7.3.2 离散型随机变量的方差-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=(16-a) 万元， E(Y)-E(X)=1.6-a, 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否 外聘工人均可以. 14.【解析】(1)设乙公司送餐员送餐单数为a, 当a=38时，X=38x6=28,P=0=0: 当a=9时，X=9x6=234,P=号=方 当a=40时，X=40x6=240,P=10=1。 50-5； 当a=41时，X=40×6+1×7=247,P=20=2 50=5 51 当a=42时，X=40×6+2×7=254,P=30=10, 故X的所有可能取值为228,234,240,247,254， 故X的分布列为 X 228 234 240247 254 1 1 2 10 5 5 5 10 故E(X0=28×0+234×5+240×5+247×号+254× 。1 1 10=241.8. (2)甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7, 则甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8（元）， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元， 238.8<241.8, 所以推荐小王去乙公司应聘 练案[14] 1.B:D(X甲)>D(X乙)，∴.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 2.B由题意，D(X)=E(2)-(E(X)2=6-4=2,故D(Y)= D(2X-1)=22D(X)=8 3.A由题可得，E(E)=号×(1+2+3)=2，D()=号[(1 -2y2+(2-2)2+(3-2)2]=子，D(35+5)=32×D(5)= 6,故选A 4.D由题可得，P(=0)=1-p,P(E=1)=p,E()=0×(1- p)+1×p=p,D()=(1-p)2×p+(0-p)2×(1-p)=p(1 -p),故选D. 5.B由分布列可求甲的次品数的均值为E(X)=0×0.7+1×0 +2×0.2+3×0.1=0.7,乙的次品数的均值为E(Y)=0× 0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7,D(X)=(0-0.7)2× 0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1= 1.21,D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2- 0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01,E(X)=E(Y),D(X)> D(Y),所以乙比甲质量好. 6.BD设取球次数为，则的可能取值为1,2,3，则P(=1) =子(5=2)=号×子0P(5=3)=号×=0对于 -19 A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(5=2)A选项 错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球 的概率为P5=》+P5=2)=号+-品B选项正确：对 于C选项，取球次数专的均值为E(G)=1×号+2×+3× 六=之，C选项错误；对于D选项，取球次数5的方老为() =)广×房+(2-)广×品+(3-2)广0 易，D选项正确 7.0.53.56根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+a= 1,所以a=0.5,E(X)=0.4+0.3+2.5=3.2,D(X)=2.22× 0.4+0.22×0.1+1.82×0.5=3.56. 8.105 6 易知X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6，且每种取值 的概率都为行，所以E()-石1+2+3+4+5+6)=子 DX0=E(8)-(5(X)）P=名(1+4+9+16+25+36)- (子)）°3所以v西-丽 6 0>由分布列可得a+b三3，P(X=1)==3,所以 ΓC+2 -2,又P(X=0)=急=石=a,所以b=石，进而可得E(x) C1 =号+2b=1,放D(X)=(0-1)a+(1-1)2×号+(2- 10产6=a+6=号 10.【解折】(1)()=0×号+10×号+20×5+50×号 +60×吉=16， 0(m）=(0-16)2×号+(10-16)2×号+(20-162× 5+(0-16)2×号+(60-162×5=384 2 (2):Y=2m-E(n), ∴.D(Y)=D(2m-E(m))=22D(n)=4×384=1536. 11.ABD由已知得X的可能取值为0,1，且服从两点分布.P(X 1 =0)=22 ,PX-I)-7+7×3-音() =0x+1×子-子，0(0=8×+6×子-=6 91.133 12.0.63的可能取值为7,8,9,10，且P(5=7)=0.12=0.01, P(5=8)=2×0.1×0.4+0.42=0.24,P(5=9)=2×0.1× 0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39,P(5=10)=2×0.1×0.2 +2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36.所以的分布 列为 7 8 10 0.01 0.24 0.39 0.36 E(E)=7×0.01+8×0.24+9×0.39+10×0.36=9.1,D() =(7-9.1)2×0.01+(8-9.1)2×0.24+(9-9.1)2×0.39 +(10-9.1)2×0.36=0.63. 13.【解析】(1)记“从方案一中抽取到女生”为事件A,“从方 案二中抽取到女生”为事件B, 则PW=246i6=号.P(B)=25s= 357 X的可能取值为0,1,2， 所以P(X=0=(1-号)×(1-)=子 PX=)=(1-号)×+号×(1-)= PX=2)号x7-0 所以X的分布列为 0 2 31 60 30 (0=0+1×+2×-器 1 (2)依题意可得Y=2-X,所以D(Y)=D(2-X) =(-1)2D(X)=D(X),即D(Y)=D(X). 14.【解析】(1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1 期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用 1期付款” :A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1 期付款”，可知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采 用1期付款”， P(A)=(1-0.2)3=0.512. .P(A)=1-P(A)=1-0.512=0.488. (2)根据顾客采用的付款期数X的分布列对应于Y的可能 取值为200元，300元，400元，得到Y对应的事件的概率， P(Y=200)=P(X=1)=0.2, P(Y=300)=P(X=2)+P(X=3)=0.3+0.3=0.6, P(Y=400)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2, 故Y的分布列为 200 300 400 P 0.2 0.6 0.2 .均值E(Y)=200×0.2+300×0.6+400×0.2=300. .方差D(Y)=(200-300)2×0.2+(300-300)2×0.6+ (400-300)2×0.2=4000. 练案[15] 1.A由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中 靶的概率为C1m×0.84×0.2 2.AC因为X~B(10,0.6),所以E(X)=10×0.6=6,D(X)= 10×0.6×0.4=2.4.因为X+=7,所以=7-X,由均值和 方差的性质可得，E()=E(7-X)=7-E(X)=1,D() D(7-X)=D(X)=2.4 3.C每次抽奖中，样本点总数为C=10,获奖的共有(1,2,3) (1,35).(2,34),34,5)这4种，所以p=号设5人中获 奖人数为X,则XB(5,号)，所以P(X=3)=C×(号】 (层)器 4A该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天 出现大潮和三天出现大潮，有两天出现大潮的概率为C× (号)厂广×兮专有三天出现大湖的既率为C×(合)】 8 .4.820 习，所以至少有两天出现大潮的概率为号+》=分 5.D设“两家店铺不能都正常营业”为事件A,由题意可知有4 人林假的概率为（号）广=7，有3人休假的概率为心× (兮)厂'×（号）=导，所以两家店铺不能都正常营业的既 *4)守+品)所以两家店铺在该节假日都能正常 营业的概率为1-P(A)=号 6D由题意知，A=(分)）广=日A=(分)广8，B=C x(3)×1-)==Cx3×(1-)广= P=P2<P=P4,故A错误；P3=3P1,故B错误；P1+P2+P +P4=1,故C正确；P4=3P2,故D正确 7.612依题意，设Y表示该生答对问题的个数，则Y~B6, 号），所以(0=6×号=4，(n=6×号×分-寺义因 为X=2Y-(6-Y)=3Y-6,所以E(X)=3E(Y)-6=3×4- 4 6=6,D(X)=3'D(Y)=9×3=12. 8 8.9 由随机变量X~B(2,p),且P(X≥1)=)，得P(X≥1) =1-PX=0)=1-g×1-p2=号解得p=分由Y B(4,号），得随机变量Y的方老D()=4×号×(1-号) 8 9.【解析】(1)设“不及格”为事件A,则“及格”为事件A, P(A)=1-P(A)=1-(0.2+0.4+0.2+0.1)=0.1, 故该学生不及格的概率为0.1. (2)设“样本中测试分数为‘良好’或‘优秀’”为事件B, 则P(B)=0.2+0.1=0.3, 依题意可知X~B(3,0.3), P(X=0)=0.73=0.343. P(X=1)=C×0.3×0.72=0.441, P(X=2)=C×0.32×0.7=0.189, P(X=3)=0.33=0.027, 所以X的分布列为 X 0 2 P 0.343 0.441 0.1890.027 E(X)=3×0.3=0.9. 10.【解析】由题意知，X~B(n,p), P(X=k)=Cp(1-p)n-,k=0,l,…,n ()由E()=p=3,D(X)=m(1-p)=, 解得n=6,p=2 1 故X的分布列为 3练案[14] 第七章7.37.3 A组·基础巩固 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分 蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为 D(X甲)=11，D(Xz)=3.4.由此可以估计 A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2.设X,Y为随机变量，且E(X)=2,E(2)=6, Y=2X-1,则D(Y)= A.9 B.8 C.5 D.4 3.已知随机变量专的分布列为P(传=)=3， k=1,2,3,则D(3+5)= A.6 B.9 C.3 D.4 4.设随机变量的分布列为P(=k)=p(1- p)1-(k=0,1),则E(E),D(E)的值分别是 A.0和1 B.p和p2 C.p和1-p D.p和p(1-p) 5.甲、乙两台自动机床各生产同种标准的产品 1000件，X表示甲机床生产1000件产品中的 次品数，Y表示乙机床生产1000件产品中的 次品数，经过一段时间的考察，X,Y的分布列 分别如表一、表二所示.据此判断 表 0 1 2 0.7 0 0.2 0.1 13 2 离散型随机变量的方差 表二 0 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 6.（多选)袋内有大小完全相同的2个黑球和3 个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直 至取到白球后停止取球，则 () A抽取2次后停止取球的概率为} B.停止取球时，取出的白球个数不少于黑球 的概率为品 C.取球次数的均值为2 D.取球次数专的方差为20 9 7.已知随机变量X的分布列如下表所示，则a= ,D(X)= 1 3 5 P 0.4 0.1 a 8.设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X,则 √D(X)= 9.已知盒子中装有n(n>1,n∈N)个一等品和 2个二等品，从中任取2个产品（取到每个产 品都是等可能的)，用随机变量X表示取到一 等品的个数，X的分布列如下表所示，则D(X) X 0 1 2 P e 23 b 10.已知7的分布列为 m 0 10 心 2 3 (1)求n的方差； (2)设Y=2n-E(7) B组·综合运用 20 50 60 11.（多选)已知A1,A2为两所高校举行的自主招 1 1 15 1 生考试，某同学参加每所高校的考试获得通 过的概率均为)，该同学一旦通过某所高校 求D(Y). 的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同 学通过考试的高校个数为随机变量X,则 A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布 C.E(X)=1 D.D(X)= 3 16 12.某射手射击一次所得环数X的分布列如下表 X 7 8 9 10 P 0.1 0.4 0.3 0.2 现该射手进行两次射击，以两次射击中所得 最高环数作为他的成绩，记为专，则D()= 13.开展中小学生课后服务，是促进学生健康成 长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措， 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具 有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为 确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两 套工作方案，为了解学生对这两套方案的支 持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获 得数据如表所示（用频率估计概率，且所有 学生对活动方案是否支持相互独立). 男 女 支持方案 24 16 支持方案二 25 35 134 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生 C组·拓展提升 中各随机抽取1人，设X为两人中抽出 14.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客 女生的人数，求X的分布列与均值： 采用的付款期数X的分布列为 (2)在(1)中，设Y表示两人中抽出男生的人 2 3 5 数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小. P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其 利润为200元；分2期或3期付款，其利润为 300元；分4期或5期付款，其利润为400元， Y表示经销一件该商品的利润， (1)求事件A:“购买该商品的3位顾客中至 少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求Y的分布列、均值和方差 -135