1.2.2 第1课时 等差数列的前 n 项和-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(北师大版)

(兮》=名+*a,=8 又{an}成等差数列.a2=1,a1+a3=2, 66=子4+6=是， 1 2,o8即。-3或=3. 1或 b=8lb3=2, a3=-1, .am=2n-3或am=-2n+5. 练案[5] A组·基础自测 1.C设am}的公差为d, a+3d+5a+54=2, 由 +79=4, 7a1+ 可得6a,+13d=2, la1+3d=2, 解得-4所以an=-4+9×2=14. ld=2. 2.BS5=S1o, 则S10-Ss=a6+a7+ag+,+ao=5as=0,解得as=0, 又因为4=1，所以公差d=子 放a,=4-71=子放选B 9(a1+ag） 3.D 8ata5a+a-器-号×3-3 2 9(a1+ag）9a5_9、 2 4.B设等差数列{an}的公差为d,项数为n,前n项和为S,因 为d=4,5奇=15，S=5,所以S-S将=2d=2m=40,所以 n=20,即这个数列的项数为20. 5.ABDS5<S4,.a5<0,S5=S6,.a6=0,S7>S6,a7 >0,由以上结论知A,B正确，C错误；对于D,Sg-S4=a5+a6 +a2+ag=2(a6+a7)>0,∴.S8>S4,D正确. 6.-3已知等差数列{an}的前5项和S,=25,所以S,= 5(a+a）=5a,=25,解得a=5.已知a4=3,则公差d=a, 2 a3=-2.所以a7=a3+4d=5-8=-3. 7.180因为a1+a1s=a2+a17=20, 所以Ss=18x(g+a）-18×(0+a=180 2 2 &2由等差数列的性质可得十=公 67+615 61+621 21(a+a2)_2521=3×21+1=8 21(6+b2)2T121+33' 爱安2论- 3(2n-1)+16n-2 2n+22n+2 -18 -03043- n+1 n+1 若公为整数，且n+1≥2，放4能被n+1整除，故m+1=2或 4,解得n=1或3， 所秋，使得受为整数的n值的个数为2 9.(1)根据题意，得 :+a=a++a+3=8,解得@=8， la2·a4=(a1+d)·(a1+3d)=12,1d=-2. (2)s。=10a,+10×)0-Dd=10x8+10,x9x(-2)= 2 2 -10. 10.（1)设{an}的公差为d,由已知， fa1=-7, 所以d=2, lS3=3a1+3d=-15, 所以an}的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得s.=-7m+m,Dx2=n2-8m=（n-42 2 16,所以当n=4时，S.取得最小值-16. B组·能力提升 1.C方法一：设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意 可得， a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5, 又a4ag=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2, 所以S=5a+xd=5x2+10=20放选C 方法二：a2+a6=2a4=10,a4ag=45,所以a4=5,ag=9, 从面d=84=1,于是4=4-d=5-1=4, 所以S=5a3=20.故选C. 2.C因为在等差数列{an}中，=。 a。151 15(a1+a15） 所以、 2 15(a1+a1s)15×2ag S,17(a1+a17）17(a1+a17)17×2ag 2 =15.=1. 217 3.AC因为S6=S13,所以a,+ag+…+a3=0,所以a10=a1+ 9d=0,即a1=-9d,又a1<0,所以d>0,A对，B错；当Sn= m,+n)1d=n(-9+nn,1d>0,解得n>19,所以 2 2 nm=20,所以C对：56-S=16a+1615d-(2a,+d)= 2 14a1+119d=-7d<0,所以S6<S2,D错. 4.13设这个等差数列为an},由题意得 [a1+a2+a3=34, ① lam+am-1+am-2=146, ② ①+②得3(a1+an)=180,.a1+a=60. ÷S,=n(a+a）=30n=390n=13. 2 5.100因为数列{a.}为等差数列， 所以数列}为等老数列。 设其公若为4，由合-受-41-4解得41 又因为子=a=1, 所以子=，即及=，所以S。=0 6.(1)设an}的公差为d.因为a1=2,所以am=2+(n-1)d,Sn mdaDd-2nDd 2 2 若选①，因为a,+ag=43,所以2+6d+2+7d=4+13d=43, 解得d=3,故an=3n-1. 若选②，因为an}的前7项和为77， 所以2×7+75=14+21d=7,解得=3，故a=3n- 若选③，因为a1+a2=a1-1,a1+a2=2+2+d=2+2d-1,解 得d=3,故an=3n-1. (2)由已知数列{an}的第n项是数列{bn}的第n+4(n-1)= 5n-4项，令5n-4=101,解得n=21, 故b1o是数列{an}的第21项 C组·创新拓展 86 由题意，由细到粗每段的重量成等差数列a.},设公差 为d, 则a+a+a=2,3a+3d=2，解得a1=及，d=8 la13+a14+a15=4,3a1+39d=4, 所以a,”装9所以a1= 0,1≤n≤7， 1,8≤n≤15. 因此数列{bn}的所有项的和为ag+ag+…+as= 18+19+…+25_86 18 9 练案[6] A组·基础自测 1.A因为an}是等差数列，a1+a3=12,a+a4=18, r2a1+2d=12 所以 2a1+4d=18 解得/d3, la1=3, 则an=3+(n-1)×3=3n, 数列a,a6,ag,…,an构成首项为a3=9,公差为9的等差数列， 则马+a+a++a:=咖+之a(a-l）x9=号(t+m 2.C当n≤3时，an≤0，bn=lanI=-an=6-2n,即b1=4,b2= 2,b3=0. 当n>3时，an>0,bn=lan1=am=2n-6,即b4=2,b5=4,b6= 6,b,=8,所以{bn}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26. 3.DSk+2-Sg=ak+1+ak+2=2ak+l+2=24. 故ak+1=2k+1=11. .k=5 4.B由S10-S3=a6+a7+ag+ag+a10=5ag=0,则as=0, 18 则等差数列1a,的公差d=,。-弓，故a=a-4d=1 -4×(-）子放选B 5.CD对于A,当n=1时，a1=S1=12-11×1+1=-9,当n≥ 2时，an=Sn-Sn-1=(n2-11n+1)-[(n-1)2-11(n-1)+ 1]=2n-12. 检验n=1时，2×1-12=-10≠a1, 所以an={ -9，n=1,故A错误； 2n-12,n≥2， 对于B,因为am=-2n+11, r11-2n,n<6, 则IanI= 2n-11,n≥6， 所以数列{1a.1的前10项和为9+7+5+3+1+1+3+5+7 +9=50,故B错误； 对于C,由an=-2n+11可知数列{an}是等差数列，则S.= (9-2n+11)n=-2+10n, 2 易知n=5时，Sn的最大值为25，故C正确： 对于D,因为数列{an}为等差数列，且a1o12<0,a1o2+ao13 >0. 所以Se=（a1+a)×2023 <2 2023a1o12<0, （a1+a224)×2024 S2024 =（ao2+41o13)×2024 >0 2 所以当S<0时，n的最大值为2023，故D正确. 「3，n=1 6.am= l4·3"-1,n≥2 当n=1时，a1=S1=3,当n≥2时，an= Sn-5-1=43”- f3,n=1, 当n=1时不满足上式，故an= 14·3"-1,n≥2. 7.l0根据等差数列的性质，可得am-1+am+1=2am 又am-1+am+1-an=0,则2am=a, 解得am=0(舍去)或am=2. 则S2m-1= 2m-1)(a+am-i）=(2m-1)aw→4m-2=38, 2 所以m=10. 8.C因为Sn=-n2+8n, 所以当n=1时，a1=S=-12+8×1=7, 当n≥2时，a=Sn-Sn-1=(-n2+8n）- [-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9, 经检验，a1=7满足上式， 所以a=-2n+9(neN*),令an=-2n+9≥0→n≤4，an= -2n+9≤0→n≥5， 设数列{IanI}的前n项和为Tn, 则数列{an的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16, 数列{Ia,1}的前12项和为 T2=la1l+la2+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-… 2练案[5] 第一章数列 §2[2.2第1课时 等差数列的前n项和] 化组·基础自测 8.数列{an}与{b,n}均为等差数列，其前n项和分 一、选择题 别为3与万者产-0村则8 b7+b15 1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+S= 2,S2=14,则a0= ( ,使得。为整数的n值的个数为 A.18 B.16 C.14 D.12 三、解答题 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S=S1o, 9.若等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12, a5=1,则a1= ( a2+a4=8.求： A子 R写 c.-3 n-7 （1)数列{an}的首项a1和公差d; 3.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 (2)数列{an的前10项和S1o的值. S.,若a,=3a,则 B.5 9 c 4.已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶 数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为 55,则这个数列的项数为 A.10 B.20 C.30 D.40 5.（多选)已知{an}为等差数列，Sn为前n项和， S<S4,S=S6,S,>S6,则下列说法正确的是 A.d>0 B.a6=0 C.S和S均为Sn的最大值 D.Ss>S 二、填空题 6.若等差数列{an}的前5项和S=25,且a4= 3,则42= 7.等差数列{an}的前n项和为Sn,若42+a= 20,则S18= —109 10.记S,为等差数列{a}的前n项和，已知：三、解答题 a1=-7,S3=-15. 6.在①a1+ag=43,②{an}的前7项和为77， (1)求{a,}的通项公式； ③a1+a2=a3-1这三个条件中任选一个，补 (2)求Sn的最小值， 充在下面问题中，并解答问题.已知等差数列 {an}中，a1=2, （1)求{an}的通项公式； (2)在{an}中每相邻两项之间插入4个数，使 它们与原数列的数构成新的等差数列{b},则 bo1是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的 第几项？若不是，a<b1o1<ag+1,求k的值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解 答计分： 分组·能力提升 一、选择题 1.（2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{a,}的前 n项和.若a2+a6=10,a4ag=45,则S= A.25 B.22 C.20 D.15 2.设S是等差数列a,的前n项和，若=1 4g15 组·创新拓展 A.2 B.-1 C.1 D.0.5 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题： 3.（多选)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1< “今有金箠（即金杖），长五尺，斩本一尺，重四 0,S6=S3,则 ( 斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？” A.a10=0 意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头 B.an+l<an 细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端 C.当S.>0时，n的最小值为20 截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少 D.S2<S16 斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将 二、填空题 该金杖截成长度相等的15段，记第n段的重 4.若一个等差数列前3项的和为34，最后三项 量为an斤(n=1,2,…,15),且a<a2<…< 的和为146，且所有项的和为390，则这个数列 a1s,若bn=[an]·an(其中[an]表示不超过an 有项 的最大整数)，则数列{b}的所有项的和为 5.在等差数列{an}中，a1=1,其前n项和为Sn, 若S6-3S2=24,则S10=. 110