7.3 离散型随机变量的数字特征 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.3 离散型随机变量的数字特征 目录 题型1：均值与方差的性质 3 题型2：离散型随机变量的均值 3 题型3：离散型随机变量的方差 5 题型4：均值与方差在决策中的应用 6 1. 均值的概念 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望.数学期望简称期望，均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 2. 均值的性质 (1) ； (2) ; (3) 如果相互独立，则. 3. 方差与标准差的概念 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差,记为. 提醒 (1)描述了相对于均值的偏离程度,而是上述偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度. (2) 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中;方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (3) 方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数. 4. 方差的性质 (1) ； (2) . 题型1：均值与方差的性质 【例1.1.】 已知随机变量X满足，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【例1.2.】 若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（    ）． A．1 B．3 C．8 D．9 【例1.3.】 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（    ） A．1 B． C．2 D． 题型2：离散型随机变量的均值 方法提炼 求随机变量的均值（数学期望）关键在于写出它的分布列，再代入公式即可. 【例2.1.】 马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 【例2.2.】 小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是，第二个球的号码是，记，若公司规定时，分别为一二三等奖，奖金分别为1000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为 元． 【例2.3.】 “镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 【例2.4.】 从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则 ． 【例2.5.】 一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则 ． 【例2.6.】 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 【例2.7.】 某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率； (2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望. 【例2.8.】 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【例2.9.】 甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望 ． 题型3：离散型随机变量的方差 【例3.1.】 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【例3.3.】 设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【例3.4.】 已知随机变量X的分布列如表，则的值为 . X 1 2 3 4 P 【例3.5.】 甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【例3.6.】 一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 题型4：均值与方差在决策中的应用 方法提炼 (1) 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值,若均值相同，再用方差来决定. (2) 两种应用策略 ①当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断. ②若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策. 【例4.1.】 某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 【例4.2.】 某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 【例4.3.】 某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【例4.4.】 某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率； (2)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题. 【例4.5.】 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. (2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 【例4.6.】 如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下.    2 2.5 0.4 0.6 1.5 2.5 0.5 0.5 2 3 m 2 3 0.5 0.5 (1)若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列； (2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值； (3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.3 离散型随机变量的数字特征 目录 题型1：均值与方差的性质 3 题型2：离散型随机变量的均值 4 题型3：离散型随机变量的方差 12 题型4：均值与方差在决策中的应用 17 1. 均值的概念 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望.数学期望简称期望，均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 2. 均值的性质 (1) ； (2) ; (3) 如果相互独立，则. 3. 方差与标准差的概念 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差,记为. 提醒 (1)描述了相对于均值的偏离程度,而是上述偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度. (2) 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中;方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (3) 方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数. 4. 方差的性质 (1) ； (2) . 题型1：均值与方差的性质 【例1.1.】 已知随机变量X满足，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】方差的性质、均值的性质 【分析】根据期望和方差公式，即可判断选项. 【详解】，得， ，. 故选：C 【例1.2.】 若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（    ）． A．1 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】方差的性质 【分析】根据公式计算即可. 【详解】 数据，，…，的方差是, 数据，，…，的方差为. 故选：D 【例1.3.】 已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则平均数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平均数的和差倍分性质、方差的性质、均值的性质 【分析】根据平均数和方差的性质得到答案. 【详解】已知样本数据的平均数为，方差为， 则样本数据的方差为，所以， 又因为，所以． 样本数据的平均数为，所以，解得. 故选：C． 题型2：离散型随机变量的均值 方法提炼 求随机变量的均值（数学期望）关键在于写出它的分布列，再代入公式即可. 【例2.1.】 马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此， ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】由期望的计算公式计算. 【详解】由题意，设“？”对应的概率为a，则“！”处对应的概率为， 则． 故答案为：2 【例2.2.】 小张的公司年会有一小游戏：箱子中有材质和大小完全相同的六个小球，其中三个球标有号码1，两个球标有号码2，一个球标有号码3，有放回的从箱子中取两次球，每次取一个，设第一个球的号码是，第二个球的号码是，记，若公司规定时，分别为一二三等奖，奖金分别为1000元，500元，200元，其余无奖．则小张玩游戏一次获得奖金的期望为 元． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据两球号码数和积分规则分别求出时的概率即为奖金分别为1000元，500元，200元的概率，利用分布列计算可得期望值. 【详解】由题可知，取一次球，取得号码是1的概率是，取一次球，取得号码是2的概率是，取一次球，取得号码是3的概率是， 因为，， 当，所以或， 故； 当，则， 所以， 当，则， 所以， 设奖金为，则． 则它的分布列为 1000 500 200 0 所以． 故答案为： 【例2.3.】 “镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式 【分析】根据已知条件先设的可能取值，再根据独立事件乘积公式得出概率，列出分布列再结合数学期望公式计算即可. 【详解】设为走出迷宫所需时间，则的可能取值为2，3，4，5，6， ，， ，， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 6 则. 故答案为：. 【例2.4.】 从分别写有数字的张卡片中任取张，设这张卡片上的数字之和为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意分析离散型随机变量的所有取值，求出概率分布列计算期望即可． 【详解】从分别写有数字的张卡片中任取张卡片的所有种结果中， ， 张卡片上的数字之和分别为：， 所以． 故答案为： 【例2.5.】 一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】根据X的可能取值是1，2，3，4，5，求得其相应的概率，再利用期望公式求解. 【详解】解：X的可能取值是1，2，3，4，5， 则，，，，， 所以． 故答案为： 【例2.6.】 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件发生，该公司要赔偿元.设在一年内发生的概率为，为使公司收益的期望值等于的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】设保险公司要求顾客交元保险金，求出收益额的分布列和数学期望，根据即可求出的值，即为答案. 【详解】设保险公司要求顾客交元保险金，若表示公司每年的收益额，则是一个随机变量， 的取值范围为，， 则的分布列为 因此，公司每年收益的期望值， 为使公司收益的期望值等于的百分之十，所以，解得. 故答案为：. 【例2.7.】 某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率； (2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，52 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式、求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用概率的乘法和加法公式即可求解； （2）根据已知条件求出随机变量的取值，再利用概率的乘法和加法公式求出随机变量对应的概率，进而得出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解. 【详解】（1）记A={该同学在上学路上恰好遇到一个红灯}, . （2）的可能取值为， , , , X的分布列为： X 0 48 96 144 P . 【例2.8.】 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. (1)求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； (2)若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； （2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； （3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 【例2.9.】 甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、两点分布的均值 【分析】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以，根据题意可求出，因为每一次传球后球在甲手中的次数都服从两点分布，根据期望的线性性质可求得. 【详解】记第次传球后球在甲手中的概率为，则不在甲手中的概率为，所以第次传球后球在甲手中，当且仅当第次传球后球不在甲手中，且传球者将球传给甲，所以， 根据题意第一次由甲传出，所以第一次传球后球肯定不在甲手中，所以， 又共传5次结束， 所以. 记为示性变量，当第次传球后球在甲手中时，否则，即每次传球后球在甲手中的次数服从两点分布， 所以， 所以 . 故答案为：. 题型3：离散型随机变量的方差 【例3.1.】 已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据随机变量方差公式求解即可. 【详解】由，解得：， 所以， 则， 故选：A 【例3.2.】 已知随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 1 2 P m n A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质、利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】先根据分布列性质计算求参数，再根据方差定义计算方差，最后应用方差性质计算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以． 故选：C． 【例3.3.】 设，随机变量的分布列如表． 0 1 2 P 则当p在内增大时，下列说法正确的是（    ） A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】设，求出随机变量的数学期望得方差，再利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】设，随机变量的数学期望； 方差 ， 所以时，单调递增，时，单调递减， 所以先增大后减小． 故选：D． 【例3.4.】 已知随机变量X的分布列如表，则的值为 . X 1 2 3 4 P 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、方差的性质、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据分布列可求得随机变量的数学期望， 进而可求出方差.再利用公式即可求得答案. 【详解】由随机变量的分布列可得的数学期望， 所以的方差， 所以， 所以. 故答案为:. 【例3.5.】 甲、乙两名同学与同一台围棋机器人“阿尔法”进行围棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得3分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.5，乙赢机器人的概率为0.4．求： (1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列； (2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列及其均值和方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析；期望为， 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、离散型随机变量的方差与标准差、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）求出的可能值，利用相互独立事件的概率公式求出对应概率，列出分布列. （2）求出的可能值，由（1）的信息求出对应概率，列出分布列并求出期望、方差. 【详解】（1）X的可能取值为：， ，，， X的分布列为 X 0 3 P 0.2 0.5 0.3 （2）Y的可能取值为：， 由（1）得，，， ，， ， Y的分布列为： Y 0 3 6 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以， . 【例3.6.】 一个抽奖箱有10张奖票，其中5张写有“谢谢”，2张写有“再抽一次”，2张写有“2元”，1张写有“5元”.抽奖规则：参与抽奖活动者，每次只能抽奖票一张；如果抽到“谢谢”的奖票，则没有奖金；如果抽到“再抽一次”的奖票，就从抽奖箱剩下的奖票中再抽一张；如果抽到“2元”或“5元”的奖票，即可按金额兑奖. (1)小李同学参与了抽奖活动，求他抽奖获得5元的概率； (2)已知小李抽奖时获得了奖金，求他获得2元的概率； (3)记小李获奖金额为随机变量为X，求X的分布列，均值及方差. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，， 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）列出小李抽奖获得5元的三种情况，然后根据概率加法公式求得概率即可. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”，分别求出，然后根据条件概率公式求出结果即可. （3）先列出X的所有取值，然后求出对应的概率，即可得到X的分布列，然后根据期望和方差公式进行求解计算. 【详解】（1）小李抽奖获得5元有三种情况：第一次抽到“5元”；第一次抽到“再抽一次”，第二次抽到“5元”；第一、二次都抽到“再抽一次”，第三次抽到“5元”； 则所求概率为. （2）记事件A=“小李获奖”，B=“小李获得2元奖”， ，， 由条件概率得，即已知小李抽奖时获了奖，获得2元的概率为. （3）依题意得X的所有取值为0，2，5 ... X分布列： X 0 2 5 P ，. 题型4：均值与方差在决策中的应用 方法提炼 (1) 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值,若均值相同，再用方差来决定. (2) 两种应用策略 ①当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分歧,可对问题作出判断. ②若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策. 【例4.1.】 某投资公司在2025年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为万元和万元. (1)试分别写出随机变量和的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)投资项目一更合理，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由分布列的概念即可求解； （2）分别计算两个投资项目的期望、方差比较大小即可判断； 【详解】（1）由题意随机变量和的分布列为： 400 -100 500 -300 0 （2）（万元），（万元）， 又， ， 由，说明项目一､项目二获利的期望值相等，但由于项目一的获利更稳定， 综上所述，该投资公司投资项目一更合理. 【例4.2.】 某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)自研方案、采购方案的期望收益分别为万元、万元； (3)自研方案，理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】条件概率性质的应用、均值的实际应用、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据已知及全概率公式分别求出两种方案对应的用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； （2）结合（1）所得概率，及表格数据求两种方案对应的期望收益； （3）由（2）所得并比较大小，即可得结论. 【详解】（1）若事件分别表示“高满意”、“中满意”、“低满意”， 对于自研方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； 对于采购方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； （2）由题设及（1），自研方案期望收益为万元， 采购方案期望收益为万元； （3）选择自研方案，理由如下： 由（2）所得的期望知，故该公司应选择自研方案. 【例4.3.】 某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)先派出乙． 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、均值的实际应用 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 【例4.4.】 某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率； (2)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题. 【答案】(1) (2)应选择先回答甲类问题 【难度】0.65 【知识点】均值的实际应用、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式，先求得张某一题都没答对的概率，从而求得张某至少答对一道问题的概率. （2）根据张某先回答甲类或乙类问题进行分类讨论，计算出两者累计得分的期望值，从而作出决策. 【详解】（1）设 “张某选择甲类问题”， “张某答对所选问题”， “张某至少答对一道问题”， “张某选择乙类问题”，“张某未答对所选问题” “张某一道问题都没答对” 由题意得，， ，，，， 由全概率公式，得 ∴. （2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题， 则张某的累计得分X的可能值为0，30，80， ∵张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7， ∴；；， 则的分布列为 0 30 80 0.1 0.27 0.63 当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为： ， 若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分的可能值为， 同理可求；；， 则此时累计得分的期望为， 因为. 所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题． 【例4.5.】 某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口. (1)若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由. (2)已知；随机变量服从两点分布，且，.则，且.若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差. 【答案】(1)应选择第一条路线，理由见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、求等比数列前n项和、方差的期望表示、超几何分布的均值 【分析】（1）由题意，，分别求出相应的概率然后，结合期望公式即可比较，得出结论. （2）结合所给的均值方差性质，以及等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）应选择第一条路线， 理由如下：设走第一、第二条路线遇到的红灯次数分别为随机变量、， 则，， ，，， 所以； 又，，， 所以； 因为，所以应选择第一条路线. （2）设选择第一条路线时遇到的红灯次数为， 所以；， 设随机变量，取值为，其概率分别为，且， 所以 ， 又因为，所以. 【例4.6.】 如图，开车从站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下.    2 2.5 0.4 0.6 1.5 2.5 0.5 0.5 2 3 m 2 3 0.5 0.5 (1)若选择甲路线，开车从站到站的总时间为分钟，求的分布列； (2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值； (3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围. 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由题意的可能取值为9，9.5，10，10.5，由独立乘法公式算出对应的概率即可得解； （2）由全概率公式即可列方程求解； （3）设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟，选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟，分别算出的表达式，即可列不等式组求解的范围. 【详解】（1）的可能取值为9，9.5，10，10.5， ， 则的分布列为 9 9.5 10 10.5 0.2 0.3 0.2 0.3 （2）若他开车经过站，则他选择的路线是甲路线或乙路线， 记选择甲路线为事件，选择乙路线为事件，则， 若他开车从站到站的总时间少于5分钟，则或， 所以由全概率公式得，解得. （3）设选择乙路线开车从站到站的总时间为分钟， 则 设选择丙路线开车从站到站的总时间为分钟， ， 则 若三条路线中只有丙路线最快捷，则 即， 又，所以，即的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $