专题 1.7 整式的乘法考点与题型专题训练（5大考点14类题型）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.7 整式的乘法考点与题型专题训练（5大考点14类题型） 目录 基础篇（夯实概念与基础计算） 1 【考点一】单项式乘以单项式 1 题型 1：直接计算 2 题型 2：单项式乘以单项式中的次数与系数 3 题型 3：简单的实际应用 4 【考点二】单项式乘以多项式 6 题型 4：直接展开计算 6 题型 5：化简求值 8 题型 6：几何面积应用 9 【考点三】多项式乘以多项式 12 题型 7：直接展开 12 题型 8：(x+p)(x+q)型展开 14 题型 9：图形面积与多项式 15 培优篇（综合运算与应用） 17 【考点四】多项式乘法的逆用与参数求解 17 题型 10：利用单项式乘法求字母或代数式的值 18 题型 11：利用多项式乘法求字母的值 19 题型 12：不含某一项问题 21 【考点五】多项式乘法的规律性与综合应用 23 题型 13：数字规律探究 23 题型 14：综合应用 26 基础篇（夯实概念与基础计算） 【考点一】单项式乘以单项式 考法：系数相乘、同底数幂相乘、只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。 题型 1：直接计算 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算单项式乘以单项式，再计算整式的加减即可得． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法运算，解题的关键是掌握系数相乘、同底数幂相乘的法则． 先计算系数的乘积，再对同底数幂分别进行指数相加，最后合并结果得到最终单项式． 解： 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方以及单项式乘单项式的运算．首先分别计算和，然后将结果相乘，运用同底数幂相乘的法则进行计算，即可作答． 解：， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． （1）原式 （2）原式 题型 2：单项式乘以单项式中的次数与系数 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 1 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，列出方程求解 解：由题意，， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：3；4；1． 2．（25-26七年级上·重庆·期末）若单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是关键． 先根据单项式乘单项式的法则求解，再根据单项式的次数等于所有字母的指数的和求解即可． 解：∵， 又∵单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式， ∴， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，先根据同类项的定义求出，再计算两项乘积，解题的关键是掌握同类项的概念． 解：与是同类项， ， 这两个单项式为 ， 故答案为： ． 题型 3：简单的实际应用 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 解：长方形的面积=长×宽． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 根据题目中的图形和长方形的面积计算公式，可以用含、的代数式表示出它们的面积之和． 解：由图可得， 它们的面积之和为：， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式的应用，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，可得大长方形的长与宽，结合面积公式可得答案. 解：由题意可得，设每张桌面的宽为，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故答案为：． 【考点二】单项式乘以多项式 考法：利用分配律，将单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 题型 4：直接展开计算 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 解： ， 故选：A． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）________________． （2）_________________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算与合并同类项，掌握单项式乘多项式法则，以及合并同类项的法则是解题的关键． （1）通过单项式乘多项式法则展开并合并同类项； （2）运用单项式与多项式相乘的法则，分别相乘后合并． 解：（1）原式 ． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解题的关键是掌握运算法则． （1）直接利用单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）先利用单项式乘多项式法则计算括号里的，再利用单项式乘单项式法则进行计算即可． 解：（1）原式． （2）原式． 题型 5：化简求值 1．（25-26七年级下·全国·周测）若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】先将代数式化简，再利用已知条件代入求值. ∵ , 又∵ , ∴ , ∴ 原式 . 【点睛】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 2．（25-26八年级上·天津·月考）已知，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，单项式乘以多项式．将所求代数式化简后，利用已知方程整体代入求值． 解∶由得， 则． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可得到答案． 解： ， 当，时， 原式 ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 解： 将代入上式得， 原式． 题型 6：几何面积应用 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题． 分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可． 解：由题意可知，图1的面积为：； 图2的面积为：； 即． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用，将图形分割成两部分，然后列式计算即可． 解： ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)（平方米）． 【分析】本题考查整式的乘法运算及求值，解题的关键是根据长方形面积公式，用大长方形面积减去小长方形面积得到阴影部分面积表达式，再代入求值． （1）利用长方形面积公式分别求出大，小长方形面积．用大长方形面积减去小长方形面积得出阴影部分面积表达式． （2）将的值代入表达式求出阴影部分面积． （1）解：根据题意，得 平方米． （2）当，时， （平方米）． 【考点三】多项式乘以多项式 核心考法：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 题型 7：直接展开 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，通过多项式乘法展开，然后合并同类项得到结果． 解： 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，理解三个连续奇数的关系是关键． 根据连续奇数的性质，中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为，它们的积可利用多项式乘多项式计算． 解：设中间奇数为，则第一个奇数为，最后一个奇数为， 首尾两个数的积为 ， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键， （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 题型 8：(x+p)(x+q)型展开 1．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法，利用多项式乘以多项式法则计算各选项，即可得出结论． 解：A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，先将所求代数式展开整理，再结合已知条件进行整体代入计算． 解：化简：； ∵， ∴将其代入化简后的式子，得； 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；；（1）； （2）①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先利用多项式乘以多项式展开，然后合并同类项消掉，最后减一元一次方程即可． 解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 题型 9：图形面积与多项式 1．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形面积的计算及代数式的应用，先分别求出长和宽变化后的长度，再根据长方形面积公式计算扩大后的草坪面积． 解：原来长方形草坪长为，加长了，则扩大后草坪的长为， 原来长方形草坪宽为，加宽了，则扩大后草坪的宽为， ∴扩大后的草坪面积为， 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某长方形草坪的长为米，宽为米，则草坪的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据草坪的面积等于长×宽进行列式计算，即可作答． 解：∵某长方形草坪的长为米，宽为米， ∴ ∴草坪的面积为平方米． 故答案为： 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 解：由图形得阴影部分的面积为： ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出扩建后的面积为，原来的面积为，再利用扩建后的面积减去原来的面积即可得． 解：由题意得： ． 答：扩建后，草坪的面积将增加平方米． 培优篇（综合运算与应用） 【考点四】多项式乘法的逆用与参数求解 核心考法：已知展开式或特定条件，反求原式中的字母或系数。 题型 10：利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 3．（22-23八年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 解： ， 当时，原式． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值．其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的化简求值，根据幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式法则化简，然后合并同类项化成最简，然后把代入求值即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 解： ， 当时， 原式 ． 题型 11：利用多项式乘法求字母的值 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， ． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程． 根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值． 解：展开并化简表达式： ∵表达式值恒为， ∴与无关， 则，, ∴ ∴ 解得： 因此，, 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·月考）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【答案】-7 【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与+5x-6对应项的系数相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可． 解：x（x﹣m）+n（x+m） ＝﹣mx+nx+mn ＝+（n﹣m）x+mn， ∴， 则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7． 【点睛】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则． 题型 12：不含某一项问题 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项，令项的系数为零求解即可． ∵ ， ∵式子的结果中不含项， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 3．（2023八年级·全国·专题练习）若的乘积中不含 与 项，求的值． 【答案】 【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为，建立关于，的等式，求出后再求代数式值． 解：原式， ， ∵乘积中不含 与 项， ∴，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，根据不含某一项就是这一项的系数等于列式求解、的值是解题的关键． 【考点五】多项式乘法的规律性与综合应用 核心考法：通过计算、观察、归纳，发现并应用乘法中的规律。 题型 13：数字规律探究 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知这列数满足，据此规律求解即可． 解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ， ， ， 故答案为：36． 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（    ） A．6 B．64 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 根据，，，等的规律，可判断出的展开式，由此得出答案． 解：通过观察已给出的表达式， 可推出每下一阶的系数为它上方两个数之和， 故时，其系数为1，5，10，10，5，1， 时，其系数为1，6，15，20，15，6，1， 故， 故的系数为， 故选D． 3．（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法.首先利用已知的等比数列求和公式，将转化为；接着根据的幂的个位数字周期规律(周期为)，判断出的个位数字为，进而推出的个位数字为；最后通过分析的奇偶性，得出该式的个位数字为． 解：依据变化规律，可得：， ∴（当)， 令，，则 . 求 的个位数字， ∵的幂的个位周期为4（3，9，7，1），且 ，余数为1， ∴的个位为， ∴的个位为， ∵为偶数，除以后个位为， ∴和的个位数字为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法的规律发现与应用，解题关键在于发现与多项式相乘时的消去规律． 先计算前三个式子结果分别为，，，得出规律，再根据规律计算即可． 解：； ； ； … ； 则， 即； ，则， 即， ∴， ∴． 故选：A． 题型 14：综合应用 1．（23-24七年级下·福建三明·期中）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算，得到图形中的关系是解题的关键．对图形进行点标注，则左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，再结合图形信息表示出；然后根据面积公式求出面积差，根据始终保持不变，即可得到、满足的关系式． 解：对图形进行点标注，如图所示： 左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ，即，， ，即， 阴影部分面积之差， 因为当BC的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，故，即． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是8的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是64， ∴的最大值为． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）如图，是我国古代四大智力玩具之一的七巧板，相传已有上千年历史，由于通过七巧板可以拼出丰富多彩的美丽图案，因此也有人称七巧板为“东方魔板”．它是由5块等腰直角三角形、1块正方形或1块平行四边形组成，其中，解决下列问题． (1)三角形的面积_____；图5、6所组成梯形面积_____（用含的代数式表示）； (2)猜想图3、4的面积有什么关系，说一下理由； (3)请用七巧板再拼出一种你喜欢的图形，画出来，并简单分享下你的想法． 【答案】(1)； (2)图3的面积等于图4的面积的一半．理由见解析 (3)图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了七巧板的认识，面积的计算，根据题意得到正方形的边长是解题的关键． （1）根据题意可知，，，然后根据三角形和梯形的面积公式计算即可； （2）由（1）可知，，从而得到，然后利用三角形和平行四边形的面积公式，分别计算图形3和图形4的面积，即可得出结论； （3）根据七巧板的性质画出合适的图形即可． （1）解：根据题意可知，， ∴三角形的面积； 如图， 由题意可知，，， ∴， ∴图5、6所组成梯形面积； 故答案为：；． （2）解：图3的面积等于图4的面积的一半．理由如下， 由（1）可知，， ∴， ∴图3的面积， 图4的面积， ∴图3的面积等于图4的面积的一半． （3）解：如下图为所求， 这是一个“爱心”的形状，用简单的形状组合出了让人感到温暖的图形． 4．（2022·重庆渝中·二模）阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 【答案】(1)（a+2b）2=a2+4ab+4b2；(2)（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2；(3)①见解析；②（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca；③29． 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （2）直接求得长方形的面积，然后再根据长方形的面积=各长方形的面积之和求解即可； （3）①根据题意画出图形即可； ②直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可； ③将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入②中得到的关系式，然后进行计算即可． （1）大正方形的面积可表示为=（a+2b）2， 大正方形的面积=各个长方形的面积之和=a2+4ab+4b2， 所以（a+2b）2=a2+4ab+4b2， 故答案为：（a+2b）2=a2+4ab+4b2； （2）大长方形的面积可表示为=（2a+b）（a+2b）， 大长方形的面积=各个长方形的面积之和=2a2++5ab+2b2， 所以（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2， 故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2++5ab+2b2； （3）①所画图形如下： ②正方形的面积可表示为=（a+b+c）2； 正方形的面积=各个矩形的面积之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； ③∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ca）=92-26×2=81-52=29． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7 整式的乘法考点与题型专题训练（5大考点14类题型） 目录 基础篇（夯实概念与基础计算） 1 【考点一】单项式乘以单项式 1 题型 1：直接计算 2 题型 2：单项式乘以单项式中的次数与系数 3 题型 3：简单的实际应用 4 【考点二】单项式乘以多项式 6 题型 4：直接展开计算 6 题型 5：化简求值 8 题型 6：几何面积应用 9 【考点三】多项式乘以多项式 12 题型 7：直接展开 12 题型 8：(x+p)(x+q)型展开 14 题型 9：图形面积与多项式 15 培优篇（综合运算与应用） 17 【考点四】多项式乘法的逆用与参数求解 17 题型 10：利用单项式乘法求字母或代数式的值 18 题型 11：利用多项式乘法求字母的值 19 题型 12：不含某一项问题 21 【考点五】多项式乘法的规律性与综合应用 23 题型 13：数字规律探究 23 题型 14：综合应用 26 基础篇（夯实概念与基础计算） 【考点一】单项式乘以单项式 考法：系数相乘、同底数幂相乘、只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。 题型 1：直接计算 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型 2：单项式乘以单项式中的次数与系数 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 2．（25-26七年级上·重庆·期末）若单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则 ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 题型 3：简单的实际应用 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为 ．（用含x，y的式子表示） 4．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面分开可组合成不同的图形．桌面的图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为，七张桌子总面积为，则与的关系可以表示为 ． 【考点二】单项式乘以多项式 考法：利用分配律，将单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 题型 4：直接展开计算 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）________________． （2）_________________． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 题型 5：化简求值 1．（25-26七年级下·全国·周测）若，则代数式的值为（    ） A．16 B． C．20 D． 2．（25-26八年级上·天津·月考）已知，则式子的值为 ． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 题型 6：几何面积应用 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明用四个边长为的正方形．两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下图是变压器中的L型硅钢片，其面积为 ． 3．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【考点三】多项式乘以多项式 核心考法：用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 题型 7：直接展开 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）三个连续的奇数，若中间一个为a，则首尾两个数的积为 ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 8：(x+p)(x+q)型展开 1．（23-24八年级上·海南海口·期末）下列算式计算结果为的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）当时，的值是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程：． 题型 9：图形面积与多项式 1．（25-26八年级上·山西晋城·月考）如图，把一块原长为，宽为的长方形草坪，加长了，加宽了，则扩大后的草坪面积为（   ） A． B． C． D． 故选：B． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某长方形草坪的长为米，宽为米，则草坪的面积为 平方米． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，它的长为，宽为．现计划扩建，将这块草坪的长和宽都增加．扩建后，草坪的面积将增加多少平方米？ 培优篇（综合运算与应用） 【考点四】多项式乘法的逆用与参数求解 核心考法：已知展开式或特定条件，反求原式中的字母或系数。 题型 10：利用单项式乘法求字母或代数式的值 1．（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）设，则的值为（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东河源·月考）若，则 ． 3．（22-23八年级上·广东东莞·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值．其中． 题型 11：利用多项式乘法求字母的值 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·月考）已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 题型 12：不含某一项问题 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知式子的结果中不含项，则a的值为（   ） A．0 B． C． D．2 2．（24-25七年级下·全国·周测）已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为 ． 3．（2023八年级·全国·专题练习）若的乘积中不含 与 项，求的值． 【考点五】多项式乘法的规律性与综合应用 核心考法：通过计算、观察、归纳，发现并应用乘法中的规律。 题型 13：数字规律探究 1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是 ． 2．（25-26八年级上·内蒙古通辽·月考）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（    ） A．6 B．64 C．15 D．20 3．（25-26八年级上·四川资阳·期末）观察下列各式，寻找规律．已知，计算： ，， ，，… 则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型 14：综合应用 1．（23-24七年级下·福建三明·期中）长方形内，未被小长方形覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的方式放置，S始终不变，则a，b应满足（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为 ． 3．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）如图，是我国古代四大智力玩具之一的七巧板，相传已有上千年历史，由于通过七巧板可以拼出丰富多彩的美丽图案，因此也有人称七巧板为“东方魔板”．它是由5块等腰直角三角形、1块正方形或1块平行四边形组成，其中，解决下列问题． (1)三角形的面积_____；图5、6所组成梯形面积_____（用含的代数式表示）； (2)猜想图3、4的面积有什么关系，说一下理由； (3)请用七巧板再拼出一种你喜欢的图形，画出来，并简单分享下你的想法． 4．（2022·重庆渝中·二模）阅读理解下列材料： “数形结合”是一种非常重要的数学思想．在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．所谓“等积法”就是用不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．如图1，从整体看是一边长为的正方形，其面积为．从局部看由四部分组成，即：一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长、宽分别为，的长方形．这四部分的面积和为．因为它们表示的是同一个图形的面积，所以这两个代数式应该相等，即． 同理，图2可以得到一个等式：． 根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)由图4可得等式：____________； (3)若，，，且，，求的值． ①为了解决这个问题，请你利用数形结合思想，仿照前面的方法在下方空白处画出相应的几何图形，通过这个几何图形得到一个含有，，的等式． ②根据你画的图形可得等式：______________； ③利用①的结论，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $