7.3.1 离散型随机变量的均值-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[13] 第七章 7.37.3 A组·基础巩固 1.已知Y=4X+7,E(Y)=15,则E(X)等于 ( A.67 B.11 C.2 D.1 2.若p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1 2-p 2 则E(X)的最小值为 A.1 B c号 D.2 3.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则 继续射击，他射中目标的概率是0.8.若枪内 只有3颗子弹，则他射击次数的均值是 ( A.0.8 B.0.992 C.1 D.1.24 4.“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合 称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上 地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积 极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文 化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动. 某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》 《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准 备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4 位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中 的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均 值为 1分 B.1 C 3 D.2 5.(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所 示，且E(X)=6.3,则 X 4 9 P 0.5 0.1 b A.a=7 B.b=0.4 C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62 13 ,1离散型随机变量的均值 6.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果 成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后 将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类 似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192例 8例 则该公司一年后估计可获收益的均值是 7.随机变量X的取值为0,1,2，若P(X=0)= 5,E(X0=1,则P(X=1)= 8.（2025·全国I卷)有5个相同的球，分别标有 数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每 次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1 次的球的个数，则X的数学期望E(X)= 9.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的 有10个，记上n号的有n(n=1,2,3,4)个.现 从袋中任取一球，X表示所取球的标号， (1)求X的分布列、均值； (2)若Y=aX+4,E(Y)=1,求a的值. 30 10.一盒中有9个正品零件和3个次品零件，安 装机器时从这批零件中随机抽取，若取出的 是次品则不放回，求在第一次取到正品之前 已取出的次品数X的分布列和均值. B组·综合运用 11.（多选)已知随机变量X的分布列为 0 2 P b a+b 则E()的可能取值有 ( ) A.0 R c D.2 8 12.某人进行一项试验，若试验成功，则停止试 验；若试验失败，则再重新试验一次：若试验 3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成 功的概率均为子，则此人试验次数X的均值 是 —13 13.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下 周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可 以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响 药材品质，基地收益如下表新示 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全 部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时 收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万 元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两 天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的 概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的 分布列及基地的预期收益（即X的均 值)； (2)该基地是否应该外聘工人？请说明 理由 1 C组·拓展提升 (2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应 14.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案 聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑， 如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙 请利用所学的统计学知识为小王作出选 公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每 择，并说明理由. 单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7 元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相 同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并 分别记录其50天的送餐单数，得到如下频 数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 15 10 10 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 5 10 10 20 5 若将频率视为概率，回答下列两个问题： (1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)， 求X的分布列和均值； —132练案[13] 1.CE(Y)=4E(X)+7=15,则E(X)=2 2A由p≥0，分-p≥0，得0≤p≤分，则E()=7-p+2× 1 方=子-p≥1.当p=分时，6(X)最小为1 3.D由题意知，射击次数X的可能取值为1,2,3，P(X=1)= 0.8,P(X=2)=0.2×0.8=0.16,P(X=3)=0.2×0.2×0.8 +0.2×0.2×0.2=0.04,∴.他射击次数的均值E(X)=1× 0.8+2×0.16+3×0.04=1.24. 4.B记抽到自己准备的书的学生数为X,则X的可能取值为0， A24=8P(X=1)=Gx2=8 1,2,4,P(X=0)=C×3=9-3 A 24 3P(X=2)=Cx1-61 11 A=24=4,P(X=4)=元=24则E(0 =0x尽+1x3+2x子+4×京=1 。1 1 1 5.ABC由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,∴.b=0.4, 又E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得a=7.∴.E(aX)= aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+ 7=9.52. 6.4760元由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，亏 损25000元的概率为0.04，故该公司一年后收益的均值是 6000×0.96+(-25000)×0.04=4760(元). 7号设P(X=)=n.因为P(X=0=方，B(0=1,放0x写+1 x知+2×(1-写-p）=1,所以p+号-2=1，解得n=号 ，题述5个球中至少被取出1次的球的个数X是一个随机 变量，分析易知X的所有可能取值为1,2,3，因此X是一个离 散型随机变量.按照定义，X的数学期望为E(X)=P(X=1) +2P(X=2)+3P(X=3).事件{X=1}发生意味着有放回地 随机取3次球后，至少被取出1次的球的个数为1，也就是说， 同一个球被取出3次，而这个球可以是题设5个球中的任意 一个；换言之，从5个球中先任意挑选一个，然后3次都取出 这同-个球因此PX=1)=C()方事作X=2发 生意味着有放回地随机取3次球后，至少被取出1次的球的 个数为2，也就是说，从5个球中先任意挑选两个，然后3次取 球都从这两个球中取，且这两个球都要至少被取出1次；换言 之，这两个球中的一个被取出1次，另一个被取出2次.因此， P(X=2)=CCC(兮）-=号事件X=3发生意味若有放 回地随机取3次球后，至少被取出1次的球的个数为3，也就 是说，从5个球中先任意挑选三个，然后这三个球各被取出1 次因此，P(X=3)=C(兮) = 二.由此可得X的数学期 .12 望E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=25+2×25 3×号-器 9.【解析】(1)X的分布列为 X 0 1 234 1 X的均信(0=0×+1×+2×0+3×+4×行=号 -19 (2)E(Y)=aE(X)+4=1, 又E(0=号，周a:是+4=1， ∴.a=-2. 10.【解析】随机变量X的可能取值为0,1,2,3.{X=0}表示 “第一次取到正品”， 则P(X=0)=A=4 A9 3 {X=1}表示“第一次取到次品，第二次取到正品”， 则P(X=1)= A3A 9 A244' 同理，可求得P(X=2)= AA)_9 A12 -2201 P(X=3)= AA4-1 A=220 因此随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 9 P 3 9 4 44 220220 3 所以随机变量X的均值为E(X)=0×子+1×存+2×20 9 9 1663 +3×220-220-10 0≤a≤1， 11.BC由分布列的性质可得{0≤b≤1， l0≤a+b≤1. 且a+b+(a+b)=1,则a+6=子，所以a=号-6，则0≤ 号-b≤1.又0≤b≤1，所以0≤b≤分因为E()=0xa+1 xb+2x(a+B)=1+b,所以1≤E()≤子，所以B(X)可 12.号试验次数X的可能取值为1,23，则P(X=1)=子 PX=2)=x子-子，PX=3)=了×写×（子+写）】 g所以X的分布列为 X 1 2 3 2 2 1 3 9 9 所以B()=1×号+2 9+3x=13 9-9 13.【解析】(1)设下周一无雨的概率为p, 由题意得，p=0.36,则p=0.6, 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5， 则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24, P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16. 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.360.240.240.16 基地的预期收益E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+ 7.5×0.16=14.4(万元)， 所以基地的预期收益为14.4万元. (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=(16-a) 万元， E(Y)-E(X)=1.6-a, 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否 外聘工人均可以. 14.【解析】(1)设乙公司送餐员送餐单数为a, 当a=38时，X=38x6=28,P=0=0: 当a=9时，X=9x6=234,P=号=方 当a=40时，X=40x6=240,P=10=1。 50-5； 当a=41时，X=40×6+1×7=247,P=20=2 50=5 51 当a=42时，X=40×6+2×7=254,P=30=10, 故X的所有可能取值为228,234,240,247,254， 故X的分布列为 X 228 234 240247 254 1 1 2 10 5 5 5 10 故E(X0=28×0+234×5+240×5+247×号+254× 。1 1 10=241.8. (2)甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7, 则甲公司送餐员日平均工资为80+4×39.7=238.8（元）， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元， 238.8<241.8, 所以推荐小王去乙公司应聘 练案[14] 1.B:D(X甲)>D(X乙)，∴.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 2.B由题意，D(X)=E(2)-(E(X)2=6-4=2,故D(Y)= D(2X-1)=22D(X)=8 3.A由题可得，E(E)=号×(1+2+3)=2，D()=号[(1 -2y2+(2-2)2+(3-2)2]=子，D(35+5)=32×D(5)= 6,故选A 4.D由题可得，P(=0)=1-p,P(E=1)=p,E()=0×(1- p)+1×p=p,D()=(1-p)2×p+(0-p)2×(1-p)=p(1 -p),故选D. 5.B由分布列可求甲的次品数的均值为E(X)=0×0.7+1×0 +2×0.2+3×0.1=0.7,乙的次品数的均值为E(Y)=0× 0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7,D(X)=(0-0.7)2× 0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1= 1.21,D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2- 0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01,E(X)=E(Y),D(X)> D(Y),所以乙比甲质量好. 6.BD设取球次数为，则的可能取值为1,2,3，则P(=1) =子(5=2)=号×子0P(5=3)=号×=0对于 -19 A选项，抽取2次后停止取球的概率为P(5=2)A选项 错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球 的概率为P5=》+P5=2)=号+-品B选项正确：对 于C选项，取球次数专的均值为E(G)=1×号+2×+3× 六=之，C选项错误；对于D选项，取球次数5的方老为() =)广×房+(2-)广×品+(3-2)广0 易，D选项正确 7.0.53.56根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+a= 1,所以a=0.5,E(X)=0.4+0.3+2.5=3.2,D(X)=2.22× 0.4+0.22×0.1+1.82×0.5=3.56. 8.105 6 易知X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6，且每种取值 的概率都为行，所以E()-石1+2+3+4+5+6)=子 DX0=E(8)-(5(X)）P=名(1+4+9+16+25+36)- (子)）°3所以v西-丽 6 0>由分布列可得a+b三3，P(X=1)==3,所以 ΓC+2 -2,又P(X=0)=急=石=a,所以b=石，进而可得E(x) C1 =号+2b=1,放D(X)=(0-1)a+(1-1)2×号+(2- 10产6=a+6=号 10.【解折】(1)()=0×号+10×号+20×5+50×号 +60×吉=16， 0(m）=(0-16)2×号+(10-16)2×号+(20-162× 5+(0-16)2×号+(60-162×5=384 2 (2):Y=2m-E(n), ∴.D(Y)=D(2m-E(m))=22D(n)=4×384=1536. 11.ABD由已知得X的可能取值为0,1，且服从两点分布.P(X 1 =0)=22 ,PX-I)-7+7×3-音() =0x+1×子-子，0(0=8×+6×子-=6 91.133 12.0.63的可能取值为7,8,9,10，且P(5=7)=0.12=0.01, P(5=8)=2×0.1×0.4+0.42=0.24,P(5=9)=2×0.1× 0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39,P(5=10)=2×0.1×0.2 +2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36.所以的分布 列为 7 8 10 0.01 0.24 0.39 0.36 E(E)=7×0.01+8×0.24+9×0.39+10×0.36=9.1,D() =(7-9.1)2×0.01+(8-9.1)2×0.24+(9-9.1)2×0.39 +(10-9.1)2×0.36=0.63. 13.【解析】(1)记“从方案一中抽取到女生”为事件A,“从方 案二中抽取到女生”为事件B,