8.1 成对数据的统计相关性-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

所以他加选择C款软件学习的概率是1-石-石=子， 所以这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为专~ B(3,子) 所以P(=0)=C(号)'（兮）=7 =1)=C(3)(兮)= P=2=(号)（兮）广=， P=3)=c(号)'（行）= 所以专的分布列为 0 1 2 3 2 4 27 9 27 所以()=3×号=2 例4：【解析】(1)由题图可知，健康上网天数未超过20天的频 率为(0.01+0.02+0.03+0.09)×5=0.15×5=0.75， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1-0.75) =40×0.25=10. (2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，且Y服从超几何 分布， C-29 所以P(Y=0)=C52 P(Y=1)=ClC= C13' p(Y=2)-52 C-3 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 29 5 3 52 13 52 29 5 3 所以Y的均值E(Y)=0× 2+1×i+2×=2 例5.【解析】X~N(10,0.22),4=10,o=0.2. ∴u-30=10-3×0.2=9.4,4+30=10+3×0.2=10.6. 9.52e[9.4,10.6],9.98e[9.4,10.6], .该工厂这一天的生产状况是正常的。 第八章成对数据的统计分析 8.1成对数据的统计相关性 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 精确地 知识点二 1.直角坐标系 2.增加减小 7、 3.一条直线 知识点三 2.(1)正负 (2)[-1,1]强弱 预习自测 1.BCD扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为 相关关系。 2.BC图A中两个变量具有确定的函数关系，不符合题意：图B 中的所有散点在一条直线附近波动，两个变量为线性相关，符 合题意：图C中的所有散点在一条曲线附近波动，两个变量为 非线性相关，符合题意；图D中的点杂乱无章，无规律可言，两 个变量不具有相关关系，不符合题意 3.A由相关系数的定义以及散点图可知r2<T4<0<r3<r1,故 选A. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)散点图如图： ↑水稻产量 500 400 300 200 100 0 5101520253035404550施化肥量 (2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量 也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此 施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是 在一定范围内随着施化肥量的增加而增加，不会一直随施化 肥量的增加而增加。 跟踪训练1：【解析】(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材 体积，可得相应的散点图如图所示： 个体积 80 70 0 50 0 20 10H 0 树龄 123456789x (2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋 势，且散点落在一条直线附近，所以木材体积与树木的树龄近 似成线性相关关系. m.(解折】宝=名×(0+65+70+75+80+5+90+95) 77.5. =8×(72+77+80+85+88+90+93+95)=85. y (-)(-)=685,含(x-)2=1050,2(y,-)2 =456 含4-03-列 685 所以r= ≈0.99. (-)，- /1050×456 75 跟踪训练2：解析】由表中数据，计算得=×(2+4+5+6 +8)=5 了=5×(20+30+50+50+70)=4。 含=2+4+52+6+82=145， 27=202+302+502+502+702=11200. 5 xy=2×20+4×30+5×50+6×50+8×70=1270,代入7 的计算公式得r= 1270-5×5×44 /145-5×57×√/11200-5×44 0.975. 例3：【解析】由题意，得x=7,y=5, 则(x-)2=10,(%-)2=16.5,(出-)(0%-)= -12.5, -12.5 所以r/10×16.5 ≈-0.97 因为Ir=0.97非常接近1，所以y与x之间具有较强的线性 相关关系. 跟踪训练3：【解析】根据C类学生的数据，得x=3,y=98, 则8(x-)·(0y-)=62, 62 所以相应的样本相关系数*≈0.97， 从上述所求样本相关系数可知，从C类学生中抽到的学生的 成绩最稳定 随堂检测重反馈 1.ABA中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但 具有相关性，是相关关系：B中教师的教学水平与学生的学习 成绩之间的关系是相关关系；C、D都不具备相关关系。 2.C由题图①可知，散点几乎在一条直线上，且呈正相关， 1>0,由题图②可知，散点分布在一条直线附近，且呈正相 关，∴2>0.又A组成对数据的线性相关程度比B组强， 1>r2,故选C 3.【解析】由数据表可以看出，两个变量的变化趋势为物品大 小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相 关关系 4.【解析】从表中数据可知，元=4，y=5,所以Σ(x;-x)(y: y)=16, (x-)(%- =1 16 所以T= 含(%-列√，-列 16.12≈0.99 8.2一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及其参数 的最小二乘估计 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 响应变量解释变量a b Y bx+a0 知识点二 经验回归方程 7 预习自测 1.ADy=bx+a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x之 间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关 系，故选AD. 2.12.1由y=0.8x+0.1知：当x=15时，y=0.8×15+0.1= 12.1(亿元). 题型探究提技能 例1：C对于A中，一元线性回归模型Y=bx+a+e中，方程表 示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于 B中，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错 误；对于C中，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能 还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生， 所以C正确；对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差 缩小，所以D错误.故选C 跟踪训练1：D因为财政收人x与支出Y满足一元线性回归模 型Y=bx+a+e,其中b=0.7,a=3,所以Y=0.7x+3+e.当x =10时，得Y=0.7×10+3+e=10+e,又1el≤0.5，即-0.5 ≤e≤0.5，所以9.5≤Y≤10.5，所以年支出预计不会超过10.5 亿元. 例2：【解析】(1)作散点图如图，直观 51 看z与t具有线性相关关系. 4 根据z关于t的表格数据，得 3 i=写1+2+3+4+5)=3. 012345t 8=号0+1+2+3+5)=22 且2杯=45,2=55， 5 所以6=-5t245-5×3×2.2=1.2 2-5子 55-5×9 a=z-bt=2.2-1.2×3=-1.4. 所以z关于t的经验回归方程为z=1.2t-1.4. (2)2=1.2t-1.4,代入t=x-2018,z=y-5, 得y-5=1.2(x-2018)-1.4, 即y=1.2x-2418. 故y关于x的回归方程为少=1.2x-2418. 跟踪训练2：【解析】(1)散点图如图所示. ↑y 90 70 0 060657075808590x 样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系。 (2)因为=写×(88+76+73+66+63)=73.2,7=写×(78 +65+71+64+61)=67.8, 8xy,=88×78+76×65+73×71+66×64+63×61= 5 25054, =82+76+732+62+632=27174. 6075 第八章成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 新课程标准解读 学科核心素养 1.结合实例，了解两个变量间的相关关系. 数学抽象 2.能根据散点图，判断两个变量是否具有相关关系。 直观想象 3.了解样本相关系数的概念及公式，会判断线性相关性的强弱： 数学运算、数据分析 教材梳理明要点 ●情境导入 [提示] 人们驾驶技术的高低与驾车行驶里程的多少有关系.他的行驶里程越多， 不一定.一个人的驾 驾驶水平往往会越高.那么对于具体的个人来讲，他的驾驶水平一定会随 驶水平除了与驾驶经 验有关系，还会受到 着行驶里程的增多而提高吗？ >[提示] 驾驶习惯和心理素质 等因素的影响 台新知初探 知识点一相关关系 [知识点反思1] 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去 决定另一个 相关关系与函数关系 的异同点 的程度，这种关系称为相关关系 [知识点反思1] 相同点：均是指两个 知识点二散点图 变量的关系；不同 1.散点图：将样本中的成对样本数据用 中的点表示出来得到的 点：①函数关系是一 种确定的关系，而相 统计图. 关关系是一种非确定 2.正相关与负相关 的关系；②相关关系 中两个变量会受许多 正相关 负相关 不确定的随机因素的 当一个变量的值增加时，另一个变 当一个变量的值增加时，另一个变 影响. 量的相应值也呈现 的趋势 量的相应值呈现 的趋势 [知识点反思2] 如果散点落在某曲线 3.线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落 或折线附近，那么两 在 附近，我们就称这两个变量线性相关 个变量也具有相关关 系，是非线性的相关 ●[知识点反思2] 关系 076 知识点三样本相关系数 1.对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x,少)，(x2y2),…,(x.,y),其中 x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的均值分别为x和y 用r= 含(x-0(-四 公xy,-nxy 来衡量y与x的线性相关性的强弱， √（名-V-列2 √-n√含-n 称r为变量x和变量y的样本相关系数， 2.样本相关系数r的性质 (1)当r>0时，称成对样本数据 相关；当r<0时，称成对样本数据 相关；当r=0 时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. (2)样本相关系数r的取值范围为 当1r越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 当1r越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 台预习自测 1.（多选)下列两个变量存在相关关系的为 () A.扇形的半径与面积之间的关系 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收入之间的关系 2.(多选)如图所示的散点图中的两个变量是相关关系的是 3.由四组统计数据绘制的散点图如下，关于其相关系数的比较，正确的是 39 5 30 23 050 5050 0 050 05101520253035 05101520253035 05101520253035 0510152025303 相关系数为r 相关系数为r2 相关系数为r 相关系数为r4 A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3 077 题型探究提技能 题型一 散点图及其应用 例1下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： [方法总结1] 由散点图判断线性相 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 关的方法 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 通过散点图，观察它 (1)将上述数据制成散点图； 们的分布是否存在一 (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？ 定的规律，直观地进 水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？ 行判断.如果发现点 [方法总结1] 的分布从整体上看大 致在一条直线附近， 那么这两个变量就是 线性相关的，注意不 要受个别，点的位置的 影响。 078 》跟踪训练1 某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 079 题型二样本相关系数的计算 例2为了对某班考试成绩进行分析，现从全班同学中随机抽取8位同学， 他们的数学、物理成绩对应如表.根据表中数据计算y与x之间的样 本相关系数 学生编号 1 3 4 5 6 7 8 [方法总结2] 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 样本相关系数的计算 物理分数y 72 77 80 85 88 90 93 95 步骤 ●[方法总结2] (1)求出x,y的值； (2)求出(-)( -)，含（x-)2, 三(%-)2的值， (3)代入公式计算得 结果 080 〉跟踪训练2 暑期社会实践中，小娴所在的小组调查了某地家庭人口数x与每天对生活必需品的消费y的情 况，得到的数据如下表 x/人 2 4 6 8 y/元 20 30 50 50 70 计算y与x之间的样本相关系数. 参考数据：√19≈4.359 081 题型三样本相关系数的实际应用 例3某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y(单位：干件)与售价x (单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到 [方法总结3] 相关关系强弱的定量 下表： 分析与定性分析 5 6 7 8 9 (1)定量分析：样本 8 6 4.5 3.5 3 相关系数「的范围为 -1≤r≤1，r为正 请根据表中数据计算y与x之间样本相关系数r,并利用r说明y与x 时，成对样本数据正 之间是否具有较强的线性相关关系（精确到0.01）. 相关；「为负时，成 参考数据及公式：√165≈12.85； 对样本数据负相关； |r川越接近1，成对样 样本相关系数r= (x-)(y-y） 本数据的线性相关程 √(-)(-)2 度越强；|r|越接近 0,成对样本数据的 P[方法总结3] 线性相关程度越弱； 当Irl=1时，所有数 据点都在一条直 线上； (2)定性分析：相关 关系的强弱体现在散 点图中就是样本点越 集中在某条直线附 近，两变量的线性相 关程度越强；样本点 在某条直线附近越分 散，两变量的线性相 关程度越弱 082 )跟踪训练3 为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A,B,C三类，经过一段时间的学习后在三类学生 中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第x次 2 4 5 分数y(满分150) 145 83 95 72 110 B类 第x次 1 2 3 4 5 分数y(满分150) 85 93 90 76 101 C类 第x次 1 2 3 4 5 分数y(满分150) 85 92 101 100 112 经计算已知A,B的样本相关系数分别为r1=-0.45,2=0.25.请计算出C类学生的(x,y)(i= 1,2,3,4,5)的样本相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生的学习成绩最稳定.（结果 保留两位有效数字，I1越大认为成绩越稳定) C类的参考数据：√(x-)·√(，-)64， 样本相关系数r= 三(x-)(0-y） (x-x)含(-y) 083 随堂检测重反馈 1.(多选)下列关系中，具有相关关系的是 A.学生的学习态度与学习成绩之间的关系 B.教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系 C.学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 D.家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 2.如图①②分别表示样本容量均为7的A,B两组成对数据的散点图，已知A组成对数据的样本相 关系数为r1,B组成对数据的样本相关系数为r2,则r1与r,的大小关系为 图① 图② A.r=r2 B.r<r2 C.r>r2 D.无法判断 3.以下是收集到的某物品的销售价格y(万元)和物品的大小x(m)的数据： 物品大小/m 11.5 110 80 135 105 销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22 根据数据判断x,y之间是否具有相关关系. 4.某厂生产A产品的产量x(单位：件)与相应的耗电量y(单位：度)的统计数据如表所示： 2 3 4 5 6 2 2 3 5 7 8 经计算√公(x-)√公(y-y)2≈16.12.计算(xy)(i=1,2,3,4,5)的样本相关系数.（结果 保留两位小数) 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18]