6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

[练案 练案[1] 1.B根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具 的不同走法数为3+4+2=9. 2.C由复数a+bi为纯虚数，所以a=0,此时b有6种取法，故 纯虚数共有6个. 3.D由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅 读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种 数是35=243.故选D. 4.C小张的报名方法有2种，其他3名同学的报名方法各有3 种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3=54（种）不同 的报名方法，故选C 5.AD方法一：完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定 a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取 方法；第3步，确定，有2种不同的选取方法.由分步乘法计数 原理，方程(x-a)2+(y-b)2=2可表示不同的圆共有3×4 ×2(个). 方法二：由分类加法计数原理得，当a=1时，b=4,5,6,7,r=8 或9，有4+4（个）；当a=2时，b=4,5,6,7,r=8或9，有4+4 (个)；当a=3时，b=4,5,6,7,r=8或9，有4+4（个），故方程 (x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有4+4+4+4+4 +4(个). 6.ABC东面上山的种数为2×(3+3+4)=20，西面上山的种 数为3×(2+3+4)=27，南面上山的种数为3×(2+3+4)= 27,北面上山的种数为4×(2+3+3)=32，故只从一面上山， 而从其他任意一面下山的走法种数可能为20,27,32， 7.7分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式 依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3+3+1=7（种）. 8.11依据直线和直线外一点确定一个平面，分两类情况讨论 第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的 平面：第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个 不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定7+4=11 个不同的平面. 9.31分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计 数原理，有3×5=15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根 据分步乘法计数原理，有3×2=6（种）选法；③乙班选1名， 丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2=10（种）选法， 综上，根据分类加法计数原理，共有15+6+10=31（种）推选 方法 10.【解析】因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n. 当m=4时，n=1,2,3: 当m=3时，n=1,2; 当m=2时，n=1. 所求的椭圆共有3+2+1=6（个）. 11.B假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时 其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1=6 (种)填法.故不同的填写方法共有6×2=12（种）. 12.20由题意可知，有1人既会钢琴又会小号（记为甲），只会 钢琴的有6人，只会小号的有2人.本题可分两类：第1类， 甲入选，此时，只需从其他8人中任选1人，故这类选法共有 8种.第2类，甲不入选，此时，选法共有6×2=12（种）.因此 共有8+12=20（种）不同的选法. 18 部分] 13.12设a,b是腰长，根据腰长分四类：第1类，当a=b=1时， c<a+b=2,则c=1;第2类，当a=b=2时，c<a+b=4,则c =1,2,3;第3类，当a=b=3时，c<a+b=6,则c=1,2,3,4; 第4类，当a=b=4时，c<a+b=8,则c=1,2,3,4.因此符合 条件的三角形的个数为1+3+4+4=12. 14.【解析】(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131， 132,133. (2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数， 每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4=64（项）. (3)比a。=341小的数有两类： ① ② 3 3 3 3 共有2×4×4+1×3×4=44（项） 所以n=44+1=45. 练案[2] 1.B先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方 法，故共有6×5=30（种）不同的组队方法. 2.B0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900（个）三位数，其中 无重复数字的三位数有9×9×8=648（个），∴.有重复数字的 三位数有900-648=252（个）. 3.C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也 有4种投法：第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3 封信投完，就完成了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有 4种方法，故选C. 4.B由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：①甲排 在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1=6 种编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位 中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1=4 种编排方案.故编排方案共有6+4=10种 5.AB甲选一份荤菜，则有2×3=6（种）选法，选项A正确；乙 的选菜方法数为2×3+3=9（种），选项B正确：两人分别打 菜时，总的方法数为9×9=81（种），选项C不正确：两人所打 菜只有一份相同时，若荤菜相同，则有2×3×2=12（种）；若 素菜相同，则有3×2=6（种）.所以若两人所打菜均为一荤一 素且只有一份相同时的选法数为12+6=18，选项D错误 6.180方法一：可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与D 不同色时，D有3种涂法，有2种涂法，共有5×4×3×2= 120(种)涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3 =60(种).综上，不同的涂色方法有180种. 方法二：先排B,C,D,两两不同色，有5×4×3=60（种）方法 再排A,A只要与B,C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的 涂色方法有60×3=180（种）. 7.240由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有5×4×3× 4=240种. 8.85十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6 个，十位上的数为2时，有324,423，共2个，所以共有6+2=8 个.偶数为214,312,314,412,324，共5个 9.20当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有 3种方式，丁有4种方式，共有3×4=12（种）方式：当乙用银 联卡结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方式，丁有4种方 式，共有2×4=8（种）方式.综上，共有12+8=20（种）方式 10.19第一条线路单位时间内传递的最大信息量为3：第二条 线路单位时间内传递的最大信息量为4；第三条线路单位时 间内传递的最大信息量为6：第四条线路单位时间内传递的 最大信息量为6.因此该段网线单位时间内可以通过的最大 信息量为3+4+6+6=19 11.C由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则 有3种方法：英语翻译人员的分配有2种方法：再从剩下的3 个人中选1人，有3种方法，共3×2×3=18（种）分配方案 ②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法：英语翻译人 员的分配有2种方法：再从剩下的3个人中选2人，有3种 方法，共3×2×3=18（种）分配方案.由分类加法计数原理 可得不同的分配方案共有18+18=36（种）. 12.300120①分四步：第1步，千位数字有5种选取方法；第 2步，百位数字有5种选取方法：第3步，十位数字有4种选 取方法；第4步，个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数 原理知，可组成无重复数字的四位整数共5×5×4×3=300 (个).②分为三类：第1类，末位是0的有4×4×3=48 (个)；第2类，末位是2的有3×4×3=36（个）；第3类，末 位是4的有3×4×3=36（个）.由分类加法计数原理知，共 有48+36+36=120（个）. 13.72①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3 种颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域， 有3×2×2=12（种），由分步乘法计数原理得，共有4×12= 48(种).②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4 种方法，先着色区域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区 域，只能是一种颜色涂第2,4区域，另一种颜色涂第3,5区 域，有2种着色方法.由分步乘法计数原理得有4×3×2=24 (种).综上，共有48+24=72（种）. 14.BD设6位同学分别用a,b,c,d,e,f表示.若任意两位同学 之间都进行交换，需要进行5+4+3+2+1=15（次）交换， 现只进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能 有两种情况：①由3人构成的2次交换，如a~b和a~c之间 的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b,c两人.②由4人 构成的2次交换，如a~b和c~d之间的交换没有发生，则收 到4份纪念品的有a,b,c,d四人 练案[3] 1.B(1)不是.因为加法运算满足交换律，所以选出的两个元 素做加法时，与两个元素的位置无关，所以不是排列问题.(2) 是.因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标 哪一个数是纵坐标有关，即与顺序有关，所以是排列问题.(3)》 不是.因为从十名同学中选取两名同学去学校开座谈会不需 要考虑两个人的顺序，所以不是排列问题.(4)是.因为从一个 大门进，从另一个大门出是有顺序的，所以是排列问题 2.B3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，相当于从4 个不同元素中选3个的排列，其选法种数为A=4×3×2 =24. 18 3.C不同的轮映方法相当于将5所大学全排列，即轮映方法有 A种. 8！ 9！ 4.B由92n×3=(-n7×4,得(11-n）·（10-m）= 12,解得n=7,n=14(舍). 5.A由题意得共需发起的聊天次数为A=5×4=20. 6.CD方法一（直接法）：因为末位数字排法有A,种，其他位置 排法有A4种，共有A2×A4个. 方法二（间接法）：A-A×A.故选CD. 7.BD甲、乙两人站两端有A2×A=2×1×3×2×1=12(种)， B正确.甲、乙两人不站两端分两步进行：第1步，甲、乙站中 间3个位置中的2个位置有A号=3×2=6（种）站法；第2步， 其余3个人任意排列有A=3×2×1=6(种)，所以共有6×6 =36(种)站法，D正确.故选BD. 15根据题意A-=89,则=90，变形可得A=90A (n-7)1=90x7n！ 则有，n! ×(n-5),变形可得(n-5)(n-6)=90. 解得n=15或n=-4(舍)，故n=15. 9.60将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3 个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任 取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有A;=5×4 ×3=60(种). 10.【解析】(1)由题意可知，x∈N且x≥3， 因为A=x(x-1)(x-2),A1=(x+1)x,A2=x(x-1), 所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x- 1), 整理得(3x-2)(x-5)≤0， 所以子≤≤5.又eN且≥3， 所以原不等式的解集为{3,4,5}. (2)3A=4A-1可化为3× 8！ (82x=4×(10- 8！ 9×8! 即3×784×(10=)(9-)(8-x 化简得x2-19x+78=0,解得x=6或x=13, ,0<x≤8，。解得1<x≤8， 由题意知{0<x-1≤9， 故原方程的解为x=6. 11.A先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2 ×1=6(种)不同的排法；再排第二列，其中第二列第一行的 字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1 种排法，因此共有2×1×1=2（种）不同的排法.综上共有6 ×2=12(种)不同的排法.故选A. 12.30若直线经过坐标原点，则C=0,再从集合中任取2个非 零元素作为系数A,B,所以符合条件的直线条数为6×5 =30. 13.11单词中含4个字母，其全排列有A4=24个，但其中两个 字母一样，因此排列方法种数为号=2，其中只有一种组合 是正确的，因此错误拼写方式有12-1=11种. 14.1517由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的 种数是A员+m种，所以A员+m-A号=62，即(n+m)(n+m-1) -n(n-1)=62,所以m(2n+m-1)=62=2×31,因为m< 2n+m-1,且n≥2，m,neN,所以m=2, 2n+m-1=31,解得m =2,n=15,故原有15个车站，现有17个车站. 2练案[2] 第六章 6.1[第2课时 两个计数原理的综合应用] A组·基础巩固 9.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、 1.某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从 支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结 中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则 账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙 不同的组队方法的种数为 ( 与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都 A.11 B.30 C.56 D.6 可以，则甲、乙、丙、丁购物后依次结账，他们的 2.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字 结账方式共有 种 的三位数的个数为 ( )1 0.如图，标注的数字表示 A.243 B.252 C.261 D.279 该段网线单位时间内可 3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 以通过的最大信息量， A.24种B.4种 C.43种 D.34种 现从结点A向结点B传 4.某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活 递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传 动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前 递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排 表示他们有网线相连，则单位时间内传递的 在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排 最大信息量为 方案种数为 ( A.8 B.10 C.12 D.15 B组·综合运用 5.(多选)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，11.某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两 甲、乙两人每人在该窗口打2份菜，且每人至 个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同 多打1份荤菜，则下列说法正确的是( 一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分 A.甲若选1份荤菜，则有6种选法 给同一个部门，则不同的分配方案种数是 B.乙的选菜方法数为9 ( C.若两人分别打菜，则总的方法数为18 A.18 B.24 C.36 D.72 D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相 同，则方法数为30 12.用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的四位 6.将5种不同的颜色涂在如图 整数有 个；其中比2000大的四位 B 所示的四个区域A,B,C,D 偶数有 个 中，每个区域涂一种颜色，且 13.如图，一个地区分为5个 相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 行政区域，现给地图着色， 种 要求相邻区域不得使用同 7.在如图所示的四个区域 种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的 中，有5种不同的花卉可 选，每个区域只能种植 着色方法共有 种（以数字作答）· 种花卉，且相邻区域花卉 C组·拓展提升 不同，则不同的种植方法共有 种（用14.（多选）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念 数字作答). 品的交换，任意两位同学之间最多交换一次， 8.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位 进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546” 6位同学之间共进行了13次交换，则收到4 为“驼峰数”.由数字1,2,3,4可构成无重复数 字的“驼峰数”有 个，其中偶数有 份纪念品的同学人数为 个 A.1 B.2 C.3 D.4 110 练案[3] 第六章6.26.2.16.2.2[第1课时排列与排列数] A组·基础巩固 10.(1)解不等式：3A3≤2A21+6A2； 1.下列问题是排列问题的是 (2)解方程：3A=4A. (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法， 共有多少种不同的结果？ (2)从1到10这十个自然数中任取两个不同 的数组成直角坐标平面内的点的坐标，可 得到多少个不同的点的坐标？ (3)从十名同学中任选两名同学去学校开座 谈会，有多少种不同的选取方法？ (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去， 购买物品后，再从另一个大门出来，不同 的出入方式有多少种？ A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(4) D.(3)(4) 2.3个学生从4本不同的参考书中各挑选1本， 不同的选法种数为 A.3 B.24 C.34 D.43 3.某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮 映方法有 A.25种B.55种 C.A种 D.53种 4.已知3A8-1=4A,-2,则n= ) A.5 B.7 C.10 D.14 5.某学习小组共5人，约定假期彼此给对方发起 微信聊天，共需发起的聊天次数为( A.20 B.15 C.10 D.5 B组·综合运用 6.(多选)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的11.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每 四位数，其中偶数的个数为 行的字母互不相同，每列的字母也互不相同， A.A B.A 则不同的排列方法共有 () C.AA D.A-AA A.12种B.18种C.24种 D.36种 7.(多选)已知甲、乙等5人站一横排，则下列说12.从集合10,1,2,5,7,9,11中任取3个不同的 法正确的是 元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的 A.甲、乙站两端有14种站法 系数A,B,C,所得直线经过坐标原点的有 B.甲、乙站两端有12种站法 C.甲、乙不站两端有108种站法 条 D.甲、乙不站两端有36种站法 13.若把英文单词“g0od”的字母顺序写错了，则 8.已知A4=89,则n 可能出现的错误拼写方式有 种 C组·拓展提升 9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应14.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增 聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名 了m个车站，且知m>1,客运车票增加了62 大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共 种，则原有个车站；现在有 有 种不同的招聘方案（用数字作 个车站. 答) 111