4.2.2 第2课时 等差数列前 n 项和的性质及应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教A版)

9.【解析】(1) s=5a+34=5, a6=a1+5d=10, 解得厂5 d=3. .∴.ag=a6+2d=10+2×3=16, Sw=10a+10X94=10x(-5)+5x9x3=85. (2)由已知得S-8a,*al_84a-172. 2 2 解得ag=39 又：ag=4+(8-1)d=39, .d=5. l0.【解析】当n=1时，a1=S1=2+c, 当n≥2时，an=Sm-Sn-1=(n2+n+c)-[(n-1)2+(n- 1)+c]=2n. .数列{an}的通项公式是 r2+c,n=1, a, l2n,n≥2. (1)当c=0时，an=2n为等差数列； (2)当c≠0时，a1=2+c≠2×1， ·.数列an}不满足每一项与前一项的差是同一个常数， .am}不是等差数列，数列{am}是从第二项起以2为公差的 等差数列. 11.ABC因为Sn是等差数列{a,}的前n项和，所以S,=am2+ bn(a,b为常数，neN*),则其对应函数为y=ar2+bx.当 a=0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，C 满足题意；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一 些孤立的点，A,B满足题意；D中的曲线不过原点，不符合 题意。 12.2n-1因为s,=（a+9)x3=34=34,+6,所以a4-4 2 =2,即{an}的公差d=2.又aw+1=3an+1-2,故令n=1,得 a4=3a2-2.所以a1+3d=3a1+3d-2,所以a1=1.所以 am=2n-1. 13.【解析】设等差数列an}的首项为a1,公差为d, ,2×1d=16, 2a1+ 2 由S2=16,S4=24,得{ 4×3d=24 4a+ 即2a,+d=16, a1=9, 解得 2a1+3d=12,ld=-2, 所以等差数列{an}的通项公式为 a,=1-2n(neN*),前n项和为S,=n(9+】-2m=-n2 2 +10n. 17 由a,≥0，解得n≤5)，则 ①当n≤5时，Tn=la1l+la2l+…+1an|=a1+a2+…+an =Sn=-n2+10m. ②当n≥6时，Tn=|a1|+la21+…+1an|=a1+a2+…+a5 -a6-a,-…-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+ 10n)=n2-10n+50. 故7，={n+10m,n≤5， n2-10n+50,n≥6. 14.4(n+1)22n2+6n令n=1,得/a1=4,故a1=16.当n≥ 2时，a+a+…+/a-1=(n-1)2+3(n-1).与已 知式相减，得an=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2, .am=4(n+1)2.又n=1时，a1=16满足上式，an=4(n +0(aeN心年=4n+4号+号+…+ n+= n(8+4n+42=2m2+6n. 2 练案[6] 1.A 意0完号×1 2.D因为等差数列的前n项和S,是关于n的二次函数，以 由二次函数的对称性及S24=S2s,S:=S2,可得 2024+2025_k+2023,解得k=2026, 22 2 3.B由已知可知等差数列中S10=2000,S20=3500,因为S1o, Sn-S1o,S0-Sn成等差数列，所以2(Sn-S1o)=S10+(S0- S0),所以2×(3500-2000)=2000+(S0-3500),解得 S0=4500. 4.ABC根据等差数列的性质，若S=S1,则S!-S3=4(a,+ ag)=0,则a7+ag=0,S14= 4(a+a=7(a,+as)=0:根 2 据3的图象，当8=S时，对称轴是3-7，且d<0,那么 S7是最大值；若S,>Sg,则ag<0,且d<0,所以a,<0,所以 S,-Sg<0,即Sg>Sg;S-S6=ag+a,=2ag-d,符号不确定， 所以ABC正确. 5.C由条件知d<0,且a2m4>0,a2s<0,S4o7=4047a24> 0,S404s=2024(a1+a404s）=2024(a2m4+a2m）>0,S449= 4049a2o2s<0,故Sn>0的最大n值为4048. 6.12或1355-25(a,+0）=25a6=0,即a=0,又4，>0， 2 ∴.d<0,S12=S3最大 7.15等差数列有(2n-1)项，S奇-S偶=a.a。=15.又 S2m-1=(2n-1)am,.225+210=(2n-1)×15,.n=15. &.202“s,是等差数列a的前n项和元} S是等差数 列，设其公差为d.“20252023 =2,∴.2d=2,d=1,a1= -2=-2, S2025 1 S=-2+(m-1)×1=n-3205 2025-3=2022, 9.【解析】从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领 取的奖品价值是以100为首项，以10为公差的等差数列， 设为{an},则a1=100,d=10,n=13, 所以共获奖品价值 S6=13×100+1312×10=2080(元). 2 因为2080>2000 所以第二种领奖方式获奖者受益更多. 10.【解析】(1)设等差数列的公差为d, 因为在等差数列{an}中，a1o=18,S,=-15, ra1+9d=18, 所 5a+3x4xd=-15 解得9， d=3. 所以an=3n-12,neN. (2)因为a1=-9,d=3,am=3n-12, 所以又-a2=号(3r-21)=子(a-子)】 2 147 8 所以当n=3或4时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值S3 =S4=-18. 11.B钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数 列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.·钢管总数为 1+2+3+…+n=n(n,+D.当n=19时，Sg=190.当n=20 2 时，S0=210>200.∴.当n=19时，剩余钢管根数最少，根数 为10根. 12.4am=Sm-Sm-1=-2+3=1,am+1=Sm1-Snm=0+2=2, 可知公差d=am+1-am=2-1=1,则am=a1+(m-1)d= a+m-1=1,即a1+m=2.又由Sn=ma1+m(仍-山： 2 -2,解得m=4(m=-1舍去). 13.【解析】设等差数列{an}共有(2n+1)项， 则奇数项有(n+1)项，偶数项有n项，中间项是第(n+1) 项，即an+1 所g.立a+aa+) S两 2(asta)n -m+1)a4-n+1-44-4 nan+1 n=33=3 —17 所以n=3. 因为S者=(n+1)a+1=44,所以am+1=11. 所以这个数列的中间项为11，共有2n+1=7项. 14.【解析】(1)设7月n日售出的服装件数为a.(neN,1≤ n≤31)，最多时售出a4件. ak=3+3(k-1), 「k=13, 由题意知 解得 a4-2(31-)=3,a4=39, ∴.7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. (2)设S,是数列{am}的前n项和， r3n,1≤n≤13， .a= 65-2n,14≤n≤31， S,=3+3mn,1≤n≤13， 2 又S13=273, .Sn=273+(51-n)(n-13),14≤n≤31. S13=273>200, .∴.当1≤n≤13时，由Sn>200,得12≤n≤13， 当14≤n≤31时，日销售量连续下降， 由am<20,得23≤n≤31， .该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）. 练案[7] 1.C因为a+1=2a.,a1=1,所以{a.}为公比为2的等比数列， 所以a4=a1·23=8,故选C. 2.ca-l2=公=(-0x(-16)=16,6=±4h =±6. 3.C因为1+2an=(1+2a1)×3-1,所以1+2a6=5×35,所以 0,=5×243-1=607 2 4.D因为a2,a4,a,成等比数列，故a=a2a,又因为等差数列 {an}的公差为1，即(a1+3)2=(a1+1)(a1+6),解得a1=3, 所以am=a1+(n-1)d=n+2. 5AD设1a,的公t为4=则会-会-(=)广 b a g,所以a}是等比数列：2=21-≠常数：当0，<0时， an 6a无意又：设6=a时分经=9，所以血，是等比 数列.故选AD. 6.ABD由题意可得2g3=4g+2g2,即g2-9-2=0,解得q=2 (负值舍去)，选项A正确；an=2×2-1=2",选项B正确，C 错误；a.+an+1=3a,而an+2=4an>3au,选项D正确. 2练案[6]第四章 4.24.2.2[第2 A组·基础巩固 1.设S,是等差数列a,}的前n项和，若=5 a29 则之 Ss A.1 B.-1 C.2 D I 2 2.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S224 =S2025,S,=S223,则正整数k为 A.2022 B.2024 C.2025 D.2026 3.某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准 备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”， 投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的 得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等 差数列.已知前10名共发放2000元，前20名 共发放3500元，则前30名共发放 A.4000元 B.4500元 C.4800元 D.5000元 4.（多选)在等差数列{an}中，首项a1>0,公差 d≠0，前n项和为Sn,则下列命题正确的是 A.若S3=S1,则必有S4=0 B.若S3=S,则S,是{Sn}中的最大项 C.若S,>Sg,则必有Sg>Sg D.若S,>Sg,则必有S6>S 5.若等差数列{an}的前n项和为Sn,首项a1>0, a2024+a225>0,a224·a2025<0,则满足Sn>0 成立的最大正整数n的值是 A.4046 B.4047 C.4048 D.4049 6.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0, Ss=0,则使S.取得最大值时的n的值为 7.在项数为2n-1的等差数列中，所有奇数项的 和为225，所有偶数项的和为210，则n的值为 8.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1= -20品器-2.则赋 92025= 课时等差数列前项和的性质及应用] 9.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种 领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元 的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1 月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取 的奖品价值为100元，第2天为110元，以后 逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者 受益更多？ 10.在等差数列{an}中，a1o=18,前5项的和 S=-15. (1)求数列{an}的通项公式； 03 (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指 C组·拓展提升 出何时取最小值. 14.7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日 该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款 服装都比前一天多3件，当日销售量达到最 大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比 前一天少2件，且7月31日当天刚好售出 3件 (1)问7月几日该款服装销售最多？最多售 出几件？ B组·综合运用 11.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角 形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢 管的根数为 ( ) A.9 B.10 C.19 D.29 (2)按规律，当该市场销售此服装达到200件 12.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1= 时，社会上就开始流行，而日销售量连续 -3,Sm=-2,Snm+1=0,则m= 下降并低于20件时，则不再流行.问该款 13.已知项数为奇数的等差数列{an},奇数项之 服装在社会上流行几天？ 和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中 间项及项数 —104