8.2 一元线性回归模型及其应用课时分层训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.2 一元线性回归模型及其应用 层级(一)　“四基”落实练 1．已知x与y之间的一组数据如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的经验回归方程＝x＋必过点(　　) A．(2,2)　　　　　 B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 2．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是(　　) 3．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 4．已知经验回归方程为＝2x＋1，而试验得到的一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是(　　) A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 5．根据如表所示的样本数据： x 1 2 3 4 5 y a－1 －1 0.5 b＋1 2.5 得到的回归方程为＝x＋.样本点的中心为(3,0.1)，当x增加1个单位时，y近似(　　) A．增加0.8个单位 B．减少0.8个单位 C．增加2.3个单位 D．减少2.3个单位 6．已知具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所示．若y关于x的经验回归方程为＝3x－1.5，则m＝________. x 0 1 2 3 y －1 1 m 8 7．已知高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 若根据上表可得经验回归直线的斜率为3.53，则经验回归直线在y轴上的截距为______(结果精确到0.1)． 8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得经验回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出约为______万元． 9．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额x(单位：千元)与销售量y(单位：辆)之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料： 第一年 第二年 第三年 第四年 优惠金额x 10 11 13 12 销售量y 22 24 31 27 (1)求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)若第5年优惠金额为8.5千元，估计第5年的销售量y的值． 参考公式：＝，＝－. 10．关于x与y有以下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5， (1)求y与x的经验回归方程． (2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好？请说明理由． 层级(二)　能力提升练 1．有人收集了春节期间平均气温x(单位：℃)与某取暖商品的销售额y(单位：万元)的有关数据如下表： 平均气温x －2 －3 －5 －6 销售额y 20 23 27 30 根据以上数据，用经验回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的经验回归方程＝＋x的系数＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额为(　　) A．34.6万元 B．35.6万元 C．36.6万元 D．37.6万元 2．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值(GDP)y(单位：万亿元)关于年份代号x的经验回归方程为＝6.06x＋50.36(x＝1,2,3,4,5,6,7)，由经验回归方程预测我国在2035年年底人均国内生产总值(单位：万元)约为(　　) A．13.18 B．202.16 C．13.58 D．14.50 3．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性经验回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 一元线性回归模型及其应用 层级(一)　“四基”落实练 1．已知x与y之间的一组数据如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y与x的经验回归方程＝x＋必过点(　　) A．(2,2)　　　　　 B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 解析：选D　经验回归方程＝x＋必过样本中心(，)，＝＝1.5，＝＝4. 2．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是(　　) 解析：选B　选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B. 3．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则下列选项中对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：选D　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、D.将各数据代入检验，函数y＝log2x最接近，可知满足题意． 4．已知经验回归方程为＝2x＋1，而试验得到的一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是(　　) A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 解析：选C　当x＝2时，＝5；当x＝3时，＝7；当x＝4时，＝9.∴1＝4.9－5＝－0.1，2＝7.1－7＝0.1，3＝9.1－9＝0.1.∴＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03. 5．根据如表所示的样本数据： x 1 2 3 4 5 y a－1 －1 0.5 b＋1 2.5 得到的回归方程为＝x＋.样本点的中心为(3,0.1)，当x增加1个单位时，y近似(　　) A．增加0.8个单位 B．减少0.8个单位 C．增加2.3个单位 D．减少2.3个单位 解析：选A　由题得＝0.1，所以a＋b＝－1.5.因为0.1＝3＋，所以解方程组得＝－2.3，＝0.8.所以＝0.8x－2.3，所以当x增加1个单位时，y近似增加0.8个单位．故选A. 6．已知具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所示．若y关于x的经验回归方程为＝3x－1.5，则m＝________. x 0 1 2 3 y －1 1 m 8 解析：由于经验回归直线一定过点(，)，则点一定在经验回归直线上，所以代入方程可得m＝4. 答案：4 7．已知高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 若根据上表可得经验回归直线的斜率为3.53，则经验回归直线在y轴上的截距为______(结果精确到0.1)． 解析：由已知可得＝×(24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13)＝17.4，＝×(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59)＝74.9. 设经验回归方程为＝3.53x＋，把(，)代入， 得74.9＝3.53×17.4＋，解得≈13.5， 则经验回归直线在y轴上的截距为13.5. 答案：13.5 8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得经验回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出约为______万元． 解析：由题意知， ＝＝10， ＝＝8， ∴＝8－0.76×10＝0.4， ∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 答案：11.8 9．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额x(单位：千元)与销售量y(单位：辆)之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料： 第一年 第二年 第三年 第四年 优惠金额x 10 11 13 12 销售量y 22 24 31 27 (1)求出y关于x的经验回归方程＝x＋； (2)若第5年优惠金额为8.5千元，估计第5年的销售量y的值． 参考公式：＝，＝－. 解：(1)由题中数据可得＝11.5，＝26， xiyi＝1 211，x＝534， ∴＝＝＝＝3， 故＝－＝26－3×11.5＝－8.5， ∴y关于x的经验回归方程为＝3x－8.5. (2)由(1)得，当x＝8.5时，＝17， ∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆． 10．关于x与y有以下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5， (1)求y与x的经验回归方程． (2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好？请说明理由． 解：(1)依题意设y与x的经验回归方程为＝6.5x＋. ＝＝5， ＝＝50. ∵＝6.5x＋经过(，)， ∴50＝6.5×5＋，∴＝17.5， ∴y与x的经验回归方程为＝6.5x＋17.5. (2)由(1)的线性模型得yi－i与yi－的关系如下表： yi－i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 yi－ －20 －10 10 0 20 所以(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155. (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. 所以R＝1－＝1－＝0.845. 因为R＝0.845，R2＝0.82知R>R2， 所以(1)的一元线性回归模型拟合效果比较好． 层级(二)　能力提升练 1．有人收集了春节期间平均气温x(单位：℃)与某取暖商品的销售额y(单位：万元)的有关数据如下表： 平均气温x －2 －3 －5 －6 销售额y 20 23 27 30 根据以上数据，用经验回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的经验回归方程＝＋x的系数＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额为(　　) A．34.6万元 B．35.6万元 C．36.6万元 D．37.6万元 解析：选A　由已知得＝＝－4，＝＝25，所以＝－＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即经验回归方程为＝15.4－2.4x，当x＝－8时，＝34.6. 2．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值(GDP)y(单位：万亿元)关于年份代号x的经验回归方程为＝6.06x＋50.36(x＝1,2,3,4,5,6,7)，由经验回归方程预测我国在2035年年底人均国内生产总值(单位：万元)约为(　　) A．13.18 B．202.16 C．13.58 D．14.50 解析：选A　到2035年年底对应的年份代号为23，由经验回归方程＝6.06x＋50.36得，我国国内生产总值约为6.06×23＋50.36＝189.74(万亿元)，又≈13.18，所以到2035年年底我国人均国内生产总值约为13.18万元． 3．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性经验回归分析，结果如下：＝，＝71，＝79，iyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元． 解析：由题意知，＝≈－1.818 2， ＝71－(－1.818 2)×≈77.36， ＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1 000箱，则单位成本下降1.818 2元． 答案：1.818 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $