6.3.2 二项式系数的性质-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

项 -x 1 0 5 0 个数 3 1 2 1 2 故含x项的系数为C(-1)5+C·C(-1)3+C?·C·(-1) =-51. 练案[8] 1.B第6项的二项式系数为C0,又C5=C,所以第16项符 合条件 2.A:(1+2x)"的展开式中第4项与第8项的二项式系数相 等，∴.C=C7,解得n=10,各二项式系数之和为20，奇数项 的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等， (1+2)的展开式中奇数项的二项式系数和为×2°= 29=512. 3.C因为只有第4项的二项式系数最大，得n=6,所以x2 士)广的层开式的通项为=C(2)“(~士）广： （-1)Cx2-张.令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数 项是(-1)4Cg=15.故选C. 4D(1-2x)25=a+a1x+…+a2m5x2,令x=0,得a=1, 令=分得%++学++器=0.所以号+学+叶 a2025 220=-1 5.AC(x-1)"的展开式中的二项式系数之和为21=2048，所 以A正确：因为n=11为奇数，所以展开式中有12项，中间两 项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B不正 确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以 D不正确.故选AC 6.ACD对任意实数x,有(2x-3)’=a+a1(x-1)+a2(x- 1)2+a3(x-1)3+…+a(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,所以 a2=-C号×2=-144，故A正确；令x=1,可得a=-1,故B 不正确；令x=2,可得a0+a1+a2+·+a。=1,故C正确；令x =0,可得a0-a1+a2-a+…-ag=-39,故D正确。 1.10(2+士)广展开式的各项系数和为248令x=1, 可得3”=243，解得n=5.(2:2+）广展开式的通项7 =C525-x5-,re{0,1,…,5}.令15-4r=7,得r=2,.展开 式中含x的项的二项式系数为C=10. 及-13在(2一爱)广的二项限开式巾，常数项是8，由二项 展开式通项可知=c2(会)广：c·2, (-a)·x4,所以当k=3时为常数项，代人可得C·24-3· (-a)3=8,解得a=-1,由二项式定理可知展开式共有5项， 则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. 9.-256令x=1,得a+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=-1, 得a-a1+a2-a3+a4-a5=25=32,两式相加可得2(a0+a2 +a4)=32,两式相减可得2(a1+a3+a5）=-32,则a+a2+ -18 a4=16,a1+a3+a5=-16,所以(a+a2+a4)(a1+a3+a5) =-256. 10.【解析】由题意得，2"=64，解得n=6, 而(x-my)6的通项公式为Tk+1=Cx6-·（-my),0≤k≤ 6hEN. 所以x3y3的系数为C6(-m)3=-160, 解得m=2. 1.B因为s=-,+2)当=5时，5=2 2 2 =-23038 12.ACD在(x+2)"(neN*)的展开式中，含x2的项的二项式 系数为C2=nn,D=21,即n2-n-42=0,:neN, ∴n=7,A正确；展开式中常数项为Tg=2?=128,B错误；展 开式中二项式系数的最大值是C=C=35,C正确；令x=1 可得展开式中各项系数的和是3？=2187，D正确.故 选ACD. 13.【解析】(1)由题意得，C9+C+C2=16, 即1+n+nm,山=16. 2 解得n=5,或n=-6(舍去)， 所以n=5. 因为所有项的系数之和为1，令x=1, 所以(a-1)5=1,解得a=2. (2)不存在.理由如下： =(-1)C2-x5-2*(keN). 令5-兰=0，解得k=号：N,所以晨开式中不存在常数项。 (3)由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系 数最大， 二项式系数最大的两项为 T3=（-1)2·C25-2x5-3=80x2, T4=(-1)3.C25-3x5-号=-40x2 14.【解析】(1)由题意可得2”=256， 解得n=8, ·展开式的通项为T+1=Cmx之， .含x项的系数为Cm2=112, 解得m=2或m=-2(舍去). 故m,n的值分别为2,8. (2)展开式中偶数项的二项式系数之和为 Cg+C8+C⑧+Cg=28-1=128. (3):(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2E)8, 含x2项的系数为C24-C22=1008. 练案[9] 1.D(位-)广层开式的通项为=C(侵)广(-1) (-)'Cx令10-2h=2或10-26=0，解得=4或4= 5放(+2)·（日-1）的展开式的常数项是(-1)广×心 +2×(-1)5×C=3. 6练案[8] 第六章 6.36.3.2 二项式系数的性质 A组·基础巩固 8在2元 的二项展开式中，常数项是8， 1.在(a-b)2”的二项展开式中，二项式系数与第 则实数a= ,第 项的二项式 6项的二项式系数相同的项是 ( 系数最大 A.第15项 B.第16项 9.已知(1-x)3=a0+a1x+a2x2+ax3+a4x+ C.第17项 D.第18项 ax3,则(a+a2+a4)(a1+a3+a5）= 2.已知(1+2x)”的展开式中第4项与第8项的 二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 10.已知(x-my)”的展开式中二项式系数之和 ( 为64，x3y的系数为-160，求实数m的值， A.512 B.210 C.211 D.212 3.(-士)广的展开式中，只有第4项的二项式 系数最大，则该展开式的常数项是 A.-15B.-20C.15 D.20 4.若(1-2x)225=a0+a1x+…+a225x2025(x∈ ,吃+分++器 A.2 B.0 C.-2 D.-1 5.(多选)下列关于(x-1)"的说法正确的是 () A.展开式中的二项式系数之和为2048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数 最大 D.展开式中第6项的系数最大 6.(多选)对任意实数x,有(2x-3)°=a+a1(x -1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a(x- 1)9,则下列结论成立的是 A.a2=-144 B.do =1 C.a+a1+a2+…+ag=1 D.a0-a1+a2-a3+…-ag=-39 7.已知(2x+士)”展开式的各项系数和为243， 则展开式中含x的项的二项式系数为 -120 B组·综合运用 C组·拓展提升 11.在(x-2)226的二项展开式中，含x的奇次14.已知(1+mx)“(m是正实数)的展开式的 幂的项之和为S,当x=√2时，S= 二项式系数之和为256，展开式中含有x项的 A.23038 B.-23038 系数为112. C.23039 D.-23039 (1)求m,n的值： 12.(多选)在(x+2)"(n∈N*)的展开式中，若 (2)求展开式中偶数项的二项式系数之和； 含x2项的二项式系数为21，则下列结论正确 (3)求(1+m√：)”(1-x)的展开式中含x 的是 项的系数 A.n=7 B.展开式中的常数项是64 C.展开式中二项式系数的最大值是35 D.展开式中各项系数的和是2187 13.已知(r2广(aeRn=N)的展开式中， 前三项的二项式系数之和为16，所有项的系 数之和为1. (1)求n和a的值； (2)展开式中是否存在常数项？若存在，求 出常数项；若不存在，请说明理由； (3)求展开式中二项式系数最大的项， -121