专题05 平面向量的应用9考点复习指南（讲+练）-2025-2026学年高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册）

2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题05 平面向量的应用9考点复习指南 知识1：平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 知识2：向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 考点1 用向量证明平面几何中的平行问题 1．（2026高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得坐标，即可得，且，即可得证 【详解】证明：由题意得， 所以，即， 又，即， 所以四边形ABCD是梯形. 2．（2026高一·全国·课后作业）在梯形ABCD中，，P，Q分别是AC，BD的中点，用平面向量证明. 【答案】证明见解析. 【分析】建立平面直角坐标系，计算出的坐标，得到，进而得到 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设.    由中点坐标公式，得，即，即. 【点睛】本小题主要考查利用向量法证明两条直线平行，属于基础题. 3．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 4．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可； （2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可 【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为 （2）由题意，，又，故，且不共线，故 5．（2026高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 考点2 用向量证明平面几何中的垂直问题 6．（2026高二·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 7．（2026高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 【答案】证明见详解 【分析】根据向量的线性运算结合数量积分析证明. 【详解】对于菱形，可知，即， 因为， 可得，则， 所以菱形的两条对角线互相垂直. 8．（2026高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】用表示出，，然后求数量积即可证明. 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 9．（2026高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】先得到，，从而利用数量积公式求出，得到垂直关系. 【详解】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 10．（2026高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 11．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 12．（2026高一·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 13．（2026高一·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 考点3 用向量解决线段的长度问题 14．（2026高二·广东汕头·月考）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线定理表示出，然后利用平面向量基本定理求得，，从而求得，即，利用余弦定理求出，即可求解． 【详解】设，因为B，F，E共线， 所以 ， 又因为，所以， 所以，解得， 所以，得， ， 所以，所以，所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以． 故选：A 15．（2026高三·内蒙古包头·月考）在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得又由在方向上的投影向量为，得，又，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 如图，在中，为边上的中线，为的中点， 则（*）， 由在方向上的投影向量为，得，则， 由（*）两边平方，可得： ，所以， 故选：D. 16．（2026高一·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 【答案】 【分析】利用菱形的特点建立平面直角坐标系，再写出点的坐标，最后利用数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 17．（2026高二·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 【答案】 【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用的代数式表示，最后利用配方法求解. 【详解】 进而化简得 将代入上式， 得. 又因为，故，代入上式化简， 得 故当时，取最小值，即模的最小值为. 故答案为：. 18．（2026·河南郑州·模拟预测）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】由平方得：，再由可得，进而利用基本不等式可得最小值． 【详解】由平方得：． 又，所以． 所以． 当且仅当时，取最小值． 故答案为：． 考点4 用向量解决夹角问题 19．（2026高三·四川成都·月考）在中，为的中点，，与相交于点F，则 ． 【答案】 【分析】先由余弦定理确定形状，建立平面直角坐标系，计算向量的夹角，弦化切计算即可. 【详解】由余弦定理可知, 所以为直角三角形， 不妨以C为中心分别为轴，建立平面直角坐标系，    则由题意可知：， 即，且， 易知， 即是钝角， 所以. 故答案为： 20．（2026高一·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 21．（2026高一·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 22．（2026高一·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而求解； （2）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得，结合建立方程，解得，进而求解； （3）由（2），根据计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 23．（2026高一·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 24．（2026·广东佛山·模拟预测）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 【答案】 【分析】通过已知条件得到，通过平方关系对进行转化解得即可得到答案. 【详解】如下图所示，设边上的高为，边上的中线为，    在中，，所以， 由，平方得， 代入得，， 化简得，，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过平方将转化为数量关系，结合图形关系得到代入求解即可. 考点5 向量与几何最值 25．（2026高三·河南·月考）已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，点在原点，任取两点作为向量坐标，求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 9个点的坐标为，，，，，，，，， 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值， 故的最大值为6. 经检验可知，当，，取其他坐标时，的值均不会超过6. 故选：C. 26．（2026高三·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 27．（2026·湖北·模拟预测）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 令，在上单调递增，在上单调递减， 故最大值为40， 故选：D． 28．（2026高三·北京昌平·期末）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则. 故选：C 29．（2026高三·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 考点6 向量在几何中的其他应用 30．（2026高三·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论. 【详解】因为 ， 即，故， 所以为等腰三角形. 故选：B. 31．（2026高一·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得， 即， 两边平方得， 所以，则，即， 所以是直角三角形. 故选：B. 32．（2026高一·湖南永州·期中）已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（   ） A．48 B．36 C．24 D．52 【答案】A 【分析】由已知可得，再利用互补的角的余弦值相加等于0，即可求得答案. 【详解】由已知六边形的边长及到各个顶点的长度均为2， 由图可知，同理，   ．又 ， 又由图知，， ． 所以． 故选：A. 33．（2026高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据给定的向量等式，化简得出，可得是的重心. 【详解】在中，因， 设为的中点，而，，所以是靠近的三等分点， 则是的重心； 故选：C.    34．（2026高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到. 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 考点7 向量在力学中的应用 35．（山西省吕梁市2026届高三第一学期期末调研测试数学试题）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为三个力作用处于平衡状态，且，，所以， 所以. 故选：B． 36．（2026高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 37．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【分析】建立平面直角坐标系，求出向量坐标，根据向量的和向量为零向量，即可求得答案. 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 38．【多选】（2026高一·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 39．（2026高一·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 考点8 向量在速度、位移中的应用 40．（2026高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短，从而得到方程，结合诱导公式求出答案. 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 41．（2026高三·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 42．（2026·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出船的实际速度，用向量表示水流速度，实际船速与船的静水速度的关系，利用向量的数量积的有关运算法则可求水流速度. 【详解】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 43．（2026·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 考点9 向量与功、动量 44．（2026高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积可得到共点力对物体做的功. 【详解】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 45．（2026高一·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【答案】21 【分析】利用定义根据向量数量积的坐标运算公式计算即得. 【详解】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 46．（2026高一·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【答案】16 【分析】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案. 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16 47．（2026高三·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的定义结合辅助角公式化简，即可得出答案. 【详解】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 48．（2026高三·全国·专题练习）一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 【答案】199.6焦耳 【分析】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系.通过计算可得三个力向量的坐标,从而可得合力的坐标,根据合力与位移向量的夹角为,利用向量的物理意义可得. 【详解】以物体初始位置为原点，以正东方向所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示． 计算可得， ， ， 所以合力， 因为合力与位移的夹角为， 所以合力做的功 ， 保留四位有效数字可得199.6焦耳．所以合力做的功约为199.6焦耳． 49．（2026高一·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 【答案】答案见详解 【分析】将重力沿斜面和垂直于斜面分解，分别求出分力，然后可得各力所做功. 【详解】物体受到重力，支持力和摩擦力， 重力，沿斜面向下的分力， 垂直斜面的分力，所以摩擦力大小为， 斜面长为， 所以重力所做功为（焦耳）， 摩擦力所做功为（焦耳）， 支持力所做功为0（焦耳）. 50．（2026高一·全国·专题练习）如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    【答案】 【分析】根据功的公式，结合平面向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为， 所以作用力与斜面之间所成的角度θ满足， 所以， 记沿斜面向上方向的单位向量为， 则位移，， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一下学期题海探秘数学同步考点复习指南（人教A版2019必修第二册） 专题05 平面向量的应用9考点复习指南 知识1：平面几何中的向量方法 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0 (≠0). ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0. ③求夹角问题，利用夹角公式：==. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||= . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 知识2：向量在物理中的应用 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数，它可正，可负， 也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 考点1 用向量证明平面几何中的平行问题 1．（2026高一·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形． 2．（2026高一·全国·课后作业）在梯形ABCD中，，P，Q分别是AC，BD的中点，用平面向量证明. 3．（2026高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 4．（2026高一·广西钦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 5．（2026高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 考点2 用向量证明平面几何中的垂直问题 6．（2026高二·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 7．（2026高一·全国·随堂练习）用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直． 8．（2026高一·上海·课堂例题）在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 9．（2026高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 10．（2026高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    11．（2026高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 12．（2026高一·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 13．（2026高一·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 考点3 用向量解决线段的长度问题 14．（2026高二·广东汕头·月考）如图，在中，，，.取边中点D，连接AD，设E为中点，连接并延长与交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2026高三·内蒙古包头·月考）在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 16．（2026高一·新疆哈密·期末）在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为 . 17．（2026高二·上海杨浦·开学考试）已知菱形的边长为，，点分别在直线上，，.若，，则模的最小值为 ． 18．（2026·河南郑州·模拟预测）在中，点M是BC中点．若，，则的最小值是 ． 考点4 用向量解决夹角问题 19．（2026高三·四川成都·月考）在中，为的中点，，与相交于点F，则 ． 20．（2026高一·广东汕头·期末）如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 21．（2026高一·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 22．（2026高一·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 23．（2026高一·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 24．（2026·广东佛山·模拟预测）已知中，，边上的高与边上的中线相等，则 . 考点5 向量与几何最值 25．（2026高三·河南·月考）已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 26．（2026高三·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 27．（2026·湖北·模拟预测）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 28．（2026高三·北京昌平·期末）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．（2026高三·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点6 向量在几何中的其他应用 30．（2026高三·山东菏泽·期末）已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 31．（2026高一·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 32．（2026高一·湖南永州·期中）已知圆的半径为2，六边形是圆的内接正六边形，为圆上的任意一点，则（   ） A．48 B．36 C．24 D．52 33．（2026高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 34．（2026高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 考点7 向量在力学中的应用 35．（山西省吕梁市2026届高三第一学期期末调研测试数学试题）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026高一·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 37．（2026高一·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    38．【多选】（2026高一·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 39．（2026高一·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 考点8 向量在速度、位移中的应用 40．（2026高三·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 41．（2026高三·湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 42．（2026·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 43．（2026·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 考点9 向量与功、动量 44．（2026高二·甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 45．（2026高一·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 46．（2026高一·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 47．（2026高三·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 48．（2026高三·全国·专题练习）一个物体在平面内受到三个力，，的作用，它们的大小依次为10N、8N和6N，方向依次为北偏东、北偏东、北偏西，物体在合力方向移动了10米，求合力做的功（保留四位有效数字）． 49．（2026高一·全国·课后作业）如图，在倾角为37°、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功． 50．（2026高一·全国·专题练习）如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $