已知小物块与平台间的动摩擦因数，重力加速度g取10m/s2。求： (1)P点的坐标； (2)小物块离开平台时的速度大小及小物块沿平台运动的时间。 【答案】(1)（2m，4m） (2)，1.6s 【详解】（1）由题意有，则有 解得 设在P点时速度方向与水平方向成角，位移OP与水平方向成角，则 于是有 解得，，即P点坐标为（2m，4m） （2）平抛过程，由动能定理有 解得 设小物块沿平台运动时间为t，由动量定理有 解得t=1.6s 14.（2026·黑龙江辽宁·一模）滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从O点起跳后运动员做斜抛运动，水平速度分量为 竖直方向分量为 运动员到达最高点时竖直速度减为零，所用时间为 水平位移 竖直位移 运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离 （2）运动员离着陆坡面的距离最大时速度的方向应与斜面平行，即 此时的速度为 1 学科网（北京）股份有限公司 $