6.3.2 二项式系数的性质-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

026 随堂检测重反馈 1.x+1)9 的展开式中的第4项是 ( A.56x B.84x C.56x4 D.84x4 2.(x-√2y)的展开式中xy的系数是 A.-840 B.840 C.210 D.-210 3.代数式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化简为 4在-是} 的展开式中， (1)求第3项； (2)求含项的系数. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 6.3.2二项式系数的性质 新课程标准解读 学科核心素养 1.理解二项式系数的性质，并会简单的应用. 数学抽象、逻辑推理 2.掌握给变量“赋值法”得到各项系数和或奇（偶）数项系数和的方法，并 逻辑推理、数学运算 会灵活运用. 教材梳理 明要点 ●情境导入 (a+b)”展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式： (a+b)…11 [提示] (a+b)）2…121 有对称性，先增后 (a+b)3..133.1 减，中间一项或两项 (a+b)4.…14641 的二次项系数最大， (a+b)5.…15101051 (a+b)6…1615201561 那么(a+b)”展开式的二项式系数C,C,…,C,…,C”有什么规律呢？ P[提示] 027 令新知初探 [知识点反思] 知识点二项式系数的性质 二项式系数的最大值 (1)当n是偶数时 1.对称性 (a+b)”的展开式共 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由 n+1项， 得到 n+1是奇数，这时展 开式的形式是 2.增减性与最大值 009×000 (1)当&<”'时，C随长的增加而 ;由对称性知，二项式系数的 前2项第受项后受项 后半部分C随k的增加而 中间一项是第号+1 (2)当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间 项，它的二项式系数 的两项 与 相等，且同时取得最大值， 是C,它是所有二项 式系数中的最大值 3.二项式系数的和 (2)当n是奇数时， (1)C0+C1+C2+…+C4= (a+b)”的展开式共 有n+1项，n+1是偶 (2)C9+C2+C4+…=C1+C3+C+…= ●[知识点反思] 数，这时展开式的形 式是 预习自测 O0…0× 本 ×000 1.在3x2-1 的展开式中，所有二项式系数和为64，则n= ( 项 A.6 B.7 C.8 D.9 中间两项是第+！ 2.(1+x)"(n∈N*)的二项展开式中，若只有x项的系数最大，则n= 2 n+3 2 项，它们的二项 A.7 B.8 C.10 D.11 式系数是C哈，C学 3.(2x-1)展开式中各项系数的和为 ;各项的二项式系数的和为 这两个系数相等，并 且是所有二项式系数 中的最大值 题型探究 提技能 题型一二项式系数性质的应用 例1.已知在(x-2)(neN)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数 [方法总结1] 相等 求二项式系数最大的 项的依据 (1)求n的值； (1)当n为奇数时，中 (2)求展开式中二项式系数最大的项； 间两项的二项式系数 (3)求奇数项的二项式系数和. ●[方法总结1] 最大； (2)当n为偶数时，中 间一项的二项式系数 最大 028 》跟踪训练1 若父-广二项展开式中的各项的二项式系数只有第6项最大，则展开 [方法总结2] 二项展开式的各项系 式的常数项的值为 数的和的求法 A.-252 B.-210 C.10 D.210 (1）对形如(ax+ 题型二二项展开式的系数和问题 b)”,(ax2+bx+c)m 例2已知(2x-)5=4+a++a2+a,x+a求下列各式的值 (a,b,cER,m, neN°)的式子求其 (1)a0+a1+a2+…+a5; 展开式的各项系数之 (2)lao1+lal+la1+...+lasl; 和，常用赋值法，只 (3)a1+a3+a5 P[方法总结2] 需令x=1即可；对 (ax +by)"(a,bE R,neN)的式子求 其展开式各项系数之 和，只需令x=y=1 即可； (2)一般地，若f八x) =a0+ax+02x2+… +anx”,则f八x)展开 式中各项系数之和为 f(1), 奇数项系数之和为a +a2+a4+… 》跟踪训川练2 -f1)+f(-1) 2 设(2-√3x)10=a+a1x+a2x2+…+a1mx10,求下列各式的值. 偶数项系数之和为a1 (1)ao; +43+a5+= (2)a1+42+a3+a4+·+a100; 1)-f八-1) (3)a1+a3+a5+…+a9; (4)(a+a2+…+a1m)2-(a1+a3+…+ag)2. 029 题型三系数最大项问题 [方法总结3] 例3.已知(4+2x)”的展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： 展开式中系数最大的 (1)展开式中二项式系数最大的项的系数； 项的求法 求展开式中系数最大 (2)展开式中系数最大的项 ●[方法总结3] 的项与求二项式系数 最大的项是不同的， 需要根据各项系数的 正、负变化情况进行 分析.如求(a+bx)” (a,beR)的展开式 中系数最大的项，一 般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为A,A，A2，…, An,且第k+1项最 Ak≥Ak-1, 大，应用{ Ak≥A+1, 解出k,即得出系数 最大的项 》跟踪训练3 已知在+ 号“的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式 中系数最大的项 030 随堂检测重反馈 1.(多选)已知x-3 ,则该展开式中二项式系数最大的项可以是 ( A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 2.二项式(x-1)”的展开式中奇数项的二项式系数和是64，则n= A.5 B.6 C.7 D.8 3.在(2-3x)5的展开式中，二项式系数的最大值为 A.Cis B.Cis C.-Cos D.-Cis 4.已知二项式(1-x)8,求： (1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中系数最小的项. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8] 6.3.3二项式定理的综合应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题 数学运算 2.掌握三项或多项展开式问题， 数学抽象 3.能利用二项式定理解决整除（余数）问题 数学运算、逻辑推理 题型探究提技能 题型一 求两个多项式乘积的特定项问题 [方法总结1] 两个二项式乘积的展 例1.已知(2x-)x+2 的展开式中x2的系数为-240，则该多项展开 开式中特定项问题 （1)分别对每个二项 式中的常数项为 >[方法总结1] 展开式进行分析，发 现它们各自项的 》跟踪训练1 特点； 若2x-1” (2)找到构成展开式 的展开式中二项式系数之和为32，则(x+2y)(x-y)”的展 中特定项的组成 开式中x2y的系数为 部分； (3)分别相乘，求和 题型二 三项展开式问题 即得。 例2在(2+x+y)的展开式中，y的系数为 [方法总结2] 三项或三项以上的式 [方法总结2] 子的展开问题，可将 )跟踪训练2 其看作几个多项式的 积，利用组合知识分 (1+x+x2)5展开式中所有项的系数和是 含x的项的系数是 析项的构成，合并同 类项即可.(2)T,1=Cx-(-2x2)'=(-1)2C8-, 令8-3r=-1,解得r=3, 448 所以T4=(-1)323C8x1=- 所以含士项的系数为-48 6.3.2二项式系数的性质 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 1.C%=C-m 2.(1)增大减小 3.(1)2”(2)2-1 预习自测 1.A由题意可知：2“=64→n=6,故选A. 2.C(1+x)"(n∈N)的二项展开式中，每一项系数即二项式 系数，分别为C,C以，…，C,二项展开式中只有一项的二项式 系数最大，则n为偶数，二项式系数C7最大，则x的系数C 最大，故号=5，n=10. 3.164令x=1,得各项系数和为1；各二项式系数之和为2 =64. 题型探究提技能 例1：【解析】(1)方法一：依题意得，C=C,解得n=8. 方法二：由二项式系数对称性知展开式共有9项， 所以n+1=9,所以n=8. (2)因为n=8,展开式中共有9项，根据二项式系数的性质 可得第5项的二项式系数最大， 于是展开式中二项式系数最大的项为Cgx4(-2)4=1120x. (3)各二项式系数之和为2， :·奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 相等， ·(x-2)”的展开式中奇数项的二项式系数和为 2×2=27 =128. 跟踪训练1：D因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第 6项最大，所以n=10,则(2-是）展开式的通项为71 c(x)-(-）=c6(-1)r-50≤k≤0且eN. 令30-5k=0,解得k=6,所以T,=C。(-1)6=210,即展开式 中常数项为210 例2：【解析】(1)令x=1,得a+a1+a2+…+a=1. (2)令x=-1,得(-3)5=-a+a1-2+a3-a4+a5: 由(2x-1)5的通项T,+1=C5(-1)'×2-'x3-知a1,a3,a5为 负值， 所以|aol+|a1I+|a2l+…+la51=a-a1+a2-a3+a4-as =35=243」 (3)由(1)(2)得a+a1+a2+…+a=1, -a0+a1-a2+…+a5=(-3)5, 16 两式相加得2(a1+a3+a)=1-35, 所以a1+a,+a,=l与，3。-121 2 跟踪训练2：【解析】(1)令x=0,则a。=2 (2)令x=1可得a+a1+a2+…+a1m=(2-5)10,① 故a1+a2+…+a1m=(2-5)10-2m. (3)令x=-1可得a0-a1+a2-a3+…+am=(2+5)10 ② ①2联立可得a+a+…+a=(2-B)m-(2+)m 2 (4)原式=[(a+a2+…+a1m)+(a1+a3+…+ag）][(a +a2+…+a10w）-(a1+a3+…+ag9） =(a0+a1+a2+…+a1m)(ag-a1+a2-a3+…+ag8-ag+ a100） =[(2-5)(2+5)]0=110=1. 郎：【解析】()由（子+2x）广的展开式黄三项的二项式系 数的和等于37， 即C0+C1+C2=37 解得n=8,即二项式为(}+2x)广， 所以展开式中第5项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为受 (2)设二项展开式的第r+1项的系数最大， c(4)2≥c(4) c(4) 2≥c(4) 2*1 解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第 9项， 即，=C(4) ×2x2=2x2, =c(4)°×2=2 0 跟踪训练3：【解析】由题意可知号+1=6，解得n=10, 0-5r 故展开式的通项为T,+1=Co2x2 设第r+1项的系数最大， 则ICio2'≥C62-1, 2 ≥1- lCio2≥C21 1 2 10-r+1' 解得19 22 ≤r≤行 reN,∴.T=7) 展开式中的系数最大的项为I=C12’x-登=15360x-登. 随堂检测重反馈 1.BC由题意知，展开式中二项式系数最大为C。和C,故二项 式系数最大的项是第5项和第6项 2.C二项式(a+b)”的展开式中，奇数项的二项式系数和等于 偶数项的二项式系数和，.2-1=64，.n=7.故选C. 3 3.B(2-3x)的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和 第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为C=C,故 选B. 4.【解析】(1)因为(1-x)8的展开式中共有9项， 所以中间一项（第5项）的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为C4(-x)4=70x4 (2)二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定， 由题意知第4项和第6项系数相等且最小， T4=Cg(-x)3=-56x3,T6=C8(-x)5=-56x3, 所以展开式中系数最小的项是-56x和-56x. 6.3.3 二项式定理的综合应用 题型探究提技能 例：-640(x+2)°的展开式的通项公式为71=- (2）=2(k=0,123,45.6),令6-2k=1,得= 名（合去）：令6-2水=2，得4=2放2-(+2）广的展 开式中x2的系数为-aC62=-240,解得a=4.令6-2k= -1,得k=子（舍去)：令6-2k=0,得k=3.故(2x-4)(x+ 子）)广的展开式中的常数项为-4C×2=-640 限踪训练1：-15由(2x-)广的展开式中二项式系数之和 为32得，2”=32，故n=5,(x-y)”的展开式通项为(-1) Cx5-y,故x2y的项为(-1)1Cx6-1y1+(-1)2Cx5- y*1,k1=4,k2=3,即(-1)Cx2y+(-1)32C3x2y= -15x2y4. 例2：30方法一：(x2+x+y)5=[(2+x)+y]5,含y2的项为 T=C(x2+x)y2,而(x2+x)3中含x3的项为Cxx=Cx, 所以xy2的系数为CC=30. 方法二：(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y, 两个取x2,一个取x即可得含xy2的项，所以xy2的系数为 C%CC1=30. 跟踪训练2：24330令x=1,则所有项的系数和是(1+1+ 12)5=243; 方法一：因为(1+x+x2)5的通项为C5(1+x)5-x2‘(r=0,1, 2,3,4,5),所以当r=0时，需求(1+x)5展开式中的x3项为 Cx;当r=1时，需求(1+x)4展开式中的x项为C4x:所以含 x的项的系数是CC+CC=20+10=30. 方法二：(1+x+x2)5是5个式子(1+x+X2)连乘，欲求含x =龙·x·x=x2·x的项的系数，只需在5个式子(1+x+x2) 中选三个括号提供x,两个括号提供1；或者一个括号提供x, 一个括号提供x,三个括号提供1即可，所以含x的项的系 数是CC2+C.C4C=10+20=30. 例3：(1)A(2)见解析 【解析】(1)求第8天是星期几，实质是求8°除以7的余 数.因为810=(7+1)0=710+C10×7”+…+C10×7+1=7M +1(M∈N*),所以第80天相当于第1天，故为星期一. (2)证明：1+2+22+…+2-1=1-2” 1-2 =25m-1=32-1=(31+1)"-1 -16 =31”+C4×31"-1+…+C-1×31+1-1 =31×(31-1+C1×31-2+…+C%-1), 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除 跟踪训练3：83×1016+a=3×(11-1)6+a=3×[C0.110+ C1o119×(-1)+…+C18(-1)0]+a=3(1110-C1o119+… -C1o×11)+3×1+a.因为3×10°+a能被11整除，所以3 +a能被11整除.又因为0≤a<11,所以a=8, 随堂检测重反馈 1.C因为(1+x)°的展开式的第k+1项为T+1=Cx,所以x (1+x)6的展开式中含x3的项为Cx3=15x3,所以含x3项的 系数为15. 2.B因为xy3=x·(x2y),其系数为-C·2=-40,xy3=y· (xy2),其系数为C·2=80.所以xy3的系数为80-40 =40. 3.15125+a=(52-1)205+a=C9m5522025-C2ms5224+ Co2s52m-…+C252-1+a能被13整除，故-1+a能 被13整除，又0≤a<13,故a=1. 410（x-）展开式的通项=c心(-是） （-a)C5x3-2,令5-2k=3,得k=1,所以-a×5=-5,即a =1,展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数 为正数，故各项的系数中最大值为C:=10. 章末复习与总结 核心考点培优 例1：(1)①90②9×10(2)60 【解析】(1)①4位“回文数”的特点为中间两位相同，千位 和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个数数字，共 有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位 “回文数”有9×10=90（个）. ②第一步，选左边第一个数字，有9种选法：第二步，分别选左 边第2,3,4，…，n,n+1位数字，共有10×10×10×…×10= 10(种)选法，故2n+1(neN*)位“回文数”有9×10“个. (2)1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.分三类：① 没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个；②只有1和3 中的一个时，满足条件的三位数有2A个；③同时有1和3 时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入 3个空中的1个即可，满足条件的三位数有C4C;个.所以满足 条件的三位数共有A+2A?+CC=60(个) 例2：(1)BCD(2)160 【解析】(1)若3个女生不相邻，则有A4A;=1440种不同的 出场顺序，A错误：若女生甲在女生乙的前面，则有乃号 2520种不同的出场顺序，B正确：若4位男生相邻，则有A4A4 =576种不同的出场顺序，C正确；若学生的节目顺序确定，再 增加两个教师节目，可分为两步，第一步，原7个学生节目形 成8个空，插入1个教师节目，有8种情况；第二步，原7个学 生节目和刚插入的1个教师节目形成9个空，再插入1个教 师节目，有9种情况，所以这两位教师共有8×9=72种不同 的出场顺序，D正确.故选BCD. (2)间接法：N=CCC2-C5CC-CCC=160. 例3：(1)360(2)12 【解析】(1)方法-：(a+2b+3c)5=[(a+2b)+3c]5,首先 根据二项式定理展开，有6项，其中C(a+2b)4·3c=15c·