7.3.2 离散型随机变量的方差-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

051 7.3.2离散型随机变量的方差 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义 数学抽象 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题， 数学建模、数学运算 3.掌握方差的性质，会利用公式求方差 数学运算 教材梳理 明要点 e情境导入 从甲乙两名同学中选派一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记 录，甲同学击中目标靶的环数X,的分布列为 X 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X,的分布列为 [提示] X2 6 7 8 9 随机变量的方差反映 了随机变量的取值与 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 其均值的偏离程度， 通过计算可得，E(X)=8,E(X2)=8,两个变量均值相等，所以只根据 方差越小，随机变量 均值无法判断这两名同学的射击水平.那么，如何才能比较出两名同学射 的取值越集中，射击 水平越稳定 击水平的差异呢？ D[提示] 台新知初探 知识点离散型随机变量的方差 1.定义：若离散型随机变量X的分布列为 [知识点反思] X X1 X2 x Xn (1)随机变量的方差 反映了随机变量取值 P P2 Pi Pn 的离散程度.方差越 小，随机变量X越稳 DX)=(x-E(X)p+(x-E(X0)p+…+(x-E(X0)'p.=2(x- 定，波动越小； E(X))2p:为随机变量X的方差，有时也记为Var(X),并称√D(X)为随机 (2)方差也可以用公 变量X的标准差，记为σ(X). 式D(X)=E(X2)- 2.意义：离散型随机变量的方差D(X)是一个数值，是随机变量X的一个数字 (E(X)2计算； (3)若X服从两点分 特征，表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大，表明平均偏离 布，则D(X)=p(1- 程度越大，X的取值越分散；D(X)越小，表明平均偏离程度越小，X的取值 p).（其中p为成功概 越集中， 奉) 3.性质：D(aX+b)= P[知识点反思] 052 目预习自测 1.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则D(X)= A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0 2.设随机变量的方差D()=1,则D(2+1)= A.2 B.3 C.4 D.5 题型探究提技能 题型一求离散型随机变量的方差 例1袋中有除颤色外其他都相同的6个小球，其中红球2个，黄球4个，规 定取1个红球得2分，1个黄球得1分.从袋中任取3个小球，记所取 3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差 [方法总结1] 求离散型随机变量X >[方法总结1] 的方差的基本步骤 (1)理解X的意义， 写出X的可能取值； (2)写出X的分 布列； (3)由均值的定义求 出E(X); (4)利用公式D(X)= 三(x-E(X)p:求 出D(X) .053 〉跟踪训练1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投 篮第一次由甲投篮，已知每次投篮甲，乙命中的概率分别为}，子在前3 次投篮中，乙投篮的次数为专，求专的分布列、均值和方差. 题型二方差的性质的应用 例2已知随机变量X的分布列如下表所示 X -1 0 1 P 1 4 (1)求X的分布列： [方法总结2] (2)求X的方差； 求随机变量Y=aX+b (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. 方差的方法 P[方法总结2] 求随机变量Y=aX+b 的方差，一种方法是 先求Y的分布列，再 求其均值，最后求方 差；另一种方法是应 用公式D(aX+b)= a2D(X)求解. 054 )跟踪训练2 已知0<a< ，0<6<分，随机变量X的分布列如下 X 0 1 2 ò 1 b 若E()=子，则a D(3X-1)= 题型三方差的简单应用 例3，为了备战2026年在杭州举办的国际射联射击世界杯赛，中国射击队 [方法总结3] 利用均值和方差的意 女子50米气步枪（三姿）队甲、乙两名运动员展开队内对抗赛，比赛 义解决实际问题的 得分为两个相互独立的随机变量专与η，且专，)的分布列为 步骤 1 2 3 (1)比较均值：离散 型随机变量的均值反 P e 0.1 0.6 映了离散型随机变量 7 1 2 3 取值的平均水平，因 此，在实际决策问题 P 0.3 b 0.3 中，需先计算均值， (1)求a,b的值； 看谁的平均水平高； (2)计算，？的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况 (2)在均值相等的情 况下计算方差：方差 ●[方法总结3] 反映了离散型随机变 量取值的稳定与波 动、集中与离散的程 度。通过计算方差， 分析谁发挥相对 稳定； (3)下结论：依据均 值和方差的意义作出 结论 ●055 〉跟踪训练3 甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s),其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列 X -1 0 1 -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 (1)求E(X)和E(Y); (2)求D(X)和D(Y),并比较两种品牌手表的性能. 随堂检测重反馈 1.已知随机变量X的分布列如下，则D(X)= X 1 2 3 1 1 3 6 46 B.1 C. D.33 8 2.已知随机变量X,Y满足Y=aX+b,且a,b为正数.若D(X)=2,D(Y)=8,则 A.b=2 B.a=4 C.a=2 D.b=4 3已知随机变量X,且D(10)-19.则X的标准差为 4.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的人数是，求E(飞)和D(): 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14]所以解出该题人数X的分布列为 0 2 1 2 15 5 15 .822 故E(X)=0×5+1×5+2×15=15子 例2：【解析】(1)由随机变量分布列的性质，得 子+号++m+0=1,解得= 1 (2)(0=(-2)×4+(-1D×号+0×5+1× 6 -+2× 0=0 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X), 则(0=(-2)×(0)-号 跟踪训练2：C 根据分布列的性质，得分+石+a=1,解得a 号所以E(0=(-1)×3+0x石+1x写=6，因此(0 =2(0+1=2x(-6）+1=号 例3：【解析】(1)由题意可知随机变量X的可能取值为1,4,8. P(X=8)= c CCC3 9 281 P(x=1)=3CCC-9 C =14 所以随机变量X的分布列为 X 1 4 8 9 9 14 28 28 所以随机变量X的均值为E(X)=1× 9 9 14 +4×2 +8×28 (2)由沿>2，故从收益的角度考虑，我意参加一次指关 活动。 跟踪训练3：【解析】若选择方案①，由于购买600箱能获赠 50箱， 所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600= 120000(元). 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X 的可能取值为184,188. X的分布列为 184 188 P 0.6 0.4 则在折扣优惠中每箱零件价格的均值E(X)=184×0.6+188 ×0.4=185.6. 则购买总价的均值为185.6×650=120640（元）. 因为120640>120000，所以选择方案①更划算. 16 随堂检测重反馈 1A(X)=1×号+2×品+3×0=2 3 13 2.B因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8 +0×0.2=0.8. 3.2B(0=-了，(n=子且Y=a+3B(0=aE(0 +3则好=3-号a=2 4.甲投资甲项目获利的期望E甲=2×0.4+3×0.3+(-1)× 0.3=1.4(万元)，投资乙项目获利的期望E,=1×0.6+4× 0.2+(-2)×0.2=1(万元).因为E里>E,,故他应该选择经 营甲种商品。 7.3.2离散型随机变量的方差 教材梳理明要点 新知初探 知识点 3.a2D(X) 预习自测 1.BE(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,.D(X)= (-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2= 0.61. 2.C因为D(2ξ+1)=4D()=4×1=4,故选C. 题型探究提技能 例1：【解析】由题意可知，X的所有可能取值为5,4,3， 则P(X=5)= C=1,PX=4)= C41 p(X=3)=C5 故X的分布列为 X 5 4 3 5 1 5 5 E(X)=5× 4x号+3×写=4 1 5 00=(5-42×5+(4-42×号+(3-42×5=号 跟踪训练1：【解析】乙投篮的次数的可能取值为0,1,2. 则P(=0)=寸×分=g,P(5=1)=寸×(1-)+号 ×(1-)=8 P6=-2)=号×=2 故专的分布列为 0 1 P 1 7 7 125 故E()=0×g+1×8+2×2=8 1149 2=324 2:【解析】(1)由分布列的性质，知) ”十 +a=1,故a= 子，从而P的分布列为 为 0 P 4 (2)由(1)知a=4,所以E(X)=-1×7+0×4+1×4 (w0=(-1+)广×+(0+子)×+(1+ (3)由(2)知E(x)=号(X)6 所以E()=4E(X)+3=4×(-4）+3-2, D(Y)=16D(X)=11 a+b+2=l, 跟踪训练2：兮 0+2b=子 5由题意可得 解得 0<a<2' 1 0<b<2 b= 1 因此.0=(0-号)x7+(1-号)x写+ 6 (2-子)x石=号即3x-)=90(0=5 例：【解析】(1)由离散型随机变量的分布的性质可知a+0.1 +0.6=1,∴.a=0.3. 同理0.3+b+0.3=1,b=0.4. (2)E(5)=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,E(7)=1×0.3+ 2×0.4+3×0.3=2, D()=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2× 0.6=0.81, D(n)=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3= 0.6. 由于E()>E(m),说明在一次射击中，甲的平均得分比乙 高，但D()>D(n),说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙 两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势. 跟踪训练3：【解析】(1)由已知可得，E(X)=-1×0.1+0× 0.8+1×0.1=0. E(Y)=-2×0.1-1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0. (2)由(1)知，E(X)=0,E(Y)=0, 所以D(X)=(-1-0)2×0.1+(0-0)2×0.8+(1-0)2× 0.1=0.2. D(Y)=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4 +(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2. 所以E(X)=E(Y),D(X)<D(Y), 所以两品牌手表的误差平均水平相当，但是甲品牌的手表走 时更稳定， 随堂检测重反馈 1.C由题意得E()=1×号+2×+3×石=名，所以 x)=(-8)x5+(2-g)广x分+(3-g)x 1 2.C因为D(X)=2,D(Y)=8,所以8=2a2.又a为正数，所以 a=2. 3.号由题意可知D(100=1g0,即100()=1gD(X) =)D灯=了即X的标准差为兮 4.【解析】专的所有可能取值为0,1,3， A A 所以飞的分布列为 0 1 3 1 3 6 ()=0x+1×+3×石=1， 1 0()=3×(0-1)°+2×(1-1)2+ ×6-1- 7.4二项分布与超几何分布 7.4.1二项分布 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.两个 2.随机试验 3.(1)n(2)相互独立 知识点二 1.B(n,p） 2.(1)p(2)p(1-p) 预习自测 1.C选项A为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义；选项 0