7.3.1 离散型随机变量的均值-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

P(X=3)= Cis -1 3 故X的分布列为 X 1 2 3 4 2 8 1 9 15 45 3 例3：【解析】(1)“上+2+3+4 a a a =1,∴.a=10 则P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2)=10+0=10 123 (2)由a=10 得P(号<X<子)=P(X=)+P(X=2)+P(X=3)=0 +品+品- 跟踪训练3：【解析】由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3 +m=1,.m=0.3. 首先列表为 0 2X+1 1 3 5 1X-11 1 0 1 2 3 从而由上表得 (1)2X+1的分布列为 2X+1 3 5 1 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)1X-11的分布列为 1X-11 0 1 3 0.1 0.3 0.3 0.3 随堂检测重反馈 L.CA,B,D中的X的可能取值可以一一列举出来，而C中的 X可以取某一区间内的一切值，属于连续型的， 2.C因为X等可能取1,2,3，…，n,所以X取每个值的概率均 为元由题意知P(X<4)=P(X=)+P(X=2)+P(X=3) =3=0.3,所以n=10. 3.D设失败率为P,则成功率为2印，分布列为 0 ◇ 2p 由p+2p=l,得p=3,所以P(X=1)=2p=号 。设二级品有k个，则一级品有2个，三级品有个，总数 为登个“X的分布列为 4 7 7 P(3≤X≤号)=P(X=I)= 16 7.3离散型随机变量的数字特征 7.3.1离散型随机变量的均值 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.x1P1+x2P2+…+xnPm 2.平均水平 3.aE(X)+b 知识点二 预习自测 1.C依题意和分布列的性质得，0.1+0.2+m+0.2=1,解得m =0.5,所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2= 3.6. 2.20E(2X+10)=2×E(X)+10=20. 题型探究提技能 例1：【解析】由题意知X的可能取值为2,3,4,5. 当X=2时，表示前2次取的都是红球， A 1 ÷P(X=2)=元-109 当X=3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第 3次取得红球， ..P(X=3)= CCA 1 A =5 当X=4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4 次取得红球， .P(X=4)= CCA 3 A -109 当X=5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5 次取得红球， .P(X=5)= CCA=2 A 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 1 1 3 10 5 10 E(0=2×0+3×5+4×0+5×号=4 2 跟踪训练1：【解析】设“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题” 为事件B. 由题意知，X的可能取值为0,1,2 P(X=0)=PP(8=(1-子)x(1-号)=5 P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)= x(1-专)+(-号)×号=号， P(X=2)=P(A)P(B)=5×5=15 248 8 所以解出该题人数X的分布列为 0 2 1 2 15 5 15 .822 故E(X)=0×5+1×5+2×15=15子 例2：【解析】(1)由随机变量分布列的性质，得 子+号++m+0=1,解得= 1 (2)(0=(-2)×4+(-1D×号+0×5+1× 6 -+2× 0=0 由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X), 则(0=(-2)×(0)-号 跟踪训练2：C 根据分布列的性质，得分+石+a=1,解得a 号所以E(0=(-1)×3+0x石+1x写=6，因此(0 =2(0+1=2x(-6）+1=号 例3：【解析】(1)由题意可知随机变量X的可能取值为1,4,8. P(X=8)= c CCC3 9 281 P(x=1)=3CCC-9 C =14 所以随机变量X的分布列为 X 1 4 8 9 9 14 28 28 所以随机变量X的均值为E(X)=1× 9 9 14 +4×2 +8×28 (2)由沿>2，故从收益的角度考虑，我意参加一次指关 活动。 跟踪训练3：【解析】若选择方案①，由于购买600箱能获赠 50箱， 所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600= 120000(元). 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X 的可能取值为184,188. X的分布列为 184 188 P 0.6 0.4 则在折扣优惠中每箱零件价格的均值E(X)=184×0.6+188 ×0.4=185.6. 则购买总价的均值为185.6×650=120640（元）. 因为120640>120000，所以选择方案①更划算. 16 随堂检测重反馈 1A(X)=1×号+2×品+3×0=2 3 13 2.B因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8 +0×0.2=0.8. 3.2B(0=-了，(n=子且Y=a+3B(0=aE(0 +3则好=3-号a=2 4.甲投资甲项目获利的期望E甲=2×0.4+3×0.3+(-1)× 0.3=1.4(万元)，投资乙项目获利的期望E,=1×0.6+4× 0.2+(-2)×0.2=1(万元).因为E里>E,,故他应该选择经 营甲种商品。 7.3.2离散型随机变量的方差 教材梳理明要点 新知初探 知识点 3.a2D(X) 预习自测 1.BE(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,.D(X)= (-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×0.2= 0.61. 2.C因为D(2ξ+1)=4D()=4×1=4,故选C. 题型探究提技能 例1：【解析】由题意可知，X的所有可能取值为5,4,3， 则P(X=5)= C=1,PX=4)= C41 p(X=3)=C5 故X的分布列为 X 5 4 3 5 1 5 5 E(X)=5× 4x号+3×写=4 1 5 00=(5-42×5+(4-42×号+(3-42×5=号 跟踪训练1：【解析】乙投篮的次数的可能取值为0,1,2. 则P(=0)=寸×分=g,P(5=1)=寸×(1-)+号 ×(1-)=8 P6=-2)=号×=2 故专的分布列为 0 1 P 1 7 7 125 故E()=0×g+1×8+2×2=8046 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1离散型随机变量的均值 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念、意义和性质. 数学抽象 2.会根据离散型随机变量的分布列求均值 数学运算 3.会利用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题 数学建模 教材梳理 明要点 ●情境导入 射击运动员甲射击10次，所得环数分别是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，则所得 [提示] 求出随机变量X的均 的平均环数是x=7×4+8×3+9×2+10=7×4 3 2 +8× +9×10 +10× 值，可反映运动员乙 10 10 10 的射击水平 0=8;射击运动员乙在多次射击中，所得环数X的分布列为 X 5 6 7 8 9 10 1 3 P 4 1 2 1 [知识点反思1] 12 12 12 12 12 12 均值是算术平均值概 念的推广，是概奉意 如何评价射击运动员乙的射击水平呢？ ●[提示] 义下的平均数，是随 机变量X本身固有的 已新知初探 一个数字特征，它不 知识点一 离散型随机变量的均值 具有随机性，反映的 1.定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 是随机变量取值的平 均水平 X X1 X2 七 D P P2 Pu [知识点反思2] 则称E(X)= =xP为随机变量X的均值或 只取两个不同值的随 数学期望. 机变量不一定服从两 点、分布，例如随机变 2.意义：均值E(X)反映了离散型随机变量取值的 量X的分布列如下： 3.性质：如果X和Y都是随机变量，且Y=aX+b(a≠0)，则E(Y)=E(aX+ 2 5 b)= [知识点反思1] P 0.40.6 知识点二两点分布的均值 X不服从两点分布，因 为X的取值不是0和 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)= 1. ●[知识点反思2] 047 ©预习自测 1.已知随机变量X的分布列如表所示 X 0 2 4 6 0.1 0.2 m 0.2 则E(X)= A.2 B.2.4 C.3.6 D.不确定 2.设E(X)=5,则E(2X+10)= 题型探究提技能 题型一求离散型随机变量的均值 例1从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被 取到的可能性相同.若取后不放回，设取完红球所需的次数为X,求X 的分布列及均值. [方法总结1] >[方法总结1] 求随机变量X的均值 的方法和步骤 (1)理解随机变量X 的意义，写出X所有 可能的取值； (2)求出X取每个值 的概奉P(X=k); （3)写出X的分 布列； (4)利用均值的定义 求E(X). 048 》跟踪训练1 对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲单独解出该题的概率为子，乙 单独解出该题的概率为，设解出该题的人数为X,求E(X)。 题型二离散型随机变量的均值的性质 [方法总结2] 例2已知随机变量x的分布列为 求随机变量Y=aX+b 的均值的方法 X -2 -1 0 1 2 (1)定义法：利用X P 1 1 的分布列，先求出Y 3 5 m 20 的分布列，再由定义 (1)求m的值； 求E(Y).解题关键是 (2)若Y=-2X,求随机变量Y的均值， 由X的取值计算Y的 取值，其对应的概率 ●[方法总结2] 相等； (2)性质法：先求出 E(X),再利用公式 E(ax+b)=aE(X)+ b求E(Y). 049 〉跟踪训练2 已知随机变量X的分布列为： X -1 0 1 1 P 1 2 6 设Y=2X+1,则Y的均值E()等于 A.- 6 B号 G.2 D.-2 3 题型三离散型随机变量均值在决策中的应用 例3某超市为了促销，规定每位顾客购物总金额超过88元可免费参加 次抽奖活动.活动规则如下：在一个不透明的纸箱中放入9个大小相 同的小球，其中3个小球上标有数字1,3个小球上标有数字2,3个小 [方法总结3] 球上标有数字3.每位顾客从该纸箱中一次性取出3个球，若取到的3实际问题中的均值解 个球上标有的数字都一样，则获得一张8元的代金券；若取到的3个 题步骤： 球上标有的数字都不一样，则获得一张4元的代金券；若是其他情况， (1)审题，确定实际 则获得一张1元的代金券.然后将取出的3个小球放回纸箱，等待下 问题是哪一种概奉模 一位顾客抽奖， 型，可能用到的事件 (1)记随机变量X为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额 类型，所用的公式有 数，求随机变量X的分布列和均值； 哪些； (2)确定随机变量的 (2)该超市规定，若某位顾客购物总金额不足88元，则每抽奖一次需 分布列，计算随机变 支付2元，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意参加 量的均值； 次抽奖活动？请说明理由。 (3)对照实际意义， ●[方法总结3] 根据均值的大小作出 判断 050 》跟踪训练3 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100 箱则有以下两种优惠方案： ①以100箱为基准，每多50箱送5箱； ②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. 某单位需要这种零件650箱，以购买总价的均值为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更 划算？ 随堂检测重反馈 1.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 3 3 1 5 10 10 则X的均值E(X)等于 A B.2 c D.3 2.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为 0.8,则射击一次得分X的均值是 () A.0.2 B.0.8 C.1 D.0 3若随机变量Y=aX+3,且E()=},B(X)=-写，则a= 7 4.某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料： 投资甲获利（万元） 2 3 -1 概率 0.4 0.3 0.3 投资乙获利（万元） 1 4 -2 概率 0.6 0.2 0.2 那么他应该选择经营 种商品 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13]