1.2.2 第2课时 等差数列习题课-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

练案[6] 第一章数列 §2[2.2第2课时 等差数列习题课] 化组·基础自测 A.112 B.48 C.80 D.64 三、解答题 一、选择题 9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1. 1.已知在等差数列{an}中，a1+a3=12,42+a4= (1)写出数列的前5项： 18,则a3+a6+ag+…+a3n= A子r+ B (2)数列{an}是等差数列吗？说明理由； (3)写出{an}的通项公式 c号(r+2n) D.(2n) 2.若数列{an}的通项公式是an=2n-6,设bn IanI,则数列{bn}的前7项和为 A.14 B.24 C.26 D.28 3.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1, 公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k= A.8 B.7 C.6 D.5 4.(2024·全国甲卷理)记Sn为等差数列{an}的 前n项和，已知S=So,a5=1,则a1=（) A.子 c.-片 B. 5.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,下列 说法正确的是 () A.若Sn=n2-11n+1,则am=2n-12 B.若a.=-2n+11,则数列{|a.I}的前10项和 为49 C.若an=-2n+11,则Sn的最大值为25 D.若数列{an}为等差数列，且a1o12<0, a1o2+a1o13>0,则当Sn<0时，n的最大值 为2023 二、填空题 6.已知数列{an}的前n项和Sn=2·3”-3,则数 列{an}的通项公式为 7.等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am-1+ am+1-0m=0,S2m-1=38,则m= 8.(2025·天津卷)S。=-n2+8n,则数列{1a,1} 的前12项和为 () —111 10.已知等差数列{an}的前n项和S,满：三、解答题 足S3=0,S=-5. 6.设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)am (1)求{an}的通项公式； =2n. (2)求数列{。1—的前n项和 (1)求{an}的通项公式； la2n-1a2n+1 (2)求数列2+}的前n项和 组·创新拓展 已知数列{an}的前n项和为Sn,n=1,2,3, 8组·能力提升 …，从条件①，条件②和条件③中选择两个能 一、选择题 够确定一个数列的条件，并完成解答 1 1 1.已知数列11+21+2+3，…1+2+3++n (条件①：a5=5;条件②：am+1-an=2;条件③： S2=-4.) 则该数列的前n项和为 A.2(n-1) 选择条件 和 B.1 n n (1)求数列{an}的通项公式； C.2n (2)设数列{bn}满足bn=Ian1,求数列{bn}的 ∵n+1 D.n +1 前n项的和Tn 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1 16,Sm=25,a1=1(m≥2，且m∈N),则m的值 是 A.4 B.5 C.6 D.7 3.数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2(n∈N*), 则当n≥2时，下列不等式成立的是（) A.S nana B.S nana C.na>S.na D.na >S na 二、填空题 4.(2025·上海卷)已知等差数列{an}的首项a1 =-3,公差d=2,则该数列的前6项和为 5.若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n+2,则 la1|+|a2l+…+lao1= —1125.100因为数列{a.}为等差数列， 所以数列}为等老数列。 设其公若为4，由合-受-41-4解得41 又因为子=a=1, 所以子=，即及=，所以S。=0 6.(1)设an}的公差为d.因为a1=2,所以am=2+(n-1)d,Sn mdaDd-2nDd 2 2 若选①，因为a,+ag=43,所以2+6d+2+7d=4+13d=43, 解得d=3,故an=3n-1. 若选②，因为an}的前7项和为77， 所以2×7+75=14+21d=7,解得=3，故a=3n- 若选③，因为a1+a2=a1-1,a1+a2=2+2+d=2+2d-1,解 得d=3,故an=3n-1. (2)由已知数列{an}的第n项是数列{bn}的第n+4(n-1)= 5n-4项，令5n-4=101,解得n=21, 故b1o是数列{an}的第21项 C组·创新拓展 86 由题意，由细到粗每段的重量成等差数列a.},设公差 为d, 则a+a+a=2,3a+3d=2，解得a1=及，d=8 la13+a14+a15=4,3a1+39d=4, 所以a,”装9所以a1= 0,1≤n≤7， 1,8≤n≤15. 因此数列{bn}的所有项的和为ag+ag+…+as= 18+19+…+25_86 18 9 练案[6] A组·基础自测 1.A因为an}是等差数列，a1+a3=12,a+a4=18, r2a1+2d=12 所以 2a1+4d=18 解得/d3, la1=3, 则an=3+(n-1)×3=3n, 数列a,a6,ag,…,an构成首项为a3=9,公差为9的等差数列， 则马+a+a++a:=咖+之a(a-l）x9=号(t+m 2.C当n≤3时，an≤0，bn=lanI=-an=6-2n,即b1=4,b2= 2,b3=0. 当n>3时，an>0,bn=lan1=am=2n-6,即b4=2,b5=4,b6= 6,b,=8,所以{bn}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26. 3.DSk+2-Sg=ak+1+ak+2=2ak+l+2=24. 故ak+1=2k+1=11. .k=5 4.B由S10-S3=a6+a7+ag+ag+a10=5ag=0,则as=0, 18 则等差数列1a,的公差d=,。-弓，故a=a-4d=1 -4×(-）子放选B 5.CD对于A,当n=1时，a1=S1=12-11×1+1=-9,当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=(n2-11n+1)-[(n-1)2-11(n-1)+ 1]=2n-12. 检验n=1时，2×1-12=-10≠a1, 所以an={ -9，n=1,故A错误； 2n-12,n≥2， 对于B,因为am=-2n+11, r11-2n,n<6, 则IanI= 2n-11,n≥6， 所以数列{1a.1的前10项和为9+7+5+3+1+1+3+5+7 +9=50,故B错误； 对于C,由an=-2n+11可知数列{an}是等差数列，则S.= (9-2n+11)n=-2+10n, 2 易知n=5时，Sn的最大值为25，故C正确： 对于D,因为数列{an}为等差数列，且a1o12<0,a1o2+ao13 >0. 所以Se=（a1+a)×2023 <2 2023a1o12<0, （a1+a224)×2024 S2024 =（ao2+41o13)×2024 >0 2 所以当S<0时，n的最大值为2023，故D正确. 「3，n=1 6.am= l4·3"-1,n≥2 当n=1时，a1=S1=3,当n≥2时，an= Sn-5-1=43”- f3,n=1, 当n=1时不满足上式，故an= 14·3"-1,n≥2. 7.l0根据等差数列的性质，可得am-1+am+1=2am 又am-1+am+1-an=0,则2am=a, 解得am=0(舍去)或am=2. 则S2m-1= 2m-1)(a+am-i）=(2m-1)aw→4m-2=38, 2 所以m=10. 8.C因为Sn=-n2+8n, 所以当n=1时，a1=S=-12+8×1=7, 当n≥2时，a=Sn-Sn-1=(-n2+8n）- [-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9, 经检验，a1=7满足上式， 所以a=-2n+9(neN*),令an=-2n+9≥0→n≤4，an= -2n+9≤0→n≥5， 设数列{IanI}的前n项和为Tn, 则数列{an的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16, 数列{Ia,1}的前12项和为 T2=la1l+la2+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-… 2 -a12 =2S4-512=2×16-(-122+8×12)=80. 故选C. 9.(1)Sm=n2+n+1,∴.a1=S1=3,a2=S2-S1=7-3=4,a3 =S3-S2=13-7=6,a4=S4-S3=21-13=8,a5=S;-S4= 31-21=10. (2)由(1)可知，a2-a1=4-3=1,a3-a2=6-4=2, .a3-a2≠a2-a1,数列an}不是等差数列. (3)当n≥2时，an=S.-Sa-1, ∴am=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1] =2n(n≥2)，a1=S1=3, 数列a,的通项公式为a,三{2n,≥2 10.(I)设{a,的公差为d,则S,=na,+nn,-d 2 由已知可得[3a+3=0, l5a1+10d=-5, 解得a=1,d=-1 故数列{an}的通项公式为an=2-n. 2)期8-2a-2 1 从面数列{的前n项和为什+寸 1 1 ++2n-32n-)1-2n B组·能力提升 1c因为12+3t+。aa=2片中h） 1 1 2 2 所以该数列的前n项和为2(1-)+2（分号）+ 2分）*…*2日h-2-)0 2.B设等差数列{a.}的公差为d,因为Sm-1=16,Sm=25,a1= 1(m≥2，且m∈N), 所以am=Sm-Sm-1=25-16=9=1+(m-1)d,m+m(m-1d 25,联立解得m=5,d=2 「S1(n=1), 3.C方法一：由an= lSn-Sm-1(n≥2)， 解得an=5-4n. a1=5-4×1=1,.na1=n. .'na 5n -4n2. na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0, Sm-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0. .∴.na1>Sn>nam. 方法二：an=5-4n,.当n=2时，Sn=-2, na =2,na =-6,..na >S,na 412根据等差数列的求和公式，5。=6a,+6X54=12, 2 5.66因为Sn=n2-4n+2,当n=1时，a1=S1=1-4+2=-1; -18 当n≥2时，a.=S.-S-1=n2-4n+2-[(n-1)2-4(n-1) +2]=2n-5,所以a2<0,a3>0,a4>0,…. 故1a1l+la21+…+1aol=S10+2(1a11+1a21)=102-4× 10+2+2(1+1)=66. 6.(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n, 故当n≥2时， a1+3a2+…+(2n-3)a-1=2(n-1), 两式相减得(2n-1)a.=2, 所以a22≥2) 又由题设可得a1=2,满足上式， 所以a.}的通项公式为a,=2n 2 (2)记{2+}的前n项和为s 由(1)知20 2 2n+1(2n+1)(2n-1) 1 1 =2n-12n+11 1 1 C组·创新拓展 (1)选①②，由aw+1-an=2可知数列an}是公差d=2的等 差数列，由a5=5得a1=-3,故an=-3+2(n-1)=2n-5; 选②③，由a+1-an=2可知数列{an}是公差d=2的等差数 列，由S2=-4可知a1+a2=-4,所以a1=-3,an=-3+ 2(n-1)=2n-5;选①③，无法确定数列. (2)因为an=2n-5,所以bn=1a.1=12n-51= 5-2n,1≤n≤2，其中meN, 2n-5,n≥3， 当1≤n≤2，neN,时，T.=-n2+4n: 当n≥3，n∈N,时，数列{bn}是从第3项开始，公差d=2的等 差数列， T.=4+1+2n-5)m-2）=n2-4n+8. 2 所以T.= 「-n2+4n,1≤n≤2， nEN.. n2-4n+8,n≥3， 练案[7] A组·基础自测 1.Ca4=a19=4,.a2·a6=a19·a19=a7g=(a193)2=42 =16. 2.C设等差数列an}的公差为d,(d≠0)， 因为a,a4,a6成等比数列，且a1=-2, 所以a=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d =2或d=0(舍去)， 所以a1o=a1+9d=-2+9×2=16. 故选C. 3.C因为a1·a2·a3·a4·a5=a1·a19·a192·a9·a19= a·q0=-g°，am=a19m-1=-g-1,所以-g°=-g"-1,所