6.1 第1课时 两个计数原理及其简单应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教A版)

练案[1] 第六章6.1[第1课时 两个计数原理及其简单应用] A组·基础巩固 10.设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程 1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通 父+上=1表示焦点位于x轴上的椭圆有多 m n 工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮 少个？ 船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的 不同走法数为 ( A.3 B.9 C.24 D.以上都不对 2.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等 的数a,b组成复数a+bi,其中纯虚数的个数 B组·综合运用 为 ( ) 11.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每 列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同 A.0 B.3 C.6 D.36 的填写方法共有 () 3.阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选 3 择一种进行阅读，不同的选法种数是( A.50 B.60 C.125 D.243 2 4.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课 3 1 外活动小组，每名同学限报其中一个小组，且 A.6种 B.12种 小张不能报A小组，则不同的报名方法有 C.24种 D.48种 ( )12.某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号 A.27种B.36种C.54种 D.81种 中的一种，其中7人会钢琴，3人会小号，从 5.（多选)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈ 中选出会钢琴与会小号的各1人，则有 {8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示 种不同的选法。 13.设a,b,c∈{1,2,3,4}，若以a,b,c为三条边 不同的圆的个数用式子表示为 ( 的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形 A.4+4+4+4+4+4B.4+4+4+4 有 个 C.3×4 D.3×4×2 C组·拓展提升 6.(多选)设东、西、南、北四面通往山顶的路各 14.用1,2,3,4四个数字（可重复）排成三位数， 有2,3,3,4条，只从一面上山，而从其他任意 并把这些三位数由小到大排成一个数列 一面下山，不同的走法种数可能为( ant. A.20 B.27 C.32 D.30 (1)写出这个数列的前11项： 7.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其 (2)这个数列共有多少项？ 中1本，则购买方式共有 种 (3)若an=341,求n. 8.已知两条异面直线a,b上分别有4个点和7 个点，则这11个点可以确定不同的平面个数 为 9.甲、乙、丙3个班各有3名、5名、2名三好学 生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去 参加校三好学生代表大会，共有 种推 选方法 109 练案[2] 第六章 6.1[第2课时 两个计数原理的综合应用] A组·基础巩固 9.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、 1.某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从 支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结 中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则 账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙 不同的组队方法的种数为 ( 与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都 A.11 B.30 C.56 D.6 可以，则甲、乙、丙、丁购物后依次结账，他们的 2.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字 结账方式共有 种 的三位数的个数为 ( )1 0.如图，标注的数字表示 A.243 B.252 C.261 D.279 该段网线单位时间内可 3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 以通过的最大信息量， A.24种B.4种 C.43种 D.34种 现从结点A向结点B传 4.某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活 递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传 动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前 递，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排 表示他们有网线相连，则单位时间内传递的 在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排 最大信息量为 方案种数为 ( A.8 B.10 C.12 D.15 B组·综合运用 5.(多选)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，11.某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两 甲、乙两人每人在该窗口打2份菜，且每人至 个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同 多打1份荤菜，则下列说法正确的是( 一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分 A.甲若选1份荤菜，则有6种选法 给同一个部门，则不同的分配方案种数是 B.乙的选菜方法数为9 ( C.若两人分别打菜，则总的方法数为18 A.18 B.24 C.36 D.72 D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相 同，则方法数为30 12.用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的四位 6.将5种不同的颜色涂在如图 整数有 个；其中比2000大的四位 B 所示的四个区域A,B,C,D 偶数有 个 中，每个区域涂一种颜色，且 13.如图，一个地区分为5个 相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 行政区域，现给地图着色， 种 要求相邻区域不得使用同 7.在如图所示的四个区域 种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的 中，有5种不同的花卉可 选，每个区域只能种植 着色方法共有 种（以数字作答）· 种花卉，且相邻区域花卉 C组·拓展提升 不同，则不同的种植方法共有 种（用14.（多选）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念 数字作答). 品的交换，任意两位同学之间最多交换一次， 8.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位 进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546” 6位同学之间共进行了13次交换，则收到4 为“驼峰数”.由数字1,2,3,4可构成无重复数 字的“驼峰数”有 个，其中偶数有 份纪念品的同学人数为 个 A.1 B.2 C.3 D.4 110[练案 练案[1] 1.B根据分类加法计数原理可得，一天内乘坐这三种交通工具 的不同走法数为3+4+2=9. 2.C由复数a+bi为纯虚数，所以a=0,此时b有6种取法，故 纯虚数共有6个. 3.D由题意，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅 读，其中，每名同学都有3种不同的选法，所以不同的选法种 数是35=243.故选D. 4.C小张的报名方法有2种，其他3名同学的报名方法各有3 种，由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3=54（种）不同 的报名方法，故选C 5.AD方法一：完成表示不同的圆这件事有三步：第1步，确定 a有3种不同的选取方法；第2步，确定b有4种不同的选取 方法；第3步，确定，有2种不同的选取方法.由分步乘法计数 原理，方程(x-a)2+(y-b)2=2可表示不同的圆共有3×4 ×2(个). 方法二：由分类加法计数原理得，当a=1时，b=4,5,6,7,r=8 或9，有4+4（个）；当a=2时，b=4,5,6,7,r=8或9，有4+4 (个)；当a=3时，b=4,5,6,7,r=8或9，有4+4（个），故方程 (x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有4+4+4+4+4 +4(个). 6.ABC东面上山的种数为2×(3+3+4)=20，西面上山的种 数为3×(2+3+4)=27，南面上山的种数为3×(2+3+4)= 27,北面上山的种数为4×(2+3+3)=32，故只从一面上山， 而从其他任意一面下山的走法种数可能为20,27,32， 7.7分3类：买1本书，买2本书和买3本书.各类的购买方式 依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3+3+1=7（种）. 8.11依据直线和直线外一点确定一个平面，分两类情况讨论 第1类，直线a分别与直线b上的7个点可以确定7个不同的 平面：第2类，直线b分别与直线a上的4个点可以确定4个 不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定7+4=11 个不同的平面. 9.31分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计 数原理，有3×5=15（种）选法；②甲班选1名，丙班选1名，根 据分步乘法计数原理，有3×2=6（种）选法；③乙班选1名， 丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2=10（种）选法， 综上，根据分类加法计数原理，共有15+6+10=31（种）推选 方法 10.【解析】因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n. 当m=4时，n=1,2,3: 当m=3时，n=1,2; 当m=2时，n=1. 所求的椭圆共有3+2+1=6（个）. 11.B假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时 其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1=6 (种)填法.故不同的填写方法共有6×2=12（种）. 12.20由题意可知，有1人既会钢琴又会小号（记为甲），只会 钢琴的有6人，只会小号的有2人.本题可分两类：第1类， 甲入选，此时，只需从其他8人中任选1人，故这类选法共有 8种.第2类，甲不入选，此时，选法共有6×2=12（种）.因此 共有8+12=20（种）不同的选法. 18 部分] 13.12设a,b是腰长，根据腰长分四类：第1类，当a=b=1时， c<a+b=2,则c=1;第2类，当a=b=2时，c<a+b=4,则c =1,2,3;第3类，当a=b=3时，c<a+b=6,则c=1,2,3,4; 第4类，当a=b=4时，c<a+b=8,则c=1,2,3,4.因此符合 条件的三角形的个数为1+3+4+4=12. 14.【解析】(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131， 132,133. (2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数， 每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4=64（项）. (3)比a。=341小的数有两类： ① ② 3 3 3 3 共有2×4×4+1×3×4=44（项） 所以n=44+1=45. 练案[2] 1.B先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方 法，故共有6×5=30（种）不同的组队方法. 2.B0,1,2,…,9共能组成9×10×10=900（个）三位数，其中 无重复数字的三位数有9×9×8=648（个），∴.有重复数字的 三位数有900-648=252（个）. 3.C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也 有4种投法：第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3 封信投完，就完成了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有 4种方法，故选C. 4.B由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：①甲排 在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1=6 种编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位 中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1=4 种编排方案.故编排方案共有6+4=10种 5.AB甲选一份荤菜，则有2×3=6（种）选法，选项A正确；乙 的选菜方法数为2×3+3=9（种），选项B正确：两人分别打 菜时，总的方法数为9×9=81（种），选项C不正确：两人所打 菜只有一份相同时，若荤菜相同，则有2×3×2=12（种）；若 素菜相同，则有3×2=6（种）.所以若两人所打菜均为一荤一 素且只有一份相同时的选法数为12+6=18，选项D错误 6.180方法一：可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与D 不同色时，D有3种涂法，有2种涂法，共有5×4×3×2= 120(种)涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3 =60(种).综上，不同的涂色方法有180种. 方法二：先排B,C,D,两两不同色，有5×4×3=60（种）方法 再排A,A只要与B,C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的 涂色方法有60×3=180（种）. 7.240由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有5×4×3× 4=240种.