专题06 解三角形15考点复习指南（讲+练）-2025-2026学年高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题06 解三角形15考点复习指南 知识1：余弦定理、正弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 6．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 知识2：测量问题 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 考点1 余弦定理解三角形 1．（2026·河南·模拟预测）分别是的内角的对边，若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解． 【详解】由以及余弦定理，得，解得（负值舍去）． 故选：B． 2．（2026高二·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解. 3．（2026高二·云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可. 【详解】由余弦定理可得， ， 故选:B. 4．（2026高一·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理可得答案. 【详解】， ， 故答案为： 5．（2026高二·山西·学业考试）若在中，，，，则边BC的长为 . 【答案】2 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，由余弦定理, 即，则， 解得：或(舍去负值)， 所以， 故答案为： 6．（2026高一·江苏苏州·月考）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】在中，已知，，，由余弦定理，得. 故选：A． 7．（2026高一·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得． 故选：C． 8．（2026·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 9．（2026高一·辽宁沈阳·月考）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形边的特点及边角关系，结合余弦定理即可求解. 【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角. 由余弦定理，得， ∴，解得. 又中，两边之和大于第三边，即，∴. 综上，实数k的取值范围是. 故选：C 考点2 余弦定理边角互化的应用 10．（2026高二·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 11．（2026高一·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 12．（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 13．（2026高三·海南海口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 14．（2026高一·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. 15．（2026·江西南昌·模拟预测）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 16．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 17．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 【答案】1 【分析】根据余弦定理得，即可得，进而可求解. 【详解】因为，两边同时乘以得：， 由余弦定理可得，则，所以有， 又，所以，故， 又因为，所以. 故答案为：1 18．（2026高三·河南濮阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果. 【详解】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 考点3 正弦定理解三角形 19．（2026高三·山西吕梁·月考）在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用正弦定理得到值，再根据得到，即可求解． 【详解】，，， 又，且， ，则角的值为． 故选：B. 20．（2026高二·辽宁朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】根据正弦定理，得，解得． 故选：A. 21．（2026高一·山东临沂·期末）记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由正弦定理，得. 故选：C. 22．（2026高三·重庆·月考）在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 【答案】或 【分析】根据已知条件和正弦定理可得角，从而得到的值． 【详解】在中由正弦定理可知，所以， 解得，因为为的内角， 所以或， 所以或， 故答案为：或． 23．（2026高二·甘肃武威·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求. 【详解】在中，由正弦定理可得，即， 解得，且不等于0， 当为锐角时，， 当为钝角时，. 综上所述：. 故选：B. 24．（2026高一·江苏宿迁·期中）已知中，，，，则角的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为，，， 由正弦定理，即，解得， 又，则，所以，所以或. 故选：D 25．（2026高二·江苏常州·月考）中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，利用正弦定理，得， 由，得，所以. 故答案为： 26．（2026高一·天津河北·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则 . 【答案】 【分析】由求，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得，又，，， 所以，解得. 故答案为：. 考点4 正弦定理判定三角形解的个数 27．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断. 【详解】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 28．（2026高一·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，进而可求，可得结论. 【详解】由正弦定理，得，解得 ， 因为，所以 ， 又因为，所以或， 故此三角形有两解. 故选：C. 29．【多选】（2026高一·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 30．（2026高一·广西·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据三角形有两解，结合图形列出限制条件可得答案. 【详解】依题意得，因为，，所以． 故答案为： 考点5 正弦定理求外接圆半径 31．（2026高三·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为. 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 32．（2026高二·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理求出三角形外接圆半径，进而求出面积. 【详解】由正弦定理，解得． 所以外接圆的面积为． 故答案为： 33．（2026高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，再结合正弦定理可得的外接圆半径，即可求面积. 【详解】因为，所以，得， 设的外接圆半径为，则，可得， 故的外接圆面积. 故选：C. 34．（2026高三·安徽合肥·月考）记的三个内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，且的外接圆半径为，求的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合正弦的和角公式计算即可； （2）利用正弦定理求出，结合余弦定理求出，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，则， 所以， 即， 化简得，又，， 所以，又， 所以. （2）设外接圆的半径为，则，所以， 由余弦定理得，结合， ，即，解得，则， 所以. 35．（2026高二·广东梅州·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)设，，求和外接圆的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后结合两角差的余弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理可得，再利用正弦定理与圆的面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，则，故， 化简得，又，故； （2）， 外接圆半径， 故外接圆面积． 36．【多选】（2026高一·安徽蚌埠·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理即可判断选项. 【详解】根据正弦定理得，则. 所以的外接圆半径为4，所以C错误D正确； 根据正弦定理可得， 所以，所以A,B正确； 故选：ABD. 考点6 正弦定理边角互化的应用 37．（2026高三·北京通州·期中）在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 38．（2026高二·广东广州·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据余弦定理求出，再结合正弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理得，，即， 所以根据正弦定理有. 故选：C. 39．（2026高三·内蒙古包头·月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，即，再利用三角形内角和为即可求角. 【详解】 由正弦定理得， 即， 所以，在中，所以， ，又，所以， 则． 故选：B． 40．（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简即可. 【详解】由以及正弦定理，得， 所以. 因为，所以，所以. 故选：C 41．（2026高一·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 考点7 正、余弦定理判定三角形形状 42．（2026高三·北京顺义·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】A 【分析】将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 43．（2026高二·黑龙江鸡西·期中）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据条件，利用倍角公式及正弦定理计算即可得. 【详解】， 则， 即， 则，由，则，故， 即的形状为直角三角形. 故选：A. 44．（2026高一·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【详解】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D 45．（2026高一·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 46．（2026高一·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 47．（2026高一·山东潍坊·月考）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 考点8 三角形面积公式的应用 48．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得，再利用正弦定理可得，根据正弦和角公式得，再利用面积公式求解即可． 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 49．（2026高三·甘肃临夏·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】在中，由，可得， 又，， 所以的面积为. 故选：B 50．（2026高三·江苏·期末）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，根据条件，结合同角三角函数的关系，可得的值，代入面积公式，即可得到答案. 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积. 故选：B 51．（2026高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）在中，，，，则的面积为（    ）． A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】先根据平方关系求得，再结合三角形的面积公式求解. 【详解】在中，因，则是锐角，， 所以的面积为. 故选：C. 52．（2026高三·广西·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】A 【分析】先根据同角基本关系式计算出，的值，再利用正弦定理得到，进而得到b，c分别的值，最后带入得到答案 【详解】∵，，且，， ∴，， ∴，即. ∵， ∴，. ∵， ∴， 则的面积是. 故选：A 53．（2026高一·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 54．（2026高一·江西吉安·期末）在中，内角所对应的边分别为，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得到，再利用余弦定理以及三角形面积公式即可求出结果. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得， 又因为，则，，可得即， 所以，由余弦定理可得， 所以面积的最大值为． 故选：C． 考点9 正、余弦定理在几何图形中的应用 55．（2026高一·四川成都·期中）如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用余弦定理求出，进而求出，再使用进行求解. 【详解】在三角形BCD中，由余弦定理得：， 因为，所以角C为锐角，所以， 在三角形ABC中， 故选：A 56．（2026高三·北京海淀·期末）在中，是边上的中线，且，的面积为，则 ， . 【答案】 2 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理进行求解. 【详解】因为是边上的中线，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即，所以， 故答案为： 57．（2026高三·安徽阜阳·期末）在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理得得，，两式相除代入条件求得结论. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，所以 故选：C 58．（2026高一·福建莆田·期末）已知满足，，点在线段上，且，则 ． 【答案】 【分析】利用几何法，作对称全等三角形，再结合等腰三角形性质，即可求解. 【详解】 取中点，连接，作三角形关于直线对称三角形， 然后再过点作，垂足为， 因为，， 所以， 又由，所以四边形是矩形， 即， 因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为： 59．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，得①， 在中，由余弦定理得， 即，得②， 又， 所以③， 由②①，得，由， 得，代入③得. 故选：B 60．（2026高三·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得：； ，， 即，解得：. 61．（2026高二·广东·期末）在中，角所对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若在边上，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）整理等式后由余弦定理求得，即可求得； （2）方法一：由（1）得，由得，通过诱导公式及和差角公式求得，在和中由正弦定理建立等式，即可求得； 方法二：作于于，设，由（1）中结论及条件求得线段，由求得，即可求得. 【详解】（1）由， ， 化简后：， 由余弦定理：， 又. （2）方法一：由（1）可知， 又， 不妨设， 中，由正弦定理， 中，由正弦定理， 两式相除，， 展开化简得， 即， ． 综上，则. 方法二：如图，作于于， 设， 由，， 又，， ， 又，， . 考点10解三角形中的角度最值或范围 62．（2026高二·浙江杭州·期中）在中，内角所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可. （2）利用（1），求出，表示出，并进行换元转化为二次函数,进而求得最大值. 【详解】（1）由题， 由正弦定理：， 所以， 整理， 所以，结合三角形内角性质， 或（舍）, . （2）由，则由（1）问，得：， 所以， 且 又， 令，则， 所以 因为, 当时，所求的最大值为. 63．（2026高一·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可. （2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公式可得，即可得，进而求最值. 【详解】（1）由，故，而， 所以，故. （2）由，故，即， 由余弦定理知：，即， 所以，即，又， 故， 由，则或（舍）， 所以，则，即， ，而， 所以，当时有最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意综合应用正余弦定理得到，再根据三角形内角的性质、三角恒等变换得到的关系及角的范围，进而求最值. 64．（2026高一·四川乐山·月考）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. （2）因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. （3）由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 65．（2026高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若，求外接圆面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式和正弦定理可得，进而利用余定理可得结论； （2）由余弦定理可得，利用基本不等式与（1）可得的取值范围； （3）利用（2）求得，进而求得外接圆的半径的最小值，可求面积的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 由余弦定理：， 所以， 即， 所以； （2）由余弦定理得 又因为，所以 所以的取值范围是：； （3）由（2）可得， 所以外接圆， 所以外接圆面积的最小值为. 66．（2026高二·重庆·开学考试）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角可得，求出，再由余弦定理，结合，求出，再根据三角形面积公式求解即可； （2）由三角形内角和为，结合，化简可得，再由锐角三角形求出，然后求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，则， 由余弦定理知，代入数据得，解得， 所以，所以的面积为. （2）， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 67．（2026高二·浙江温州·月考）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示转化，再利用正弦定理边角互化，再结合三角形内角的范围即可求出角； （2）由（1）可知，将其代入，利用差角的正、余弦公式化简变形为，再结合角的范围及在上的单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理可得， 即.因为，所以， 所以，即.因为，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，即， 所以， 即的取值范围为. 考点11解三角形中的边长或周长最值或范围 68．（2026高三·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 69．（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 70．（2026高三·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知及正弦定理、三角恒等变换得，再根据三角形内角性质得到、，进而有，最后由正弦定理、诱导公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数的性质求范围. 【详解】由已知及正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以，故，则， 因为是锐角三角形，所以，解得，所以， 由正弦定理，得 ， 因为，所以． 故选：A 71．（2026·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（    ） A．不存在最大值 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将转化为，根据的范围即可得解. 【详解】，，，， ，， （其中，，）， ，，， 又，，，， ， ∴最大值为. 故选：. 72．（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和差的余弦公式结合诱导公式得，再求即可； （2）在中，由正弦定理及两角和差的正弦公式可得，然后结合三角函数的值域的求法求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以； （2）根据正弦定理得， 由（1）得，， ，为锐角，所以，， 其中，，即， 综上可知，的取值范围是． 73．（2026高三·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 74．（2026高三·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 75．（2026高三·安徽阜阳·期末）在锐角中，角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)记的面积为，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）由余弦定理得，进而得，又，由正弦定理得，利用锐角三角形求的范围，进而求解. 【详解】（1）由正弦定理得： ， 又. 又为锐角三角形，. （2）由余弦定理可知，，即， . . 由正弦定理得，又， 所以. 又，，可得， 则. 考点12 正余弦定理与三角函数的综合 76．（2026高一·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 77．（2026·湖南·模拟预测）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域； （2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案 【详解】（1）， 所以要使有意义， 只需，即， 所以，解得 所以函数的定义域为， 由于，所以， 所以函数的值域为； （2）由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 78．（2026高一·重庆沙坪坝·月考）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值. （2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. 【详解】（1）由题设，， 所以，当时的最小值为. （2）由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则. 79．（2026·北京·模拟预测）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 考点13 距离问题 80．（2026高三·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 81．（2026高三·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求解. 【详解】如图，由题意可得，，，，，千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由余弦定理可得，则千米. 故选：A. 82．（2026高三·贵州·月考）一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由题意可得示意图，则 所以 由正弦定理可得，故（）. 故选：A 83．（2026高二·广西贵港·开学考试）位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 【答案】B 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里. 故选：B. 84．（2026高一·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 考点14 高度问题 85．（2026高三·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B 86．（2026·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意，得到，在直角中，求得米，在中，由正弦定理求得米，再在直角中，结合，即可求解. 【详解】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. 87．（2026高三·江西·月考）为了测量某古塔（点为塔顶，点为在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线的方向）沿直线飞行6米到达处，且距离比距离更远（四点共面），最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了14米恰好到达塔顶.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为（    ）    A．16.6米 B．17.3米 C．18.7米 D．19.2米 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用三角函数关系和勾股定理建立方程，进而求解古塔的高度. 【详解】    设在地面的射影为，作，根据题意易知, 设， 在中，， 根据锐角三角函数：，则. 在中，， 根据勾股定理，则有， 化简得，解得或（舍去）. 所以，所以古塔高度约为米. 故选：C. 88．（2026高三·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200m B． C．400m D．600m 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得的长，然后在中，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】在中，，. 在中，. 在中， . 故选：A 考点15 角度问题 89．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】根据题意，由即可得到的度数，即可得到结果. 【详解】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B 90．（2026高一·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 91．（2026高一·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 【答案】C 【分析】结合题意画出相应图形，即可得答案. 【详解】由题，1小时后，甲船来到C处，则，则.又由题可知，此时，乙船来到D处，，结合BD是北偏东60°方向，则.又，则，即此时乙在甲的北偏东30°方向，甲在乙的南偏西30°方向. 故选：C    92．（2026·四川绵阳·模拟预测）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知，由余弦定理求出，可得. 【详解】由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题06 解三角形15考点复习指南 知识1：余弦定理、正弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：+-=2bcA，+-=2acB，+-=2abC. 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=kA，b=kB，c=kC，由此可得 正弦定理的下列变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 4．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 5．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 6．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). ②将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 知识2：测量问题 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 考点1 余弦定理解三角形 1．（2026·河南·模拟预测）分别是的内角的对边，若，则（    ） A． B． C．3 D．6 2．（2026高二·云南·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 3．（2026高二·云南昭通·期中）在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 4．（2026高一·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则 . 5．（2026高二·山西·学业考试）若在中，，，，则边BC的长为 . 6．（2026高一·江苏苏州·月考）在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·课后作业）在，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．1 8．（2026·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·辽宁沈阳·月考）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点2 余弦定理边角互化的应用 10．（2026高二·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 11．（2026高一·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 12．（2026高二·湖南株洲·学业考试）已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 13．（2026高三·海南海口·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高一·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 15．（2026·江西南昌·模拟预测）在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 16．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 17．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，若，且，则 . 18．（2026高三·河南濮阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点3 正弦定理解三角形 19．（2026高三·山西吕梁·月考）在中，已知，，，则角的值为（    ） A．或 B． C． D．或 20．（2026高二·辽宁朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B．1 C． D． 21．（2026高一·山东临沂·期末）记内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 22．（2026高三·重庆·月考）在中内角所对的边分别为，且，，，则 ． 23．（2026高二·甘肃武威·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·江苏宿迁·期中）已知中，，，，则角的值是（    ） A． B． C．或 D．或 25．（2026高二·江苏常州·月考）中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为 ． 26．（2026高一·天津河北·期中）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则，，，则 . 考点4 正弦定理判定三角形解的个数 27．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 28．（2026高一·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 29．【多选】（2026高一·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 30．（2026高一·广西·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且有两解，则的取值范围为 ． 考点5 正弦定理求外接圆半径 31．（2026高三·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 32．（2026高二·甘肃嘉峪关·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为 ． 33．（2026高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 34．（2026高三·安徽合肥·月考）记的三个内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，且的外接圆半径为，求的面积. 35．（2026高二·广东梅州·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求角的大小； (2)设，，求和外接圆的面积． 36．【多选】（2026高一·安徽蚌埠·期末）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 考点6 正弦定理边角互化的应用 37．（2026高三·北京通州·期中）在锐角中，，则（   ） A． B． C． D． 38．（2026高二·广东广州·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 39．（2026高三·内蒙古包头·月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（    ） A． B． C． D． 40．（2026·贵州·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．（2026高一·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 考点7 正、余弦定理判定三角形形状 42．（2026高三·北京顺义·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 43．（2026高二·黑龙江鸡西·期中）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 44．（2026高一·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 45．（2026高一·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 46．（2026高一·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 47．（2026高一·山东潍坊·月考）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 考点8 三角形面积公式的应用 48．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 49．（2026高三·甘肃临夏·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 50．（2026高三·江苏·期末）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 51．（2026高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）在中，，，，则的面积为（    ）． A．8 B．16 C．32 D．64 52．（2026高三·广西·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积是（    ） A． B． C．9 D．18 53．（2026高一·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 54．（2026高一·江西吉安·期末）在中，内角所对应的边分别为，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 考点9 正、余弦定理在几何图形中的应用 55．（2026高一·四川成都·期中）如图，满足，则（    ） A． B． C． D． 56．（2026高三·北京海淀·期末）在中，是边上的中线，且，的面积为，则 ， . 57．（2026高三·安徽阜阳·期末）在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 58．（2026高一·福建莆田·期末）已知满足，，点在线段上，且，则 ． 59．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 60．（2026高三·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 61．（2026高二·广东·期末）在中，角所对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若在边上，且，求． 考点10解三角形中的角度最值或范围 62．（2026高二·浙江杭州·期中）在中，内角所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)求的最大值． 63．（2026高一·福建三明·期末）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)若，且，求△ABC的面积； (2)求的最大值． 64．（2026高一·四川乐山·月考）在中，内角对应的边分别是，且． (1)求角A的大小； (2)若的面积是，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 65．（2026高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的取值范围； (3)若，求外接圆面积的最小值. 66．（2026高二·重庆·开学考试）在中，内角对应的边分别是、、，且． (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 67．（2026高二·浙江温州·月考）已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 考点11解三角形中的边长或周长最值或范围 68．（2026高三·江西鹰潭·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（    ） A． B． C． D． 69．（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 70．（2026高三·河北邢台·期中）在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 71．（2026·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（    ） A．不存在最大值 B． C． D． 72．（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 73．（2026高三·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 74．（2026高三·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 75．（2026高三·安徽阜阳·期末）在锐角中，角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)记的面积为，周长为，求的取值范围. 考点12 正余弦定理与三角函数的综合 76．（2026高一·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 77．（2026·湖南·模拟预测）已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值. 78．（2026高一·重庆沙坪坝·月考）设函数，其中向量，. (1)求的最小值； (2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 79．（2026·北京·模拟预测）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 考点13 距离问题 80．（2026高三·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 81．（2026高三·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 82．（2026高三·贵州·月考）一艘渔船在海上由南向北航行（航线视为一条直线），当船航行到点A时，测得远处一座灯塔T在其北偏东45°的方向上．渔船继续向北航行10km到达点B，此时测得灯塔T在其北偏东75°的方向上，则此时渔船与灯塔T的距离为（    ） A．km B．km C．km D．km 83．（2026高二·广西贵港·开学考试）位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里 84．（2026高一·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 考点14 高度问题 85．（2026高三·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 86．（2026·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 87．（2026高三·江西·月考）为了测量某古塔（点为塔顶，点为在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行10米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线的方向）沿直线飞行6米到达处，且距离比距离更远（四点共面），最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了14米恰好到达塔顶.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为（    ）    A．16.6米 B．17.3米 C．18.7米 D．19.2米 88．（2026高三·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为，，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ） A．200m B． C．400m D．600m 考点15 角度问题 89．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 90．（2026高一·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 91．（2026高一·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向 92．（2026·四川绵阳·模拟预测）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $