第17讲 导数中常见的放缩讲义（知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026届高考数学二轮复习（新高考通用）

第17讲 导数中常见的放缩问题 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 7 题型01： 与有关的放缩 7 题型02：与lnx有关的放缩 13 题型03： 与sinx，cosx,tanx有关的放缩 21 题型04 ：导数中的数列不等式放缩问题 25 巩固提升 32 1. 地位：导数压轴题核心技巧，必考、拉分、区分度高，常出现在解答题最后1–2问（12–14分）。 2. 趋势：近年全国卷/新高考卷降低纯构造难度、强化放缩应用；放缩从“技巧”变为常规解题工具。 3. 考法： ①证明不等式（核心） ②恒成立/存在性求参数范围 ③零点/极值点存在性判断（隐零点+放缩） ④双变量/数列不等式（放缩搭桥） 一、知识目标 1. 理解放缩法的本质：用简单函数逼近复杂函数，实现化繁为简。 2. 熟记并会证明高考必考放缩不等式： 3. 知道放缩方向：证明大于就缩小，证明小于就放大。 4. 明确等号条件，会判断是否能取等。 二、能力目标 1. 能识别何时用放缩： ①含 、\ln x 的不等式证明 ②恒成立求参数 ③ 隐零点、函数趋势判断 2. 会选择合适放缩：优先切线放缩，不盲目放缩。 3. 能规范书写：先写放缩公式，再代入原题证明。 4. 能避免过度放缩：放缩后能算出结果，不失效。 5. 能把放缩和求导、单调性、最值结合，完成压轴题。 三、解题目标 1. 会用放缩解决导数大题第2问，拿到关键步骤分。 2. 看到 -ln x、+ax、ln x + ax 类结构，立刻有思路。 3. 能在复杂函数中局部放缩，只放难处理的项。 4. 能独立完成放缩类高考真题，思路清晰、步骤完整。 四、应试目标 1. 放缩题不丢步骤分。 2. 导数压轴题不再完全空题，能写出有效得分点。 3. 达到：看到式子 → 选放缩 → 写结论 → 得满分/高分。 知识点一：函数放缩常用结论 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数），， （放缩成双撇函数），， ，， （放缩成二次函数），， （放缩成类反比例函数），，， ，， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数），，， （放缩成类反比例函数），， （放缩成二次函数），， . 常用变式： 第三组：指对放缩 第四组：三角函数放缩 ，，. ，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. 第五组：以直线为切线的函数 ，，，，. 注：放缩程度综合 ， 知识点二：数列放缩常用结论 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． （17）指数恒等式： 次方差公式 这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列. 常见函数的泰勒展开式： 泰勒公式： 泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法． 【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式： 其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量． （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 常见函数的泰勒展开式结论： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 常见函数的麦克劳林展开式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 帕德逼近： 高考常见题型与解题策略 1. 不等式证明（最常考） （1）思路：复杂函数 → 放缩为简单函数 → 证简单不等式 （2）方法： ①切线放缩：用切线夹逼（eˣ≥x+1、lnx≤x−1本质是切线） ②局部放缩：只放缩难处理项（如eˣ、lnx） ③双函数法：f(x)≤g(x) ⇨ f(x)max ≤ g(x)min 2. 恒成立求参数（a≥f(x) 或 a≤f(x)） （1）思路：放缩简化f(x)，求最值/范围 （2）技巧： ①分离参数后放缩 ② 含eˣ/lnx时优先放缩消参 ③端点/特殊点先试探 3. 零点/隐零点问题 （1）思路：用放缩判断导函数/原函数符号，确定零点存在 （2）操作： ① 对f’(x)放缩，找正负区间 ②用eˣ≥x+1、lnx≤x−1控制无穷远处趋势 4. 双变量/数列不等式 （1）思路：放缩统一变量，转化为单变量函数 （2）常见： ①极值点偏移（x₁+x₂>2、x₁x₂<1） ② 数列求和放缩（ln(n+1)<1+1/2+…+1/n） 高考解题步骤（模板） 1. 定义域优先（尤其lnx、分母） 2. 观察结构：有无eˣ、lnx、三角，匹配放缩公式 3. 选择放缩方向： ① 证≥：放小；证≤：放大 ②优先用等号可验证的切线型放缩 4. 构造辅助函数：求导、判单调、求最值 5. 验证等号：不同时取等则严格不等 6. 书写规范：先证放缩式，再代入原题 题型01： 与有关的放缩 【典型例题1】设函数，. （1）若，求a的值 （2）证明：. 【答案】 （1） （2）证明见解析 【分析】 （1）构造函数，求导后分类讨论，求出最小值，转化为，利用函数的单调性知，只有满足题意； （2）由（1）知，，令，转化为即可证明. （1） 设，则. 当时，在R上单调递增，且，当时，不符合题意，舍去. 当时，令，则；令，则.故在上单调递减，在上单调递增， 故. 若，则只需，设， 则，所以在上单调递增，在上单调递减，故， 因此，只有当时满足题意，即. （2） 由（1）知，，，当且仅当时，等号成立. 令，代入可得，即. 由（1）知，，即，故， 因此，即. 【典型例题2】已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若是函数的极值点，且，求证：. 【答案】 （1） （2）证明见解析 【分析】 （1）求导，可得，，即得解； （2）求导可得导函数与同正负，分，两种情况讨论极值，当时，对求导，分析可得存在，使得，当时，函数的极小值，令，求导分析可得，利用导数分析可得，，代入即得解 （1） 若，则， ∴， 又，， ∴切线的方程为， 即； （2） ， ∵函数的定义域为，∴， 令，， ①当时，，，在上单调递增，无极值，不符合题意； ②当时，，∴在上单调递增， 当时，，， ∴存在，使得，即， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. ∴当时，函数的极小值 ， 令，则， ∴在上单调递减，又∵， ∴， 令， 故在单调递增， 故当，有 令， 故在单调递减， 故当，有 ∴. 则. 【典型例题3】已知函数． （1）求函数图象在处的切线方程． （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）求出导函数，计算斜率后可得切线方程； （2）设，用导数证明在时恒成立，即，从而得，然后由不等式的性质可证明题设结论． 【详解】 （1）解：因为， 所以， 则． 因为， 所以所求切线方程为， 即． （2）证明：设，则． 由，得；由，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即，当且仅当时取等号． 因为，所以， 所以，所以． 当时，， 所以， 则，即． 【变式训练1-1】已知函数（）（其中为自然对数的底数）. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若，证明对于任意的恒成立. 【变式训练1-2】（1）已知函数（）． ①试讨论函数的单调性； ②若，为函数的两个极值点，证明：． （2）证明：（e为自然对数的底数，，） 【变式训练1-3】已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 【变式训练1-4】当时，证明：恒成立. 【变式训练1-5】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：当时，． 【变式训练1-6】已知函数，. （1）已知恒成立，求a的值； （2）若，求证：. 题型02：与lnx有关的放缩 【典型例题1】已知函数f（x）=lnx-x+1. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥1时，ax2+3x-lnx>0. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求导，再根据导数的正负判断函数的单调区间； （2）结合（1）可知，，化简得，，所以，则原式可同步放缩为，即可求证. 【详解】 （1）由题意，函数的定义域为，且， 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明：由（1）得在）上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以， 因为，所以则， 即,即. 【典型例题2】已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】 （1）通过不等式的性质化简不等式并构造函数，利用函数最值可证明不等式（2）函数与方程的综合问题，通过构造函数，利用导数确定函数的单调性，配合零点存在定理综合分析，求解参数范围 （1） 证明：当时，，要证，即证，又，即证． 令，则．令，则． 所以，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，所以成立，所以． （2） 因为函数有两个不同的零点，即方程有两个不等实根，所以，即在内有两个不等实根． 令， 则． 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为方程在内有两个不等实根， 所以，令，因为，所以在上单调递增． 又，由，得． 当时， 因为，所以在上有一个零点． 令，则，则当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以（当且仅当时取“=”）， 所以，即． 令，对于方程， 由于，则方程有两个不等的实根， 不妨设为，且，由韦达定理， 则．又，则， 所以，又， 所以在上有一个零点． 综上，当时，在，上各有一个零点．即函数有两个不同的零点 【典型例题3】已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2），证明：． 【答案】 （1）的单调递增区间是，单调递减区间是 （2）证明见解析 【分析】 （1）时，，求出定义域以及，分别解不等式、即可得单调单增区间和单调递减区间； （2）构造函数，利用导数求得即，，只需证明不等式，利用基本不等式即可求证. （1） 当时，，定义域为， ， 由可得；由可得． 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． （2） 设，则， 由可得；由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即①， 当且仅当时，等号成立． 要证，即，只需证． 因为，，所以，所以②， 当且仅当时，等号成立． 因为①②取得等号的条件不同，所以当时，． 【典型例题4】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：． 【解析】解：（1）函数的定义域，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减， 当，时，，函数在单调递减， 当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减， （2）当时，， 由（1）知，（1）， 所以， （3）因为，所以， 由（2）可得， 即， 又． ， 即． 【典型例题5】已知函数． （1）求的极大值点和极小值点； （2）若函数，当时，证明：． 【答案】 （1）极大值点为，极小值点为 （2）证明见解析 【分析】 （1）对求导得，并解方程，判断根两侧的导数的符号，即可得的极大值点和极小值点； （2）利用分析法，通过构造函数，利用函数的单调性和放缩法即可证得结果． （1） 定义域为R，导函数， 由，得或， 令，得； 令，得或． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 故的极大值点为，极小值点为． （2） 欲证，只需证， 即证 设函数， 则， 令，得；令，得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即当时，． 设函数， 则， 所以在上单调递减， 则，即， 所以，即， 又，所以，（点拨：放缩法是常用的证明不等式的方法） 所以当时，． 【变式训练2-1】已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围： （3）证明：当时，恒成立. 【变式训练2-2】已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：. 【变式训练2-3】设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：． 【变式训练2-4】已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 【变式训练2-5】已知函数，. （1）若恒成立，求实数m的取值范围； （2）求证：当时，. 【变式训练2-6】已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若，求实数取值的集合； （3）当时，对任意，令，证明：. 【变式训练2-7】已知函数（，且）. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，. 【变式训练2-8】已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若对任意恒有不等式成立，证明：. 【变式训练2-9】已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程． （2）证明：当时，对一切，都有成立． 【变式训练2-10】已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当，恒成立. 【变式训练2-11】已知函数（）. （1）当时，证明：； （2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明. 【变式训练2-12】已知函数 （1）求的解析式及单调区间； （2）若，求的最大值； （3）证明：． 【变式训练2-13】已知函数. （1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围； （2）设函数. ①若在上恰有1个零点，求实数的取值范围； ②证明：当时，. 题型03： 与sinx，cosx,tanx有关的放缩 【典型例题1】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以， 故选：A 【典型例题2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义判断大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数比较与的大小后可得结论． 【详解】因为，所以，所以，，可得. 构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，， 所以，可知，即， 又，，又，所以， 设函数，则， 当时，，在上单调递减， 则，可知，所以. 综上，. 故选：D． 【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法： （1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较； （2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较； （3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小． 【典型例题3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 令，则， 所以函数在上递增， 所以，即，即， 所以，即， 综上，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键. 【典型例题4】已知函数，，． （1）求的最大值； （2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 【答案】 （1）0 （2） （3）证明见解析 【分析】 （1）求导得到单调区间，计算最值得到答案. （2）题目转化为存在，使得，考虑，，，分别考虑函数的单调性计算最值得到答案. （3）根据前面结论得到，，代入式子结合等比数列求和公式化简得到证明. （1） ，，， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值，即． （2） 对，总存在使得成立， 等价于存在使得成立， 由（1）可知，问题转化为存在，使得， ，，当时， ①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意； ②当时，，使得， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减， 即，则，使得，符合题意； ③当时，若，，函数单调递增，， 则，使得，符合题意； 综上可知，所求实数的取值范围是 （3） 由（2）可得当时，若，，令，，有； 再由（1）可得：，则， 即，也即，∴， ． 则 所以． 【变式训练 3-1】已知函数． （1）求函数的单调区间及最值； （2）证明：，． 【变式训练 3-2】已知函数，． （1）讨论在区间上的零点个数； （2），当时，存在，有成立，证明：． 【变式训练 3-3】已知函数，． （1）若函数在区间内的单调递增，求的取值范围； （2）证明：对任意，． 【变式训练 3-4】已知定义在上的函数．（其中常数是自然对数的底数，） （1）当时，求的极值； （2）（i）若在上单调递增，求实数的取值范围； （ii）当时，证明：． 【变式训练 3-5】已知函数，且函数与有相同的极值点. （1）求实数的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 题型04 ：导数中的数列不等式放缩问题 【典型例题1】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：由函数的图象恒不在轴上方，且，即恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 即实数的取值范围为． （2）解：由（1）知，当时，，即，当且仅当时取等号，令，可得，所以，即当时，． 【典型例题2】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1；(2)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件； 当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值， 于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1. （2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，， 因此当且时，， 而当时，，所以， 则，所以，. 【典型例题3】已知函数. （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 【答案】 （1） （2） （3）证明见解析 【分析】 （1）利用导数判断的单调性，根据单调性确定其最大值； （2）利用参变分离得到，即，令，研究函数的单调性求其最大值； （3）由（1）知，即，令，则，即，由n的任意性代入求和可得证. （1） ，定义域为，求导， 令，求导， 在单调递减，且， 所以当时，，，单调递增； 所以当时，，，单调递减； ； （2） ∵，∴，令， 原问题等价于， ∵，令，得 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以, 所以实数的取值范围为； （3） 证明：由（1）知，即，即，当且仅当时等号成立， 令，∵，∴，即，即 ，，，， 累加可得： 又 所以﹒ 【典型例题4】已知函数． （1）求函数的极值； （2）（i）当时，恒成立，求正整数的最大值； （ii）证明：． 【答案】 （1）答案见解析 （2）（i）3；（ii）证明见解析 【分析】 （1）求导后，分k≤0和k>0讨论即可； （2）（i）转化为寻求f(x)min>0，需要找隐零点的范围 （ii）将所证结论两边取对数，再运用（i）的结论可得，令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣，从而可证. （1） ，x＞0， 当k≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，没有极值； 当k＞0时，由f′（x）＞0得x＞k，由f′（x）＜0得0＜x＜k， 所以f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，此时函数f（x）的极小值f（k）＝lnk﹣k+2，没有极大值； （2） （i）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可， 由（1）k＞0时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增， （a）若k≤1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）min＞f（1）＝1满足题意； （b）当k＞1时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（k）＝lnk﹣k+2＞0， 令g（x）＝lnx﹣x+2，则＜0， 所以g（x）在（1，+∞）上单调递减， 且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0， 所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0， 则g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集为（1，x0）， 综上k的取值范围（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4）， 所以正整数k的最大值3； （ii）证明：要证 两边取对数，即证 也即证 由（i）知， 令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣ 所以 所以（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞． 【变式训练4-1】已知函数， （1）试讨论的单调性； （2）求证：. 【变式训练4-2】已知函数（）． (1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性； (2)求函数在上的最小值； (3)试证明：（；）． 【变式训练4-3】已知函数． (1)证明：； (2)证明：，． 【变式训练4-4】设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：当且时，． 【变式训练4-5】已知函数． （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）求证：且． 【变式训练4-6】已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）①若，证明：在上恒成立； ②证明：对任意正整数，都有成立（其中为自然对数的底数）. 【变式训练4-7】已知函数 （1）若 对于恒成立，求的值； （2）求证：. 【变式训练4-8】已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：. 【变式训练4-9】已知，其中，且. （1）求与的关系； （2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （3）证明：①； ②. 【变式训练4-10】已知函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：当时，成立． 【变式训练4-11】已知函数． （1）讨论函数的单调性 （2）设，时，，求整数k的最大值； （3）求证：时，． 1．已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）设，求证：当时，. 2．已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：（，且）. 3．设． （1）当时，求证：； （2）证明：对一切正整数n，都有． 4．已知是函数的极值点. （1）求的值，并证明恒成立； （2）证明：对于任意正整数， 5．已知，其中为自然对数的底数. （1）当时，求函数在点处的切线的方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）求证：. 6．已知函数. （1）判断的单调性； （2）证明：. 7．已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知函数在区间上不存在极值点，求的取值范围； （3）证明：，. 8．已知函数 （1）若，求的值； （2）证明：对任意的正整数，. 9．已知函数. （1）若，求a的值； （2）证明：. 10．已知函数，，. （1）求的最大值； （2）若对，总存在使得成立，求的取值范围； （3）证明不等式. 11．已知． （1）求证：当时，； （2）求证：，，． 12．已知函数. （1）若，且，求的值； （2）证明：. 13．已知函数 （1）求的单调区间； （2）当时，证明：. 14．已知 （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证： 15．已知函数． （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证： 16．已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）证明：当时，. 17．已知函数，其中，． （1）讨论函数在区间，上的单调性； （2）求证：． 18．已知函数（）. （1）求函数的单调区间； （2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，）. 19．已知函数和. （1）当时，求方程的实根； （2）若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求实数的取值范围； （3）求证：，. 20．设，已知函数在点处的切线方程为． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）证明：当时，． 21．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：． 22．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明：. 23．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 24．已知函数． （1）若存在极值，求的取值范围． （2）当时，证明：． 25．已知，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：，其中，. 26．已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）证明：. 27．已知 （1）证明：； （2）证明：. 28．已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线． （1）求实数的值，并证明：当时，； （2）令，且，证明：． 29．已知． （1）当时求的极值点个数； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：，其中． 30．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意，都有． 31．已知函数. （1）求的极值； （2）当时，若，且，求证：. 32．设函数在点处的切线为． （1）求，的值，并证明：； （2）若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 33．已知． （1）求证：当时，在上单调递增； （2）对于任意，证明：． 34．已知函数． （1）求的单调区间和最值； （2）证明：对大于1的任意自然数n，都有． 35．已知函数 （1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； （2）当时，证明： 36．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 37．已知函数 （1）若时，恒成立，求的取值范围； （2）求证且； （3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证 38．已知函数. （1）若时，恒成立，求的取值范围； （2）求证：（且）； 39．（1）若，判断函数在区间内的单调性； （2）证明：对任意，，. 40．已知函数. （1）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数a的值； （2）求函数的单调区间. （3）求证：. 41．已知函数在处取得极值. （1）求实数的值，并求函数的单调区间； （2）证明：. 42．已知函数，其中为自然对数的底数，函数. （1）求的最大值； （2）求证：； （3）求证：. 43．已知函数. （1）求的单调区间和最值； （2）证明：对大于1的任意自然数n，都有. 44．已知函数； （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 45．已知函数 （1）证明：在区间存在唯一极小值点； （2）证明：. 46．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 47．已知函数． （1）求函数的最大值； （2）证明：． 48．已知函数，求证： （1）函数有且仅有一个零点； （2）. 49．已知函数， (1)若直线与曲线相切，求的值. (2)当时，求证：当时，恒成立. (参考数据：，，) 50．已知函数，． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：． 51．已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：，. 52．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求证：当时，. 53．已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个零点，，且，证明：． 54．已知函数. （1）求函数的极小值； （2）证明：对于任意正整数，(为自然对数的底数). 55．已知：对任意，恒成立 （1）求的范围； （2）证明：．（参考数据：，，，，） 56．已知函数，对于，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）证明：当时，. 57．设函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若的最小值为，证明：. 58．已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方； （2）若函数，，证明：. 59．（1）证明：； （2）证明：； （3）比较与的大小，无需说明理由． 60．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：在上恒成立； （3）证明：当时，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 导数中常见的放缩问题 目 录 高考分析 1 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 7 题型01： 与有关的放缩 7 题型02：与lnx有关的放缩 19 题型03： 与sinx，cosx,tanx有关的放缩 42 题型04 ：导数中的数列不等式放缩问题 53 巩固提升 70 1. 地位：导数压轴题核心技巧，必考、拉分、区分度高，常出现在解答题最后1–2问（12–14分）。 2. 趋势：近年全国卷/新高考卷降低纯构造难度、强化放缩应用；放缩从“技巧”变为常规解题工具。 3. 考法： ①证明不等式（核心） ②恒成立/存在性求参数范围 ③零点/极值点存在性判断（隐零点+放缩） ④双变量/数列不等式（放缩搭桥） 一、知识目标 1. 理解放缩法的本质：用简单函数逼近复杂函数，实现化繁为简。 2. 熟记并会证明高考必考放缩不等式： 3. 知道放缩方向：证明大于就缩小，证明小于就放大。 4. 明确等号条件，会判断是否能取等。 二、能力目标 1. 能识别何时用放缩： ①含 、\ln x 的不等式证明 ②恒成立求参数 ③ 隐零点、函数趋势判断 2. 会选择合适放缩：优先切线放缩，不盲目放缩。 3. 能规范书写：先写放缩公式，再代入原题证明。 4. 能避免过度放缩：放缩后能算出结果，不失效。 5. 能把放缩和求导、单调性、最值结合，完成压轴题。 三、解题目标 1. 会用放缩解决导数大题第2问，拿到关键步骤分。 2. 看到 -ln x、+ax、ln x + ax 类结构，立刻有思路。 3. 能在复杂函数中局部放缩，只放难处理的项。 4. 能独立完成放缩类高考真题，思路清晰、步骤完整。 四、应试目标 1. 放缩题不丢步骤分。 2. 导数压轴题不再完全空题，能写出有效得分点。 3. 达到：看到式子 → 选放缩 → 写结论 → 得满分/高分。 知识点一：函数放缩常用结论 第一组：对数放缩 （放缩成一次函数），， （放缩成双撇函数），， ，， （放缩成二次函数），， （放缩成类反比例函数），，， ，， 第二组：指数放缩 （放缩成一次函数），，， （放缩成类反比例函数），， （放缩成二次函数），， . 常用变式： 第三组：指对放缩 第四组：三角函数放缩 ，，. ，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. 第五组：以直线为切线的函数 ，，，，. 注：放缩程度综合 ， 知识点二：数列放缩常用结论 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． （17）指数恒等式： 次方差公式 这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列. 常见函数的泰勒展开式： 泰勒公式： 泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法． 【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式： 其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量． （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中； （5）； （6）； （7）； （8）． 由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式： ，，， ，，， ，，． 常见函数的泰勒展开式结论： 结论1 ． 结论2 ． 结论3 （）． 结论4 ． 结论5 ；；． 结论6 ； 结论7 结论8 ． 结论9 ． 常见函数的麦克劳林展开式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 帕德逼近： 高考常见题型与解题策略 1. 不等式证明（最常考） （1）思路：复杂函数 → 放缩为简单函数 → 证简单不等式 （2）方法： ①切线放缩：用切线夹逼（eˣ≥x+1、lnx≤x−1本质是切线） ②局部放缩：只放缩难处理项（如eˣ、lnx） ③双函数法：f(x)≤g(x) ⇨ f(x)max ≤ g(x)min 2. 恒成立求参数（a≥f(x) 或 a≤f(x)） （1）思路：放缩简化f(x)，求最值/范围 （2）技巧： ①分离参数后放缩 ② 含eˣ/lnx时优先放缩消参 ③端点/特殊点先试探 3. 零点/隐零点问题 （1）思路：用放缩判断导函数/原函数符号，确定零点存在 （2）操作： ① 对f’(x)放缩，找正负区间 ②用eˣ≥x+1、lnx≤x−1控制无穷远处趋势 4. 双变量/数列不等式 （1）思路：放缩统一变量，转化为单变量函数 （2）常见： ①极值点偏移（x₁+x₂>2、x₁x₂<1） ② 数列求和放缩（ln(n+1)<1+1/2+…+1/n） 高考解题步骤（模板） 1. 定义域优先（尤其lnx、分母） 2. 观察结构：有无eˣ、lnx、三角，匹配放缩公式 3. 选择放缩方向： ① 证≥：放小；证≤：放大 ②优先用等号可验证的切线型放缩 4. 构造辅助函数：求导、判单调、求最值 5. 验证等号：不同时取等则严格不等 6. 书写规范：先证放缩式，再代入原题 题型01： 与有关的放缩 【典型例题1】设函数，. （1）若，求a的值 （2）证明：. 【答案】 （1） （2）证明见解析 【分析】 （1）构造函数，求导后分类讨论，求出最小值，转化为，利用函数的单调性知，只有满足题意； （2）由（1）知，，令，转化为即可证明. （1） 设，则. 当时，在R上单调递增，且，当时，不符合题意，舍去. 当时，令，则；令，则.故在上单调递减，在上单调递增， 故. 若，则只需，设， 则，所以在上单调递增，在上单调递减，故， 因此，只有当时满足题意，即. （2） 由（1）知，，，当且仅当时，等号成立. 令，代入可得，即. 由（1）知，，即，故， 因此，即. 【典型例题2】已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若是函数的极值点，且，求证：. 【答案】 （1） （2）证明见解析 【分析】 （1）求导，可得，，即得解； （2）求导可得导函数与同正负，分，两种情况讨论极值，当时，对求导，分析可得存在，使得，当时，函数的极小值，令，求导分析可得，利用导数分析可得，，代入即得解 （1） 若，则， ∴， 又，， ∴切线的方程为， 即； （2） ， ∵函数的定义域为，∴， 令，， ①当时，，，在上单调递增，无极值，不符合题意； ②当时，，∴在上单调递增， 当时，，， ∴存在，使得，即， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. ∴当时，函数的极小值 ， 令，则， ∴在上单调递减，又∵， ∴， 令， 故在单调递增， 故当，有 令， 故在单调递减， 故当，有 ∴. 则. 【典型例题3】已知函数． （1）求函数图象在处的切线方程． （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）求出导函数，计算斜率后可得切线方程； （2）设，用导数证明在时恒成立，即，从而得，然后由不等式的性质可证明题设结论． 【详解】 （1）解：因为， 所以， 则． 因为， 所以所求切线方程为， 即． （2）证明：设，则． 由，得；由，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即，当且仅当时取等号． 因为，所以， 所以，所以． 当时，， 所以， 则，即． 【变式训练1-1】已知函数（）（其中为自然对数的底数）. （1）当时，判断函数的单调性； （2）若，证明对于任意的恒成立. 【答案】（1）增函数；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数，令，再求导，求得的最小值可证； （2）先证对任意，，然后利用不等式的性质证明时，不等式成立. 【详解】 解：（1）当时，，， 设，则，令，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以函数为增函数； （2）先证对任意，. 令，，. 令，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增，所以，所以，， 当时，， 即对于任意的恒成立. 【变式训练1-2】（1）已知函数（）． ①试讨论函数的单调性； ②若，为函数的两个极值点，证明：． （2）证明：（e为自然对数的底数，，） 【答案】（1）①答案不唯一，具体见解析；②证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （１）①求导得，进而结合判别式分，，三种情况讨论函数的单调性即可；②利用极值点的必要条件，以及根与系数的关系，通过消元，将问题转化为，再构造函数进行证明； （2）由得，进而得，再求和即可证明. 【详解】 解：（1）①，，令，， 当∆≤0，即时，，在上单调递增； 当，即或时， 当时，，恒成立，在上单调递增； 当时，令，，． x + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减． ②证明：由（1）知时才有两个极值点，， 且，，不妨设， 要证，即证，即， 即证． 设（）， 由（1）知当时，在上单调递增，， 所以在上单调递减，所以．原式得证． （2）令，∴， ∴当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 【变式训练1-3】已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求得，然后求得，根据在有两个变号零点列不等式组，由此求得的取值范围. （2）先证得时，所证不等式成立，当时，转化为证明，构造函数，利用导数证得，从而证得所证不等式成立. 【详解】 （1）依题意知：，， ， ， 有两个极值点， 在有两个变号零点， 令得：①， 关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为， 即：解得：， ， 故的取值范围为：. （2）依题意，要证：， ①当时，，故原不等式成立， ②当时，要证：， 即要证：， 令则， ， 先证：， 即要证：， 令，则， 当时，， 在单调递增， ， 即：， 当时，，， ， 在(1,+∞)单调递减， ， 在(1,+∞)单调递减， ， 即：， 故原不等式成立. 【变式训练1-4】当时，证明：恒成立. 【答案】证明见解析 【解析】由题意可知，函数的定义域为， 先证明，令， 则， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即， 所以，， 设，其中，则且不恒为零， 所以，在上为增函数，故当时，， 所以，， 因为，故，故原不等式得证. 【变式训练1-5】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：当时，． 【解析】解：（1）的定义域为，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，令，得， 令，得，则在上单调递减，在上单调递增； 当，时，，则在上单调递减； 当，时，令，得， 令，得，则在上单调递增，在上单调递减； （2）证明：设函数，则． ，，，， 则，从而在，上单调递减， ，即． （3）证明：方法一：当时，． 由（1）知，（1），，即． 当时，，，则， 即，又， ， 即． 方法二：当时，要证， 只需证 即证， 令，易证， 故， 所以当时，． 【变式训练1-6】已知函数，. （1）已知恒成立，求a的值； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）作差，设，利用导数求出的最小值为，只需；设，利用导数求出，解出； （2）利用把原不等式转化为证明，即证：， 设，利用导数求出最小值，即可证明. 【详解】 （1）设，， 当时，，单增，当，不满足恒成立 当，在单减，在单增， 所以的最小值为，即，即 设，，所以在单减，在单增， 即，故的解只有，综上 （2）先证当时，恒成立. 令，求导，所以在上单调递增， ，所以 所以要证，即证， 即证，即证：， 设，求导， 所以在上单调递减，所以，即原不等式成立. 所以当时，如成立. 题型02：与lnx有关的放缩 【典型例题1】已知函数f（x）=lnx-x+1. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥1时，ax2+3x-lnx>0. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求导，再根据导数的正负判断函数的单调区间； （2）结合（1）可知，，化简得，，所以，则原式可同步放缩为，即可求证. 【详解】 （1）由题意，函数的定义域为，且， 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明：由（1）得在）上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以， 因为，所以则， 即,即. 【典型例题2】已知函数． （1）当时，证明：； （2）当时，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【分析】 （1）通过不等式的性质化简不等式并构造函数，利用函数最值可证明不等式（2）函数与方程的综合问题，通过构造函数，利用导数确定函数的单调性，配合零点存在定理综合分析，求解参数范围 （1） 证明：当时，，要证，即证，又，即证． 令，则．令，则． 所以，当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，所以成立，所以． （2） 因为函数有两个不同的零点，即方程有两个不等实根，所以，即在内有两个不等实根． 令， 则． 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为方程在内有两个不等实根， 所以，令，因为，所以在上单调递增． 又，由，得． 当时， 因为，所以在上有一个零点． 令，则，则当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以（当且仅当时取“=”）， 所以，即． 令，对于方程， 由于，则方程有两个不等的实根， 不妨设为，且，由韦达定理， 则．又，则， 所以，又， 所以在上有一个零点． 综上，当时，在，上各有一个零点．即函数有两个不同的零点 【典型例题3】已知函数． （1）当时，求的单调区间． （2），证明：． 【答案】 （1）的单调递增区间是，单调递减区间是 （2）证明见解析 【分析】 （1）时，，求出定义域以及，分别解不等式、即可得单调单增区间和单调递减区间； （2）构造函数，利用导数求得即，，只需证明不等式，利用基本不等式即可求证. （1） 当时，，定义域为， ， 由可得；由可得． 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． （2） 设，则， 由可得；由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即①， 当且仅当时，等号成立． 要证，即，只需证． 因为，，所以，所以②， 当且仅当时，等号成立． 因为①②取得等号的条件不同，所以当时，． 【典型例题4】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． （3）证明：． 【解析】解：（1）函数的定义域，， 当，时，，则在上单调递增； 当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减， 当，时，，函数在单调递减， 当，时，由可得，此时函数单调递增，令可得，此时函数单调递减， （2）当时，， 由（1）知，（1）， 所以， （3）因为，所以， 由（2）可得， 即， 又． ， 即． 【典型例题5】已知函数． （1）求的极大值点和极小值点； （2）若函数，当时，证明：． 【答案】 （1）极大值点为，极小值点为 （2）证明见解析 【分析】 （1）对求导得，并解方程，判断根两侧的导数的符号，即可得的极大值点和极小值点； （2）利用分析法，通过构造函数，利用函数的单调性和放缩法即可证得结果． （1） 定义域为R，导函数， 由，得或， 令，得； 令，得或． 所以在，上单调递增，在上单调递减． 故的极大值点为，极小值点为． （2） 欲证，只需证， 即证 设函数， 则， 令，得；令，得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即当时，． 设函数， 则， 所以在上单调递减， 则，即， 所以，即， 又，所以，（点拨：放缩法是常用的证明不等式的方法） 所以当时，． 【变式训练2-1】已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围： （3）证明：当时，恒成立. 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）先求导，再对分四种情况讨论得解； （2）对分三种情况讨论，结合函数的图象分析得解； （3）设，，证明， ，又因为，所以，即得证. 【详解】 解：（1）函数的定义域为 ，， 当时，函数在区间上单调递减，在上单调递增； 当时，若，则函数在上递增； 若，则函数在区间，上单调递增，在上单调递减； 若，则函数在区间，上单调递增，在上单调递减； （2）①当时，函数只有一个零点，不合题意，舍去； ②当时，由（1）知有最小值， 要使有两个零点，则需，即 此时，，则在上存在唯一零点； 又， 当时，设，， 所以在上递增，在上递减， 所以，即 由，所以，所以，所以 所以， 所以函数在上存在唯一零点， 所以当时，函数存在两个零点； ③当时，由（1）可知 （i）当，则函数在上递增，不合题意； （ii）当，则函数的极大值为， 则函数在上无零点，在至多一个零点，不合题意，舍去； (iii)当，则函数的极大值为， 则函数在上无零点，在至多一个零点，不合题意，舍去； 综上所述，函数存在两个零点时，； （3）设， 设()，， 则在上递增，在上递减， 所以 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以当时，恒成立. 【变式训练2-2】已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：. 【答案】（1）；（2），在单调递减；，在单调递增，在单调递减；（3）证明见解析. 【分析】 （1）求得导函数，利用导数的几何意义得到切线的斜率，进而得出切线方程； （2）分类讨论，函数的定义域，在定义域内研究讨论导数的正负，进而得到单调性； （3）解法1：等价转化为.先将不等式左边看成以a为自变量的函数，设，利用导数研究其单调性，进而得到 .由（1）可知，当时，，得，然后利用放缩证得； 解法2：（3）不等式等价于. 由（1）可知，当时，，得，先利用，得到，从而为证原不等式，只需证 构造函数，利用导数研究其单调性，进而得证. 【详解】 （1），则， 于是点处切线方程为：，即. （2）若，则定义域，，在单调递减. 若，则定义域为，. 由得，由得，所以在单调递增，在单调递减. 解法1：（3）不等式等价于. 设，. 设，则，所以. 而，所以，在单调递减，所以. 由（1）可知，当时，，得.所以 . 因此当时，. 解法2：（3）不等式等价于. 由（1）可知，当时，，得，从而. 设，在单调递增. 因为，所以当时，，当时，. 所以.因此. 所以当时，. 【变式训练2-3】设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】 （1）答案见解析 （2）证明见解析 【分析】 （1）求导函数，分，，讨论导函数的符号，得出原函数的单调性. （2）先证明在上成立，将不等式转化为需证，只需证，令，求导函数，分析导函数的符号，得出单调性可由最值得证. （1） 解：的定义域为，则，令则 当时，在上单调递增， 当，即时，在上单调递增， 当时，有两根 所以的增区间为，减区间为. 综上得：当时，在上单调递增， 当时，的增区间为，减区间为. （2） 解：令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以， 所以要证，只需证，整理得， 又因为，所以只需证， 令，则，令，则， 令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 又，， 所以在时，恒成立，所以在上单调递减，所以， 即，即成立，即得证. 【变式训练2-4】已知函数． （1）求函数的极值； （2）求证：． 【答案】 （1）函数的极小值为，没有极大值； （2）证明见解析. 【分析】 (1)求函数的导函数，由确定极值点的可能值，再通过分析所得点的两侧的导数值得符号确定函数的极值点和极值；(2)构造函数证明，由此可得要证明，只需证明，再证明恒成立，由此完成证明. （1） ∵ ， ∴ ，令可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， ∴ 当时，函数取极小值，极小值为，函数没有极大值； （2） 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， ∴，即，∴ 要证明，只需证明， 只需证明，只需证明， 只需证明， 设，则，令可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， ∴，∴ ， ∴ 当时成立， ∴. 【变式训练2-5】已知函数，. （1）若恒成立，求实数m的取值范围； （2）求证：当时，. 【答案】 （1） （2）证明见解析 【分析】 （1）令，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由（1）可知恒成立，即，要证，只需证明成立即可，然后设，利用导数求出的单调性，然后即可证明. （1） 令， 则 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值， 若恒成立，则，即. （2） 证明：由（1）可知恒成立，即， 要证，只需证明成立即可. 设，则， 设， 则，易得在上单调递减，在上单调递增， 又，，因为，所以，所以存在，使得， 所以当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 因此，当时，， 故当时，. 【变式训练2-6】已知函数 （1）当时，求在处的切线方程； （2）若，求实数取值的集合； （3）当时，对任意，令，证明：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）求导可得，又，利用直线的点斜式即得解； （2）转化为，求导研究单调性，分，两种情况讨论，即得解； （3）利用（2）中结论，由，可得，即；再由，，可得，即，综合即得解 【详解】 （1）当时，，， ∴， ∴在处的切线方程为 （2） 当时，恒成立，因此在上单调递减， 注意到，不符合题意； 当时，令；令 因此在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为 令 令；令 所以在(0，1)单调递增，单调递减 所以在有最大值， ∴，∴ ∴ 综上，当时，实数取值的集合为. （3）当时，，则 由（2）知，，当且仅当时取等 ① 由①式：，即，当且仅当时取等 可得当时 综上： 【变式训练2-7】已知函数（，且）. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导，令，然后由，讨论求解； （2）根据（1）知，由时，在上单调递增，在上单调递减，得到对恒有，即，进而得到对恒有，再结合证明. 【详解】 （1）函数的定义域为， ， 令，为二次函数，， ①当时，，， 所以，故在单调递增； ②当时，，令， 得，， 显然， 所以当，， 所以，单调递增； 当时，， 所以，单调递减. 综上，当时， 在单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 因此对恒有，即， 于是对恒有.① 记， 则， 所以在上单调递减， 所以当时，，即， 所以当时，.② ①②得，当时，， 即， 两边都除以，得. 所以当时，. 【变式训练2-8】已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若对任意恒有不等式成立，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求得函数的导数，令，解得，令，利用导数得到在上为增函数，且，得到有唯一实根，得到，结合函数的单调性，即可求解； （2）当时，单调递增，不适合题意；当时，由（1）知， 设，利用导数求得的单调性和最值，得出，根据恒成立，得到，转化为证，根据，进而转化为，构造，求得单调性和最值，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数，可得的定义域为， 且， 令，解得， 令，可得， 所以在上为增函数，且，所以有唯一实根， 即有唯一实根，设为，即， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以. （2）由（1）知，的定义域为，且， 当时，可得，所以单调递增，值域为，不适合题意； 当时，由（1）可知， 设，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，即. 由恒成立，所以，所以， 所以.可知，因此只需证：， 又因为，只需证，即， 当时，结论成立， 当时，设，， 当时，显然单调递增.，故单调递减， ，即. 综上结论成立. 【变式训练2-9】已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程． （2）证明：当时，对一切，都有成立． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出切点坐标好切线的斜率即得解； （2）先证明，令，证明即得证. 【详解】 （1）解：，， ，则， 所以曲线在处的切线方程为． （2）证明：因为，所以， 又，所以， 设， 所以， 所以函数在上单调递减，所以 所以． 令，，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以． 所以， 所以， 所以 所以，当时，对一切，都有． 【变式训练2-10】已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当，恒成立. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求得，利用导数可取得函数的增区间和减区间； （2）先证明，可得出当时，，利用此不等式结合不等式的基本性质可证得恒成立. 【详解】 （1）当时，，函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）首先证明引理：. 令，则. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，故，当时，则有， 故由引理可得， 故当时，， 故当，恒成立. 【变式训练2-11】已知函数（）. （1）当时，证明：； （2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明. 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析. 【分析】 （1）求出a=1时函数的解析式并求导，利用导数研究函数的单调性，从而得到函数的最小值，即可证明问题； （2）求出导函数，令,然后对a进行分类讨论，结合零点的定义分析求解a的取值范围，再设，且，求出的范围即可证明. 【详解】 （1）当时，，（）, 因为在上单调递增，且, 所以，当时，，在区间上单调递减, 当时，，在区间上单调递增, 所以. （2）由题知：（），，令 则， 所以在上单调递增； 当时，由（1）知：只有一个零点，不合题意， 当时，因为在上单调递增，且，，故存在，使得，即，，所以，当时，，在区间上单调递减. 当时，，在区间上单调递增， 所以， 则. 所以没有零点，不合题意； 当时，因为在区间上单调递增， 且， 所以存在满足， 所以，当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以， 又， 先证：，设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，当且仅当x=1时取“=”， 因为a>1，所以， 又因为，所以时，有且仅有两个零点，， 设，且，则，， 所以. 【变式训练2-12】已知函数 （1）求的解析式及单调区间； （2）若，求的最大值； （3）证明：． 【答案】（1），在上递减，上递增；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）由题设得，将代入求，再将代入求，写出解析式，最后利用导数研究单调性即可； （2）由（1）及题设知：，令利用导数研究单调性，并讨论参数a可得，即，再构造，由导数求其最大值，即可得的最大值； （3）证明则有，问题转化为证即可，构造并利用导数证明在上恒成立即可. 【详解】 （1）由题设，，则，得， ∴，则，得， ∴，且，则，即单调递增，又， ∴时，则在上递减；时，则在上递增； （2）由题设，，有， 令，则， ∴当时，，递增且，不合题意； 当时，，递增且， 此时，当时，不能恒成立，不合题意；当时，则； 当时，上，递增；上，递减； 此时，即可， ∴，令且， ∴，则时，递增；时，递减； ∴，即，故当，时等号成立， 综上，的最大值为. （3）由，有， 令且，则，易知上，递增，上，递减，即， ∴，即，故只需证. 令且，则， 若且，则，有，即上递增，，即上递减， ∴，即，故递增， ∴，故得证. 【变式训练2-13】已知函数. （1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围； （2）设函数. ①若在上恰有1个零点，求实数的取值范围； ②证明：当时，. 【答案】（1）；（2）①；②证明见解析. 【分析】 （1）将问题转化为“恒成立”，构造函数，分析其单调性和最值，由此求解出的最小值，则的取值范围可求； （2）①先求解出，然后根据三角函数的有界性对进行分类讨论：、、，分别确定出的单调性并分析其最值由此确定出零点个数并求解出的取值范围； ②先将不等式变形为“”，然后结合（1）的结论进行证明. 【详解】 解：（1）法一：在上恒成立， 所以，令，则， 由，得，所以在单调递增， 由，得，所以在单调递减， 所以当时，取得最小值， 所以. 法二：在上恒成立，， 当时，，不满足题设， 当时，令，， 在上，单调递增；在上，单调递减； ，所以. （2）①，， 所以， 当时，，所以在单调递增， 又因为，所以在上无零点. 当时，，使得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又因为，， 所以若，即时，在上无零点， 若，即时，在上有一个零点， 当时，，在上单调递减且，所以在上无零点， 综上：当时，在上有一个零点. ②证明：，等价于， 即证， 由（1）得，可得，所以， 又当时，，所以， 所以恒成立. 题型03： 与sinx，cosx,tanx有关的放缩 【典型例题1】已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以， 故选：A 【典型例题2】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义判断大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数比较与的大小后可得结论． 【详解】因为，所以，所以，，可得. 构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，， 所以，可知，即， 又，，又，所以， 设函数，则， 当时，，在上单调递减， 则，可知，所以. 综上，. 故选：D． 【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法： （1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较； （2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较； （3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小． 【典型例题3】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较，构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 令，则， 所以函数在上递增， 所以，即，即， 所以，即， 综上，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，，利用中间量来比较的大小是解决本题的关键. 【典型例题4】已知函数，，． （1）求的最大值； （2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 【答案】 （1）0 （2） （3）证明见解析 【分析】 （1）求导得到单调区间，计算最值得到答案. （2）题目转化为存在，使得，考虑，，，分别考虑函数的单调性计算最值得到答案. （3）根据前面结论得到，，代入式子结合等比数列求和公式化简得到证明. （1） ，，， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值，即． （2） 对，总存在使得成立， 等价于存在使得成立， 由（1）可知，问题转化为存在，使得， ，，当时， ①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意； ②当时，，使得， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减， 即，则，使得，符合题意； ③当时，若，，函数单调递增，， 则，使得，符合题意； 综上可知，所求实数的取值范围是 （3） 由（2）可得当时，若，，令，，有； 再由（1）可得：，则， 即，也即，∴， ． 则 所以． 【变式训练 3-1】已知函数． （1）求函数的单调区间及最值； （2）证明：，． 【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是，函数的最小值是，无最大值；（2）证明见解析． 【分析】 （1）求的导函数，判断时，，当时，求，逐步判断和的正负，得到的单调性. （2）利用第（1）问的结论，时，，将放缩变形为， 【详解】 （1）解：， 当时，， 所以，单调递减； 当时，， 所以单调递增， ， 所以， 所以单调递增． 所以． 综上，函数的单调递增区间是， 单调递减区间是， 函数的最小值是，无最大值． （2）证明：由第（1）问知，当时，， 取，，，，…，，， 有 故， ， ， …… 所以 ． 【变式训练 3-2】已知函数，． （1）讨论在区间上的零点个数； （2），当时，存在，有成立，证明：． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （1）由题设得，讨论、时的符号，进而确定的单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数. （2）由题设，若易得，构造并由导数研究单调性，利用放缩法有，再由分析法要证，只需证有即可，最后构造函数研究单调性，证明结论. 【详解】 （1）且， ①若，，即在上单调递增，又， ∴在无零点． ②若，由，则， 当，即，， ∴在上单调递增，又，故在无零点． 当，即，又在上单调递增，存在使得， ∴在单调递减，在上单调递增，又，故，又． 此时，若，即时，在无零点．若在，即时，在有一个零点． 综上：当，在无零点，当时，在有一个零点，当时，在无零点． （2）证明：设，由， ∴，即． 令，，则，即该函数在单调递增， ∴，即， ∴， ∴． 要证，只需证明，令，即，只需证明， 设，则在上， ∴在上单调递减，，即成立， ∴，得证. 【变式训练 3-3】已知函数，． （1）若函数在区间内的单调递增，求的取值范围； （2）证明：对任意，． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 (1)对求导得，对的取值分类讨论即可. (2)由(1)可得，即，结合， 可得， 由不等式的放缩法可得，进而得出结果. 【详解】 （1）因为， 所以． 因为，所以，则． （ⅰ）当时，则，， ∴，即此时在上单增． ∴符合题意． （ⅱ）当时，此时，在上单减． ∴要使在上单增，只需要对恒成立， 即只需要恒成立即可，∴， ∴． 综上可知，当时，函数在上单调递增． （2）由（1）知，当时，，即， 所以． 令，所以，从而， 所以， 首先，当时，，所以； 其次， 因为 ， 所以， 所以． 故可得到对恒成立． 【变式训练 3-4】已知定义在上的函数．（其中常数是自然对数的底数，） （1）当时，求的极值； （2）（i）若在上单调递增，求实数的取值范围； （ii）当时，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）（i）；（ii）证明见解析. 【分析】 （1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值； （2）（i）利用参变量分离法可得出对任意的恒成立，求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围； （ii）证明得出：当时，，依次可得出，，，，利用不等式的基本性质可证得所证不等式成立. 【详解】 （1）当时，，该函数的定义域为， 则，，所以，函数在上为增函数， 且，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增. 所以，函数的极小值为，无极大值； （2）（i），则， 在上单调递增，则对任意的恒成立， 可得，下面证明：，其中， 即证，即证，其中， 由（1）可知，对任意的，， 又当时，， ，故实数的取值范围是； （ii）由（1）可知，当时，在上单调递增， 当时，，即， 当时，，则， ， 当时，， 所以，，所以，， ，，， 将上述不等式全部相加得. 故原不等式得证. 【变式训练 3-5】已知函数，且函数与有相同的极值点. （1）求实数的值； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）先求得的极大值点为，由可得，经检验可确定； （2）先求得在上的最大值和最小值，然后分和两种情况可得的取值范围； （3）所证不等式即为，通过证明和即可证得结果. 【详解】 （1）的定义域为，，由得， 易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为， ，依题意有，解得，经验证符合题意，故. （2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减， 又，且， 当时，，. ① 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立， 则， ，又， 此时的取值范围为； ② 当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立， 则， 所以，又， 此时的取值范围为. 综上，实数的取值范围为. （3）证明：所证不等式即为， 下证：，即证， 设，则， 令，则， 易知函数在上单调递减，且， 故存在唯一的，使得，即，， 且当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减， ， 在单调递减， 又时，，故，即； 再证：，即证在上恒成立， 设，， 在单调递增，则，即， 故， 综上，. 题型04 ：导数中的数列不等式放缩问题 【典型例题1】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：由函数的图象恒不在轴上方，且，即恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 即实数的取值范围为． （2）解：由（1）知，当时，，即，当且仅当时取等号，令，可得，所以，即当时，． 【典型例题2】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1；(2)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件； 当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值， 于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1. （2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，， 因此当且时，， 而当时，，所以， 则，所以，. 【典型例题3】已知函数. （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 【答案】 （1） （2） （3）证明见解析 【分析】 （1）利用导数判断的单调性，根据单调性确定其最大值； （2）利用参变分离得到，即，令，研究函数的单调性求其最大值； （3）由（1）知，即，令，则，即，由n的任意性代入求和可得证. （1） ，定义域为，求导， 令，求导， 在单调递减，且， 所以当时，，，单调递增； 所以当时，，，单调递减； ； （2） ∵，∴，令， 原问题等价于， ∵，令，得 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以, 所以实数的取值范围为； （3） 证明：由（1）知，即，即，当且仅当时等号成立， 令，∵，∴，即，即 ，，，， 累加可得： 又 所以﹒ 【典型例题4】已知函数． （1）求函数的极值； （2）（i）当时，恒成立，求正整数的最大值； （ii）证明：． 【答案】 （1）答案见解析 （2）（i）3；（ii）证明见解析 【分析】 （1）求导后，分k≤0和k>0讨论即可； （2）（i）转化为寻求f(x)min>0，需要找隐零点的范围 （ii）将所证结论两边取对数，再运用（i）的结论可得，令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣，从而可证. （1） ，x＞0， 当k≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，没有极值； 当k＞0时，由f′（x）＞0得x＞k，由f′（x）＜0得0＜x＜k， 所以f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，此时函数f（x）的极小值f（k）＝lnk﹣k+2，没有极大值； （2） （i）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可， 由（1）k＞0时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增， （a）若k≤1时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）min＞f（1）＝1满足题意； （b）当k＞1时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（k）＝lnk﹣k+2＞0， 令g（x）＝lnx﹣x+2，则＜0， 所以g（x）在（1，+∞）上单调递减， 且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0， 所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0， 则g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集为（1，x0）， 综上k的取值范围（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4）， 所以正整数k的最大值3； （ii）证明：要证 两边取对数，即证 也即证 由（i）知， 令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣ 所以 所以（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞． 【变式训练4-1】已知函数， （1）试讨论的单调性； （2）求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先求出函数的导函数，再对方程的根的情况分类讨论，即可求出函数的单调区间； （2）由（1）知当时，函数在上是单调增函数，且当时，，即，从而得到，，即可得到，累加即可得证； 【详解】 解：（1）因为， 所以， 当即时，，在上单调递增 当即时，，在上单调递增 当即时，由得 ，，此时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 （2）由（1）知当时，函数在上是单调增函数， 且当时， 即， 当，时，， 将上个不等式相加得 即.得证. 【变式训练4-2】已知函数（）． (1)当时，试确定函数在其定义域内的单调性； (2)求函数在上的最小值； (3)试证明：（；）． 【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间；(2)答案见解析；(3)证明见解析. 【详解】（1）当时，定义域为，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2），，求导得，当时，恒成立，即函数在上单调递减，因此；当时，由，得，当，即时，，函数在上单调递减，因此；当，即时，由，得，由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，所以当时，，当时，. （3）由（1）知，当时，在处取得最小值，即，于是， ，令，则有，因此，即，所以． 【变式训练4-3】已知函数． (1)证明：； (2)证明：，． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）证明：，令恒成立，解得，当时，解得，当，解得，此时在上单调递减，在上单调递增；所以在取得最小值，，恒成立，即成立． （2）证明：由（1）可知，在上单调递增，且，所以在恒成立，即，，当时，令，则，， 所以，所以，，……，，所以， 即，.得证． 【变式训练4-4】设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：当且时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）因为定义域为，又，故，故切线方程为，即. （2）令，，则 当时，，单调递增，故，即当时，，即当时，恒成立； （3）由（2）可知当时，恒成立，且当且仅当时，所以当时，恒成立，令，且，得，即，由此可得，，，…… ，将以上个式子相加得，且. 【变式训练4-5】已知函数． （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）求证：且． 【答案】（1）；（2） 证明见解析． 【分析】 （1）由在区间上恒成立，来列不等式，由此求得的取值范围. （2）先证得，由此得到，结合对数运算，利用放缩法证得不等式成立. 【详解】 （1）依题意，在上恒成立， 即在，上恒成立， ，即实数的取值范围为； （2）当时，，在区间上单调递增， ，即， 令得，， 且，即得证． 【变式训练4-6】已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）①若，证明：在上恒成立； ②证明：对任意正整数，都有成立（其中为自然对数的底数）. 【答案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】 （1）讨论参数a，利用导数研究的单调性即可. （2）①将问题转化为在上恒成立，构造并利用导数求证在上恒成立，结论得证. ②由①有，令，则有，放缩不等式左边， 应用裂项相消法求和，即可证结论. 【详解】 （1）的定义域为，. 若，则，在上单调递减； 若，则，在上单调递减； 若，则有两个不等的实根： 当时，，故在上单调递增； 当或时，，故在，上单调递减. 综上所述，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）①证明：若，则，不等式等价于. 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减；即， ∴在上恒成立，即在上恒成立. ②证明：由①可知（当且仅当时等号成立）， 令，则. ∴， ∴，即对任意正整数，都有成立. 【变式训练4-7】已知函数 （1）若 对于恒成立，求的值； （2）求证：. 【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求，讨论时在为增函数，且，不符合题意，当时，求的单调性，使得即可求解； （2）由（1）知当时，即，令，得，再累加结合不等式放缩即可求证. 【详解】 （1）的定义域为，由可得， 若，则恒成立，在为增函数，且， 所以当时，不符合题意； 所以不成立； 若，则时；时， 所以在为减函数，在为增函数， 所以的最小值为， ， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，当时，，即， 令得， 所以 ， 所以， 所以. 【变式训练4-8】已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，证明：. 【答案】（1）0；（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【分析】 （1）对函数求导，根据导函数的正负性判断函数的单调性，进而求出最小值； （2）对函数求导，运用分类讨论思想，根据导函数的正负性判断函数的单调性； （3）根据（1）的结论，得到不等式，进而构造，运用放缩法进行求解证明即可. 【详解】 （1）解：当时，，定义域为， ，令，解得，所以函数在区间上单调递增，令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以； （2）解：函数，定义域为，， 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增； 令，解得，所以函数在区间上单调递减. （3）证明：由（1）知当时，，所以， 令，得， 又， 所以， 所以 【变式训练4-9】已知，其中，且. （1）求与的关系； （2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （3）证明：①； ②. 【答案】（1）；（2）或；（3）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】 （1）由即可求解； （2）求出的导数，令，可得或恒成立，讨论，和根据二次函数的性质求解； （3）①构造函数，利用导数求出最值即可证明； ②由①可得，放缩结合裂项相消即可证明. 【详解】 解：（1）由题意，又， ，， ，而，所以； （2）由（1）知：，， 令.要使在为单调函数，只需在满足：或恒成立. ①时，，，，， 在单调递减，适合题意. ②当时，图象为开口向上抛物线，对称轴为. .只需，即时，， 在单调递增，适合题意. ③当时，图象为开口向下的抛物线，其对称轴为， 只需，即时，恒成立. ，在单调递减，适合题意. 综上①②③可得，或. （3）证明：①即证：， 设，则. 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递减函数； 为的极大值点，（1）. 即，. ②由①知，又， ， ，时，令，得， ， ， 结论成立. 【变式训练4-10】已知函数． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：当时，成立． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数可知,当时不合题意,当时求出函数的单调区间,进一步求出函数的最大值,由最大值小于等于0求解a的范围; （2）由(1)可得在上恒成立，令,则，进而累加得，另一方面由得，即，再根据不等式的性质即可证明. 【详解】 解：（1）， 若,则,则在上是增函数， 而,不成立,故， 若,则当时, ；当时, ， 在上是增函数,在上是减函数， 的最大值为， 要使恒成立,只需,解得. 所以实数的取值范围 (2)由(1)知,当时,有在上恒成立, 恒成立， 令,则, 令, 则有， 以上各式两边分别相加,得， 即, 又因为，所以，即， 所以， 所以，证毕. 【变式训练4-11】已知函数． （1）讨论函数的单调性 （2）设，时，，求整数k的最大值； （3）求证：时，． 【答案】（1）递增区间为，递减区间为； （2） ； （3）证明见解析. 【分析】 （1）求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间； （2）由，求得，把不等式转化为当时，恒成立，令，利用导数求得函数的最小值，即可求解； （3）设，利用导数求得函数的单调性与最值，得到，得到即，令，可得，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数，可得， 令，即，解得，所以函数在区间上单调递增； 令，即，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以函数的递增区间为，递减区间为. （2）由，可得， 因为当时，，即当时，， 即当时，恒成立， 令，可得， 令，可得， 当时，，单调递增， 又由，所以在内存在唯一的零点， 设为，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上的最小值为， 所以恒成立，可得整数的最大值为. （3）设，可得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以，所以，即， 令，可得，所以， 即时，． 1．已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）设，求证：当时，. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出定义域后对其求导，再对的值分类讨论，结合导数与函数单调性的知识即可求解；（2）将所求证的不等式进行转化后再放缩，构造求出其最小值，即可证明原不等式. 【详解】 （1）的定义域为.由题意得. 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，令得，所以当时，，可知在区间上单调递增；当时，，可知在区间上单调递减. 综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由题意得，当时，， 所以， 所以. 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 所以. 所以， 所以， 所以. 2．已知函数. （1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围； （2）证明：（，且）. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求得导函数，并通分，分解因式，在定义域内，利用二次函数的图象和性质，分类研究导数的正负正负情况，分析函数的单调区间，得到满足题意得的取值范围; （2）根据（1）中的单调性分析，可得≥=0.进而得到，利用此不等式对待证不等式左边各项放缩，并利用裂项消项求和法和不等式的基本性质即可证得. 【详解】 （1）解：由题意可得. ①若，则. 当时，；当时，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 此时要满足函数在区间上单调递增，需满足，解得.所以. ②若，则. 当时，；当时，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 此时要满足函数在区间上单调递增，需满足，解得.所以. ③若，则显然满足在区间上单调递增. 综上，实数a的取值范围是； （2）证明：当时，， 此时由（1）中的②得，函数在上单调递减，在上单调递增. 故函数的最小值为. 故，当且仅当时取等号. 则. 当时，上不等式可变形为. 分别令，得 ， ， ， … ， 以上不等式相加，得， 即. 即. 即（，且）. 3．设． （1）当时，求证：； （2）证明：对一切正整数n，都有． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 (1)利用导数确定函数在上单调递增，从而有当时，恒成立； (2) 放缩法构造数列不等式，再利用裂项相消法证明不等式. 【详解】 (1)由题知，，，故单调递增. 当时，， 所以在单调递增，有恒成立. (2)由(1)知当时，，取 有， 故 即待证不等式成立． 4．已知是函数的极值点. （1）求的值，并证明恒成立； （2）证明：对于任意正整数， 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由可解得；对求导，结合单调性可得的最小值为，进而可得； （2）由（1）知，当时，，取，（，），可得，令，相加可证得结论. 【详解】 （1），， 因为，所以， 由得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，. 即当时，恒成立. （2）由（1）知，当时，，（时取等号.） 取，（，）得， 即，令，相加得到 ， 所以，， 即对任意，. 5．已知，其中为自然对数的底数. （1）当时，求函数在点处的切线的方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）利用函数解析式可得，导数的几何意义可得切线斜率，可求得切线方程； （2）利用导数可求得在上的单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性确定最小值点，从而求得最小值； （3）由（2）可得：当时，，进而变形得到，通过放缩的方式将所证不等式变为，采用裂项相消的方法整理不等号右侧式子，再次放缩可得结论. 【详解】 （1）当时，，，，， 在点处的切线方程为：，即； （2）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ； ③当时，在上单调递增，； 综上所述：； （3）当时，由（2）可知：当时，，即当时，， ，即， . 6．已知函数. （1）判断的单调性； （2）证明：. 【答案】 （1）在上单调递减 （2）证明见解析 【分析】 （1）利用导数求得的单调性. （2）结合（1）得到，进而证得不等式成立. （1） 的定义域为，， 令，则， 令，得，当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 从而， 即，故在上单调递减. （2） 由（1）可知，即 令，得，即， 所以 ， 即. 7．已知函数. （1）求在点处的切线方程； （2）已知函数在区间上不存在极值点，求的取值范围； （3）证明：，. 【答案】 （1） （2） （3）证明见解析. 【分析】 （1）求，由导数的几何意义求得斜率，再由点斜式可得点斜式方程； （2），则，由题意可得或，设，等价于或对于恒成立，求导利用单调性转化为最值问题即可求解； （3）构造函数，利用导数求最值可得，令可得，再累加即可求证. （1） 由可得， 所以在点处的切线斜率为， 因为，所以切点为， 所以在点处的切线方程为即. （2） ，定义域为， ， 若在区间上不存在极值点， 则或恒成立， 令，则或对于恒成立， 因为恒成立，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则，所以符合题意； 因为对于不可能恒成立， 所以时，恒成立，此时在区间上不存在极值点， 所以的取值范围为. （3） 设，定义域为， 则 由可得；由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以即， 令，则， 所以， 所以， 即. 8．已知函数 （1）若，求的值； （2）证明：对任意的正整数，. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）求导函数，由导函数确定单调性，得最小值，由最小值不小于0且得值； （2）利用（1）进行放缩后利用等比数列的前项和公式、不等式性质证明． 【详解】 （1）解：函数定义域是， ， 若，则恒成立，是增函数，又，则时，，不合题意； 时，时，，递减，时，，递增， 所以，又，所以， 否则总有，不合题意． 综上； （2）由（1），即，时等号成立． ，，所以 9．已知函数. （1）若，求a的值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出，结合，根据分类讨论函数的单调性，即可解出； （2）由（1）知，结合要证不等式，可由得，所以，再利用不等式放缩，即可由裂项相消求和法证出． 【详解】 （1）因为，，则，且， 当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意； 当时， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. ①若，在上单调递增，当时矛盾 ②若，在上单调递减，当时矛盾 ③若，在上单调递减，在上单调递增 满足题意，综上所述. （2）证明：由（1）知，又，， ，时，令，得，， ∴结论成立. 10．已知函数，，. （1）求的最大值； （2）若对，总存在使得成立，求的取值范围； （3）证明不等式. 【答案】（1）0；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）利用导数判断函数的单调区间，从而可求出函数的最大值， （2）将问题转化为，然后通过讨论确定每段区间上函数的单调性和最值， （3）先通过观察凑出所要证明的表达式的形式，再利用等比数列的求和公式求和，最后通过放缩法得到结论 【详解】 （1）由，，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值，即. （2）对，总存在使得成立，等价于， 由（1）可知，问题转化为 即在有解， 即在有解， ∴. （3）由（1）知：，令，则， 即，也即， ∴， . 得证. 11．已知． （1）求证：当时，； （2）求证：，，． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （1）构造两个函数、，结合导数的性质进行证明即可； （2）结合（1），得到不等式（），根据累和的运算性质，结合等差数列前项和公式进行求解证明即可. 【详解】 （1）令（） ，令，得 列表如下： － ＋ 递减 极小值 递增 ，当且仅当时取等号 再令（） 在上恒成立， 在上单调递增 （） 当时， 当时， （2）由（1）知，当时，，即（）， 当且仅当时取等号 ，且， 当，且时， 。 12．已知函数. （1）若，且，求的值； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由题意知， ，对a讨论， 利用倒数研究单调性和最值，求出； （2）证明：根据待证式子的结构，由（1）可构造，易得，令，则，即，对n分别取1,2，3……n后累加法即可证明. 【详解】 （1）由题意知， ， 当时，，所以在上递减，又，所以不符合题意； 当时，令，所以在上递减，上递增， 所以，令， 则， 当时，，所以递增； 当时，，所以递减， 所以，而， 所以. （2）证明：由（1）知，当时，， 所以， 令，则，即， 所以，，…，， 累加得 ，又，所以， 所以，. 13．已知函数 （1）求的单调区间； （2）当时，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先求函数的导数，再根据单调性与导数的关系求解；（2）首先证明，利用放缩可得，即可证明不等式. 【详解】 （1）解：， 令，得令，得或. 故的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）证明： 设函数，则， 令，得令，得. 所以，则当时， 设函数，则， 所以在(0，1]上单调递减， 则，即， 所以，即 因为，所以 又，所以 14．已知 （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证： 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）先求出，再对分两种情况讨论得解； （2）由（1）可得可知，即，再累加即得证. 【详解】 （1）∵，而 ∵，又，故恒成立 即当时取得最大值. 又 ①当时，可知在上恒成立 即在上单调递增 故当时，与题意不符，舍去 ②当时， 令， 即在上单调递减，在单调递增 ∴可知当，取到最大值， 即 （2）由（1）知（当且仅当时等号成立） 令 则可知即 ∴ …… 将以上各式相加得 ∴. 15．已知函数． （1）求的最大值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）求证： 【答案】 （1）－1； （2）[]； （3）证明见解析﹒ 【分析】 (1)利用导数判断f(x)的单调性，根据单调性确定其最大值； (2)∵x＞0，利用参变分离得到，问题转为求的最大值问题，研究的单调性求其最大值； (3)由(1)知f(x)＝，即，即，令x＝，则，则＝ln(n＋1)＜． （1） 定义域为， ， 令 ， 在单调递减， ∵， 单调递增， 单调递减， ； （2） ∵，∴， 令， 原问题等价于， ∵， 所以单调递增，单调递减， 所以, ； （3）证明：由(1)知f(x)＝，即，即，当且仅当x＝0时等号成立， 令x＝，∵，∴，即， ∴＝ln(n＋1)， 即ln(n＋1)＜，﹒ 16．已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）证明：当时，. 【答案】 （1）当时，；当时，；当时，. （2）见详解 【分析】 (1)根据题意，求导，讨论函数在上的单调性，即可求解. (2)根据题意，先证，放缩得，化简后构造新函数，即可证明. （1） 由，得，， 令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增. ①当，即时，函数在上单调递减，因此； ②当时，函数在上单调递增，因此； ③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此. 综上所述，当时，；当时，；当时，. （2） 证明：设，，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立. 要证，只需证， 因为，所以， 故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即. 令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故. 因此当时，. 17．已知函数，其中，． （1）讨论函数在区间，上的单调性； （2）求证：． 【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先求函数的导数，分类讨论在不同取值下，函数的单调性； （2）不等式的证明转化为证明，结合（1）的结论，即可证明. 【详解】 （1）， 当，时，，所以在，单调递增， 当， 由，得，所以在，单调递减， 当时，当时，， 当时，， 所以在单调递减，在单调递增． （2）不等式， 即， 为此先证明：， 由 由（1）知，当，在单调递增，， 即， 令，则有，故． 由（1）知，当，在单调递减，， 即， 令，则有，故． 综上，对，恒成立， 所以 18．已知函数（）. （1）求函数的单调区间； （2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：（，）. 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）由函数的定义域为，而．能求出函数的单调区间． （2）由（1）知时，在上是增函数，而（1），不成立，故，又由（1）知的最大值为，由此能确定实数的取值范围； （3）由（2）知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，（1），即在，上恒成立，由此能够证明且． 【详解】 解：（1）因为（）， 所以的定义域为，. 若，则，在上为增函数； 若，则， 当时，，当时，. 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知时，在上是增函数， 而（2），不成立，故， 又由（1）知的最大值为，要使恒成立， 则即可，即，得； （3）证明：当时，有在恒成立， 且在上是减函数，（2）， 即在上恒成立， 令，则， 即， 且， ， 即：（，）成立． 19．已知函数和. （1）当时，求方程的实根； （2）若对任意的，函数的图象总在函数的图象的上方，求实数的取值范围； （3）求证：，. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 （1）将方程转化为，设，利用导数可求得单调性，结合可求得结果； （2）将问题转化为对任意的，恒成立，求导后，分别在和两种情况下，根据导函数正负得到单调性，从而确定满足题意的的取值范围； （3）结合（2）中结论可得，从而确定，采用累加的方式可证得结论. 【详解】 （1）当时，由得：，又，方程为. 令，则， 在上单调递减， 又，故方程有唯一的实根，即. （2）对于任意的，函数的图象总在函数的图象的上方， 即对任意的，，即恒成立. 设，则对任意的，恒成立. . ①若，则，则在上单调递增，又， ，与矛盾； ②若，方程的判别式， 当，即时，，则在上单调递减，又， ，不等式成立. 当，即时，方程有两个实根， 设两根为，，且，则，所以方程有两个正实根且. 当时，，单调递增，此时，与矛盾. 综上所述：实数的取值范围是. （3）由（2）知：当，时，恒成立. 令，则， 即， ， ，. 20．设，已知函数在点处的切线方程为． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）证明：当时，． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】 （I）求导，根据导数几何意义即切线斜率，，结合，求得参数值. （II）由（Ⅰ）可知，分别证得（化简得），，从而将转化为，易知当，右式小于0.当时，函数单增，单减，则，从而证得结论. 【详解】 解：（Ⅰ）由题意得：， 则，解得， 又，可得． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， （ⅰ）先证： 由，即，得证． （ⅱ）再证：． ∵，令，则． 当时，．即在上单调递增， ∴，得证. （ⅲ）由（ⅰ）可得，即有． 结合以上结论及（ⅱ）可得，当时， ． 令 ∴当，有； （ⅳ）当时，函数单增，单减 则． 综上，原不等式得证． 21．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）证明见解析 . 【分析】 （1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间； （2）求出导函数，由导函数正负确定函数的单调性与最值，由最小值不小于0得参数范围，在确定导函数零点时，需要对导函数进一步求导得出结论； （3）由（2）得，且时，，即，要证不等式可变形为只需证，设，由导数得函数的最小值可得结论． 【详解】 （1）由题意可知，当时，，， 则，令，则，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由条件得， 令，则， ①当，即时，在上，，即单调递增， 所以，即， 在上为增函数，， 时满足条件． ②当时，令， 解得，在上，，单调递减， 当时，有，即，则在上为减函数，，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）由（2）得，当且时，，即， 要证不等式，只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又．恒成立，原不等式成立． 22．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，证明：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数，然后分类讨论确定的正负，得单调区间； （2）用导数证明两个不等式，，由这两个不等式得，下面证明时，，移项配方即可得． 【详解】 （1）①当时，的定义域为恒成立，故在上单调递增； ②当时，的定义域为在上恒成立， 故在上单调递增； ③当时，的定义域为， 当时单调递增，当时单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. （2）①首先证明引理1：；令，故得证； ②接着证明引理2：； 令， 故在上单调递增，故在上恒成立，故. ③现在证明当时，； 此时，的定义域为， 由故由引理和引理2可得， 而，显然恒成立， 故，证毕. 23．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可； （2）求出，，，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围． 【详解】 解：（1）证明：时，，， 设，则，令，解得：， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是，即对任意恒成立， 故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）先证对任意，，， 令，，令，解得：， 故在区间递增，在递减， 故，故， 令，，， 令，解得：， 故在区间递减，在区间递增， 故，故，递增， 故，故，，， 对于任意，恒成立， ，故， 当时， ， 即对于任意的，恒成立， 综上：的取值范围是. 24．已知函数． （1）若存在极值，求的取值范围． （2）当时，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）求导以后，存在极值等价于有根，且根的两侧异号，参变分离后构造函数，通过研究函数的最值即可求解； （2）（方法一）求导得，结合的单调性以及零点存在性定理即可求出在上单调递减，在上单调递增．且以及，然后求出的最小值的范围，即可得出结论； （方法二）由不等式的性质可知当时，；当时，，因此只需要证明时即可，由于，所以利用放缩法即可证明. 【详解】 （1）解：， 由，得，设函数，则, 当时，；当时，． 故， 当时，，不存在极值，所以， 故的取值范围是． （2）证明：（方法一）因为，所以，， 易知在上为增函数， 且，， 所以，，且在上单调递减，在上单调递增． 又，所以， 则． 因为，所以， 即，故． （方法二）因为，所以， 当时，； 当时， 当时，易证， 所以， 因为， 所以， 又 故． 25．已知，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：，其中，. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求得导数，根据和两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； （2）由（1）得到当时，在是减函数，求得，进而得到，得出，即可作出证明. 【详解】 （1）由题意，函数的定义域为， 可得，其中， 当，即，即时，，在为减函数； 当，即，即时， 由得，， 且，，， 在上，，为减函数；在上，，为增函数， 在上，，为减函数， 综上可得，当时，在为减函数； 当时，在和上为减函数，在为增函数 （2）由（1）知，当时，在是减函数， 所以当时，，即， 所以，所以， 其中 所以， 所以， 所以 所以. 26．已知函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）证明：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求导，令导数为0，得，分析导数在定义域内的增减性知时，函数有极小值，再分类讨论极值点处的正负，结合零点存在定理判断即可； （2）结合（1）知当时， ，要证， 需证，即证，再分段在时和时，结合导数分类讨论即可证明 【详解】 （1）解：因为，所以. 令，得；令，得.所以在上为减函数，在上为增函数，. 当时，，有且只有一个零点； 当时，，没有零点； 当时，，，所以在上有唯一的零点，又，所以在上有唯一的零点. 综上所述，当时，有且只有一个零点；当时，没有零点；当时，有两个零点. （2）证明：由（1）知，当时，，即. 要证，需证， 需证，即证. 设. 当时，. 当时，，令，则. 再令，则， 所以在上为增函数，， 所以在上为增函数，， 所以在上为增函数，. 故成立. 27．已知 （1）证明：； （2）证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）即证令，求出函数即得证； （2）由第1问可得，利用累加法和对数运算即得证. 【详解】 解：（1）要证，即证 令 则 故为减函数， 故. （2）由（1）可知：时，， 令，则， 化为， 故， 所以原式得证. 28．已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线． （1）求实数的值，并证明：当时，； （2）令，且，证明：． 【答案】（1）；证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导可得，，因为曲线和在原点处有相同的切线，所以，解得，要证，即证，构造函数，求导利用单调性即可得证； （2）要证故只需证， 构造函数，利用导数即可得证； 【详解】 （1）由条件可得，且，． 因为曲线和在原点处有相同的切线， 所以，解得． 要证，即证． 令，则， 再令，则， 所以在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减， 故． 所以． 即成立． （2）由（1）可得当时，， 所以，即， 两边同除以，得，即． 要证，只需证， 又因为， 故只需证． 设， 则， 由于函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减，而， 所以当时，恒成立， 所以在区间上单调递减． 所以当时，， 故当且时，． 又， 所以当时，． 即， 所以，即成立． 29．已知． （1）当时求的极值点个数； （2）当时，，求a的取值范围； （3）求证：，其中． 【答案】（1）两个极值点；（2）；（3）证明见解析． 【分析】 （1）利用导数求出函数的单调区间，即得的极值点个数； （2）设，则单调递增，对分类讨论，求出的最值即得解； （3）由（2）可知时， ，所以，再利用裂项相消法求和得证. 【详解】 解：（1）当时，， 所以，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 因为，，， 所以存在，使，所以，时，；时，；时，，所以0和是的极值点， 所以有两个极值点． （2），， 设，则单调递增， 又， 所以当时，，在上单调递增， 所以，即，在上单调递增， 所以，符合题意. 当吋，令，解得， 当时，，在上单调递减，， 在）上单调递减， 所以时，，不符合题意， 所以a的取值范围是． （3）由（2）可知时，，，即， 所以，， 所以 ． 30．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意，都有． 【答案】（1） 时，函数 在上单调递增； 时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明见解析. 【分析】 （1）求出，对，进行讨论，判断 的正负，从儿得到函数的单调性； （2）令，整理得，令， 得， 转化为证明，进而证明问题. 【详解】 （1）因为， 所以 ， 若 ，即 时， 在 上恒成立， 所以函数 在上单调递增， 若 ，即 时，得 ， 当 时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当 时，, 在上单调递增，即对任意，都有 即 ，整理得 ， 令 ，则 ， 累加得. 下面证明：对任意的， ， 记函数 ，则 ， 当 时，，故函数 在区间上单调递减， 所以， 故函数在上单调递减，所以， 即对，有， 令 ，则 ， 所以 ， 所以. 31．已知函数. （1）求的极值； （2）当时，若，且，求证：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先对函数求导，然后分和判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值； （2）先构造函数，利用函数证明，所以要证，只需证，不妨设，由（1）知，，要证，即证，再结合函数的单调性可知只需证明，构造函数，利用导数证明即可 【详解】 解：（1）由题意得，. ①当时，恒成立， 所以函数为R上的增函数，没有极值. ②当时，令，得. 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以当时，函数取得极小值，极小值为，没有极大值. 综上所述，当时，函数没有极值； 当时，的极小值为，没有极大值. （2）解法1： 首先证明：.设，则. 当时，在区间上是增函数； 当时，，在区间上是减函数； 所以，即， 即. 所以要证，只需证. 不妨设，由（1）知，. 要证，即证. 因为，所以. 又，函数在上单调递减， 故只需证明， 即证. 又，所以只需证明. 令. 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以在上单调递增. 所以. 因为，所以，即，问题得证. 故， 所以. 解法2： 首先证明：. 设，则. 当时，，在区间上是增函数； 当时，，在区间上是减函数； 所以，即， 即 所以要证，只需证. 不妨设，由（1）知，. 令 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以在上单调递增. 所以. 因为，所以， 即. 又，所以. 因为，所以. 又，函数在上单调递减，所以， 即. 所以. 32．设函数在点处的切线为． （1）求，的值，并证明：； （2）若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），证明见解析；（2）. 【分析】 （1）求得，根据题意列出方程组取得，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可证得； （2）由，得对恒成立，令，根据（1）得到，把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性和最值，得出关于的不等式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线为， 可得，即，解得， 令，则， 令，可得， 因为，所以，则在上单调递增，， 因此在上单调递增，即，故得证． （2）由，可得对恒成立， 令， 由（1）可知（当且仅当时，“”成立）， 则当时，， 令，则， 故在上单调递增，，所以对恒成立， 又当时，，故，即， 所以的取值范围为. 33．已知． （1）求证：当时，在上单调递增； （2）对于任意，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （1）先求，判断时，，构造函数，判断其导函数的单调性，得到导函数的值域，再讨论和时，即证，证得单调递增； （2）先化简分析证明式为，然后验证时成立，再证明时，通过构造函数证明和来证明成立即可. 【详解】 证明：（1）因为，所以． 又，所以， 设，则，而，所以在单调递减， 故，即．因为， 当时，，即，在单调递增，成立；此时，即在上单调递增； 当时，存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减，又，故，此时，即在上单调递增； 综上可得，当，在上单调递增； （2）因为，所以， 所以要证， 即证明. 当时，该式为，显然成立； 下证时，． 令，则，当时，，当时，， 所以当时，y取得最小值0，所以，即， 故时，； 当时，令，则，故递减，当时，y取得最大值0，所以， 即时，，故， 所以中，， 而，即， 故， 所以. 综上，对于任意，. 34．已知函数． （1）求的单调区间和最值； （2）证明：对大于1的任意自然数n，都有． 【答案】（1）在上是单调增函数，在上是单调减函数，当时，取最大值.无最小值；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求导数，然后解不等式得到单调区间，再根据单调区间即可求出最值； （2）由（1）得到不等式，然后运用累加法即可证明. 【详解】 （1）令，则， 所以当时，，当时，， 所以当时，取最大值. 即当时，，当时，， 所以在上是单调增函数，在上是单调减函数， 当时，取最大值. 无最小值. （2）证明：由上可知：对任意且时恒成立. 故，取（且）得：， 所以， 即， 综上：对大于1的任意自然数，都有成立. 35．已知函数 （1）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性； （2）当时，证明： 【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由极值点与导数的关系，求出的值，再根据即可求函数单调性；（2）先将放缩，转化为求的最小值即可证明. 【详解】 （1）函数的定义域， 因为，是的极值点， 所以（1），所以， 所以， 因为和在上单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 设，则， 因为和在上单调递增，所以在上单调递增， 因为， 所以存在使得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在上单调递增，所以， 因为，即，所以， 所以， 因为，所以，所以. 36．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （1）对函数求导，按照、分类，解不等式、即可得解； （2）法一转化条件为，换主元设，结合导数可得，利用得到即可得证. 法二利用转化条件为，结合导数证得即可. 法三构造函数，结合导数求得函数隐零点得到函数单调性即可得证. 【详解】 解法1： （1）若，则定义域为，，在单调递减． 若，则定义域为，． 由得，由得，所以在单调递增，在单调递减． （2）不等式等价于． 设，． 设，则，所以． 而，所以，在单调递减，所以 ． 由（1）可知，当时，，得．所以 ． 因此当时，． 解法2： （1）同解法1． （2）不等式等价于． 由（1）可知，当时，，得，从而． 设，在单调递增． 因为，所以当时，，当时，． 所以． 因此． 所以当时，． 解法3： （1）同解法1． （2）设，． 因为在单调递增，，，所以存在唯一，使，当时，，当时，， 所以． 由可得，即． 所以． 因为函数在单调递增，， 所以． 由（1）可知，当时，，得．因此 所以当时，． 37．已知函数 （1）若时，恒成立，求的取值范围； （2）求证且； （3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】 （1）因，所以，即，构造函数转化为最值可求； （2）由（1）知当时，即，所以， 令，得，从而可证； （3）要证，只需证，根据单调性，即证 只需证， 故构造函数即可证明. 【详解】 解：（1），，即 设， 当时在上单调递增， 满足条件； 当时，令，得， 当时，当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，． ，与已知矛盾． 综上，的取值范围是 （2）由（1）可知，当时， 即对恒成立，故有． 令，得， 分别令，将个不等式相加得 故原不等式成立． （3）当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 由方程有两个不相等的实数根，不妨设， 则，要证，只需证， 在区间上单调递增，只需证明 只需证明 设，则， 在区间上单调递增，， 成立 原不等式成立，即成立． 38．已知函数. （1）若时，恒成立，求的取值范围； （2）求证：（且）； 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由已知可得对任意的恒成立，构造函数，可知，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，验证对任意的是否恒成立，综合可得出实数的取值范围； （2）由（1）可知，对任意的，，令，可得出，然后利用同向不等式的可加性可证得所证不等式成立. 【详解】 （1）对任意的，，则. 设，则. 当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递增， 满足条件； 当时，令，得， 当时，；当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，与已知矛盾. 综上所述，的取值范围是； （2）由（1）可知，当，时， 即对恒成立，故有. 令，得， 所以，，，，，， 将个不等式相加得， 故原不等式成立. 39．（1）若，判断函数在区间内的单调性； （2）证明：对任意，，. 【答案】（1）在单调递增；（2）证明见解析. 【分析】 （1）根据导数的性质，结合余弦函数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）可得，令，利用放缩法可得： ，用这个不等式，结合对数的运算性质证明即可. 【详解】 （1）因为， 所以. 因为，所以，则. 又，知，且时， 故，所以在单调递增. （2）由（1）知，当时，，即， 所以. 令，所以，从而， 所以， 因为，，所以，所以， 所以， 所以， 因为 ， 所以， 所以. 40．已知函数. （1）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数a的值； （2）求函数的单调区间. （3）求证：. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【分析】 （1）由题意可得，从而可求出a的值； （2）由于，，所以分和两种情况讨论导函数的正负，从而可求得函数的单调区间； （3）由（2）可知在恒成立，所以，即在恒成立，因此当时不等式恒成立，用替换得，然后给从取到，得到个式子相加可得结论 【详解】 因为， 所以 （1）根据题意 解得，满足，∴ （2） 当时，， 令，∴，令，∴或 所以的递增区间是，递减区间是 当时，， 令，∴，令，∴ 所以的递增区间是，递减区间是 综上所述：当时，的递增区间是，递减区间是； 当时，的递增区间是，递减区间是. （3）由（2）知当时，，并且， 因此有在恒成立， 用替换得，即在恒成立， 因此当时不等式恒成立， 令用替换得， 所以 即， 41．已知函数在处取得极值. （1）求实数的值，并求函数的单调区间； （2）证明：. 【答案】（1），减区间为，增区间为；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先求出原函数的导数，利用求出的值，然后求出原函数的单调区间； （2）利用分析法将问题转化为证明，进一步转化为证明，再由配方法证明该不等式成立，即可得到结论. 【详解】 （1）∵，∴， 由题意，，即，则， 当时，，当时，， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）要证，即证， ∵，即证， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴，即，则，即， ∴， 则， 令， ∵，∴，则， 故成立， 则. 42．已知函数，其中为自然对数的底数，函数. （1）求的最大值； （2）求证：； （3）求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】 （1）利用导数研究单调性，即可求其最大值. （2）由，令应用导数研究单调性易证，即可证结论. （3）原不等式等价于，由（1）（2）易得、，结合基本不等式即可证结论，注意等号成立的条件. 【详解】 （1）由题意知，且， ∴在上，单调递增；在上，单调递减， ∴ （2）由，若，则 ∴，，单调递减；，，单调递增， ∴，即得证. （3）所求证不等式等价于， 由（1）知：，则有，即，当时等号成立， 由（2）知：，当时等号成立， 设，而等号不能同时成立， ∴，即，故得证. 43．已知函数. （1）求的单调区间和最值； （2）证明：对大于1的任意自然数n，都有. 【答案】（1）在为减函数，在为增函数，，无最大值；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出，讨论其符号后可得函数的单调区间及最值. （2）根据（1）的结果可得不等式，利用该不等式可证明成立. 【详解】 （1），则， 当时，；当时，， 故在为减函数，在为增函数， 故，无最大值. （2）由（1）可得对任意的，，当且仅当时等号成立， 故（当且仅当时等号成立）. 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 故， 其中. 44．已知函数； （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）先对函数求导，根据导数的几何意义，得出切线斜率，进而可得切线方程； （2）先设，根据导数的方法证明时，，令，得到，再由裂项相消的方法，即可证明不等式成立. 【详解】 （1）由题意可得：函数的定义域为，， 所以曲线在点处的切线斜率为， 又，所以该切线方程为． （2）设，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以， 即在上单调递增，所以， 故时，． 令， 则，所以， 所以， 化简可得， 所以得证． 45．已知函数 （1）证明：在区间存在唯一极小值点； （2）证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1），然后分别证明当时，，当时，，即可得在区间存在唯一极小值点； （2）首先证明，然后即证，然后利用导数证明的最大值为0即可. 【详解】 （1）证明：， 当，则，，，又因为， 所以，所以在单调递增. 当，， 令，， 又因为，所以在单调递减， 所以，所以，即，又因为， 所以，所以在单调递减. 又因为，所以在区间存在唯一极小值点 （2）因为，①， 令，则，所以在递减， 所以，即当. 要证①，只需证 令， ， 令，所以， 所以在单调递减， 又因为，， 所以，使，即，， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以原不等式得证 46．如果是定义在区间D上的函数，且同时满足：①；②与的单调性相同，则称函数在区间D上是“链式函数”.已知函数，. （1）判断函数与在上是否是“链式函数”，并说明理由； （2）求证：当时，. 【答案】（1）在上是“链式函数”， 在上是“链式函数”，理由见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）分别对函数、用“链式函数”定义验证即可； （2）由（1）得，当时，和，两式相加得，所以只需证明，构造函数，用导数结合单调性可得证. 【详解】 （1），令则， 在上单调递增， 又当时，，在上单调递增， 又当时，， ∴当时，，与在上均单调递增， ∴在上是“链式函数”. ，令，则， ∴在上单调递减，又当时，， ∴在上单调递减，又当时，， ∴当时，，与在上均单调递减， ∴在上是“链式函数”. （2）当时，由（1）知，所以， 又由（1）知，所以， 两式相加得，即， 令， 则， 所以在上单调递增， 则当时，，即，∴当时，， 故当时，. 47．已知函数． （1）求函数的最大值； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用导数分析函数的单调性，进而可求得函数的最大值； （2）令，结合（1）中的结论可得出，利用不等式的基本性质可证得结论成立. 【详解】 （1）函数的定义域为，且. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减. 所以，； （2）证明：由（1）可知，当时，，即， 令，则，即， 所以. 48．已知函数，求证： （1）函数有且仅有一个零点； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）通过计算得，通过求导可得可得在上单调递增，进而可得结果； （2）根据（1）中的结果可得，即成立，再进行求和即可得结果. 【详解】 （1）函数的定义域为，显然， 又， 即在上单调递增，所以函数存在唯一零点. （2）证明：由（1）可知，当时，， 即，即， 令，则， 即， 所以 . 49．已知函数， (1)若直线与曲线相切，求的值. (2)当时，求证：当时，恒成立. (参考数据：，，) 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】 (1)对函数f(x)求导，利用导数的几何意列式即可求得； (2)由x>0时，lnx≤x-1，将证明恒成立的不等式通过放缩的思想转化证恒成立，在[0，+∞)构建新函数，再讨论它的最小值不小于0即可. 【详解】 (1)设切线与相切于点，， 依题意，解得：，，； (2)即证对恒成立， 先证明，设，则， ∴在递增，在递减， ∴，即，当且仅当x=1时取等号， ∴，∴， 先证明当时，恒成立， 令()，则， 令，则，令，解得：， ∵时，，时，， 且， 由零点存在定理，可知，使得， 故或时，，在，上单调递增， 当时，，在上单调递减， 由此知的最小值是或，由，得， ∴ ∵，∴， 当时，恒成立， ∴当时，恒成立. 50．已知函数，． （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）取，将问题转化为当时，恒成立；当时，利用导数可说明在上单调递减，由此确定，知恒成立；当或时，知存在自开始的单调递增区间，知存在的情况，不合题意，由此得到结论； （2）将不等式转化为，由（1）的结论知当时，，令，代入整理可得，则不等式得证. 【详解】 （1）设，则当时，恒成立， 令， 则； ①当时，在上恒成立，在上单调递减， ， 在上恒成立，在上单调递减， ，即在上恒成立，满足题意； ②当时，令，解得：， 当时，，在上单调递增， ，即在上恒成立， 在上单调递增，， 即当时，，不合题意； ③若，则，在上单调递增， ，即在上恒成立， 在上单调递增，，即，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （2）证明：， 要证原不等式成立，只需证； 由（1）知：当时，若，则（当且仅当时取等号），即恒成立， 取，则， 即， ，则原不等式得证. 51．已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）证明：，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出函数的导数，由题可得在恒成立，构造函数，可利用导数求出最小值，即可求出的取值范围； （2）构造函数，利用导数可得，进而得，构造函数，利用导数可得，即可将所证不等式化为证明，再次构造函数利用导数即可证明. 【详解】 解：（1）， 若在上单调递增，则，即， 设，则，因为，所以， 故在上单调递增，所以，所以. 所以的取值范围为. （2）设，则，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以时，，当时，显然， 故时，. 设，则，， 则在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 即. 所以. 所以， 只需证，即证. 设，则，， 所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，. 故成立，所以，当时，. 综上所述，，. 52．已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程 （2）若，求证：当时，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导数，得切线斜率，由点斜式写出直线方程并整理； （2）题意即证当时，.利用时，放缩，，只要证，为此构造新函数，利用导数求得它的最小值妈可完成证明． 【详解】 本题考查导数的几何意义､利用导数研究函数的单调性､最值，不等式的证明. （1），， ∴曲线在点处的切线方程为，整理得. （2）要证当时，， 即证当时，. (利用放缩法进行放缩，然后证明，即可证明) 当时，恒成立，，∴， 故有. 若证得，即可证得. 下面证明. 不等式两侧同时除以可将不等式转化为， (构造函数，根据函数的单调性求得函数在区间上的最小值，根据最小值大于0证得结果) 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴当时，， 故当时，. 所以原不等式成立． 53．已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个零点，，且，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）利用导数求出函数的最大值，解不等式即得解； （2）由题得，所以；．令，利用导数求出函数的单调性即得证. 【详解】 解：（1）的定义域为，． 时，；时，， 所以在上单调递增，在单调递减． 即时，取得最大值， 依题意，，故． （2）由（1）知，，， 由题得， 所以 所以． 所以； ． 令，则， 由（1）知，，等号当且仅当时成立， 所以，等号当且仅当时成立， 于是可得，即单调递增， 因此，当时，；当时，， 所以，， 故． 54．已知函数. （1）求函数的极小值； （2）证明：对于任意正整数，(为自然对数的底数). 【答案】（1）极小值；（2）证明见解析. 【分析】 （1）直接判断单调性，求出极小值； （2）由（1）知，当时，得到，进行换元，从而，对n取1、2、3……n进行求和，再进行指、对数互化即可证明 【详解】 （1）易知的定义域为. ，令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，在上有极小值. （2）由（1）知当时，， 故当时，， 即当时，，即. 令得， 从而. 故， 所以，对于任意正整数，成立. 55．已知：对任意，恒成立 （1）求的范围； （2）证明：．（参考数据：，，，，） 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出导函数，分成和两种情况讨论，求出的范围； （2）由（1）构造，对n取1,2,3……48后用累加法求和可得. 【详解】 （1）， 令， 当时，即恒成立，故在单调递增，又，故恒成立， 当时，由，设且，则时，即，因此在上单调递减，又，故时，，不符合题意， 综上，的取值范围为． （2）由（1）知，取，当时，， 故对，， ∴， ∴． 56．已知函数，对于，恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）证明：当时，. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用参数分离法可知，构造函数，即，利用导数研究函数的最小值即可得解； （2）由（1）得恒成立，将不等式的证明转化为证，构造函数，即证，利用导数研究函数的单调性及最值即可. 【详解】 （1）由恒成立，得对恒成立. 令，，令，得 当，，单调递增；当，，单调减， 所以. 故所求实数a的取值范围为. （2）证明：由（1）得恒成立， 要证，只需证即可. 令， 令，易知在单调递增，且，， 故存在，使得. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，，. 故当时，. 57．设函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若的最小值为，证明：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求函数的导数，然后结合定义域分类讨论； （2）由，得，从而， 令，有，由不等式的可加性可获得证明. 【详解】 （1）由题意函数的定义域为， ， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知， 所以， 所以， 即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以. 58．已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方； （2）若函数，，证明：. 【答案】（1）切线方程为，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）利用导数求出的图象在点处的切线方程为，然后构造函数，利用导数证明当且时，即可； （2）求得，分析得出对任意的恒成立，可得出函数在区间上为增函数，由此可证得结论成立. 【详解】 （1），则，所以，，. 所以，函数的图象在点处的切线方程为. 设，则， 令，可得；令，可得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且时，， 所以的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方； （2）由题可知，. 则 ， 因为，所以，则， 又由（1）知，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，上述两个等号不同时成立，则， 所以，函数在区间上为增函数， 则，原式得证. 59．（1）证明：； （2）证明：； （3）比较与的大小，无需说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】 （1）令，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，即可得证； （2）令，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，即可得证； （3）由（1）、（2）综合可得； 【详解】 证明：（1）令，则． 令得，，令得， 所以在单调递减，上单调递增． 所以，即． 所以． （2）令，则． 令得，，令得， 所以在单调递增，上单调递减， 所以，即， 所以． （3）． 由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①． 由（2）得，所以（当且仅当时取等号）② 因为①式与②式取等号的条件不同， 所以． 60．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：在上恒成立； （3）证明：当时，. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为、；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】 （1）求得，求出函数的定义域，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析出函数为上的增函数，由此可得出，即可证得结论成立； （3）当时，将所证不等式变形为，利用导数证明得出，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】 （1）当时，，该函数的定义域为， . 由可得，由可得或. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； （2）当时，，其中， 对任意的恒成立， 所以，函数为上的增函数，则； （3）当时，要证，即证， 构造函数，即证. 当时，构造函数，则， 故函数在上为增函数，可得，即. ， 令，其中，则， 所以，函数为上的减函数，当时，， 故，即函数为上的减函数， 当时，，所以，，故原不等式得证. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $