7.3 离散型随机变量的数字特征 巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.3 离散型随机变量的数字特征 1. 已知随机变量的分布列如表所示： 0 p 其中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3. （多选）已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 其中为非负数.若，则（    ） A． B． C． D． 4. 一个袋中装有4个小球，编号为，从中任取2个，用表示取出的2个球编号之和，则 ． 5. （多选）已知投资两种项目获得的收益分别为，，分布列如下表，则下列说法正确的是（    ） 百万 0 2 0.2 0.6 百万 0 1 2 0.3 0.4 A． B． C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资项目的风险比项目高 6. 若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 7. 甲､乙､丙､丁､戊五位同学参加一次节日活动，他们都有机会抽取奖券.墙上挂着两串奖券袋（如图），A，B，C，D，E五个袋子分别装有价值100，80，120，200，90（单位：元）的奖券，抽取方法是这样的：每个同学只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中奖券，直到礼物取完为止.甲先取，然后乙､丙､丁､戊依次取，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串取. （1）求丙取得的礼物券为80元的概率； （2）记丁取得的礼物券为X元，求X的分布列及其数学期望. 8. 某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 9. 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 10. 为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 11. 某地区质量监督部门对该地甲、乙两个饲料生产企业进行抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中动物饲料A的概率为，用数字1表示抽中动物饲料A，用数字0表示没有抽中.在乙企业抽查了两次，每次抽中动物饲料A的概率均为，用数字2表示抽中动物饲料A，用数字0表示没有抽中.若该部门每次抽查的结果相互独立，且完成了以上三次抽查. （1）求该部门恰好有一次抽中动物饲料A的概率； （2）设X表示三次抽查所记数字之和，求随机变量X的分布列和数学期望. 12. 为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为. (1)求； (2)证明为等比数列； (3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.3 离散型随机变量的数字特征 1. 已知随机变量的分布列如表所示： 0 p 其中，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】根据期望和方差的公式代入计算即可. 【详解】因为，所以， ， 所以. 所以. 故选：A. 2. 已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】均值的性质、方差的性质 【分析】根据方差和期望的运算性质计算即可. 【详解】由，解得， 由，解得. 故选：D. 3. （多选）已知两个离散型随机变量，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 其中为非负数.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】利用数学期望与分布的性质可求得判断AB；利用数学期望与方差的性质计算求得，判断CD. 【详解】因为，所以， 整理得. 又，解得，，故A正确，B错误； 因为，所以，又，所以，故C正确， 因为，所以，又，所以，故D错误. 故选：AC. 4. 一个袋中装有4个小球，编号为，从中任取2个，用表示取出的2个球编号之和，则 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】确定的可能值为，依次求出各概率，再由期望公式得期望值． 【详解】由题意的可能值分别为，从4个球中任取2个的总方法为， 和分别为的方法数依次为， ，，，，， 所以， 故答案为：5. 5. （多选）已知投资两种项目获得的收益分别为，，分布列如下表，则下列说法正确的是（    ） 百万 0 2 0.2 0.6 百万 0 1 2 0.3 0.4 A． B． C．投资两种项目的收益期望一样多 D．投资项目的风险比项目高 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】由概率之和为1，分别求出的值，即可判断A；求得，即可得，即可判断B；求得，即可判断C；求得，即可判断D. 【详解】依题意可得，所以， ，所以，所以，故A正确； ， 则，故B错误； ，所以，故C正确； 因为， ， 即，所以投资项目的风险比项目高，故D正确． 故选：ACD． 6. 若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、方差的期望表示、求离散型随机变量的均值 【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值. 【详解】，， ，， ， 当时，. 故答案为：1 7. 甲､乙､丙､丁､戊五位同学参加一次节日活动，他们都有机会抽取奖券.墙上挂着两串奖券袋（如图），A，B，C，D，E五个袋子分别装有价值100，80，120，200，90（单位：元）的奖券，抽取方法是这样的：每个同学只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中奖券，直到礼物取完为止.甲先取，然后乙､丙､丁､戊依次取，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串取. （1）求丙取得的礼物券为80元的概率； （2）记丁取得的礼物券为X元，求X的分布列及其数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）列出甲乙丙摸卷的所有可能，根据互斥事件概率的加法公式即可求出丙取得的礼物券为80元的概率； （2）列出甲乙丙丁戊摸卷的所有可能，得到丁取得的礼物券X元为随机变量，求其分布列即可. 【详解】（1）由题意知，列举如下： 所以丙取得的礼物券为80元的概率: . （2）如下图， 所以X的可能取值为100，80，200，90， 又因为； ； ； ； 所以分布列为： X 80 90 100 200 P 所以. 8. 某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制，且各局比赛结果相互独立. 已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为，否则其获胜的概率为. (1)若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； (2)已知第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球：规定胜一局记1分，负一局记0分，记为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及期望； (3)求随机变量的方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式可求出结果； （2）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）根据方差公式计算可得. 【详解】（1）设事件为“乙在第一局中获得胜利”，设事件为“甲先发球”，事件为“乙先发球”，则， 由全概率公式可知： ； （2）依题意的可能取值为，，， 时，比赛的结果为：乙连胜两局，∴； 时，比赛的结果为：“乙胜甲胜乙胜”，“甲胜乙胜乙胜”， ∴； 时，比赛的结果为：“甲胜甲胜”，“甲胜乙胜甲胜”，“乙胜甲胜甲胜”， ∴； 所以的分布列为： X 0 1 2 P 则； （3）由（2）可得， 即随机变量的方差. 9. 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：    (1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率； (2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3). 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、两点分布的方差、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据散点图求出成绩达到优秀的人数，再求出古典概率. （2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列，再求出期望. （4）求出及的概率，再利用两点分布求出方差并比较大小. 【详解】（1）依题意，从高一年级的（1）班~（8）班抽测共80人， 其中身体素质监测成绩达到优秀的共有， 所以估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为. （2）依题意，高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人， 则可取， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望. （3）依题意，，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， ，服从两点分布，则， 所以. 10. 为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（环）；（环）；；，应选拔甲射手参加奥运会 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、方差的实际应用 【分析】（1）借助概率之和为1可计算出的值及乙射中7环的概率，即可得其概率分布； （2）借助期望及方差的公式计算即可得. 【详解】（1）依题意，，解得， 乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高， 又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定， 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 11. 某地区质量监督部门对该地甲、乙两个饲料生产企业进行抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中动物饲料A的概率为，用数字1表示抽中动物饲料A，用数字0表示没有抽中.在乙企业抽查了两次，每次抽中动物饲料A的概率均为，用数字2表示抽中动物饲料A，用数字0表示没有抽中.若该部门每次抽查的结果相互独立，且完成了以上三次抽查. （1）求该部门恰好有一次抽中动物饲料A的概率； （2）设X表示三次抽查所记数字之和，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列见解析，. 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】记“该部门恰好抽中一次动物饲料A”为事件A，“在甲企业抽中动物饲料A”为事件B，“在乙企业第一次抽查中抽中动物饲料A”为事件C，“在乙企业第二次抽查中抽中动物饲料A”为事件D. （1）由，利用互斥事件和独立事件的概率求解； （2）由题意得到X的取值范围为，然后利用独立事件和对立事件的概率公式，求得其相应概率，列出分布列，再求期望. 【详解】记“该部门恰好抽中一次动物饲料A”为事件A，“在甲企业抽中动物饲料A”为事件B，“在乙企业第一次抽查中抽中动物饲料A”为事件C，“在乙企业第二次抽查中抽中动物饲料A”为事件D. （1）由题意知，，因为， 所以， ， ， ， . （2）由题意，可知X的取值范围为， 且， ， ， ， ，. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以. 12. 为了增进亲子间的情感交流，促进社区居民的身心健康，营造和谐积极的社区氛围，某区街道办事处联合一小学举办了亲子跳绳户外嘉年华活动.小华和父母于参赛前制定了30天跳绳训练规则.规则如下：小华第1天开始跳绳，若第天跳绳，则他第天跳绳的概率为，第天跳绳的概率为，设他第天跳绳的概率为. (1)求； (2)证明为等比数列； (3)若，都是离散型随机变量，则，.记小华前天跳绳的天数为，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】两点分布的均值、分组（并项）法求和、独立事件的乘法公式、由定义判定等比数列 【分析】（1）根据题意，分析第三条跳绳受前两天影响，根据第一天情况，计算第三条跳绳的概率； （2）根据连续三天跳绳概率之间的关系，写出概率关系式，根据递推公式，构造数列，根据等比数列定义证明是等比数列即可； （3）根据前两天跳绳概率，结合等比数列通项公式，求出第天跳绳概率的通项公式，跳绳天数服从两点分布，根据分组求和法求出结果即可. 【详解】（1）由题意，，第3天跳绳有两种情况： 第1天跳，第3天跳，其概率为； 第1天跳，第2天及第3天都跳，其概率为. . （2）由题意得，小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为， 小华第天跳绳后，再在第天跳绳的概率为， ， 即，. ，， 是以为首项，为公比的等比数列. （3），，， ，，，， ， ， . 记他前天中，第天跳绳的天数为. 由题意得，服从两点分布，且， 因为， 所以 ， ， ， . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $