6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

001 第六章 计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时两个计数原理及其简单应用 新课程标准解读 学科核心素养 1.通过实例，理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义. 数学抽象 2.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题， 逻辑推理、数学运算 教材梳理 明要点 ●情境导入 五一假期，几位同学相约从济南前往北京天安门 广场观看升国旗仪式，他们考虑两类出行方式：一 是乘高铁，二是乘火车，假如这天高铁有7个班次 [提示] 他们共有7+3=10 可乘，火车有3个班次可乘.那么他们从济南到北 (种)出行方式可选. 京共有多少种出行方式可选呢？ P[提示] ©新知初探 知识点一分类加法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2 类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的 [知识点反思1] 分类加法计数原理中 方法。 每类方案相互独立， 2.分类加法计数原理的推广 各类方案中的各种方 完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m,种不同的方法，在第 法也相互独立，用任 何一类中的任何一种 2类方案中有m2种不同的方法，·，在第n类方案中有mn种不同的方法， 方法都可以独立完成 这件事. 那么完成这件事共有N= 种不同的方法： [知识点反思1] 002 知识点二分步乘法计数原理 [知识点反思2] 1.分步乘法计数原理 分步乘法计数原理中 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种 每一步得到的只是其 不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法. 中某一步的结果，任 何一步都不能独立完 2.分步乘法计数原理的推广 成这件事，缺少任何 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 一步也不能完成这件 m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 事，只有各个步骤都 完成了，才能完成这 N= 种不同的方法 D[知识点反思2] 件事 自预习自测 1.某中学需从2025年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种 数为 A.6 B.5 C.3 D.2 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，若一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的搭 配种数为 A.7 B.12 C.64 D.81 题型探究提技能 题型一分类加法计数原理的应用 例 1.某校高三年级共有三个班，各班人数如下表： 男生人数 女生人数 总人数 [方法总结1] 高三(1)班 30 20 50 利用分类加法计数原 理的解题流程 高三(2)班 30 30 60 分 将完成这件事的 高三(3)班 35 20 55 方法分成若干类 求出每一类的方 (1)从三个班的学生中选1名学生担任学生会主席，有多少种不同的 法数 选法？ 结 将每一类的方法 (2)从高三(1)班、高三(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学 论 数相加得出结果 生担任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ P[方法总结1] 003 》跟踪训练1 已知a,b∈{0,1,2，…，9}，若满足a-b1≤1，则称a,b“心有灵犀”，则a,b “心有灵犀”的情形共有 种 [方法总结2] 利用分步乘法计数原 题型二分步乘法计数原理的应用 理的解题流程 例2从-2，-10,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函 分 将完成这件事的 步 方法分成若干步 数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成抛物线的条数为( 计 求出每一步的方 A.50 B.100 C.150 D.200 数 法数 结 将每一步的方法 ●[方法总结2] 论 数相乘得出结果 〉跟踪训训练2 在如图所示的电路（规定只能闭合其中2个开关） 中，接通电源使灯泡发光的方法有 种. 题型三两个计数原理的简单应用 [方法总结3] 例3现有5解不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画 1.在处理具体问题 时，首先确定解决问 (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ 题的方法是“分类” (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的还是“分步”，是先 选法？ 分类后分步，还是先 分步后分类； (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选 2.对于一些比较复来 法？ P[方法总结3] 的既要运用分类加法 计数原理又要运用分 步乘法计数原理的问 题，我们可以恰当地 画出示意图或列出表 格，使问题更加直 观、清晰 004 》跟踪训练3 集合A=1,2,-3},B={-1,-2,3,4},现从A,B中各取一个元素作为点P(x,y)的坐标 (1)可以得到多少个不同的点？ (2)在这些点中，位于第一象限的有几个？ 随堂检测重反馈 1.音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，不同的 选法种数为 A.21 B.30 C.160 D.240 2.一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球， 不同取法的种数为 ( A.182 B.14 C.48 D.91 3.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有 A.6种 B.24种 C.64种 D.81种 4.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙地有4条 甲地 乙地 路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有 条不同的路。 丙地 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1]学案及练案部分 参芳答案 [学案部分] 跟踪训练2：6由题意可知，在该电路中，只有先闭合A组2个 第六章计数原理 开关中的任意1个，再闭合B组3个开关中的任意1个后，接 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 通电源，灯泡才能发光.因此要完成这件事，需要分两步，所以 接通电源使灯泡发光的方法种数为2×3=6. 第1课时 例3：【解析】(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法： 两个计数原理及其简单应用 从油画中选，有2种不同的选法：从水彩画中选，有7种不同 教材梳理明要点 的选法.根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14（种）不同 新知初探 的选法 知识点 (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的 1.m+n 选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7=70（种）不同的 2.m1+m2+…+m 选法 知识点二 (3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分 1.m×n 步乘法计数原理知，有5×2=10（种）不同的选法； 2.m1×m2×…×m 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7=35（种） 预习自测 不同的选法； 1.B选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7=14（种） 种选法；从2名男大学生中选聘1人，有2种选法，根据分类 不同的选法。 加法计数原理，可知不同的选法种数为3+2=5，故选B. 所以共有10+35+14=59（种）不同的选法. 2.B第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选跟踪训练3：【解析】(1)一个点的坐标由x,y两个元素确定， 法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选 若它们有一个不同，则表示不同的点，可分为两类： 法.故共有4×3=12（种）不同的搭配法 第一类：选A中的元素为x,B中的元素为y,有3×4=12（个） 题型探究提技能 不同的点； 例1：【解析】(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席， 第二类：选A中的元素为y,B中的元素为x,有4×3=12（个） 共有三类不同的方案. 不同的点. 第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法： 由分类加法计数原理得不同的点的个数为12+12=24. 第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法； (2)第一象限内的，点x,y必须为正数，从而只能取A,B中的正 第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法. 数，同样可分为两类，类似于(1)，得适合题意的不同点的个 根据分类加法计数原理知，从三个班中任选1名学生担任学 数为2×2+2×2=8. 生会主席，不同选法的种数为50+60+55=165. 随堂检测重反馈 (2)从高三(1)班男生、(2)班男生中或从高三(3)班女生中1.A依题意一共有10+8+3=21种选法. 选1名学生担任学生会生活部部长，共有三类不同的方案. 2.C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8=48.故 第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选C. 选法； 3.D每位学生都有3种选择，则4位学生的报名方式共有34= 第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的81（种）.故选D. 选法； 4.16如果由甲地经乙地到丁地，则有2×4=8种不同的路线： 第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的 如果由甲地经丙地到丁地，则有4×2=8种不同的路线.因 选法. 此，从甲地到丁地共有8+8=16种不同的路线 根据分类加法计数原理知，从高三(1)班男生、高三(2)班男 第2课时两个计数原理的综合应用 生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部 长，不同选法的种数为30+30+20=80. 题型探究提技能 跟踪训练1：28当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，例1：(1)D(2)①125②100③48 b只能取8,9两个数；当a为其他数时，b都可以取三个数，例【解析】(1)按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种 如a=1时，b可取0,1,2.综上，一共有2+2+3×8=28（种） 选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法， 情形. 因此共有5×3×4×4×4=960种情况. 例2：B由题意知a不能为0，故a的值有5种选法；b的值也有(2)①三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个 5种选法；c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可以组位置都有5种排法，共有5×5×5=5=125（个）. 成抛物线的条数为5×5×4=100. ②三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位 —157